精品解析：云南省昆明市2024-2025学年高一下学期期中质量监测数学试卷

2024—2025学年下学期期中质量监测试卷 高一数学 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，集合，集合，若，则（ ） A. B. C. 或1 D. 2. 设为虚数单位，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知指数函数，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 4. （ ） A. B. C. D. 5. 命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 0 7. 已知某平面图形的直观图是如图所示的梯形，且，则原图形OABC的面积为（ ） A. B. C. 12 D. 10 8. 已知一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为和，斜边为，棱柱的高为，若该棱柱的表面积和体积满足关系，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 9. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 10. 在正方体中，直线平面，直线平面，直线平面，则直线的位置关系可能是（ ） A. 两两垂直 B. 两两平行 C. 两两相交 D. 两两异面 11. 在中，角的对边分别为,则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则的外接圆的面积为 B. 若，，，则有两解 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则为锐角三角形 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，，，则向量与的夹角等于_________. 13. 在中，，，．以AB所在的直线为轴旋转一周，求所围成的几何体的体积______． 14. 若有两个不同的零点，则实数a的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，复数在复平面内对应的向量为． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 16. 如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点．，BC＝6． （1）求证：平面； （2）求三棱柱的表面积． 17. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求面积． 18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且． （1）求角A的大小； （2）若，的面积为，求的值； （3）若点D满足，，，求． 19. 在等腰中，已知． （1）若，当k为何值时，与垂直？ （2）若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，，求的最小值． （3）若的最小值为1，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年下学期期中质量监测试卷 高一数学 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，集合，集合，若，则（ ） A. B. C. 或1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交运算结果，列出方程，求得对应参数值；再验证即可选择. 【详解】因为，故可得且，或且； 解得或； 当时，，满足题意； 当时，，不满足题意，舍去； 综上所述，. 故选：D. 2. 设为虚数单位，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数，可得， 所以. 故选：A. 3. 已知指数函数，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数过定点可得. 【详解】因为指数函数，所以，且，得. 所以函数. 因过定点，所以过定点. 故选：A. 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式化简求解. 【详解】因为. 故选：D. 5. 命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式有解，结合存在命题的性质进行求解即可. 【详解】因为“，”是真命题， 所以不等式有解， 因此方程的判别式， 故选：B 6. 如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算结合已知条件列式计算求解. 【详解】用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，则，且，， 若， 则，则. 故选：D. 7. 已知某平面图形的直观图是如图所示的梯形，且，则原图形OABC的面积为（ ） A. B. C. 12 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】求出梯形的面积，再利用斜二测画法直观图与原图形面积关系求解即得. 【详解】梯形中，，而， 则梯形的高， 因此梯形的面积， 而在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的， 所以原图形OABC的面积为. 故选：D 8. 已知一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为和，斜边为，棱柱的高为，若该棱柱的表面积和体积满足关系，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分别表示出棱柱的表面积和体积，由已知等量关系可构造方程求得结果. 【详解】由题意知：棱柱的体积，表面积， ，，解得. 故答案为：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 9. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】结合奇偶性定义和单调性直接逐项分析即可． 【详解】对于A，因为，所以是奇函数，又根据对勾函数性质，在上单调递减，在上单调递增，故A错误； 对于B，，因为，所以是奇函数，又因为函数、在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确； 对于C，因为，所以是偶函数，故C错误； 对于D，因为，所以是奇函数，而，函数在上单调递减，所以在上单调递增，故D正确． 故选：BD． 10. 在正方体中，直线平面，直线平面，直线平面，则直线的位置关系可能是（ ） A. 两两垂直 B. 两两平行 C. 两两相交 D. 两两异面 【答案】ACD 【解析】 【分析】在正方体中可分别取两两垂直、两两相交，两两异面的直线，即可判断A，C，D选项，结合线面平行的判定以及性质定理可判断B. 【详解】对于A，当l为，m为，n为时，两两垂直，A正确； 对于B，不妨假设，和不重合，因为平面，平面， 则平面，又平面，平面平面， 故，则，又平面，平面， 故，则，即不可能两两平行，B错误； 对于C，当l为，m为，n为时，两两相交，C正确； 对于D，当l为，m为，n为时，两两异面，D正确， 故选：ACD 11. 在中，角的对边分别为,则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则的外接圆的面积为 B. 若，，，则有两解 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则为锐角三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，根据条件，利用正弦定理，可得，即可求解；对B，根据条件，数形结合，即可求解；对C，根据条件，利用余弦定理得，即可求解；对D，利用，得到，，进而可得，再利用余弦定理，即可求解. 【详解】对于选项A，由正弦定理（其中是外接圆的半径）， 得到，所以，则的外接圆的面积为，所以A正确， 对于选项B，如图，，，过作于， 则，所以在射线上不存在， 使，，，即无解，所以B错误， 对于选项C，因为，由余弦定理得， 又，所以，故是钝角三角形，所以C错误， 对于选项D，因为，则，且， 所以，则， 所以，得到，即， 由余弦定理得，又，所以，故是锐角三角形，所以D正确， 故选：AD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，，，则向量与的夹角等于_________. 【答案】 【解析】 【分析】 先利用垂直关系得到，再利用数量积求夹角的余弦值，根据范围即求得夹角. 【详解】因为向量，，，故，即. 设向量与的夹角为，则，，故. 故答案为：. 13. 在中，，，．以AB所在的直线为轴旋转一周，求所围成的几何体的体积______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，围成几何体是两个同底的圆锥，然后结合圆锥的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以，为直角三角形的斜边， 以AB所在的直线为轴旋转一周，所得的几何体为两个同底的圆锥， 圆锥的底面半径为斜边边上的高，即， 所以围成的几何体的体积为. 故答案为： 14. 若有两个不同的零点，则实数a的取值范围为______． 【答案】## 【解析】 【分析】画出函数与的图象，进而确定正确答案． 【详解】画出与的图象如下图， 依题意，有两个不同的零点，由图可知， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，复数在复平面内对应的向量为． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用复数的几何意义得，再利用复数的运算，得到，即可求解； （2）利用复数的运算，结合条件有，即可求解. 【小问1详解】 因为复数在复平面内对应的向量为，则， 又，则， 由题有，解得，所以的值为. 【小问2详解】 因为， 由题有，解得，所以的取值范围为. 16. 如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点．，BC＝6． （1）求证：平面； （2）求三棱柱的表面积． 【答案】（1）连接交于点，连接，因为四边形为矩形， 所以为的中点，因为，D为AC的中点，所以∥， 因为平面，平面， 所以平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，证明∥，原题即得证； （2）求出，再求三棱柱的表面积得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为侧棱底面ABC，所以三棱柱为直三棱柱， 所以侧面均为矩形， 因为，所以底面均为直角三角形， 因为，，所以， 所以三棱柱的表面积为 17. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理即可解出； （2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出． 【小问1详解】 因为，所以，解得：． 【小问2详解】 由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． 18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且． （1）求角A的大小； （2）若，的面积为，求的值； （3）若点D满足，，，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据两个平面向量互相垂直的性质，结合平面向量数量积的坐标表示公式、同角的三角函数关系式中的商关系进行求解即可； （2）由三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可； （3）根据平面向量数量积运算性质，对已知等式两边同时平方进行求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为是锐角三角形， 所以，因此， 所以由； 【小问2详解】 因为的面积为， 所以， 由余弦定理得， ； 【小问3详解】 由 . 19. 在等腰中，已知． （1）若，当k为何值时，与垂直？ （2）若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，，求的最小值． （3）若的最小值为1，求的值． 【答案】（1）当时，与垂直. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中由余弦定理求出，然后由垂直的向量表示求解即可； （2）画出图，由为的重心得，因为，，所以，由三点共线得，然后由基本不等式求解即可； （3）设，的夹角为，，所以当时，有最小值，所以，解得. 【小问1详解】 因为，， 所以由余弦定理得， 即，所以. 若与垂直，则， 所以， 所以，解得， 即时，与垂直. 【小问2详解】 因为为的重心，所以， 又因为，，所以， 由于三点共线，所以存在实数使得， 所以， 化简为，所以，所以. 显然，则， 当且仅当时，即时，取“等号”. 则的最小值为. 【小问3详解】 设，的夹角为，在中，， 所以， 又 . 所以当且仅当时，取最小值，所以， 解得，即取最小值1时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $