4.4 数学归纳法-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦“数学归纳法”，系统讲解其原理、两步关系及应用，课堂导入从数列中与正整数n有关的命题切入，衔接前期递推知识，以“归纳奠基-归纳递推”为支架，帮助学生构建证明思路。 其亮点是题型分层（恒等式、不等式、整除等），结合逻辑推理与数学运算素养，如证明整除问题时通过添项变形强化归纳假设使用，实例规范且含感悟提升。学生能提升推理能力，教师可直接用系统资源提高教学效率。

第四章　数列 4.4　数学归纳法 课程标准：1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题． 教学重点：数学归纳法及其应用． 教学难点：对数学归纳法原理的理解． 核心素养：通过利用数学归纳法证明与正整数n有关的数学命题，发展逻辑推理素养和数学运算素养． (教师独具内容) 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“_________________________________”为条件，推出“当_________时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法． [提醒]　第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n＝1，有时需验证n＝2，n＝3. 当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立 n＝k＋1 核心概念掌握 5 知识点二　数学归纳法中的两个步骤之间的关系 记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1)P(n0)为真；(2)若__________________为真，则_________也为真． 结论：P(n)为真． 在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题_______为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题： _____________________________． 完成这两步，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……从而完成证明． P(k)(k∈N*，k≥n0) P(k＋1) P(n0) 若P(k)为真，则P(k＋1)也为真 核心概念掌握 6 1．(数学归纳法的第二步)数学归纳法证明中，在验证了n＝1时命题正确，假定n＝k时命题正确，此时k的取值范围是(　　) A．k∈N B．k>1，k∈N* C．k∈N* D．k>2，k∈N* 核心概念掌握 7 核心概念掌握 8 3．(数学归纳法的第一步)用数学归纳法证明：“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，n∈N*”时，若n＝1，则左端应为________． 1×4 核心概念掌握 9 核心素养形成 核心素养形成 11 核心素养形成 12 【感悟提升】利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设． 核心素养形成 13 核心素养形成 14 核心素养形成 15 题型二　利用数学归纳法证明不等式　 　 (1)证明：2n＋2>n2，n∈N*. 证明　①当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，左边>右边； 当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4， 所以左边>右边； 当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9， 所以左边>右边． 因此当n＝1，2，3时，不等式成立． 核心素养形成 16 ②假设当n＝k(k≥3，且k∈N*)时，不等式2k＋2>k2成立． 则当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2×2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)， 由于k≥3，则k－3≥0，k＋1>0，所以(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 所以2k＋1＋2>(k＋1)2. 故当n＝k＋1时，原不等式也成立． 由①②知，原不等式对任意n∈N*都成立． 核心素养形成 17 核心素养形成 18 核心素养形成 19 【感悟提升】数学归纳法证明不等式的技巧 (1)证明不等式时，由n＝k到n＝k＋1时的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n＝k时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一． (2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程． 核心素养形成 20 核心素养形成 21 核心素养形成 22 核心素养形成 23 核心素养形成 24 题型三　利用数学归纳法证明整除问题　 　 求证：x2n－y2n(x，y，n∈N*)能被x＋y整除． 证明　①当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，能被x＋y整除． ②假设当n＝k(k∈N*)时，x2k－y2k能被x＋y整除， 则当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2＝x2x2k－x2y2k＋x2y2k－y2y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)． ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除， 即当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除． 由①②可知，对任意的正整数n，命题均成立． 核心素养形成 25 【感悟提升】利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式，这就往往要涉及到“添项”与“减项”等变形技巧．例如，在本例中，对x2k＋2－y2k＋2进行拼凑，即减去x2y2k再加上x2y2k，然后重新组合，目的是拼凑出n＝k时的归纳假设，剩余部分仍能被x＋y整除． 核心素养形成 26 【跟踪训练】 3．利用数学归纳法证明：(3n＋1)×7n－1(n∈N*)能被9整除． 证明：①当n＝1时，(3×1＋1)×71－1＝27， 能被9整除，所以命题成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立， 即(3k＋1)×7k－1能被9整除． 那么当n＝k＋1时， [3(k＋1)＋1]×7k＋1－1＝(3k＋4)×7k＋1－1 ＝(3k＋1)×7k＋1－1＋3×7k＋1 核心素养形成 27 ＝[(3k＋1)×7k－1]＋3×7k＋1＋6(3k＋1)×7k ＝[(3k＋1)×7k－1]＋7k(21＋6×3k＋6) ＝[(3k＋1)×7k－1]＋9×7k(2k＋3)． 由归纳假设知，(3k＋1)×7k－1能被9整除， 而9×7k(2k＋3)也能被9整除， 故[3(k＋1)＋1]×7k＋1－1能被9整除． 这就是说，当n＝k＋1时，命题也成立． 由①②知，对任意n∈N*，(3n＋1)×7n－1能被9整除． 核心素养形成 28 核心素养形成 29 核心素养形成 30 【感悟提升】观察、归纳、猜想、证明是一个完整的思维过程，既需要探求和发现结论，又需要证明所得结论的正确性，是一种十分重要的思维方法．观察特殊事例时要细，要注意所研讨特殊事例的特征及相互关系，关系不明时应适当变形，由观察、归纳、猜想得到的结论，可能是正确的，也可能是错误的，需要用数学归纳法证明． 核心素养形成 31 核心素养形成 32 核心素养形成 33 (2)数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n－an，n∈N*. ①求a1，a2，a3，a4； ②猜想an，并用数学归纳法证明． 核心素养形成 34 核心素养形成 35 随堂水平达标 随堂水平达标 1 2 3 4 5 37 解析：因为已假设当n＝k(k≥2)为偶数时命题为真，所以n只能取偶数，故还需要证明当n＝k＋2时等式成立．故选B. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 38 3．用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为(　　) A．5(5k－2k)＋3×2k B．(5k－2k)＋4×5k－2k C．(5－2)(5k－2k) D．2(5k－2k)－3×5k 解析：假设当n＝k时命题成立，即5k－2k能被3整除．当n＝k＋1时，5k＋1－2k＋1＝5×5k－2×2k＝5(5k－2k)＋5×2k－2×2k＝5(5k－2k)＋3×2k.故选A. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 39 4．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是________． 2(2k＋1) 随堂水平达标 1 2 3 4 5 40 n＋1 随堂水平达标 1 2 3 4 5 41 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 数学归纳法的第一步 数学归纳法中各步表达式的写法 数学归纳法中的第二步 数学归纳法第二步中的变形方法 数学归纳法的步骤判断 数学归纳法第一步的写法 数学归纳法中的第二步 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 43 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 由递推关系写出数列的前几项；归纳、猜想数列的通项 公式 用数学归纳法证明等式 由递推关系写出数列的前几项；猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明 利用数学归纳法证明不等式 归纳、猜想函数表达式 用数学归纳法证明整除问题 由an，Sn之间的关系求数列的前几项；猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 44 一、选择题 1．用数学归纳法证明“n边形内角和定理：f(n)＝(n－2)·180°”时，第一步应验证(　　) A．当n＝1时成立 B．当n＝2时成立 C．当n＝3时成立 D．当n＝4时成立 解析： ∵多边形的边数最少是3，即三角形，∴第一步应验证当n＝3时成立．故选C. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 45 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 46 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 47 解析： ∵当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.故选D. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 48 4．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证当n＝k＋1时的情况，只需展开(　　) A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3 解析：假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，得(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋9k2＋27k＋27＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9(k2＋3k＋3)，即可证明．故选A. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 49 解析：从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 50 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 51 7．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步假设当n＝k时，等式成立，则当n＝k＋1时应得到___________________________． 解析：∵当n＝k时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”，∴当n＝k＋1时为使用归纳假设，应写成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1. 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 52 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 53 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 54 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 55 10．在数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝2an＋n2－2n－1. (1)求a2，a3，a4，a5，并猜想{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想． 解：(1)由题意可得a2＝2a1－2＝0， 同理可得a3＝2a2－1＝－1， a4＝2a3＋2＝0，a5＝2a4＋7＝7， 因为a1＝2－1，a2＝22－22，a3＝23－32，a4＝24－42，a5＝25－52. 所以猜想an＝2n－n2. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 56 (2)证明：①当n＝1时，a1＝21－12＝1，猜想成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时成立，即ak＝2k－k2. 则当n＝k＋1时，ak＋1＝2ak＋k2－2k－1＝2(2k－k2)＋k2－2k－1＝2k＋1－(k＋1)2. 所以当n＝k＋1时，猜想也成立． 由①②可知，猜想成立，即an＝2n－n2. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 57 11．(多选)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么下列说法正确的是(　　) A．若f(3)≥9成立，则当k≥3时，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，则当k≥5时，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)<k2成立 D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 58 解析：对于A，若f(3)≥9成立，由题意可得，当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A正确；对于B，若f(5)≥25成立，则当k≥5时，均有f(k)≥k2成立，故B正确；对于C，因为f(7)<49不满足题设条件，故不能得出相应结论，故C不正确；对于D，若f(4)＝25>16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立，故D正确．故选ABD. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 59 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 60 13．求证：对任意正整数n，34n＋2＋52n＋1能被14整除． 证明：①当n＝1时， 34n＋2＋52n＋1＝36＋53＝854＝14×61， 能被14整除，命题成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立， 即34k＋2＋52k＋1能被14整除， 那么当n＝k＋1时， 34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝34k＋2×34＋52k＋1×52 ＝34k＋2×34＋52k＋1×34－52k＋1×34＋52k＋1×52 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 61 ＝34(34k＋2＋52k＋1)－52k＋1(34－52) ＝34(34k＋2＋52k＋1)－56×52k＋1， 因为34k＋2＋52k＋1能被14整除，56也能被14整除， 所以34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1能被14整除， 故当n＝k＋1时，命题成立． 由①②知，对任意正整数n，34n＋2＋52n＋1能被14整除． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 62 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 63 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 64 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 65 　　　　　　　　　　　　　 R 2．(数学归纳法中第二步的递推关系)用数学归纳法证明eq \f(1,n)＋eq \f(1,n＋1)＋…＋eq \f(1,2n)<1(n∈N*，n≥2)时，从n＝k到n＝k＋1，不等式左边需添加的项是(　　) A.eq \f(1,2k＋1)＋eq \f(1,2(k＋1))－eq \f(1,k) B.eq \f(1,2k＋1)＋eq \f(1,2(k＋1)) C.eq \f(1,2k＋1)－eq \f(1,k) D.eq \f(1,2(k＋1)) 题型一　利用数学归纳法证明恒等式　 　证明：当n≥2，n∈N*时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,16)))…eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n2)))＝eq \f(n＋1,2n). 证明　①当n＝2时，左边＝1－eq \f(1,4)＝eq \f(3,4)， 右边＝eq \f(2＋1,2×2)＝eq \f(3,4). ∴当n＝2时，等式成立． ②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立， 即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,16)))…eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,k2)))＝eq \f(k＋1,2k). 则当n＝k＋1时， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9)))…eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,k2))) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,(k＋1)2))) ＝eq \f(k＋1,2k) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,(k＋1)2)))＝eq \f(k＋1,2k)·eq \f(k(k＋2),(k＋1)2) ＝eq \f(k＋2,2(k＋1))＝eq \f((k＋1)＋1,2(k＋1))， ∴当n＝k＋1时，等式也成立． 由①②知，对任意n≥2，n∈N*，等式成立． 【跟踪训练】 1．求证：1＋eq \f(1,1＋2)＋eq \f(1,1＋2＋3)＋…＋eq \f(1,1＋2＋3＋…＋n)＝eq \f(2n,n＋1)(n∈N*)． 证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝eq \f(2×1,1＋1)＝1， 所以左边＝右边，等式成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立， 即1＋eq \f(1,1＋2)＋eq \f(1,1＋2＋3)＋…＋eq \f(1,1＋2＋3＋…＋k)＝eq \f(2k,k＋1). 则当n＝k＋1时，1＋eq \f(1,1＋2)＋eq \f(1,1＋2＋3)＋…＋ eq \f(1,1＋2＋3＋…＋k)＋eq \f(1,1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)) ＝eq \f(2k,k＋1)＋eq \f(1,1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)) ＝eq \f(2k,k＋1)＋eq \f(2,(k＋1)(k＋2))＝eq \f(2(k＋1)2,(k＋1)(k＋2)) ＝eq \f(2(k＋1),(k＋1)＋1). 这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立． 由①②可知，对任意n∈N*，等式成立． (2)用数学归纳法证明：eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,3n＋1)>1(n∈N*)． 证明　①当n＝1时，左边＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＝eq \f(13,12)>1，左边>右边，不等式成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立， 即eq \f(1,k＋1)＋eq \f(1,k＋2)＋…＋eq \f(1,3k＋1)>1， 则当n＝k＋1时，左边＝eq \f(1,k＋2)＋…＋eq \f(1,3k＋1)＋eq \f(1,3k＋2)＋eq \f(1,3(k＋1))＋eq \f(1,3(k＋1)＋1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k＋1)＋\f(1,k＋2)＋…＋\f(1,3k＋1)))－eq \f(1,k＋1)＋eq \f(1,3k＋2)＋eq \f(1,3(k＋1))＋eq \f(1,3(k＋1)＋1)>1＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3k＋2)＋\f(1,3k＋4)－\f(2,3(k＋1))))＝1＋eq \f(6(k＋1),9k2＋18k＋8)－eq \f(6(k＋1),9k2＋18k＋9)>1， 即当n＝k＋1时，不等式也成立． 由①②可知，原不等式对任意n∈N*都成立． 【跟踪训练】 2．(1)用数学归纳法证明：eq \r(1×2)＋eq \r(2×3)＋…＋eq \r(n(n＋1))<eq \f(n(n＋2),2)，n∈N*. 证明：①当n＝1时，左边＝eq \r(2)， 右边＝eq \f(1×(1＋2),2)＝eq \f(3,2)，命题成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立， 即eq \r(1×2)＋eq \r(2×3)＋…＋eq \r(k(k＋1))<eq \f(k(k＋2),2)， 则当n＝k＋1时， eq \r(1×2)＋eq \r(2×3)＋…＋eq \r(k(k＋1))＋eq \r((k＋1)(k＋2))<eq \f(k(k＋2),2)＋eq \r((k＋1)(k＋2))<eq \f(k(k＋2),2)＋eq \f((k＋1)＋(k＋2),2)＝eq \f(k2＋4k＋3,2)＝eq \f((k＋1)(k＋3),2)＝eq \f((k＋1)[(k＋1)＋2],2)， 所以当n＝k＋1时，命题成立． 综上，eq \r(1×2)＋eq \r(2×3)＋…＋eq \r(n(n＋1))<eq \f(n(n＋2),2)，n∈N*. (2)证明：1＋eq \f(1,\r(2))＋eq \f(1,\r(3))＋…＋eq \f(1,\r(n))>2(eq \r(n＋1)－1)，n∈N*. 证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝2×(eq \r(2)－1)． 左边>右边，结论成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立， 即1＋eq \f(1,\r(2))＋eq \f(1,\r(3))＋…＋eq \f(1,\r(k))>2(eq \r(k＋1)－1)． 则当n＝k＋1时，1＋eq \f(1,\r(2))＋eq \f(1,\r(3))＋…＋eq \f(1,\r(k))＋eq \f(1,\r(k＋1)) >2(eq \r(k＋1)－1)＋eq \f(1,\r(k＋1))＝2eq \r(k＋1)＋eq \f(1,\r(k＋1))－2. 所以下面证明2eq \r(k＋1)＋eq \f(1,\r(k＋1))>2eq \r(k＋2)， 只需证2(k＋1)＋1＝2k＋3>2eq \r((k＋2)(k＋1))， 只需证(2k＋3)2>4(k＋2)(k＋1)， 只需证4k2＋12k＋9>4k2＋12k＋8，此式显然成立， 所以当n＝k＋1时，结论成立． 综上，当n∈N*时，原不等式成立． 题型四　归纳—猜想—证明　 　 设Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*，都有Sn＝eq \f(n2,2)＋eq \f(an,2)成立． (1)求a1，a2，a3； (2)猜测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明． 解　(1)∵对任意n∈N*，都有Sn＝eq \f(n2,2)＋eq \f(an,2)成立， ∴S1＝eq \f(1,2)＋eq \f(a1,2)，a1＝S1＝1， S2＝eq \f(22,2)＋eq \f(a2,2)，a1＋a2＝eq \f(4,2)＋eq \f(a2,2)，则a2＝2， S3＝eq \f(32,2)＋eq \f(a3,2)，a1＋a2＋a3＝eq \f(9,2)＋eq \f(a3,2)，则a3＝3. (2)由(1)猜想an＝n. 证明：①当n＝1时，a1＝1，显然成立； ②假设当n＝k(k∈N*)时，ak＝k成立， 则当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝eq \f((k＋1)2,2)＋eq \f(ak＋1,2)－eq \f(k2,2)－eq \f(ak,2)＝eq \f((k＋1)2,2)＋eq \f(ak＋1,2)－eq \f(k2,2)－eq \f(k,2)，∴ak＋1＝k＋1， 即当n＝k＋1时，等式也成立． 由①②可知，an＝n对任意n∈N*都成立． 【跟踪训练】 4．(1)在数列{an}中，a1＝eq \f(1,2)，an＋1＝eq \f(an,2an＋1)(n∈N*)． ①求a2，a3，a4； ②猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论． 解：①a2＝eq \f(a1,2a1＋1)＝eq \f(\f(1,2),2×\f(1,2)＋1)＝eq \f(1,4)，a3＝eq \f(a2,2a2＋1)＝eq \f(\f(1,4),2×\f(1,4)＋1)＝eq \f(1,6)，a4＝eq \f(a3,2a3＋1)＝eq \f(\f(1,6),2×\f(1,6)＋1)＝eq \f(1,8). ②由①猜想数列{an}的通项公式为an＝eq \f(1,2n). 用数学归纳法证明： (ⅰ)当n＝1时，左边＝a1＝eq \f(1,2)，右边＝eq \f(1,2×1)＝eq \f(1,2)，结论成立． (ⅱ)假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝eq \f(1,2k)，那么ak＋1＝eq \f(ak,2ak＋1)＝eq \f(\f(1,2k),2×\f(1,2k)＋1)＝eq \f(1,2k＋2)＝eq \f(1,2(k＋1))， 也就是说，当n＝k＋1时，结论也成立． 由(ⅰ)(ⅱ)可知，结论对任意正整数n都成立，即an＝eq \f(1,2n). 解：①当n＝1时，S1＝a1＝2－a1，∴a1＝1， 当n＝2时，S2＝a1＋a2＝4－a2，∴a2＝eq \f(3,2)， 当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝6－a3，∴a3＝eq \f(7,4)， 当n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝8－a4，∴a4＝eq \f(15,8). ②由①猜想an＝eq \f(2n－1,2n－1). 用数学归纳法证明： (ⅰ)当n＝1时，a1＝1，猜想成立． (ⅱ)假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即ak＝eq \f(2k－1,2k－1)成立． 那么，当n＝k＋1时， Sk＋1＝2(k＋1)－ak＋1＝Sk＋ak＋1＝2k－ak＋ak＋1， ∴2ak＋1＝2＋ak＝2＋eq \f(2k－1,2k－1)＝eq \f(2k＋1－1,2k－1)， ∴ak＋1＝eq \f(2k＋1－1,2k)，即当n＝k＋1时，猜想也成立． 由(ⅰ)(ⅱ)可知，对任意n∈N*，猜想均成立． 1．用数学归纳法证明1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2n－1)<n(n∈N*，n≥2)时，第一步需要验证的不等式是(　　) A．1＋eq \f(1,2)<2 B．1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)<2 C．1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)<3 D．1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)<3 解析：因为n≥2，由数学归纳法可知，第一步需要证明n＝2时该不等式成立，所以第一步需要验证的不等式是1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)<2.故选B. 2．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,n－1)－eq \f(1,n)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋2)＋\f(1,n＋4)＋…＋\f(1,2n)))时，若已假设当n＝k(k≥2)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证(　　) A．当n＝k＋1时等式成立 B．当n＝k＋2时等式成立 C．当n＝2k＋2时等式成立 D．当n＝2(k＋2)时等式成立 解析：由题意，当n＝k时，左边为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)；当n＝k＋1时，左边为(k＋2)(k＋3)…(k＋1＋k＋1)，从而增加两项为(2k＋1)(2k＋2)，且减少一项为(k＋1)，故左边应增乘的因式为eq \f((2k＋1)(2k＋2),k＋1)＝2(2k＋1)． 5．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝aeq \o\al(2,n)＋n－1，an>0(n∈N*)，则猜想{an}的通项公式为an＝________． 解析：分别令n＝1，2，3， 得2,1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a1＝a＋1－1，,2(a1＋a2)＝aeq \o\al(2,2)＋2－1，,2(a1＋a2＋a3)＝aeq \o\al(2,3)＋3－1.)) ∵an>0，∴a1＝2，a2＝3，a3＝4，猜想an＝n＋1. 2．下列说法正确的是(　　) A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)，当n＝1时为1 B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)，当n＝1时为1＋k C．式子eq \f(1,1)＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2n＋1)(n∈N*)，当n＝1时为1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3) D．设f(n)＝eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,3n＋1)(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋eq \f(1,3k＋2)＋eq \f(1,3k＋3)＋eq \f(1,3k＋4) 解析：对于A，当n＝1时应为1＋k，A错误；对于B，当n＝1时应为1，B错误；对于D，f(k)＝eq \f(1,k＋1)＋eq \f(1,k＋2)＋…＋eq \f(1,3k＋1)，而f(k＋1)＝eq \f(1,k＋2)＋eq \f(1,k＋3)＋…＋eq \f(1,3k＋1)＋eq \f(1,3k＋2)＋eq \f(1,3k＋3)＋eq \f(1,3k＋4)，所以f(k＋1)＝f(k)＋eq \f(1,3k＋2)＋eq \f(1,3k＋3)＋eq \f(1,3k＋4)－eq \f(1,k＋1)，D错误．故选C. 3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝eq \f(n4＋n2,2)，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　) A．k2＋1 B．(k＋1)2 C.eq \f((k＋1)4＋(k＋1)2,2) D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2 5．对于不等式eq \r(n2＋n)≤n＋1(n∈N*)，某学生运用数学归纳法的证明过程如下： ①当n＝1时，eq \r(12＋1)≤1＋1，不等式成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即eq \r(k2＋k)≤k＋1，则当n＝k＋1时，eq \r((k＋1)2＋(k＋1))＝eq \r(k2＋3k＋2)<eq \r(k2＋3k＋2＋(k＋2))＝eq \r((k＋2)2)＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立． 上述证法(　　) A．过程全部正确 B．n＝1验证不正确 C．过程全部不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 二、填空题 6．用数学归纳法证明“1＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)＋…＋eq \f(1,(2n－1)2)<2－eq \f(1,2n－1)(n≥2，n∈N*)”时，第一步需要验证的不等式为______________________． 解析：当n＝2时，左侧＝1＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)，右侧＝2－eq \f(1,22－1)，所以用数学归纳法证明“1＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)＋…＋eq \f(1,(2n－1)2)<2－eq \f(1,2n－1)(n≥2，n∈N*)”时，第一步需要验证的不等式为1＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)<2－eq \f(1,22－1). 1＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)<2－eq \f(1,22－1) eq \f(3,n＋5) 8．已知a1＝eq \f(1,2)，an＋1＝eq \f(3an,an＋3)，则a2，a3，a4，a5的值分别为________________，由此猜想an＝________． 解析：a2＝eq \f(3a1,a1＋3)＝eq \f(3×\f(1,2),\f(1,2)＋3)＝eq \f(3,7)＝eq \f(3,2＋5)，同理，a3＝eq \f(3a2,a2＋3)＝eq \f(3,8)＝eq \f(3,3＋5)，a4＝eq \f(1,3)＝eq \f(3,4＋5)，a5＝eq \f(3,10)＝eq \f(3,5＋5)，猜想an＝eq \f(3,n＋5). eq \f(3,7)，eq \f(3,8)，eq \f(1,3)，eq \f(3,10) 三、解答题 9．用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝eq \f(1,2)n(3n－1)(n∈N*)． 证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝1， 所以当n＝1时等式成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立， 即1＋4＋7＋…＋(3k－2)＝eq \f(1,2)k(3k－1)． 当n＝k＋1时， 1＋4＋7＋…＋(3k－2)＋[3(k＋1)－2] ＝eq \f(1,2)k(3k－1)＋(3k＋1)＝eq \f(1,2)(3k2＋5k＋2) ＝eq \f(1,2)(k＋1)(3k＋2) ＝eq \f(1,2)(k＋1)[3(k＋1)－1]， 即当n＝k＋1时等式成立． 综合①②知，对任意n∈N*，1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝eq \f(1,2)n(3n－1)成立． 12．已知函数f(x)＝eq \f(x,\r(1－x2))，若f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，…，fn(x)＝f(fn－1(x))，猜想fn(x)的函数表达式为_______________________． 解析：f1(x)＝f(x)＝eq \f(x,\r(1－x2))，f2(x)＝f(f1(x))＝eq \f(\f(x,\r(1－x2)),\r(1－\f(x2,1－x2)))＝eq \f(x,\r(1－2x2))，f3(x)＝f(f2(x))＝eq \f(\f(x,\r(1－2x2)),\r(1－\f(x2,1－2x2)))＝eq \f(x,\r(1－3x2))，f4(x)＝f(f3(x))＝eq \f(\f(x,\r(1－3x2)),\r(1－\f(x2,1－3x2)))＝eq \f(x,\r(1－4x2))，猜想fn(x)＝ eq \f(x,\r(1－nx2))(n∈N*)． fn(x)＝eq \f(x,\r(1－nx2))(n∈N*) 14．在数列{an}中，已知an>0，Sn＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,an)))(n∈N*)． (1)计算a1，a2，a3的值； (2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明． 解：(1)当n＝1时，由题意可得 a1＝S1＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋\f(1,a1)))， ∵an>0， ∴a1＝1. 当n＝2时，由题意可得a1＋a2＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,a2)))， ∵an>0，∴a2＝eq \r(2)－1. 当n＝3时，由题意可得a1＋a2＋a3＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a3＋\f(1,a3)))， ∵an>0，∴a3＝eq \r(3)－eq \r(2). 综上，a1＝1，a2＝eq \r(2)－1，a3＝eq \r(3)－eq \r(2). (2)猜想：对任意n∈N*，an＝eq \r(n)－eq \r(n－1). 证明：①当n＝1时，a1＝1，上式成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时，ak＝eq \r(k)－eq \r(k－1)成立， 则当n＝k＋1时， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak＋1＋\f(1,ak＋1)))－eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak＋\f(1,ak)))， ∴ak＋1－eq \f(1,ak＋1)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak＋\f(1,ak))) ＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(k)－\r(k－1)＋\f(1,\r(k)－\r(k－1))))＝－2eq \r(k)， ∴aeq \o\al(2,k＋1)＋2eq \r(k)·ak＋1－1＝0， ∴ak＋1＝eq \f(－2\r(k)±2\r(k＋1),2)＝－eq \r(k)±eq \r(k＋1). ∵ak＋1>0，∴ak＋1＝eq \r(k＋1)－eq \r(k)， ∴当n＝k＋1时，猜想成立． 由①②可知，对任意n∈N*，an＝eq \r(n)－eq \r(n－1) . $