4.4 数学归纳法课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 4.4 数学归纳法 01 情境导入 情境1：有人看到树上有一只黑色的乌鸦，感慨道“天下乌鸦一般黑”.这个结论正确吗? 情境2：《田舍翁之子学书》(明朝刘元卿的《贤弈篇·应谐录》)即财主的儿子学写字. 文中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”这个结论是否正确呢? 情境导入 情境3：如果{}是一个等差数列，怎样得到 ? 等差数列{}的首项为，公差为d. 那么 归纳可得： 以上都是不完全归纳法的体现，其结果不一定正确. 情境导入 02 数学归纳法 探究：已知数列满足 ，， 计算猜想其通项公式，并证明你的猜想. 一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时，验证起来会很麻烦. 特别是证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证时不可能的. 因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立. 新知讲解 这是一种码放骨牌的游戏. 码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下. 这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……. 总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下. 新知讲解 思考1：在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么? (1)第一块骨牌倒下； (2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下. 思考2：你认为条件(2)的作用是什么?如何用数学语言描述它? 递推关系：第块骨牌倒下第块骨牌倒下. 事实上，无论有多少块骨牌，只要保证(1)(2)成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下. 新知讲解 思考3：你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是 ”与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗?你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗? 骨牌原理 猜想的证明步骤 (1)第一块骨牌倒下 (1)时，猜想正确 (2)证明“如果前一块倒下，则后一块也跟着倒下” (2)证明“当时猜想成立，则 时猜想也成立”为真 根据(1)(2)，所有的骨牌都能倒下 根据(1)(2)，这个猜想对一切正整数n都成立 新知讲解 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： 归纳奠基 ⇒ 证明当取第一个值(N*)时命题成立 初始值n0的值要结合题意而定，不一定是1 归纳递推 ⇒ 以“当(N*，)时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”  只要完成这两步，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立. 新知讲解 【例1】用数学归纳法证明不等式时， 初始值应等于　　.  例题剖析 【练习】用数学归纳法证明的 过程如下： (1)当时，左边，右边，等式成立. (2)假设当时等式成立，即， 则当时，. 故当时等式也成立，即对于任何，等式都成立. 证明过程是否正确? 举一反三 【例2】将正整数进行如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9， 10)，(11，12，13，14，15)，……分别计算各组包含的正整数 的和，如下：、、、 (1)求的值； (2)由、、、的值， 试猜测的结果，并用数学归纳法证明. 例题剖析 “归纳—猜想—证明”的基本步骤 规律方法 【练习】已知数列是该数列 前项和，计算根据计算结果，猜想前项 和的表达式，并用数学归纳法进行证明. 举一反三 【例3】用数学归纳法证明：   例题剖析 【练习】用数学归纳法证明：   举一反三 【例4】用数学归纳法证明：能被整除. 例题剖析 【练习】用数学归纳法证明：能被整除(). 举一反三 03 课堂小结 课堂小结 数学归纳法 $