精品解析：北京市平谷区第五中学2026-2027学年第一学期第一次月考高二数学试题

平谷区第五中学第一学期第一次月考 高二数学 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 将一枚均匀骰子随机掷次，恰好出现次点数相同的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 某人连续投篮两次，下列事件中与事件“恰有一次投中”互斥的为（ ） A. 至多有一次投中 B. 至少有一次投中 C. 恰有一次没有投中 D. 两次都投中 3. 从1，2，3组成的无重复数字的所有三位数中随机抽取一个数，则该数大于300的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 4 5. 一次射击比赛中，若连续2次未击中目标，那么中止射击，甲击中目标的概率是，假设甲各次射击是否击中目标相互之间没有影响，甲恰好射击4次后被中止的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为平面的法向量，点，在直线上，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在三棱锥中，，，，则点P到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 某高校的入学面试为每位面试者准备了3道难度相当的题目．每位面试者最多有三次抽题机会，若某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．若李明答对每道题目的概率都是，则他最终通过面试的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ） ①某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为； ②三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为； ③甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为； ④设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是； A. ①③ B. ①④ C. ①②③ D. ①③④ 10. 正方体的棱长为2，点是棱的中点，点是正方形内部或边界上一点，若点满足，则点到直线距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 某运动员射击一次，命中环的概率为，命中环的概率为，则他射击一次命中的环数不超过的概率为___________. 12. 从写有数字的5张卡片中有放回的抽取两次，两次抽取的卡片数字和为5的概率是________． 13. 甲、乙两人组队参加猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，每轮里甲乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则在两轮活动中猜对三个灯谜的概率为______． 14. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算），有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是，，两人租车时间都不会超过四小时，则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为_______. 15. 如图，在正方体中，，为的中点，为棱（含端点）上的动点，给出下列四个结论： ①存在，使得； ②存在，使得平面； ③当为线段中点时，三棱锥的体积最小； ④当与重合时，直线与直线所成角的余弦值最小. 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人先后不放回地各抽一题． （1）写出样本空间： （2）甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？ （3）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 17. 如图，在棱长为2的正方体中，是线段的中点． （1）求证：平面 （2）求直线与直线所成角的余弦值． 18. 随着新能源汽车普及，各地公共快充桩不断建设．某测评机构统计了6座城市公共快充桩的平均充电功率（单位：）数据如表： 城市 站点位置 快充桩平均充电功率 A市 城东服务区 112.5 B市 城西枢纽 135.2 C市 北站广场 98.7 D市 南环线 141.8 E市 港口园区 105.4 F市 国泰商场 118.6 规定：若城市快充桩平均充电功率大于110kW，定义该城市为快充高性能城市． （1）从以上6座城市中随机选取2座城市进行调研，求选取的2座城市恰有一座是快充高性能城市的概率； （2）甲、乙两家新能源投资公司分别从以上6座城市中随机选取1座城市考察（甲、乙选取互不影响，可以选取同一座城市），求甲、乙两家公司中恰有1家选取到快充高性能城市的概率． 19. 根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生50米跑单项等级如下（单位：秒）：从某校高一男生和女生中各随机抽取12名同学，将其50米跑测试成绩整理如下： 50米跑单项等级 高一男生 高一女生 优秀 7.3及以下 8.0及以下 良好 7.4~7.5 8.1~8.6 及格 7.6~9.5 8.7~10.6 不及格 9.6及以上 10.7及以上 男生：7.0 7.2 7.2 7.3 7.4 7.4 7.5 7.5 7.9 8.3 8.6 9.6 女生：7.4 7.6 7.6 7.8 7.9 8.0 8.3 8.4 8.7 9.2 9.4 10.4 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． （1）分别估计该校高一男生和女生50米跑单项的优秀率； （2）从该校高一男生中随机抽取2人，高一女生中随机抽取1人，求3人中恰有2人50米跑单项等级是优秀的概率； （3）从该校高一女生中随机抽取2人．记“2人的50米跑单项至少有1个是优秀”为事件A，记“2人的50米跑单项至多有1个是优秀”为事件．证明事件A与事件是否相互独立． 20. 如图，在四棱锥中，平面,,，,. （1）求证：平面； （2）若为中点，为线段上一点，平面，求的值； （3）求二面角的大小; 21. 如图，在四棱锥中，平面为棱的中点，平面与棱相交于点，且，再从下列两个条件中选择一个作为已知. 条件①：；条件②：. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）已知点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平谷区第五中学第一学期第一次月考 高二数学 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 将一枚均匀骰子随机掷次，恰好出现次点数相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将一枚均匀骰子随机掷2次的样本空间有种， 恰好出现次点数相同的样本点有种， 所以所求概率为. 2. 某人连续投篮两次，下列事件中与事件“恰有一次投中”互斥的为（ ） A. 至多有一次投中 B. 至少有一次投中 C. 恰有一次没有投中 D. 两次都投中 【答案】D 【解析】 【分析】表示投篮两次的所有基本事件情况，观察可得答案. 【详解】某人连续投篮两次，共会发生： 第一次中第二次不中， 第一次不中第二次中， 第一次中第二次中， 第一次不中第二次不中，共4种情况， 事件“恰有一次投中”包含：第一次中第二次不中，第一次不中第二次中， 所以与之互斥的就是“两次都投中”， 故选：D 3. 从1，2，3组成的无重复数字的所有三位数中随机抽取一个数，则该数大于300的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型公式计算即可. 【详解】组成的无重复的所有的三位数为，大于300的无重复的三位数为， 所以所求的概率为. 故选：C 4. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间位置关系的向量法判断，再根据向量平行的坐标运算，即可求解. 【详解】由题意可知，， 所以，即，解得：. 故选：A 5. 一次射击比赛中，若连续2次未击中目标，那么中止射击，甲击中目标的概率是，假设甲各次射击是否击中目标相互之间没有影响，甲恰好射击4次后被中止的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析甲恰好射击4次后被中止的情况，然后利用独立事件概率的计算公式进行求解即可. 【详解】已知甲击中目标的概率是，则甲未击中目标的概率为. 由于甲恰好射击4次后被中止，则甲的射击情况包含以下两种情况： 情况一：第一次与第二次击中，而第三次与第四次未击中； 情况二：第一次未击中，第二次击中，第三次与第四次未击中. 因此根据独立事件概率计算公式可得：甲恰好射击4次后被中止的概率为. 6. 已知为平面的法向量，点，在直线上，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理，结合充分、必要条件的概念，即可得答案. 【详解】由可得或，所以推不出， 当时，由于是平面的法向量，可得，所以可推出， 综上，是的必要不充分条件. 故选：B. 7. 在三棱锥中，，，，则点P到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】因，，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 所以点P到平面的距离为； 故选：C 8. 某高校的入学面试为每位面试者准备了3道难度相当的题目．每位面试者最多有三次抽题机会，若某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．若李明答对每道题目的概率都是，则他最终通过面试的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设李明最终通过面试为事件，根据对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得. 【详解】设李明最终通过面试为事件， 则. 故选：D 9. 下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ） ①某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为； ②三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为； ③甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为； ④设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是； A. ①③ B. ①④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】利用相互独立事件同时发生的概率公式，逐一判断4个命题的正误，即可求解. 【详解】对于命题①，记事件表示第路口遇到红灯， 则该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为， 所以命题①正确， 对于命题②，由题知此密码被破译的概率为，所以命题②错误， 对于命题③，因为从甲袋中任取一个球，取到红球的概率为，取到白球的概率为， 从乙袋中任取一个球，取到红球的概率为， 所以从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为，故命题③正确， 对于命题④，设事件和发生的概率分别为，又事件和相互独立， 由题有，即，解得，所以命题④错误， 故选：A. 10. 正方体的棱长为2，点是棱的中点，点是正方形内部或边界上一点，若点满足，则点到直线距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量根据垂直关系确定的轨迹，再计算最值即可. 【详解】 如图所示，建立空间直角坐标系，易知， 设，则， 因为，所以，即， 可知， 所以到直线距离为 ， 所以当时，点到直线的距离取得最大值为. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 某运动员射击一次，命中环的概率为，命中环的概率为，则他射击一次命中的环数不超过的概率为___________. 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据对立事件的定义求解即可． 【详解】由题意，射击一次命中的环数不超过8的概率为． 故答案为：0.4 12. 从写有数字的5张卡片中有放回的抽取两次，两次抽取的卡片数字和为5的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，求出样本空间及事件包含的样本点，再利用古典概率公式，即可求出结果.. 【详解】用中的表示第一次取到的卡片数字，表示第一次取到的卡片数字， 由题知，样本空间为 ，共25个， 记事件：两次抽取的卡片数字和为5，事件包含的样本点为，共个， 所以两次抽取的卡片数字和为5的概率是， 故答案为：. 13. 甲、乙两人组队参加猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，每轮里甲乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则在两轮活动中猜对三个灯谜的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】将两轮共猜对个灯谜拆分为“甲猜对个且乙猜对个”、“甲猜对个且乙猜对个”两个互斥事件，结合独立重复试验、独立事件与互斥事件的概率公式计算即可. 【详解】设事件、分别表示甲两轮猜对个、个灯谜， 事件、分别表示乙两轮猜对个、个灯谜， 根据独立重复试验的概率公式，可得 ， ， ， ， 设事件为“两轮活动中猜对个灯谜”， 则，且与互斥，与、与分别相互独立， 所以 ， 代入数值计算得. 14. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算），有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是，，两人租车时间都不会超过四小时，则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出两个人租车时间在三小时以上且不超过四小时的概率，则甲、乙两人所付的租车费用相同：都不超过两小时，都在两小时以上且不超过三小时和都在三小时以上且不超过四小时三类求解即可． 【详解】解:由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，，设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A.则. 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为. 故答案为 【点睛】本题考查独立事件、互斥事件的概率，属于基础题． 15. 如图，在正方体中，，为的中点，为棱（含端点）上的动点，给出下列四个结论： ①存在，使得； ②存在，使得平面； ③当为线段中点时，三棱锥的体积最小； ④当与重合时，直线与直线所成角的余弦值最小. 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②④ 【解析】 【分析】先建立合适空间直角坐标系，设，对于①：根据求得的值并判断是否正确；对于②：考虑与重合时的情况；对于③：根据，分析的最小值即可判断；对于④：利用向量法先表示出，然后结合换元法和二次函数性质求解出最小值并判断. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系设， ①：因为，所以， 当时，，解得，不符合题意，故①错误； ②：当与重合时， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，且平面，平面， 所以平面，故②正确； ③：设到平面的距离为， 所以，且为定值， 所以当最小时，三棱锥的体积最小， 因为，所以， 设平面的法向量为， 所以，所以，取，所以， 又，所以， 当时有最小值，故③错误； ④：设直线与直线所成角为， 因为， 所以， 令，所以，所以， 因为，所以时取最大值，此时取最小值， 此时，即与重合，故④正确； 故答案为：②④. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是向量法的使用，将①中的垂直关系转化为数量积计算，将③中的体积问题转化为点到面的距离问题并用向量法完成计算，将④中的异面直线所成角转化为直线方向向量所成角进行计算. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人先后不放回地各抽一题． （1）写出样本空间： （2）甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？ （3）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 【答案】（1）. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先将选择题和判断题编号，再列举样本空间的所有样本点； （2）根据样本空间，再结合古典概型概率公式，即可求解； （3）根据样本空间，结合对立事件的概率公式，即可求解. 【小问1详解】 其中为3个选择题，为2个判断题，有序数对第一个元素为甲抽到的题目，第二个为乙抽到的题目 . 【小问2详解】 样本空间共包含20个样本点，设甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题为事件， ，共包含12个样本点， 所以甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率； 【小问3详解】 甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的对立事件为两人都抽到判断题， 设为事件，则，， 所以甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，是线段的中点． （1）求证：平面 （2）求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】（1）如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 取得， 所以， 所以，又平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面关系； （2）利用异面直线夹角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，，， 得， 所以， 故直线与直线所成角的余弦值为. 18. 随着新能源汽车普及，各地公共快充桩不断建设．某测评机构统计了6座城市公共快充桩的平均充电功率（单位：）数据如表： 城市 站点位置 快充桩平均充电功率 A市 城东服务区 112.5 B市 城西枢纽 135.2 C市 北站广场 98.7 D市 南环线 141.8 E市 港口园区 105.4 F市 国泰商场 118.6 规定：若城市快充桩平均充电功率大于110kW，定义该城市为快充高性能城市． （1）从以上6座城市中随机选取2座城市进行调研，求选取的2座城市恰有一座是快充高性能城市的概率； （2）甲、乙两家新能源投资公司分别从以上6座城市中随机选取1座城市考察（甲、乙选取互不影响，可以选取同一座城市），求甲、乙两家公司中恰有1家选取到快充高性能城市的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先确定高性能城市的数量，再分别列出总的基本事件数和每个事件所包含的基本事件数，最后根据古典概型分别求解两问的概率即可. 【小问1详解】 根据题意，6座城市中快充高性能城市为A、B、D、F，共4座，非高性能城市为C、E， 从以上6座城市中随机选取2座城市，总基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C）， （B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共15 个， 而选取的2座城市恰有1座是高性能城市包含的基本事件有：（A，C），（A，E），（B，C），（B，E），（C，D），（C，F），（D，E），（E，F），共8个， 所以由古典概型概率公式得所求概率为：. 【小问2详解】 甲、乙独立选取，总基本事件数为，恰有1家选到高性能城市分为两类： 第一类：甲选到高性能城市，乙未选到，基本事件数：（A，C），（B，C），（D，C），（F，C），（A，E）， （B，E），（D，E），（F，E），共8个； 第二类：甲未选到高性能城市，乙选到，基本事件数为：（C，A），（E，A），（C，B），（E，B），（C，D）， （E，D），（C，F），（E，F），共8个. 所以由古典概型概率公式得所求概率为： . 19. 根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生50米跑单项等级如下（单位：秒）：从某校高一男生和女生中各随机抽取12名同学，将其50米跑测试成绩整理如下： 50米跑单项等级 高一男生 高一女生 优秀 7.3及以下 8.0及以下 良好 7.4~7.5 8.1~8.6 及格 7.6~9.5 8.7~10.6 不及格 9.6及以上 10.7及以上 男生：7.0 7.2 7.2 7.3 7.4 7.4 7.5 7.5 7.9 8.3 8.6 9.6 女生：7.4 7.6 7.6 7.8 7.9 8.0 8.3 8.4 8.7 9.2 9.4 10.4 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． （1）分别估计该校高一男生和女生50米跑单项的优秀率； （2）从该校高一男生中随机抽取2人，高一女生中随机抽取1人，求3人中恰有2人50米跑单项等级是优秀的概率； （3）从该校高一女生中随机抽取2人．记“2人的50米跑单项至少有1个是优秀”为事件A，记“2人的50米跑单项至多有1个是优秀”为事件．证明事件A与事件是否相互独立． 【答案】（1）该校高一男生优秀率为，女生优秀率为； （2）； （3）事件与不相互独立． 【解析】 【分析】（1）根据给定数据求出抽取的男生、女生中50米跑测试成绩为优秀等级的人数，再求出频率即可； （2）根据互斥事件、相互独立事件的概率公式求解即可； （3）利用相互独立事件的定义判断即可． 【小问1详解】 由给定数据得，12名高一男生50米跑单项等级优秀的有4人，12名高一女生50米跑单项等级优秀的有6人， 所以估计该校高一男生50米跑单项等级优秀率为，女生50米跑单项等级优秀率为； 【小问2详解】 设事件为“男生50米跑优秀”，则，，设事件为“女生50米跑优秀”， 则，；“3人中恰有2人优秀”分为两种情况： 2名男生优秀，1名女生不优秀：； 1名男生优秀，1名男生不优秀，1名女生优秀：； 所以3人中恰有2人优秀的概率为； 【小问3详解】 由（2）得，， ， ， 因此，故事件与不相互独立． 20. 如图，在四棱锥中，平面,,，,. （1）求证：平面； （2）若为中点，为线段上一点，平面，求的值； （3）求二面角的大小; 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再平面.(2)先根据平面证明，再利用相似三角形求得.（3）建立空间直角坐标系利用向量法求得二面角的大小为. 【详解】（1）证明：如图1，因为平面平面， 平面平面，平面， ，所以平面. 因为平面， 所以平面平面. （2）如图2，取中点，连接，因为平面，平面， 平面平面，所以. 所以. 因为，， 所以. 所以. 所以.所以=. 因为为的中点， 所以. （3）连接，由（1）知平面， 平面，平面 所以， 因为，点为中点，所以. 作，所以. 如图3建立空间坐标坐标系. 因为 所以， 因为，，， 所以平面.平面的法向量. 设平面的法向量，则有 即 令，则，，即. . 由题知二面角为锐角， 所以二面角的大小为. 【点睛】（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查二面角的求法和直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.(2) 二面角的求法方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号） 21. 如图，在四棱锥中，平面为棱的中点，平面与棱相交于点，且，再从下列两个条件中选择一个作为已知. 条件①：；条件②：. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）已知点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1）证明：选择条件①： （1）因为平面平面， 所以平面. 又因为平面，平面平面， 所以. 选择条件②：解法同上 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理可得； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得点到平面的距离为； （3）设，利用线面角的向量求法解方程即可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 选择条件①： 因为平面，平面， 所以. 又因为， 所以. 因此，即两两垂直. 如图，以为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系， 所以. 由（1），得，且为棱的中点， 所以点为棱的中点.， 故. 设平面的一个法向量为， 则， 取，则，即. 所以点到平面的距离. 选择条件②： 因为平面，平面 所以， 又因为与相交，平面， 所以平面，平面， 所以， 即两两垂直. 以为原点建立空间直角坐标系及以下步骤同上； 【小问3详解】 选择条件①： 设， 则. 所以. 设直线与平面所成角为， 所以； 化简得，解得， 即. 选择条件②：解法同上 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $