3.1.2 第2课时 排列数的应用-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

008 第2课时排列数的应用 素养目标定方向 课程标准 学法解读 1.进一步理解排列的概念，掌握一些排列问1.通过排列知识解决实际问题，提升逻辑推理的 题的常用解题方法 素养 2.能应用排列知识解决简单的实际问题， 2.借助排列数公式计算，提升数学运算的素养。 必备知识 探新知 知识点一 解排列应用题的基本思想 实际问题 使了排列而题求数学机的 化归 求排列数 得实际问题的解 实际问题 知识点二 求解排列问题的主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 定序问题 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 除法处理 间接法 正难则反，等价转化的方法 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一数字排列问题 例，用1,234,56,7这7个数字组成没有重复数字的四位数 规律方法： (1)如果组成的四位数必须是偶数，那么这样的四位数有多少个？ 解裁宇排列问题常见的 (2)如果组成的四位数必须大于6500，那么这样的四位数有多少个？ [分析]这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条 成西统无排法“：特 解题方法 殊元素优先排列，特 件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则. 殊位置优先填充.如 “0“不排“首位“ 2.“分类讨论法”：按 照某一标准将排列分 成几类，然后按照分 类加法计最原理计 算，要注意以下两点： 一是分类标准水须恰 当：二是分类过程要 微到不重不漏. 3“排除法”：全排列 数减去不符合条件的 排列裁. 4.“位置分折法”：按 位置逐步讨论，把要 求裁宇的每个数位 排好 [规律方法] ●00g 》对点训练1 我们把各位数字之和为7的四位数称为“北斗数”（如2014是“北斗 数”)，则“北斗数”中千位为3的共有 个. 题型二对象“相邻”与“不相邻”问题 例2,3名男生，4名女生，这7个人站成一排，在下列情况下，各有多少种不 同的站法. (1)男、女各站在一起. (2)男生必须排在一起. (3)男生不能排在一起， (4)男生互不相邻，且女生也互不相邻， [分析]解决“相邻”问题用“捆绑法”，解决“不相邻”问题用“插空 法”. 规律方法： 处理对象“相邱“ “不相外”问题应遵 循“先整体，后局 部“的原则.对象相外 问题，一般用“捆绑 法”，先把相邱的若 干个对象“捆绑”为 一个大对象与其余对 [规律方法] 象全排列，然后再松 》对点训练2 绑，将这若千个对象 (1)6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有 内部全排列.对象不 相外问题，一般用 A.720 B.360 C.240 D.120 “插空法”，先将不 相外对象以外的“普 (2)要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个 通”对象全排列，然 舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法？ 后在“普通”对象之 间及两端插入不相外 对象. 010 题型三定位定元问题 例3.3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排列方案的方法 规律方法： 种数. 有限制条件的排列问 (1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端； 题常用的方法有“直 (2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端； 接法”和“间接法” (3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端 1.至多、至少间接法 [分析](1)甲是特殊元素，其余学生站法不受限制，故可先将甲排好， 当问题的正面分类较 再排其他人. 多或计算较复杂，而 问题的反面分类较少 (2)同(1)的分析，甲、乙是特殊元素可先在两端排好甲、乙，有A种排 或计算更简便时往往 法，再排其他人 使用“间接法”.含 (3)直接排时，可按甲的站位分类：甲在最右端和甲不在两端；也可按乙 “至多”“至少”类 的站位分类， 词语的排列问题，是 用间接法求时，7人全排列后减去甲在左端的和乙在右端的（两种情形 需要分类问题，常用 一样多)，再加上甲在左端且乙在右端的情形（两次都减去了）. 间接法（即排除法） 解答.这时可以先不 考虑特殊元素（位 置)，而列出所有元 素的全排列数，从中 再减去不满足特殊元 素（位置）要求的排 列裁，即排除法 2.定元、定位优先 排.在有限制条件的 P[规律方法] 排列问题中，有时限 对点训练3 定某元素女须排在某 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一排，求解下列位置，某元素不能排 问题. 在某位置：有时限定 （1)甲不在首位的排法有多少种？ 某位置只能排（或不 (2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？ 能排)某元素.这种特 (3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？ 殊元素（位置）解题 (4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？ 时要优先考虑 ①元素分析法——即 以元素为主，优先考 虑特殊元素，再考虑 其他元素，先特殊后 一般 ②位置分析法——即 以位置为主，优先考 虑特殊位置，再考虑 其他位置，先分类后 分步 011 题型四排列中的定序问题 例4.)用1,2,34,56,7组成没有重复数字的七位数，若1,35,7的顺 序一定，则符合条件的七位数有个. (2)将A,B,C,D,E这5个字母排成一列，要求A,B,C在排列中的顺序 为“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相邻)，这样的排列有 个（用数字规律方法： 作答). 解决定序问题的两种 [分析]定序问题常用“除法”和“插空法” [规律方法] 方法 在有些排列问题中， 》对点训练4 某些对象的前后顺序 《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场 是确定的（不一定相 比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人齐声朗诵， 外).解决这类问题的 别有韵味.若《沁园春·长沙》《蜀道难》《敕勒歌》《游子吟》《关山月》《清平 基本方法有两种： 乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长(1)整体法，即若有 沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有 (m+n)个对象排成一 种.（用数字作答). 列，其中m个对象之 ●易错警示 间的先后顺序确定不 变，先将这(m+n)个 重复计数与遗漏计数致误 对象排成一列，有 例 5.6个人站成前、中、后三排，每排2人，则不同的排法有 种 Aπ+n种不同的排法； [错解一]分步完成，第一步，安排第一排的2人，有A种排法； 然后任取一个排列， 第二步，安排中同一排的2人，有A种排法； 固定其他n个对象的 第三步，余下的2人排在最后一排. 位置不动，把这m个 由分步乘法计数原理可知，不同排法共有A。·A=360(种). 对象交换顺序，有A网 [错解二]分步完成，第一步，安排第一排的2人，有A?种排法； 种排法，其中只有一 第二步，安排中间一排的2人，有A种排法； 个排列是我们需要 第三步，安排余下的2人，有A种排法， 的，因此共有兰种 因为排在第一排、中间一排和最后一排不同，所以三排再排列，有A种 Aim 排法 满足条件的不同 由分步乘法计数原理可知，不同排法有A。·A·A?·A=4320(种) 排法 错解一中错在第三步，余下的2人还要去排最后一排的2个不同位置. (2)插空法，即m个 对象之间的先后顺序 错解二中错在前三步已经分清了三排，不需要再排列了. 确定不变，因此先排 [辨析]排列问题的重点是弄清“按怎样的顺序排列”，结合问题情境 这m个对象，只有一 找出排序的依据，在求出答案后要还原实际情境，看是否把每一种情况都考 种排法，然后把剩下 虑进去了，切忌重复或遗漏 的n个对象分类或分 [正解] 步插入由以上m个对 象形成的空中 012 课堂检测 固双基 1.从6个人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫 A.20种 B.30种 斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游 C.40种 D.60种 览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两4.由数字0,1,2,3,4,5可以组成能被5整除，且 人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 无重复数字的不同的五位数有 A.(2A-A3)个 B.(2A-A)个 A.300种 B.240种 C.2A个 D.5A个 C.144种 D.96种 5.(2024·全国甲卷文科)甲、乙、丙、丁四人排成 2.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或 一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率 乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 是( ) ( 1 B. A.192种 B.216种 3 C.240种 D.288种 C. 1 2 D 23 3.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天 且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两 位前面.不同的安排方法共有 ( 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[3] 3.1.3 组合与组合数 第1课时 组合与组合数 素养目标定方向 课程标准 学法解读 1.理解组合与组合数的概念 1.通过学习组合与组合数的概念，培养数学抽象 2.会推导组合数公式，并会应用公式求值 的素养 3.理解组合数的两个性质，并会求值、化简和2.借助组合数公式及组合数的性质进行运算，培 证明. 养数学运算的素养 必备知识 探新知 知识点一组合的定义 从n个不同对象中取出m(n≥m)个对象并成一组，称为从n个不同对象思考1：组合概念中的 中取出m个对象的一个组合. [思考1]两个要点是什么？同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也 是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况； 第三步，同理，产生第3个学科冠军也有4种不同的获得 情况. 由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4×4×4 =64(种). 课堂检测固双基 1.D分两步，第一步，从物理、化学、生物3科中任选2科，有3种选 法，第二步，从政治、历史、地理3科中任选1科，有3种选法.根据 分步乘法计数原理可得不同选法共有3×3=9（种）. 2.B因为PCQ,所以分两类.当x=2时，y∈{3,4,5,6,7,8， 9},所以点的个数为7：当x≠2时，x=y∈3,4,5,6,7,8,9}， 所以点的个数为7.则满足题意的点共有14个。 3.C第1封信投到信箱中有4种投法： 第2封信投到信箱中也有4种投法； 第3封信投到信箱中也有4种投法. 只要把这3封信投完，就做完了这件事，由分步乘法计数原理 可得共有4种投法. 4.B根据题意，需分两类解决： 第一类，万位填4时，此40000大的偶数有2×4×3×2=48 (个)： 第二类，万位填5时，比40000大的偶数有3×4×3×2=72 (个) 根据分类加法计数原理，可知比40000大的偶数共有48+72 =120(个). 5.920根据分类加法计数原理知，从中任选1人参加学科竞 赛，不同的选派方法共有4+5=9种；由分步乘法计数原理 知，从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，不同的 选派方法共有4×5=20种 3.1.2排列与排列数 第1课时排列与排列数 必备知识探新知 知识点一(1)一定的顺序(2)m=n取出所有对象 思考1：两个排列相同则应具备排列的对象及排列的顺序 均相同. 知识点二所有排列A:n(n-1)(n-2)…(n-m+1) n·(n-1)·(n-2)·…·2·1n 111A+ 思考2：“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是 指“从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象，按照一定的顺序 排成一列”，它不是数，而是具体的一件事；而“排列数”是上述 完成这件事所有不同的排列个数，它是一个数 关键能力攻重难 例1：(1)不是：(2)是；(3)第一问不是，第二问是；(4)是： (5)是. 理由是：(1)(2)中由于加法运算满足交换律，所以选出的 两个元素做加法时，与两元素的顺序无关，但做除法时，两元素 谁作除数，谁作被除数不一样，此时与顺序有关，故做加法不是 排列问题，做除法是排列问题.(3)中选座位与顺序无关，“人 座”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题 (4)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同 的，存在顺序问题，属于排列问题.(5)A给B写信与B给A写信 是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题. 对点训练1：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数 作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排到 问题 (2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不 用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题 15 (3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列 问题. 综上，(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题 例2：As=15×14×13=2730, A8=6×5×4×3×2×1=720. (2)因为55-n,56-n,…,69-n中的最大数为69-n,且 共有(69-n)-(55-n)+1=15(个)数， 所以(55-n)(56-n)·…·(69-n)=A5-m (3)由排列数公式可知n(n+1)(n+2)(n+3)·…·（n+ m）=A 对点训练2：(1)18因为Am=11×10×9×8×…×5,所以 n=11,m=(11-5)+1=7,m+n=18. (2)36A9=7×6×5×4×3×2,A=6×5×4×3×2,A= 5×4×3×2, 所以49A=7x6-6=36 A 例3：(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从 7个元素中任取3个元素的一个排列，所以具有A?=7×6×5= 210(种)不同的送法. (2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同， 根据分步乘法计数原理，共有7×7×7=343（种）不同的送法. 对点训练3：(1)用一颗骰子连掷三次，投掷出的互不相同 的数字顺次排成一个三位数，属于求排列数问题，相当于从6个 元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A:=6×5×4=120 (个)不同的数 (2)每掷一次，出现的数字均有6种可能性，根据分步乘法 计数原理，共有6×6×6=216（个）不同的数. (3)两个数字相同有三种可能性，即百位和十位，十位和个 位，个位和百位相同，而每种情况有6×5=30（个）三位数，故共 有3×6×5=90（个）三位数. 8！ 8! 例4：由A<6A2,得8二<6×(10-x 化简得x2-19x+84<0,解之得7<x<12, ① 0,2ea8 ② 由①②及x∈N*得x=8. 课堂检测固双基 1.B由排列数公式可知m=4,故选B. 2.C这是一个排列问题，与顺序有关，任意两人对应的是两种 站法，故C正确 3.B因为加法和乘法满足交换律，所以选出两数做加法和乘法 时，结果与两个数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法 与两个数字的位置有关，故是排列问题 4.C由A-1-n<7,得(n-1)(n-2)-n<7,即-1<n<5,又 因为n∈N*且n-1≥2，所以n=3,4.故选C. 5.12 bac,bad,bae,bca,bed,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed 树状图如下： 可知共12个，它们分别为bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc, bde bea,bec,bed. 第2课时排列数的应用 关键能力攻重难 例1：(1)第一步排个位上的数，因为组成的四位数必须是 0 偶数，个位数字只能是2,4,6之一，所以有A种排法；第二步排 千、百、十这三个数位上的数字，有A种排法.根据分步乘法计 数原理，符合条件的四位数的个数是AA。=3×6×5×4=360. 故这样的四位数有360个 (2)因为组成的四位数要大于6500，所以千位上的数字只 能取7或6.排法可以分两类.第一类：千位上排7，有A。种不同 的排法：第二类：若千位上排6，则百位上可排7或5，十位和个 位可以从余下的数字中取2个来排，共有A,A:种不同的排法 根据分类加法计数原理，符合条件的四位数的个数是A。+AA =160 故这样的四位数有160个 对点训练1：15由已知得千位为3的“北斗数”的后三位 之和为4，有以下四种可能：0,0,4：0,1,3：0,2,2；1,1,2；各种组 合对应的排列个数分别为3,6,3,3，合计15个 例2：(1)（相邻问题捆绑法）男生必须站在一起，即把3名 男生进行全排列，有A种排法，女生必须站在一起，即把4名女 生进行全排列，有A种排法，全体男生、女生各看作一个对象全排 列有A种排法，由分步乘法计数原理知共有A?A4A2=288种排法 (2)(捆绑法)把所有男生看作一个对象，与4名女生组成5 个对象全排列，故有A:A=720种不同的排法 (3)(不相邻问题插空法)先排女生有A种排法，把3名男 生安排在4名女生隔成的5个空中，有A:种排法，故有A4A= 1440种不同的排法 (4)先排男生有A种排法.让女生插空，有AA=144种 不同的排法 对点训练2：(1)C因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两 人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有A种排法，但甲 乙两人之间有A2种排法，由分步乘法计数原理可知： 共有A:·A2=240种不同的排法，选C. (2)先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为A。种，这6个 歌唱节目的空隙及两端共七个位置中再排4个舞蹈节目有A 种排法，由分步乘法计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻 的排法为A号·A=604800(种). 例3：(1)（特殊元素优先法）先考虑甲有A:种方案，再考虑 其余六人全排，故N=A;A=2160(种). (2)(特殊元素优先法)先安排甲、乙有A,种方案，再安排 其余5人全排，故N=A2·A=240(种). (3)解法一（特殊元素优先法）：按甲是否在最右端分两类： 第一类：甲在最右端时有N=A(种)， 第二类：甲不在最右端时，甲有A;个位置可选，而乙也有 A:个位置，而其余全排A 有N2=A5A5A(种)， 故N=N1+N2=A+AA5A=3720(种) 解法二（间接法）： 无限制条件的排列数共有A,,而甲在左端或乙在右端的排 法都有A。,且甲在左端且乙在右端的排法有A, 故N=A7-2A+A=3720(种). 解法三（特殊位置优先法）：按最左端优先安排分步 对于左端除甲外有A6种排法，余下六个位置全排有A,但 减去乙在最右端的排法AA:种， 故N=A6A8-A5A:=3720(种). 对点训练3：(1)解法一（把元素作为研究对象）：第一类：不 含甲，此时只需从甲以外的其他6个元素中取出5个放在5个 位置上，有A。种排法 第二类：含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲 再从甲以外的6个元素中选4个排在没有甲的位置上，有A种排 法根据分步乘法计数原理，含有甲时共有4×A种排法 由分类加法计数原理，共有A。+4×A5=2160(种)排法， 1 解法二（把位置作为研究对象）：第一步：从甲以外的6个元 素中选1个排在首位，有A。种排法： 第二步：从占据首位以外的6个元素中选4个排在除首位 以外的其他4个位置上，有A。种排法. 由分步乘法计数原理，可得共有A·A。=2160(种)排法. 解法三（间接法）：即先不考虑限制条件，从7人中选出5人进 行排列，然后把不满足条件的排列去掉 不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有A种，甲在首位 的情况有A种，所以符合要求的排法有A,-A:=2160(种). (2)(把位置作为研究对象，先满足特殊位置)第一步：从甲 以外的6个元素中选2个排在首末两个位置上，有A后种方法； 第二步：从未排上的5个元素中选3个排在中间3个位置上，有 A种排法； 根据分步乘法计数原理，有A。·A=1800(种)排法， (3)(把位置作为研究对象)第一步：从甲、乙以外的5个元素 中选2个排在首末两个位置，有A种排法； 第二步：从未排上的5个元素中选出3个排在中间3个位 置上，有A:种排法. 根据分步乘法计数原理，共有A5·A;=1200(种)排法 (4)(间接法)总的可能情况有A?种，减去甲在首位的A 种，再减去乙在末位的A。种注意到甲在首位同时乙在末位的情况 被减去了两次，所以还需补回一次A种，所以共有A-2A话+A= 1860(种)排法 例4：(1)2101,3,5,7的排列顺序有A4=24(种)，故1,3， 5,7的顺序一定的排法数只占总排法数的 4 故符合条件的七位数有24=210（个） (2)40方法一（整体法）：5个字母无限制条件的排列有 A种，由于字母A,B,C的排列顺序有A种，因此，满足条件的 A 排列有元×2=40（个）： 方法二（插空法）：若字母A,B,C的排列顺序为“A,B,C”, 将字号D,E插人这时形成的4个空中，分两类： 第一类，若字母D,E相邻，则有A4A种排法； 第二类，若字母D,E不相邻，则有A种排法. 所以不同的排到方法有A4A2+A=20(种). 同理，若字母A,B,C的排列顺序为“C,B,A”,也有20种不 同的排列方法. 因此，满足条件的排列有20+20=40（个）. 对点训练4：144先排除《沁园春·长沙》与《清平乐·六 盘山》之外的四首，有A种方法，其中《蜀道难》排在《游子吟》 前面有之兰种方法，而（沁园春·长沙）与清平乐·六盘)不相 邻且均不排在最后，有式种方法，所以后六场的排法有× =144(种). 例5：7206个人站在前、中、后三排，每排2人，分3步完 成，不同的排法有A2·A·A2=720种. 课堂检测固双基 1.B先从除甲、乙外的4人中选取1人去巴黎，再从其余5人 中选3人去伦敦、悉尼、莫斯科，共有不同选择方案A4·A= 240种. 2.B分两类：最左端排甲有A;=120种不同的排法，最左端排 乙，由于甲不能排在最右端，所以有A4A4=96种不同的排法， 由分类加法原理可得满足条件的排法共有120+96=216种. 3.A分三类：甲在周一，共有A4种排法： 甲在周二，共有A?种排法； 甲在周三，共有A2种排法： .A+A+A=20. 4.A能被5整除，则个位须为5或0，有2A:个，但其中个位是 5的含有0在首位的排法有A个，故共有(2A-A)个. 5.B解法一：画出树状图，如图， 甲 乙 甲 丙 丙丁乙丁乙丙 丙丁甲丁甲丙 丁丙丁乙丙乙 丁丙丁甲丙甲 丙 甲 甲 乙丁甲丁甲乙 乙丙甲丙甲乙 丁乙丁甲乙甲 丙乙丙甲乙甲 由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法， 其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种， 81 故所求概率P=24=3 解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1 种，共2种： 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1 种，共2种； 于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于 是共8种排法符合题意： 基本事件总数显然是A4=24, 根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率 为员-子放选围 3.1.3组合与组合数 第1课时组合与组合数 必备知识探新知 思考1：(1)取出的对象是不同的， (2)“只取不排”，即取出的m个对象与顺序无关，无序性是 组合的特征性质， 知识点二不同组合Cnn-)(n-2)··(n-m+) m m!(n-m)1 C"C+C n! 思考2：第一个性质中，若m>2,通常不直接计算C,而改 为计算Cm,这样可以减少计算量：第二个性质是根据需要将 一个组合数拆解成两个组合数或者把两个组合数合成一个组合 数，在解题中要注意灵活运用. 关键能力攻重难 例1：D组合问题与顺序无关，排列问题与顺序有关，D选 项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱，乙参加独 舞”与“乙参加独唱，甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排 列问题，不是组合问题，选D. 对点训练1：解法一：可按AB→AC→AD→BC→BD→CD的 顺序写出，即 AB C D E BC D E CD 15 .所有组合为ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE, BDE,CDE. 解法二：画出树形图，如图所示。 D ∴.所有组合为ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE, BDE.CDE. 例2：(1)D分式的分母是100！，分子是101个连续自然数 的乘积，最大的为n+100,最小的为n, 故2(n+1)(n+2)(n+100) 100! =101.n(n+1)(n+2)…(n+100) 101 =101Cim: (2)解：由组合数定义知： r0≤5-n≤n, l0≤9-n≤n+1, 所以4≤n≤5，又因为neN*, 所以n=4或5. 当n=4时，C”+Ci=C4+C=5: 当n=5时，C"+C2i=Cg+Cg=16. 对点训练2：(1)原式=C+Cm×1=8×7x6+100×99 3×2×1 2×1 56+4950=5006. (2)原方程可化为 m!(5-m)!_m!(6-m)!_7×(7-m)！mg 5！ 61 10×7! 即m!(5-m!_m!(6-m)(5-m! 5！ 6×5! =7×m!(7-m)(6-m)(5-m)！ 10×7×6×5! 1-6-m=(7-m)(6-m 6 60 即m2-23m+42=0,解得m=2或21. 而0≤m≤5，m=2. ..C9=C2=28. 例3：(1)CC4+C+C6+…+C20 =C+C好+C3+C6+…+C2m-C4 =C5+C5+…+C22m-1=… =C2m+C2m-1=C221-1. (2)2或4由Cg-1=C3得2x-1=x+3或2x-1+x+ 3=8,解得x=4或x=2 (3)由组合数的性质C+1=C:+C-1可知， 右边=(C+Cm1)+(Cm-1+C%-2) =C01+Cm=C02=左边， 右边=左边，所以原式成立 对点训练3：(1)原式=2(C9+C+C)=2(C6+C)= 26+-2 (2)由排列数和组合数公式，原方程可化为 3-7145·-4 3.,(x-3)！ (x-6)1 则4》三6即为-3)-6=0 .x2-9x-22=0, 解之可得x=11或x=-2 经检验知x=11是原方程的根，x=-2是原方程的增根， 2