2.1.2 瞬时变化率-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（北师大版）

该高中数学导学案围绕瞬时变化率展开，通过实例分析引导学生从平均变化率过渡到瞬时变化率，结合定义解析、与平均变化率的区别联系及例题示范，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解其刻画函数某点变化快慢的本质。 以实例驱动和逐步逼近方法为特色，结合物理运动等实际情境，培养学生的数学抽象和数学运算素养。习题设计分层，从基础判断到实际应用问题，助力学生深化概念理解，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

数学　选择性必修 第二册 1.2　瞬时变化率 (教师独具内容) 课程标准：通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程． 教学重点：会用平均变化率“逼近”瞬时变化率． 教学难点：瞬时变化率的实际应用． 核心素养：通过学习瞬时变化率，提升数学运算和数学抽象素养． 知识点　瞬时变化率 对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则该函数的平均变化率为＝＝．如果当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率．瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢． 1．对函数的瞬时变化率的理解 (1)Δx趋于0，是指Δx与0无限接近，但始终不能等于0.Δx，Δy在变化中都趋于0，但其比值却趋于一个常数． (2)函数在x0处的瞬时变化率仅与x0有关，而与Δx无关． (3)对于任一个确定的函数，瞬时变化率都是一个精确值，而不是近似值．现阶段我们还不能求出函数在某一点处的瞬时变化率，只能用平均变化率来估计瞬时变化率． 2．函数的瞬时变化率与平均变化率的区别与联系 区别：平均变化率刻画的是函数值在一个区间上变化的快慢，瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢． 联系：当Δx→0时，函数的平均变化率趋近于函数在x0点的瞬时变化率．因此，对于任一个确定的函数在某点处的瞬时变化率，可以利用函数在该点所在的一个区间上的平均变化率来估计． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)瞬时变化率是刻画某函数的自变量x从x1变到x2时函数值变化快慢的物理量．(　　) (2)若某物体在某段时间内的平均速度为0，则该物体在此时间段内各时刻的瞬时速度都为0.(　　) (3)若物体运动的时间与位移的函数关系式为y＝h(t)，则在计算物体运动的瞬时速度时，h(t0＋Δt)>h(t0)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为(　　) A．6 B．18 C．54 D．81 (2)在曲线y＝x2上取一点(1，1)及其附近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则为________，瞬时变化率为________． 答案：(1)B　(2)Δx＋2　2 题型一　求函数的瞬时变化率 例1　已知函数f(x)＝x2－1，求自变量x在以下的变化过程中，该函数的平均变化率： 自变量x从1变到1.1； 自变量x从1变到1.01； 自变量x从1变到1.001. 估计当x＝1时，函数的瞬时变化率是多少？ [解]　当x从1变到1.1时，Δx＝0.1， 该函数的平均变化率是＝＝2.1. 当x从1变到1.01时，Δx＝0.01，该函数的平均变化率是＝＝2.01. 当x从1变到1.001时，Δx＝0.001，该函数的平均变化率是＝＝2.001. 估计当x＝1时，函数的瞬时变化率是2. 【感悟提升】用函数的平均变化率估计瞬时变化率的思路 对于函数y＝f(x)，利用公式＝求x0处的瞬时变化率，选取若干个(一般取三个或三个以上)Δx的值，通过逐步缩小Δx的值，得到瞬时变化率的近似值． 【跟踪训练】 1．求函数y＝f(x)＝＋2在点x＝1处的瞬时变化率． 解：＝＝， 当Δx趋于0时，趋于－2. 即f(x)在点x＝1处的瞬时变化率为－2. 题型二　瞬时变化率的实际应用 例2　子弹在枪筒中的运动可以看成匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，子弹在枪筒中运动的时间为1.6×10－3 s，求子弹射出枪口时的瞬时速度，并解释它的实际意义． [解]　由题意得，子弹运动的路程s关于时间t的关系式是s＝×5×105×t2＝250000t2，按下表计算出相应的平均速度． t0/s t1/s 时间的改变量(Δt)/s 路程的改变量(Δs)/m 平均速度/(m/s) 0.00159 0.0016 0.00001 0.007975 797.5 0.001599 0.0016 0.000001 0.00079975 799.75 0.0015999 0.0016 0.0000001 0.0000799975 799.975 0.00159999 0.0016 0.00000001 0.000007999975 799.9975 … 0.0016 … … … 可以看出，当t0趋于t1＝1.6×10－3 s时，平均速度趋于800 m/s，因此，可以认为子弹射出枪口时的瞬时速度是800 m/s.从上面的分析和计算可以看出，瞬时速度800 m/s的实际意义是：如果子弹保持t＝1.6×10－3 s这一时刻的速度运动，每秒将要运动800 m. 【感悟提升】解释瞬时变化率的实际意义时，要结合现实和生活经验，通常借助物理、地理、化学等方面的知识综合考虑．在实际问题中，除了要弄清位移(高度)、速度与时间的关系，还应了解功的瞬时变化率是功率，降水量的瞬时变化率是降雨强度，放射性物质剩余量的瞬时变化率是衰变速度等． 【跟踪训练】 2．一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s(t)＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在t＝2时的瞬时速度． 解：(1)当t＝0时的速度为初速度． 在0时刻取一时间段[0，0＋Δt]，即[0，Δt]， ∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，＝＝3－Δt， 当Δt趋于0时，3－Δt趋于3. ∴物体的初速度为3 m/s. (2)取一时间段[2，2＋Δt]， ∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)＝－Δt－(Δt)2，＝＝－1－Δt， 当Δt趋于0时，－1－Δt趋于－1. ∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1 m/s. 1．已知函数y＝f(x)＝2x2，则在x＝3时的瞬时变化率为(　　) A．12 B．18 C．54 D．81 答案：A 解析：＝＝＝12＋2Δx.当Δx趋于0时，趋于12.故选A. 2．一质点做直线运动，其位移s与时间t之间的关系为s＝3－2t2，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．－4 答案：D 解析：＝＝＝－2Δt－4.则当Δt趋于0时，趋于－4.故选D. 3．某复兴号动车组的最高时速为160 km/h.假设该动车组开出站一段时间内，速度v(m/s)与行驶时间t(s)的关系为v＝0.4t＋0.6t2，则出站后该动车组的速度首次达到24 m/s时的加速度为(　　) A．6.8 m/s2 B．7.6 m/s2 C．7 m/s2 D．7.8 m/s2 答案：B 解析：由0.4t＋0.6t2＝24，解得t＝6或t＝－(舍去)．当t＝6时，＝ ＝0.6Δt＋7.6，当Δt趋于0时，趋于7.6，即出站后该动车组的速度首次达到24 m/s时的加速度为7.6 m/s2.故选B. 4．函数y＝f(x)＝x2＋1在点x＝1处的瞬时变化率为________． 答案：2 解析：＝＝＝＝2＋Δx.当Δx趋于0时，趋于2，即在点x＝1处的瞬时变化率为2. 5．已知质点M按规律s＝2t2＋3(s的单位：cm，t的单位：s)做直线运动． (1)求质点M从2 s到2.01 s的平均速度； (2)求质点M从2 s到2.001 s的平均速度； (3)求质点M在2 s时的瞬时速度． 解：＝ ＝＝4t＋2Δt. (1)当t＝2，Δt＝0.01时，＝4×2＋2×0.01＝8.02. 所以质点M从2 s到2.01 s的平均速度是8.02 cm/s. (2)当t＝2，Δt＝0.001时，＝4×2＋2×0.001＝8.002. 所以质点M从2 s到2.001 s的平均速度是8.002 cm/s. (3)当t＝2时，＝8＋2Δt，当Δt趋于0时，8＋2Δt趋于8， 即趋于8，所以质点M在2 s时的瞬时速度为8 cm/s. 课后课时精练 一、选择题 1．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3 s末的瞬时速度是(　　) A．7 m/s B．6 m/s C．5 m/s D．8 m/s 答案：C 解析：∵＝ ＝5＋Δt，∴当Δt趋于0时，趋于5，即物体在3 s末的瞬时速度是5 m/s. 2．函数y＝f(x)＝x3＋1在x＝4处的瞬时变化率为(　　) A．1 B．5 C．48 D．65 答案：C 解析：∵Δy＝f(4＋Δx)－f(4)＝(4＋Δx)3＋1－43－1＝(Δx)3＋48Δx＋12(Δx)2，∴＝(Δx)2＋12Δx＋48.当Δx趋于0时，趋于48，即瞬时变化率为48. 3．设圆的面积为S，半径为r，则面积S在r＝1处的瞬时变化率为(　　) A．π B．2π C．4π D．8π 答案：B 解析：由题意知S＝πr2，则ΔS＝π(1＋Δr)2－π×12＝2πΔr＋π(Δr)2，∴＝2π＋πΔr，当Δr趋于0时，趋于2π，即面积S在r＝1处的瞬时变化率为2π. 4．函数f(x)＝x3的自变量x从－1变为1时的平均变化率等于x＝m时的瞬时变化率，则m＝(　　) A. B．± C．2 D. 答案：B 解析：函数f(x)＝x3的自变量x从－1变为1的平均变化率为＝＝1，因为＝3mΔx＋3m2＋(Δx)2，所以当Δx趋于0时，3mΔx＋3m2＋(Δx)2趋于3m2，即f(x)＝x3在x＝m时的瞬时变化率为3m2，所以1＝3m2，解得m＝±.故选B. 5．函数y＝f(x)＝|x|(2＋x)在点x＝0处的瞬时变化率为(　　) A．2 B．－2 C．－2或2 D．无瞬时变化率 答案：D 解析：由已知y＝f(x)＝Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝∴＝∴当Δx趋于0时，趋于2或－2，即f(x)在点x＝0处无瞬时变化率． 二、填空题 6．一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________． 答案：1 解析：∵Δs＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7t＋13t0－8＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2，∴＝14t0－13＋7Δt，当Δt趋于0时，趋于14t0－13，即14t0－13＝1，∴t0＝1. 7．函数y＝f(x)＝在x＝2处的瞬时变化率为________． 答案：－ 解析：∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－＝＝＝，∴＝ －，当Δx趋于0时，趋于－，故y＝f(x)＝在x＝2处的瞬时变化率为－. 8．若一物体的运动方程如下：s＝f(t)＝(位移s的单位：m，时间t的单位：s)，则物体的初速度v0＝______m/s；物体在t＝1时的瞬时速度为________m/s. 答案：－18　－12 解析：求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵物体在t＝0附近位移的平均变化率为＝＝＝3Δt－18，当Δt趋于0时，3Δt－18趋于－18，∴物体的初速度v0＝－18 m/s.∵物体在t＝1附近位移的平均变化率为＝＝＝3Δt－12，当Δt趋于0时，3Δt－12趋于－12，∴物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s. 三、解答题 9．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s＝s(t)＝t2(s的单位：m，t的单位：s)．求小球在5～6 s间的平均速度和5～5.1 s间的平均速度，并与匀加速直线运动速度公式求得的t＝5 s时的瞬时速度进行比较． 解：1＝＝36－25＝11 m/s， 2＝＝＝10.1 m/s， 由于小球做匀加速直线运动，且初速度为0， 故s＝at2＝t2，∴a＝2， 5 s时的速度v＝at＝2×5＝10 m/s. ∴5～5.1 s间的平均速度更接近5 s时的瞬时速度． 10．某物体走过的路程s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系为s＝3t2＋2，通过平均速度估计物体在t＝2 s时的瞬时速度，并解释它的实际意义． 解：由s＝3t2＋2，按下表计算出相应的平均速度． t0/s t1/s 时间的改变量(Δt)/s 路程的改变量(Δs)/cm 平均速度/(cm/s) 2 2.1 0.1 1.23 12.3 2 2.01 0.01 0.1203 12.03 2 2.001 0.001 0.012003 12.003 2 2.0001 0.0001 0.00120003 12.0003 2 … … … … 可以看出，当t1趋于t0＝2 s时，平均速度趋于12 cm/s，因此，可以认为物体在t＝2 s时的瞬时速度是12 cm/s.从上面的分析和计算可以看出，瞬时速度12 cm/s的实际意义是：如果物体保持t＝2 s这一时刻的速度运动，每秒走过的路程是12 cm. 1．生产某塑料管的利润函数为y＝P(n)＝－n3＋600n2＋67500n－1200000，其中n为工厂每月生产该塑料管的根数．求利润函数P(n)在n＝450时的瞬时变化率． 解：＝ ＝(－3n2＋1200n＋67500)－(Δn)2－3nΔn＋600Δn. 当Δn趋于0时，趋于－3n2＋1200n＋67500. 令n＝450，则－3n2＋1200n＋67500＝－3(n－450)(n＋50)＝0， 即利润函数P(n)在n＝450时的瞬时变化率为0. 2．某质点A从时刻t＝0开始沿某方向运动的位移为s(t)＝比较质点A在时刻t＝3与t＝5的瞬时速度的大小． 解：当0≤t<4时，s(t)＝t3－6t2＋9t＝t(t－3)2， 所以当t＝3时， 1＝ ＝ ＝Δt(3＋Δt)， 故当Δt趋于0时，1趋于0. 当t≥4时，s(t)＝t2－10t＋28，所以当t＝5时， 2＝ ＝ ＝＝Δt. 故当Δt趋于0时，2趋于0. 所以质点A在时刻t＝3与t＝5的瞬时速度都为0，故大小相等． 10 学科网（北京）股份有限公司 $