精品解析：江苏省无锡市市北高级中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

无锡市市北高级中学2025-2026学年第一学期 高三年级数学学科阶段检测卷 时间：120分钟 分值：150分 日期：2025.10 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，且，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数有最大值，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 6 7. 已知是各项均为正整数的递增数列，前项和为，若，当取最大值时，的最大值为（ ） A. 63 B. 64 C. 71 D. 72 8. 已知实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知复数，下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，则 10. 水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．如图，某水车轮的半径为米，圆心距水面的高度为米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动圈，当其中的一个水斗到达最高点时开始计时，设水车转动（分钟）时水斗距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为（米），下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若水车的转速减半，则其周期变为原来的 D. 在旋转一周的过程中，水斗距离水面高度不低于米的时间为秒 11. 已知函数，其中，且当时，，则（ ） A. B. 是的极小值点 C. 若关于的方程有3个不同的实数根，则 D. 若对任意都有，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线是曲线的切线，则实数a的值是______. 13. 在中，已知角所对的边分别，的面积，，，则的周长为______． 14. 函数是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过x的最大整数，例如，．已知函数（，且），若的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数a的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列是递增数列，其公比为q，前n项和为Sn，并且满足，是和的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）若，，求使成立的正整数n的值. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. （1）求角A； （2）已知，M点为BC的中点，N点在线段AC上且，点P为AM与BN的交点，求的余弦值. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，求函数在的最小值. 18. 已知向量，函数，． （1）当时，求的值； （2）若的最小值为﹣1，求实数m的值； （3）是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 19. 若二元代数式满足，则称代数式为二元轮换式，记；若三元代数式满足，则称代数式为三元轮换式，记，. （1）若正实数，满足，且，求的最大值； （2）若代数式为二元轮换式，比较与1的大小； （3）若对任意的正实数，，，均有，求整数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市市北高级中学2025-2026学年第一学期 高三年级数学学科阶段检测卷 时间：120分钟 分值：150分 日期：2025.10 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数单调性得到，即可求解集合的交集. 【详解】集合，集合，所以， 故选:C. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合复数运算法则求，根据复数的几何意义确定复数在复平面内对应点的坐标，由此判断该点所在象限即可. 【详解】因为， 所以， 所以复数在复平面内对应的点为，该点在第二象限， 故选：B. 3. 已知向量，且，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合向量平行坐标表示可得答案. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以． 故选：B． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法结合三角函数的二倍角公式求解即可. 【详解】令则 故选：A. 5. 若函数有最大值，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求出函数在上的极大值，根据函数有最大值可得出关于实数的不等式组，即可得出实数的最大值. 【详解】当时，，则， 当时，，此时，函数单调递增， 当时，，此时，函数单调递减， 则函数在处取得极大值，且极大值为， 因为函数函数有最大值，则，解得， 因此，实数的最大值为. 故选：. 6. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】由题意知， 当且仅当，且，即，时等号成立， 即的最小值为. 故选:A. 7. 已知是各项均为正整数的递增数列，前项和为，若，当取最大值时，的最大值为（ ） A. 63 B. 64 C. 71 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】因为是定值，要使当取最大值时也取得最大值，需满足前项是首项为，公差为的等差数列，通过计算的前项和与作比较，前项和与作比较即可得出的最大值. 【详解】因为是定值，要使当取最大值时也取得最大值，需满足各项尽可能取到最小值，又因为是各项均为正整数的递增数列，所以，即是首项为，公差为的等差数列，其中；的前项和为； 当时，； 当时，； 又因为， 所以的最大值为，此时，取得最大值为. 故选：C. 8. 已知实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】讨论函数与图象的位置关系，分析可能成立的结论. 【详解】令， 则，令， 则，所以单调递增， 对于选项，当时，，所以在单调递减， 所以，即函数始终在函数上方， 如图， 若，则，A错误，B正确； 对于选项，因为，，且单调递增， 所以，， 且时，，时，， 所以在单调递减，又，所以在恒成立， 当时，单调递增， 因为，， 所以，， 所以时，恒成立；时，恒成立， 即时，函数始终在函数下方； 时，函数始终在函数上方. 如图， 若，则，或，正确； 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知复数，下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】A项，由复数的性质可得；BD项，举特例即可判断；C项，先证明命题“若，则，或”成立，再应用所证结论推证可得. 【详解】选项A，，则，故A正确； 选项B，令，满足条件，但，且均不为，故B错误； 选项C，下面先证明命题“若，则，或”成立. 证明：设，， 若，则有， 故有，即，两式相乘变形得，， 则有，或，或， ①当时，，即； ②当，且时，则， 又因为不同时为，所以，即； ③当，且时，则，同理可得，故； 综上所述，命题“若，则，或”成立. 下面我们应用刚证明的结论推证选项C， ，， ，或，即或，故C正确； 选项D，令， 则， 但，不为，故D错误. 故选：. 10. 水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．如图，某水车轮的半径为米，圆心距水面的高度为米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动圈，当其中的一个水斗到达最高点时开始计时，设水车转动（分钟）时水斗距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为（米），下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若水车的转速减半，则其周期变为原来的 D. 在旋转一周的过程中，水斗距离水面高度不低于米的时间为秒 【答案】AD 【解析】 【分析】根据余弦函数，结合三角函数的性质依次判断选项即可. 【详解】由题意得，如图，轴，， 点经过分钟后到达点，则为点到水面的距离，且， 因为每分钟转2圈，所以，得角速度， 故，又， 所以，所以， 即.故A正确，B错误； 若水车的转速减半，则每分钟转动圈，所以周期变为原来的倍，因此C错误； 令，得， 解得或，Z， 当时，或， 即旋转一周的过程中(30s)，有s，水斗A距离水面高度低于7米， 所以有s的时间不低于7米，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，其中，且当时，，则（ ） A. B. 是的极小值点 C. 若关于的方程有3个不同的实数根，则 D. 若对任意都有，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A选项，分情况讨论和两种情况即可；对于B选项，结合A选项的结果，对求导后即可求得结果；对于C选项，根据B选项求得的极值结果，分析即可得出答案；对于D选项，求出的表达式，分情况讨论、、三种情况即可． 【详解】对于A，当时，，又因为当时，，所以此时，对恒成立，故， 当时，，同样因为当时，，所以此时， 对恒成立，故， 所以，即，故A正确； 对于B，由选项A可知，对求导， ， 令，即，解得或， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以为的极小值点，故B正确； 对于C，由选项B可知，为的极大值点，为的极小值点， 又，， 要使方程有个不同的实数根，则，即，也即，因为，解得，故C正确； 对于D，， 则， 由题意可知恒成立， 显然当时，成立， 显然当时，当，，故不恒成立， 所以当时，即恒成立， 所以， 解得或，故D错误。 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线是曲线的切线，则实数a的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，结合切点既在曲线上，又在切线上即可求解. 【详解】，则， 直线是曲线的切线， 所以，解得， 所以，解得. 故答案为：. 13. 在中，已知角所对的边分别，的面积，，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合三角形面积公式和正弦定理可得，结合两角和余弦公式求，再结合余弦定理及三角形面积公式求，由此可求的周长. 【详解】因为的面积，， 所以， 所以，又， 所以，又， ， 所以， 又，所以， 由余弦定理可得， 由，，可得， 所以， 所以， 所以， 所以的周长为. 故答案为：. 14. 函数是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过x的最大整数，例如，．已知函数（，且），若的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义，作出的图象，再求出图象关于原点对称的图象对应的函数解析式，由交点个数并结合图象列式求解 【详解】根据新定义，作出的图象如下： 由的图象上恰有3对点关于原点对称，得函数图象关于原点对称的图 象与的图象有3个交点，由，得，则， 因此函数的图象与的图象恰有3个交点， 当时，函数的图象与的图象只有2个交点，不符合题意， 则，即，解得，所以实数a的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列是递增数列，其公比为q，前n项和为Sn，并且满足，是和的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）若，，求使成立的正整数n的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意得到方程组，解得，，即可得到数列的通项公式； （2）由（1）可得，再利用错位相减法求出，再解方程即可； 【小问1详解】 解：由题可得，，则，解得 所以. 于是有解得或 又是递增的数列，故，，所以 【小问2详解】 解：由（1）可得， 所以，① 则，② ②①，得， 即数列的前n项和， 则， 即，解得. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. （1）求角A； （2）已知，M点为BC的中点，N点在线段AC上且，点P为AM与BN的交点，求的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角并化简得，根据角的范围，则可求出其大小； （2）由向量运算得，展开代入数据即可得到其值，再分别计算出和，利用向量夹角公式即可. 【小问1详解】 则由正弦定理得 化简得： ，, ，则， ，， 即. 【小问2详解】 ， 点为BC的中点 ， ， ， ， . 即的余弦值为. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，求函数在的最小值. 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，讨论、研究导数的区间符号，即可得对应单调性； （2）应用导数研究函数的单调性，讨论与区间的位置关系求函数最小值. 【小问1详解】 由题意知的定义域为，， ①若，恒成立，所以在上单调递减. ②若，由，得， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，在单调递减，在单调递增. ①当，即时，在单调递减， 当时，有最小值； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，有最小值； ③当，即时，在上单调递增， 当时，有最小值； 综上：. 18. 已知向量，函数，． （1）当时，求的值； （2）若的最小值为﹣1，求实数m的值； （3）是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的公式化简函数即可． （2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可． （3）由得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 ， 当时，， 则； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， 则， 令，则， 则，对称轴， ①当，即时， 当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍）， ②当，即时， 当时，函数取得最小值，此时最小值，得或（舍去）， ③当，即时， 当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍）， 综上：若的最小值为﹣1，则实数． 【小问3详解】 令，得或， ∴方程或在上有四个不同的实根， 则，解得，则， 即实数m的取值范围是． 19. 若二元代数式满足，则称代数式为二元轮换式，记；若三元代数式满足，则称代数式为三元轮换式，记，. （1）若正实数，满足，且，求的最大值； （2）若代数式为二元轮换式，比较与1的大小； （3）若对任意的正实数，，，均有，求整数的最大值. 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）利用化简为关于的二次函数，结合确定范围求最值. （2）由二元轮换式得，设，用表示、，通过证. （3）设最小，代换化简不等式，对、特殊情况分析后，设，分和讨论，根据函数取值确定最大值为. 【小问1详解】 第一步：根据已知条件化简式子 已知正实数、满足，则， 对其通分可得. 展开. 第二步：根据与的大小关系求最大值 因为，所以.对于二次函数（令）， 其图象开口向下，对称轴为，所以当即时，取得最大值，也就是取最大值. 【小问2详解】 第一步：根据二元轮换式得到等式 因为代数式为二元轮换式，所以，交叉相乘可得. 第二步：设变量进行转化 不妨设，令，则，那么 ，即，展开可得，移项得， 所以，. 第三步：计算并判断xy的范围 ，因为，，，所以， 根据对数函数的单调性可知. 【小问3详解】 第一步：进行变量代换并化简不等式 不妨设是，，中的最小值，令，（，）， 等价于. 当或时，该不等式对任意实数均成立.因为，，要使不等式成立，只需考虑. 当时，该不等式对任意实数均成立.当，设. 第二步：分情况讨论的取值范围 当时：不等式两边同时除以，整理可得. 设，对求导，，再对求导，所以在上单调递增. 令，即，化简得， 令，则，原方程可化为， 即，解得，因为，所以，则. 存在，且，所以在上单调递减，在上单调递增，. 因为，所以，，. 又因为，则，， 因为，，，所以，即，所以. 当时：不等式两边同时除以，整理可得， 此时，当时，恒成立. 综上，整数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $