4.1.3 独立性与条件概率的关系-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案课件PPT（人教B版）

第四章　概率与统计 4.1　条件概率与事件的独立性 4.1.3　独立性与条件概率的关系 课程标准：结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系． 教学重点：会判断条件概率与独立性的关系． 教学难点：用条件概率与独立性的关系求解简单的实际问题． 核心素养：通过学习事件的独立性与条件概率的关系培养数学抽象素养和逻辑推理素养． (教师独具内容) 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　事件相互独立的概念 A与B相互独立(简称为独立)的充要条件是___________________，事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生___________事件B发生的概率，事件B是否发生也____________事件A发生的概率． 知识点二　事件A与B独立的充要条件 当P(B)＞0时，事件A与B独立的充要条件是P(A|B)＝_______． P(AB)＝P(A)P(B) 不会影响 不会影响 P(A) 核心概念掌握 5 核心概念掌握 6 1．(事件独立性的判断)抛掷两枚质地均匀的硬币，设A＝“第一枚正面朝上”，B＝“第二枚反面朝上”，则事件A与事件B(　　) A．相互独立 B．互为对立事件 C．互斥 D．相等 核心概念掌握 7 (1－a)(1－b) 0.52 核心概念掌握 8 核心素养形成 核心素养形成 10 核心素养形成 11 核心素养形成 12 【感悟提升】　判断两个事件是否相互独立的方法 (1)直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件发生是否相互影响． (2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件． (3)条件概率法：当P(B)>0时，若P(A|B)＝P(A)，则事件A，B为相互独立事件． 核心素养形成 13 【跟踪训练】　 1．(多选)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．事件甲表示“第一次取出的球的数字是1”，事件乙表示“第二次取出的球的数字是2”，事件丙表示“两次取出的球的数字之和是8”，事件丁表示“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A．甲与乙相互独立 B．甲与丙相互独立 C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立 核心素养形成 14 核心素养形成 15 核心素养形成 16 核心素养形成 17 【感悟提升】　求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． 核心素养形成 18 【跟踪训练】　 2．某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是0.8，若每位面试者均有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．假设对抽到的不同题目能否答对是独立的． (1)求李明第二次答题通过面试的概率； (2)求李明最终通过面试的概率． 核心素养形成 19 核心素养形成 20 核心素养形成 21 核心素养形成 22 核心素养形成 23 核心素养形成 24 【跟踪训练】　 3．甲、乙两人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． (1)求再赛2局结束这次比赛的概率； (2)求甲获得这次比赛胜利的概率． 核心素养形成 25 解：记“第i局甲获胜”为事件Ai(i＝3，4，5)，“第j局乙获胜”为事件Bj(j＝3，4，5)． (1)记“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则 A＝A3A4∪B3B4，由于各局比赛结果相互独立，且事件A3A4与B3B4互斥，故 P(A)＝P(A3A4∪B3B4) ＝P(A3A4)＋P(B3B4) ＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4) ＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52. 所以再赛2局结束这次比赛的概率为0.52. 核心素养形成 26 (2)记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因为前两局中，甲、乙各胜1局，所以甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局， 所以B＝A3A4∪B3A4A5∪A3B4A5， 因为各局比赛结果相互独立，且事件A3A4，B3A4A5，A3B4A5两两互斥， 所以P(B)＝P(A3A4∪B3A4A5∪A3B4A5) ＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5) ＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5) ＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648. 所以甲获得这次比赛胜利的概率为0.648. 核心素养形成 27 随堂水平达标 1.袋内有质地均匀且大小相同的3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用事件A表示“第一次摸得白球”，事件B表示“第二次摸得白球”，则事件A与事件B是(　　) A．互斥事件 B．对立事件 C．相互独立事件 D．不相互独立事件 随堂水平达标 29 2．如图，甲、乙、丙表示3个开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，且它们之间互不影响，那么系统正常工作的概率为(　　) A．0.054 B．0.994 C．0.496 D．0.06 随堂水平达标 30 随堂水平达标 31 0.3 随堂水平达标 32 5．某地区人群中各种血型的人所占比例如下表所示，已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任何一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，因病需要输血，任找一个人，其血可以输给小明的概率为_____；任找两个人，则小明有血可以输的概率为_____． 解析：由于小明是B型血，所以血型为B，O的可以给小明输血，故任找一个人，其血可以输给小明的概率为30%＋40%＝0.7.小明是B型血，两个人都不可以给小明输血的概率为(1－0.7)×(1－0.7)＝0.09，所以任找两个人，则小明有血可以输的概率为1－0.09＝0.91. 0.7 0.91 血型 A B AB O 该血型的人占比 20% 30% 10% 40% 随堂水平达标 33 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 两事件独立的充要条件 相互独立事件与对立事件概率的综合计算 独立事件的判断、独立事件的乘法公式 相互独立事件与互斥事件的概率 古典概型的概率、条件概率、事件独立性的判断 相互独立事件同时发生的概率的计算 利用事件的独立性求条件概率 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 物理背景下相互独立事件与互斥事件的概率 事件独立性的判断 相互独立事件与互斥事件概率的综合计算 相互独立事件与互斥事件概率的 综合 相互独立事件同时发生的概率的计算 方程思想求事件发生的概率、相互独立事件与对立事件的综合运算 相互独立事件与互斥事件概率的综合计算 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 35 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 36 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 37 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 38 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 39 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 40 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 41 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 42 二、填空题 6．某人有8把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门．一次该人醉酒回家，每次从8把钥匙中随便拿一把开门，试用后又不加记号放回，则该人第三次打开家门的概率是________． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 43 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 44 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 45 三、解答题 9．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 46 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 47 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 48 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 49 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 50 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 51 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 52 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 53 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 54 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 55 14．为弘扬中华传统文化，某单位举行了诗词大赛，经过初赛，最终甲、乙两人进入决赛，争夺冠军．决赛规则如下：①比赛共设有五道题；②双方轮流答题，每次回答一道，两人答题的先后顺序通过抽签决定；③若答对，自己得1分，若答错，则对方得1分；④先得3分者获胜．已知甲、乙各参加了三场初赛，答题情况统计如下表： 以甲、乙初赛三场答题的平均正确率作为他们决赛答题正确的概率，且他们每次答题的结果相互独立． (1)若甲先答题，求甲以3∶0获得冠军的概率； (2)若甲先答题，求甲获得冠军的概率． 第一场 第二场 第三场 甲 8对2错 7对3错 9对1错 乙 7对3错 10对0错 8对2错 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 56 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 57 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 58 　　　　　　　　　　　　　 R [点拨]　(1)若事件A与B相互独立，则A与eq \o(B,\s\up16(－))，eq \o(A,\s\up16(－))与B，eq \o(A,\s\up16(－))与eq \o(B,\s\up16(－))也相互独立． (2)若A，B为相互独立事件，则P(AB)＝P(A)P(B)，该性质可推广为：若A1，A2，A3，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于各个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． (3)P(AB)＝P(A)P(B)使用的前提是A，B为相互独立事件，也就是说，只有相互独立的两个事件同时发生的概率才等于这两个事件发生的概率的积． 2．(独立事件的概率公式)已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,3)，则P(Aeq \o(B,\s\up16(－)))＝________，P(eq \o(A,\s\up16(－))|eq \o(B,\s\up16(－)))＝________． 3．(求相互独立事件的概率)一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则该产品的正品率为______________． 4．(相互独立事件与互斥事件的综合)在某项竞赛活动中，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为0.4和0.6，且两人是否获得一等奖相互独立，则两人中恰有一人获得一等奖的概率是________． eq \f(1,6) eq \f(1,2) 题型一　事件独立性的判断 例1　判断下列各对事件是不是相互独立事件： (1)P(A|B)＝0.6，P(eq \o(A,\s\up16(－)))＝0.4，事件A与B； (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的是白球”； (3)掷一个骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”； (4)从一副不含大小王的扑克牌(52张)中任抽一张，“抽得K”与“抽得红牌”． 解　(1)因为P(A)＝1－P(eq \o(A,\s\up16(－)))＝0.6＝P(A|B)，所以事件A与B是相互独立事件． (2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为eq \f(5,8)，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为eq \f(4,7)，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为eq \f(5,7).可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件． (3)记事件A为“出现偶数点”，事件B为“出现3点或6点”，则A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}，所以P(A)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，P(AB)＝eq \f(1,6)，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B是相互独立事件． (4)记事件A为“抽得K”，事件B为“抽得红牌”，因为52张牌中有4张K，所以P(A)＝eq \f(4,52)＝eq \f(1,13)，红牌有26张，红K有2张，所以在抽得红牌的条件下抽得K的概率为P(A|B)＝eq \f(2,26)＝eq \f(1,13)＝P(A)，所以事件A与B是相互独立事件． 解析：事件甲发生的概率P(甲)＝eq \f(1,6)，事件乙发生的概率P(乙)＝eq \f(1,6)，事件丙发生的概率P(丙)＝eq \f(5,6×6)＝eq \f(5,36)，事件丁发生的概率P(丁)＝eq \f(6,6×6)＝eq \f(1,6).对于A，解法一：因为是有放回地取球，所以事件甲的发生不会影响事件乙发生的概率，即事件甲与事件乙相互独立．解法二：因为P(甲)＝eq \f(1,6)，P(乙)＝eq \f(1,6)，P(乙|甲)＝eq \f(1,6)，所以事件甲与事件乙相互独立，故A正确；对于B，因为事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，所以事件甲与事件丙不相互独立，故B错误；对于C，因为事件甲与事件丁同时发生的概率为P(甲丁)＝eq \f(1,6×6)＝eq \f(1,36)＝P(甲)P(丁)，所以事件甲与事件丁相互独立，故C正确；对于D，因为事件乙与事件丙同时发生的概率为P(乙丙)＝eq \f(1,6×6)＝eq \f(1,36)≠P(乙)·P(丙)，所以事件乙与事件丙不相互独立，故D错误．故选AC. 题型二　相互独立事件同时发生的概率的计算 例2　已知A，B，C三个独立的医疗科研机构在一定的时期内能研制出某种疫苗的概率分别是eq \f(1,5)，eq \f(1,4)，eq \f(1,3).求： (1)它们都研制出疫苗的概率； (2)它们都失败的概率； (3)只有A机构研制出疫苗的概率． 解　令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的医疗科研机构在一定时期内成功研制出疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝eq \f(1,5)，P(B)＝eq \f(1,4)，P(C)＝eq \f(1,3). (1)它们都研制出疫苗，即事件A，B，C同时发生，故P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq \f(1,5)×eq \f(1,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,60). (2)它们都失败，即事件eq \o(A,\s\up16(－))，eq \o(B,\s\up16(－))，eq \o(C,\s\up16(－))同时发生，故P(eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)) eq \o(C,\s\up16(－)))＝P(eq \o(A,\s\up16(－)))P(eq \o(B,\s\up16(－)))P(eq \o(C,\s\up16(－)))＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq \f(4,5)×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,5). (3)只有A机构研制出疫苗即事件A，eq \o(B,\s\up16(－))，eq \o(C,\s\up16(－))同时发生，故P(Aeq \o(B,\s\up16(－)) eq \o(C,\s\up16(－)))＝P(A)P(eq \o(B,\s\up16(－)))P(eq \o(C,\s\up16(－)))＝eq \f(1,5)×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,10). 解：(1)设李明“第二次答题通过面试”为事件A， 所以P(A)＝(1－0.8)×0.8＝0.16. (2)设“李明最终通过面试”为事件B，其对立事件为“3道题都没答对”， 所以P(B)＝1－P(eq \o(B,\s\up16(－)))＝1－(1－0.8)3＝0.992. 题型三　相互独立事件与互斥事件概率的综合 例3　甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是eq \f(2,3)和eq \f(3,4).假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响． (1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率； (2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率； (3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标则会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率． 解　(1)记事件A表示“甲射击一次击中目标”，事件B表示“乙射击一次击中目标”． 依题意知，事件A与事件B相互独立， 所以甲、乙各射击一次均击中目标的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(1,2). (2)记事件Ai表示“甲第i次射击击中目标(其中i＝1，2，3，4)”，事件C表示“甲射击4次，恰有3次连续击中目标”，则C＝A1A2A3eq \o(A,\s\up16(－))4∪eq \o(A,\s\up16(－))1A2A3A4，且A1A2A3eq \o(A,\s\up16(－))4与eq \o(A,\s\up16(－))1A2A3A4是互斥事件． 因为A1，A2，A3，A4之间相互独立， 所以Ai与eq \o(A,\s\up16(－))j(i，j＝1，2，3，4，且i≠j)之间也相互独立． 因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝eq \f(2,3)， 所以P(C)＝P(A1A2A3eq \o(A,\s\up16(－))4∪eq \o(A,\s\up16(－))1A2A3A4) ＝P(A1)P(A2)P(A3)P(eq \o(A,\s\up16(－))4) ＋P(eq \o(A,\s\up16(－))1)P(A2)P(A3)P(A4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(3)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(3)＝eq \f(16,81). (3)记事件Bi表示“乙第i次射击击中目标(其中i＝1，2，3，4)”，事件D表示“乙在第4次射击后被终止射击”， 则D＝B1B2eq \o(B,\s\up16(－))3eq \o(B,\s\up16(－))4∪eq \o(B,\s\up16(－))1B2eq \o(B,\s\up16(－))3eq \o(B,\s\up16(－))4， 且B1B2eq \o(B,\s\up16(－))3eq \o(B,\s\up16(－))4与eq \o(B,\s\up16(－))1B2eq \o(B,\s\up16(－))3eq \o(B,\s\up16(－))4是互斥事件． 因为B1，B2，B3，B4之间相互独立， 所以Bi与eq \o(B,\s\up16(－))j(i，j＝1，2，3，4，且i≠j)之间也相互独立． 因为P(Bi)＝eq \f(3,4)(i＝1，2，3，4)， 所以P(D)＝P(B1B2eq \o(B,\s\up16(－))3eq \o(B,\s\up16(－))4∪eq \o(B,\s\up16(－))1B2eq \o(B,\s\up16(－))3eq \o(B,\s\up16(－))4)＝P(B1B2eq \o(B,\s\up16(－))3eq \o(B,\s\up16(－))4)＋P(eq \o(B,\s\up16(－))1B2eq \o(B,\s\up16(－))3eq \o(B,\s\up16(－))4) ＝P(B1)P(B2)P(eq \o(B,\s\up16(－))3)P(eq \o(B,\s\up16(－))4)＋P(eq \o(B,\s\up16(－))1)P(B2)P(eq \o(B,\s\up16(－))3)P(eq \o(B,\s\up16(－))4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up12(3)＝eq \f(3,64). 【感悟提升】　常见事件与概率间的关系 已知两个相互独立事件A，B，它们发生的概率分别为P(A)，P(B)．将A，B中至少有一个发生记为事件A∪B，都发生记为事件AB，都不发生记为事件eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－))，恰有一个发生记为事件Aeq \o(B,\s\up16(－))∪eq \o(A,\s\up16(－))B，至多有一个发生记为事件eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－))∪eq \o(A,\s\up16(－))B∪Aeq \o(B,\s\up16(－))，为方便同学们记忆，我们用表格的形式将其展示出来． 概率 A与B相互独立 P(A∪B) 1－P(eq \o(A,\s\up16(－)))P(eq \o(B,\s\up16(－))) P(AB) P(A)P(B) P(eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－))) P(eq \o(A,\s\up16(－)))P(eq \o(B,\s\up16(－))) P(Aeq \o(B,\s\up16(－))∪eq \o(A,\s\up16(－))B) P(A)P(eq \o(B,\s\up16(－)))＋P(eq \o(A,\s\up16(－)))P(B) P(eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－))∪eq \o(A,\s\up16(－))B∪Aeq \o(B,\s\up16(－))) 1－P(A)P(B) 解析：依题意，有放回地摸球，事件A与事件B可以同时发生，所以事件A与事件B不互斥，更不对立，A，B错误；显然P(A)＝P(B)＝eq \f(3,5)，P(AB)＝eq \f(3×3,5×5)＝eq \f(3,5)×eq \f(3,5)＝P(A)P(B)，所以事件A与事件B是相互独立事件，C正确，D错误．故选C. 解析：记三个开关正常工作分别为事件A，B，C，则P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.7.三个开关同时出现故障的事件为eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)) eq \o(C,\s\up16(－))，则系统正常工作的概率为P＝1－P(eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)) eq \o(C,\s\up16(－)))＝1－P(eq \o(A,\s\up16(－)))·P(eq \o(B,\s\up16(－)))P(eq \o(C,\s\up16(－)))＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994. 3．公共汽车上有3名乘客，在沿途的4个车站随机下车，3名乘客下车互不影响，则恰有2名乘客在第4个车站下车的概率是(　　) A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,9) C.eq \f(3,64) D.eq \f(9,64) 解析：由题意，得每名乘客在某个车站下车的概率为eq \f(1,4)，则恰有2名乘客在第4个车站下车的概率为3×eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up12(2)＝eq \f(9,64).故选D. 4．已知事件A与事件B相互独立，P(B|A)＝0.4，P(A)＝0.5，则P(Aeq \o(B,\s\up16(－)))＝________． 解析：由事件A与事件B相互独立，得A与eq \o(B,\s\up16(－))相互独立，则P(B|A)＝P(B)＝0.4，得P(Aeq \o(B,\s\up16(－)))＝P(A)P(eq \o(B,\s\up16(－)))＝0.5×(1－0.4)＝0.3. 一、选择题 1．已知事件A与B独立，且P(AB)＝eq \f(1,8)，P(B)＝eq \f(1,3)，则P(eq \o(A,\s\up16(－))|B)＝(　　) A.eq \f(3,8) B.eq \f(5,8) C.eq \f(1,4) D.eq \f(2,3) 解析：∵事件A与B独立，∴P(AB)＝P(A)·P(B)，且事件eq \o(A,\s\up16(－))与B也独立，∴P(A)＝eq \f(3,8)，P(eq \o(A,\s\up16(－))|B)＝P(eq \o(A,\s\up16(－)))＝eq \f(5,8).故选B. 2．甲射击手射击一次击中靶心的概率为eq \f(1,3)，乙射击手射击一次击中靶心的概率为eq \f(1,2)，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响．若甲、乙两人各射击一次，则甲、乙不全击中靶心的概率为(　　) A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(5,6) 解析：设“甲、乙两人都击中靶心”为事件A，则P(A)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6)，则甲、乙不全击中靶心的概率为P(eq \o(A,\s\up16(－)))＝1－P(A)＝eq \f(5,6).故选D. 3．已知样本空间Ω＝{a，b，c，d}含有等可能的样本点，且A＝{a，b}，B＝{b，c}，则P(Aeq \o(B,\s\up16(－)))＝(　　) A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C.eq \f(3,4) D．1 解析：由题意，P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(1,2)，P(AB)＝eq \f(1,4)，∴P(AB)＝P(A)P(B)，∴事件A与B相互独立，则A与eq \o(B,\s\up16(－))也相互独立，∴P(Aeq \o(B,\s\up16(－)))＝P(A)P(eq \o(B,\s\up16(－)))＝P(A)[1－P(B)]＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4).故选A. 4．在荷花池中，有一只青蛙在呈“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃互不影响，均从一片跳到另一片)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A片上，则跳三次之后停在A片上的概率是(　　) A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,9) C.eq \f(4,9) D.eq \f(8,27) 解析：由题意知，逆时针方向跳的概率为eq \f(2,3)，顺时针方向跳的概率为eq \f(1,3)，青蛙跳三次要回到A片上有两条途径：第一条，按A→B→C→A，P1＝eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(8,27)；第二条，按A→C→B→A，P2＝eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,27)，所以跳三次之后停在A片上的概率为P1＋P2＝eq \f(8,27)＋eq \f(1,27)＝eq \f(1,3). 5．(多选)某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的晋级情况进行了统计，如下表： 晋级成功 晋级失败 男 16 24 女 18 42 从这100人中随机抽取1人，则下列说法正确的是(　　) A．抽取的这1人晋级成功的概率为eq \f(17,50) B．抽取的这1人为女生的概率为eq \f(3,5) C．抽取的这1人晋级失败且为男生的概率为eq \f(6,25) D．“是否晋级成功”与“性别”相互独立 解析：设事件A为“抽取的这1人晋级成功”，事件B为“抽取的这1人为女生”，则P(A)＝eq \f(16＋18,100)＝eq \f(17,50)，A正确；P(B)＝eq \f(18＋42,100)＝eq \f(3,5)，B正确；抽取的这1人晋级失败且为男生的概率为eq \f(24,100)＝eq \f(6,25)，C正确；在晋级成功的条件下，该人为女生的概率P(B|A)＝eq \f(18,16＋18)＝eq \f(9,17)，由P(B|A)≠P(B)，得“是否晋级成功”与“性别”不相互独立，D错误．故选ABC. 解析：由已知，知该人每次打开家门的概率为eq \f(1,8)，则该人第三次打开家门的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,8)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,8)))×eq \f(1,8)＝eq \f(49,512). eq \f(49,512) 7．已知事件A与B相互独立，且P(eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)))＝eq \f(1,9)，P(Aeq \o(B,\s\up16(－)))＝P(eq \o(A,\s\up16(－))B)，则P(A|B)＝________． 解析：∵事件A与B相互独立，∴事件eq \o(A,\s\up16(－))与eq \o(B,\s\up16(－))，A与eq \o(B,\s\up16(－))，eq \o(A,\s\up16(－))与B也相互独立，且P(eq \o(A,\s\up16(－)))＝1－P(A)，P(eq \o(B,\s\up16(－)))＝1－P(B)．∵P(Aeq \o(B,\s\up16(－)))＝P(eq \o(A,\s\up16(－))B)，∴P(A)P(eq \o(B,\s\up16(－)))＝P(eq \o(A,\s\up16(－)))P(B)，即P(A)[1－P(B)]＝[1－P(A)]P(B)，∴P(A)＝P(B)．∵P(eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)))＝P(eq \o(A,\s\up16(－)))P(eq \o(B,\s\up16(－)))＝[1－P(A)][1－P(B)]＝[1－P(A)]2＝eq \f(1,9)，∴P(A)＝eq \f(2,3)，∴P(A|B)＝P(A)＝eq \f(2,3). eq \f(2,3) 8．如图，已知电路中有5个开关，开关S5闭合的概率为eq \f(1,3)，其他开关闭合的概率都是eq \f(1,2)，且是相互独立的，则灯亮的概率为________． 解析：根据串、并联电路，得灯亮有以下情况： ①S5闭合，P1＝eq \f(1,3)；②S5断开，S1，S2均闭合，P2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6)；③S5断开，S1，S2至少一个断开，S3，S4至少一个闭合，P3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)×\f(1,2)))×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))))＝eq \f(3,8)，所以灯亮的概率P＝P1＋P2＋P3＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)＋eq \f(3,8)＝eq \f(7,8). eq \f(7,8) 解：(1)有两个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，包含4个样本点，由等可能性知，每个样本点发生的概率均为eq \f(1,4). 这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB＝{(男，女)，(女，男)}， 于是P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(3,4)，P(AB)＝eq \f(1,2). 由此可知P(AB)≠P(A)P(B)， 所以事件A与B不相互独立． (2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，包含8个样本点，由等可能性知，每个样本点发生的概率均为eq \f(1,8).这时A包含6个样本点，B包含4个样本点，AB包含3个样本点． 于是P(A)＝eq \f(6,8)＝eq \f(3,4)，P(B)＝eq \f(4,8)＝eq \f(1,2)，P(AB)＝eq \f(3,8)， 因为P(AB)＝P(A)P(B)成立， 所以事件A与B是相互独立的． 10．已知A，B，C，D四名选手参加某项比赛，其中A，B为种子选手，C，D为非种子选手．若种子选手对战非种子选手，则种子选手获胜的概率为eq \f(3,4)；若种子选手之间对战，则双方获胜的概率均为eq \f(1,2)；若非种子选手之间对战，则双方获胜的概率也均为eq \f(1,2).比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军. (1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排共有多少种不同的方案？ (2)选手A与选手B相遇的概率为多少？ 解：(1)第一轮选手的对战情况分别为{AB，CD}，{AC，BD}，{AD，BC}，故共有3种不同的方案． (2)设事件M为“选手A与选手B相遇”， 当第一轮对战方案为{AB，CD}时，两选手相遇的概率为1； 当第一轮对战方案为{AC，BD}时，两选手相遇的概率为eq \f(3,4)×eq \f(3,4)＝eq \f(9,16)； 当第一轮对战方案为{AD，BC}时，两选手相遇的概率为eq \f(3,4)×eq \f(3,4)＝eq \f(9,16). 抽到三种对战方案的概率均为eq \f(1,3)，则P(M)＝eq \f(1,3)×1＋eq \f(1,3)×eq \f(9,16)＋eq \f(1,3)×eq \f(9,16)＝eq \f(17,24). 综上可知，选手A与选手B相遇的概率为eq \f(17,24). 11．若事件A与B相互独立，且P(AB)＝eq \f(2,9)，P(A∪B)＝eq \f(7,9)，P(A)<P(B)，则P(A)＝(　　) A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,9) D.eq \f(2,9) 解析：因为事件A与B相互独立，所以P(AB)＝eq \f(2,9)＝P(A)P(B)，由P(A∪B)＝1－P(eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)))＝eq \f(7,9)，得P(eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)))＝P(eq \o(A,\s\up16(－)))P(eq \o(B,\s\up16(－)))＝eq \f(2,9)，所以[1－P(A)][1－P(B)]＝eq \f(2,9)，即P(A)＋P(B)＝1，又P(A)<P(B)，所以P(A)＝eq \f(1,3)，P(B)＝eq \f(2,3). 12．“五道方”是一种民间棋类游戏，甲、乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛．若每场比赛，甲胜的概率为eq \f(1,3)，乙胜的概率为eq \f(2,3)，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为________． 解析：因为约定连胜两场者赢得比赛，所以比赛6场后甲赢得比赛的情况为第一场甲胜、第二场乙胜、第三场甲胜、第四场乙胜、第五场甲胜、第六场甲胜，所以所求概率为eq \f(1,3)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(4,729). eq \f(4,729) 13．甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为eq \f(1,4)，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为eq \f(1,12)，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为eq \f(2,9). (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率； (2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，求至少有一个一等品的概率． 解：(1)记事件A，B，C分别表示甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品． 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（A\o(B,\s\up16(－))）＝\f(1,4)，,P（B\o(C,\s\up16(－))）＝\f(1,12)，,P（AC）＝\f(2,9)，))则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（A）[1－P（B）]＝\f(1,4)，　①,P（B）[1－P（C）]＝\f(1,12)， ②,P（A）P（C）＝\f(2,9). ③)) 由①③得P(B)＝1－eq \f(9,8)P(C)，④ 代入②，得27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0， 解得P(C)＝eq \f(2,3)或P(C)＝eq \f(11,9)(舍去)． 将P(C)＝eq \f(2,3)代入④，得P(B)＝eq \f(1,4)， 将P(B)＝eq \f(1,4)代入①，得P(A)＝eq \f(1,3). 故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，eq \f(2,3). (2)记事件D表示“从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，其中至少有一个一等品”， 则P(D)＝1－P(eq \o(D,\s\up16(－)))＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－eq \f(2,3)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(5,6). 故从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，至少有一个一等品的概率为eq \f(5,6). 解：(1)甲的平均正确率为eq \f(4,5)，乙的平均正确率为eq \f(5,6). 设事件A为“甲答题正确”，事件B为“乙答题正确”， 则P(A)＝eq \f(4,5)，P(B)＝eq \f(5,6)， 设事件C为“甲以3∶0获得冠军”， 则P(C)＝P(A)[1－P(B)]P(A)＝eq \f(4,5)×eq \f(1,6)×eq \f(4,5)＝eq \f(8,75)， 即若甲先答题，则甲以3∶0获得冠军的概率为eq \f(8,75). (2)由(1)知，甲以3∶0获得冠军的概率为eq \f(8,75)， 甲以3∶1获得冠军的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)×\f(1,6)×\f(4,5)＋\f(4,5)×\f(5,6)×\f(4,5)＋\f(4,5)×\f(1,6)×\f(1,5)))×eq \f(1,6)＝eq \f(22,225)， 甲以3∶2获得冠军的概率为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)×\f(1,6)×\f(1,5)×\f(5,6)＋\f(4,5)×\f(5,6)×\f(4,5)×\f(5,6)＋\f(4,5)×\f(5,6)×\f(1,5)×\f(1,6)＋\f(1,5)×\f(1,6)×\f(4,5)×\f(5,6)＋\f(1,5)×\f(1,6)×\f(1,5)×\f(1,6)＋\f(1,5)×\f(5,6)×\f(4,5)×\f(1,6)))×eq \f(4,5)＝eq \f(481,1125)， 所以甲获得冠军的概率为eq \f(8,75)＋eq \f(22,225)＋eq \f(481,1125)＝eq \f(79,125). $