精品解析：四川省字节精准教育联盟2026届高三上学期第一次诊断性考试模拟数学试题

字节精准教育联盟·高中2023级第一次诊断性考试模拟试题 数 学 【考试时间：2025年10月20日15:00~17:00】 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将答题卡上的项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.考试结束后，请交回答题卡，试题卷自行保存. 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 已知集合，，则A与B的交集是（ ） A. B. C. D. ABC均错误 2. 已知函数，设，则是（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减，上递增 D. 在上单调递增，上递减 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 5. 设，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则可以是（ ） A. B. C. D. 7. 斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知，且，对于任意均有，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 函数在区间上的最小值为 B. 若函数在区间上的取值范围为，则的最大值是 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ） A. 直线是函数图象的一条对称轴 B. 函数在区间上的最大值为 C. 函数在区间上单调递增 D. 将函数图象上所有的点向左平移个单位，得到的图象 11. 函数的图象上有三个不同的点.抛物线的焦点为，下列说法正确的是（ ） A. 若点A的纵坐标为，则其范围是 B. 点B关于原点的对称点在函数的图象上 C. 若点且，则可能为直角 D. 若点则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______． 13. 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________. 14. 已知数列满足，，，数列满足，则数列的前1011项的和_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知全集，集合，.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. （2）已知，，求. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期，并求的最小值及取得最小值时的集合； （2）令，若对于恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知函数. （1）求函数在上的单调递减区间； （2）当时，，求的最大值； （3）证明：方程在上有唯一实数解. 18. 记是数列的前项和，，，且数列是等差数列． （1）求的通项公式； （2）设若，求数列的前项和 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”． （1）用定义证明函数在为单调递增函数； （2）已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由； （3）若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 字节精准教育联盟·高中2023级第一次诊断性考试模拟试题 数 学 【考试时间：2025年10月20日15:00~17:00】 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将答题卡上的项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.考试结束后，请交回答题卡，试题卷自行保存. 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 已知集合，，则A与B的交集是（ ） A. B. C. D. ABC均错误 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，再判断即可. 【详解】由题知， 故选：D. 2. 已知函数，设，则是（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减，上递增 D. 在上单调递增，上递减 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断与的奇偶性，再画出的图像即可求出的单调性. 【详解】的定义域为， 因为，则， 所以为奇函数. 又，则也是奇函数. 由，可得图象如图所示： 所以函数在上单调递增. 故选：B 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，以及对数函数的单调性，分别判断大小即得． 【详解】由题意知，，， ，且， 所以，即． 故选：D． 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可． 【详解】若，得， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 5. 设，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数运算法则及换底公式化简，再利用指数式与对数式互化关系求解. 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 6. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平移变换和诱导公式推得，，再逐一检验各选项即可. 【详解】因为， 将函数的图象向左平移个单位后得到函数， 所以，则，，，， 对于A，若，代入得，故A错误； 对于B，若，代入得，故B错误； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，若，代入得，故D错误. 故选：C. 7. 斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用给定条件结合对数的性质将化为，结合，得到，根据递增，得到也是递增数列，得，即可求解. 【详解】由题知是的正整数解， 故，取指数得， 同除得，，故， 即，根据是递增数列可以得到也是递增数列， 于是原不等式转化为. 由斐波那契数列可得，，，， 可以得到满足要求的的最大值为，故A正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于利用对数的运算将， 转化为，结合的表达式得到， 从而求解的最大值. 8. 已知，且，对于任意均有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案. 【详解】因为，所以且， 设，则的零点为， 当时，则，，要使，必有，则，不合题意； 当时，则或，即或; 综上一定有. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 函数在区间上的最小值为 B. 若函数在区间上的取值范围为，则的最大值是 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用三角变换公式得，结合正弦函数的性质判断A，求出的解集后判断B，利用二倍角公式结合弦切互化判断C，利用两角差的余弦计算判断D. 【详解】 . 对于A，，，， ，故的最小值为，故A错误. 对于B，函数的取值范围为，， 故，解得. 当最大时，的最大值是，故B正确. 对于C， ， 而，故，故C正确. 对于D，， ， 故D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ） A. 直线是函数图象的一条对称轴 B. 函数在区间上的最大值为 C. 函数在区间上单调递增 D. 将函数图象上所有的点向左平移个单位，得到的图象 【答案】AD 【解析】 【分析】根据周期公式先算出，由代入检验法判断A选项，根据正弦函数的最值，单调性判断BC，先求出平移后的解析式然后判断D. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得， 所以，则， 所以直线是函数图象的一条对称轴，故A正确； 当，则， 所以当，即时取得最大值，故B错误； 当，则，因为在上不单调， 所以在区间上不单调，故C错误； 将函数图象上所有的点向左平移个单位得到的图象，故D正确. 故选：AD 11. 函数的图象上有三个不同的点.抛物线的焦点为，下列说法正确的是（ ） A. 若点A的纵坐标为，则其范围是 B. 点B关于原点的对称点在函数的图象上 C. 若点且，则可能为直角 D. 若点则 【答案】AD 【解析】 【分析】由换元法，结合正弦函数的性质即可求解A，根据偶函数的性质即可求解B，求导，得函数的单调性以及变化趋势，继而可作出的大致图象，根据两点距离公式先证明曲线上除点外，始终在圆的内部，即可结合图形性质求解C，根据两点距离公式以及二次函数的性质证明,即可求解D. 【详解】对于函数，令，则，所以A正确. B选项：易知为偶函数，所以B选项错误. C选项：记，,由于，，故， 所以单调递增，. 所以当时，单调递减，且减小速度逐渐变慢； 当时，单调递增，且增长速度逐渐变快， 作出的大致图象： 设为曲线上任意一点，则， ，则，故在单调递增，故，故，当且仅当取到等号， ，故，则 ，当且仅当时，， 设，故曲线上除点外，始终在圆的内部， 故当，结合曲线的凹凸性可得， 所以大于，所以C选项错误. D选项：设点是函数图象上一点， 且，易知 由于, 所以 ， 所以，.所以D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件展开可求得，,代入即可. 【详解】由得：, 由得：, 所以，, 所以. 故答案为： 13. 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得出，由此得出，于是得出，然后对实数的取值进行分类讨论，结合极大值点的定义进行验证即可. 【详解】因为，所以， 由题知，则， 令可得或. 若，即当时， 由可得或，由可得， 此时，函数在、上单调递增，在上单调递减， 此时，函数在处取得极小值，不合乎题意； 若，即当，则对任意的恒成立， 此时，函数在上单调递增，无极值点； 若，即当时， 由可得或，由可得， 此时，函数在、上单调递增，在上单调递减， 此时，函数在处取得极大值，合乎题意. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知数列满足，，，数列满足，则数列的前1011项的和_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得数列是等比数列，求得通项公式，进而可得，利用并项求和法求解即可. 【详解】因为，所以数列是等比数列，设数列的公比为， 又因为，，所以，解得，所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知全集，集合，.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. （2）已知，，求. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得集合是集合的真子集，即可得到不等式组，解得即可； （2）由同角的三角函数关系结合角的范围计算即可. 【详解】（1）集合，而必为非空集合， 因为是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 所以（等号不同时成立），解得，所以实数的取值范围为． （2）因为，两边平方得， 有，所以， 又因为，所以，则， 所以． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期，并求的最小值及取得最小值时的集合； （2）令，若对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）最小正周期是，最小值为．的集合为 （2） 【解析】 【分析】(1)首先化简函数，再根据三角函数的性质，即可求解； （2）将不等式恒成立问题，转化为求函数的最值问题，即可求解. 【小问1详解】 由题意，函数， 可得其最小正周期是， 当，可得，即时， 函数的最小值为． 此时的集合为． 【小问2详解】 由 因为，得，则， 所以， 若对于恒成立，则， 所以，即求实数的取值范围． 17. 已知函数. （1）求函数在上的单调递减区间； （2）当时，，求的最大值； （3）证明：方程在上有唯一实数解. 【答案】（1） （2） e （3） 证明：设， 则， 设，则， 设，则， 而的导数， 所以在上单调递减. 因为，， 所以存在唯一，使得. 当时、，单调递增，当时，，单调递减. 又因为,,. 所以存在唯一，使得. 当时，即单调递增，当时，单调递减， 又因为，，， 所以存在唯一，使得. 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又因为，，， 所以存在唯一，使得， 即方程在上有唯一实数解. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数与单调性的关系，即可求解； （2）由已知可得，将问题转化为不等式恒成立，讨论参数a的范围，分类求解即可； （3）设，连续构造函数并求导，结合零点存在定理，即可证明结论. 【小问1详解】 因为，所以,， 则， 当时，即时，，单调递增； 当时，即时，，单调递减； 当，即时，，单调递增. 故所求单调递减区间为. 【小问2详解】 因为，所以，故由得. 设，则. ①当时，则，所以在上单调递增. 从而，解得，此时，. ②当时，在上恒成立，单调递增， 则需，即，此时； 当时，则时，，单调递减； 时，，单调递增. 所以，变形可得. 此时，. 设，，则. 当时，，为增函数； 当时，，为减函数. 所以，即，当且仅当，时取等号. 综合可知的最大值为e. ③当时，在上单调递减. 从而，解得. 此时. 综上，的最大值为e. 【小问3详解】 略 18. 记是数列的前项和，，，且数列是等差数列． （1）求的通项公式； （2）设若，求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据等差数列的通项公式求出，再利用与的关系求解即可； （2）利用分组求和，其中奇数部分利用等差数列的前项和公式，偶数部分利用裂项相消求解即可. 【小问1详解】 因为，，设等差数列的公差为，则，解得， 所以，即， 当时，，当时，成立，故． 【小问2详解】 由题意可得 . 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”． （1）用定义证明函数在为单调递增函数； （2）已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由； （3）若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：根据题意，，设，则. 则有，即， 所以函数在为单调递增函数. （2）根据题意，不是“局部反比例对称函数”，理由如下： 已知函数，若，则， 即，所以，所以方程无实数解， 即不存在实数，使成立， 故不是“局部反比例对称函数”. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，用作差法证明； （2）根据题意，由“局部反比例对称函数”的定义，判断方程有无实数解即可； （3）根据题意，由“局部反比例对称函数”的定义，方程在有解，令，将问题转化为方程在上有解，再根据一元二次方程根的分布求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据题意，是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 则方程，即在上有解. 整理得：. 令，由，得， 所以问题转化为方程在上有解. 设函数，则其图象开口向上，对称轴为. 分类讨论： ①当时，只需，即， 解得，所以； ②当时，只需，即， 解得，所以. 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $