【单元易错八01】 勾股定理章末复习易错提分50题（专项训练）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第一章 勾股定理章末复习易错提分50题 【易错要点归纳】 1.混淆定理适用条件（必须直角三角形） ◎易错：忽略勾股定理只适用于直角三角形，误用于其他类型的三角形（如锐角或钝角三角形）。 ◎正确做法：在应用前，务必确认三角形有一个直角（90度角），或通过已知条件验证。 2.定理公式错用（符号与位置错误） ◎易错：记错公式中 a、b、c 的顺序，例如在 a² + b² = c² 中，混淆斜边（c）与直角的邻边（a、b）。 ◎正确做法：明确 c 总是斜边（直角对边），a 和 b 是直角的两个邻边；计算前先标注好边的角色。 3.忽视逆定理的应用 ◎易错：误以为只要三边满足 a² + b² = c²，就一定是直角三角形（可能忽略单位或测量误差）；或反之，在没有验证条件下就排除直角三角形。 ◎正确做法：使用逆定理时，需确保数据精确，并检查是否同时满足“三边关系”和“直角条件”。 4.计算错误（数值或单位问题） ◎易错：计算平方或平方根时出现算术错误；或单位不一致（如厘米和米混用），导致结果偏差。 ◎正确做法：先统一单位，分步计算（先平方和，再开方），并用估算验证合理性。 5.应用场景中的忽略（实际问题） ◎易错：在几何问题中，忘记识别直角三角形（如省略辅助线或标注）；在现实应用如测量距离时，忽略高度、方向等隐含条件。 ◎正确做法：先画图分析，明确所有边和角；应用题中，列出已知和未知量。 6.忽视分类讨论（特殊值或多情况） ◎易错：当问题涉及多种可能（如斜边位置不确定）时，只考虑一种情形；或对无理数（如 √2、√3）计算时简化错误。 ◎正确做法：遇到不确定情况时，列出所有可能情形；简化平方根时保留精确值或有理化。 【备考策略】 ◎复习技巧：多做习题，尤其关注如何验证直角三角形；练习时强调画图和分步推理。 ◎错误预防：每次应用勾股定理前，自问：这是直角三角形吗？哪边是斜边？数据单位一致吗？ ◎额外注意：本单元常与距离、面积等结合考查，易错点往往是概念混淆或细节疏忽，而非复杂计算。 【易错实战练习】（单选题+填空题+解答题） 一、单选题【18小题】 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B．，， C． D． 2．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（   ） A．18 B．16 C．9 D．12 3．一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：)，可得出两圆孔中心A，B之间的距离为（   ） A． B． C． D． 4．如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形．现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体表面爬行到顶点C处，则小虫爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 5．如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线处，若，则（   ） A． B．3 C． D．4 6．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，几乎不用文字解释，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（   ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．统计思想 D．公理化思想 7．《九章算术》“勾股”章记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为多少？（注：1丈尺）．若设竹子未折断部分的高度为尺，根据勾股定理可列方程求解，则未折断部分的高度为（　　） A．4.55尺 B．5.45尺 C．6.35尺 D．7.25尺 8．如图，某人持竿进门，已知门高为2米．将竿横放则比门宽长1米，将竿斜放则刚好与门框对角线长度相等，则竿的长度为（   ） A．2.2米 B．1.9米 C．2.5米 D．2米 9．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记，，．若，．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．9 C． D． 10．如图，在中，，点在的延长线上，连接，若，，则的长为（    ） A． B．3 C．1 D． 11．下列说法中正确的是（   ） A．已知，，是三角形的三边，则 B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C．，，是一组勾股数 D．在中，，所以 12．将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①，彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（    ） A． B． C． D． 13．如图，在中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边的延长线于点，交边于点，则的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 14．如图，高速公路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（　　）． A．4 B．5 C．6 D． 15．【古籍残卷】如图，方格中的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与全等的格点三角形共有（   ）个．（不含） A．7 B．29 C．32 D．31 16．如图，在四边形中，于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 17．如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为按照此规律继续下去，则的值为（   ） A． B． C． D． 18．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个判断：①；②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是（   ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 二、填空题【19小题】 19．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问：这根芦苇的长度是 尺． 20．在中，的对边分别是a、b、c，且，，， ． 21．如图，在直角三角形中，，，．为边上一点，连接．将沿折叠，若点恰好落在线段的延长线上的点处，连接，则的长为 ． 22．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为 米． 23．如图，枣庄公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架由水平、竖直方向的两段构成，若段长度为，点A，C之间的距离比段长，则段的长度为 ． 24．勾股定理最早出现在《周髀算经》中：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列各组勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；……可发现当一组勾股数的勾为（，为正整数）时，它的股、径分别为和．若一组勾股数的勾为26，则径为 ． 25．如图是一台手机支架的示意图，可分别绕点A，B转动，测得，若，垂足为点E，，则点D到的距离为 ． 26．如图，一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于 米． 27．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程． 28．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为100元，则购买地毯需花费 元． 29．如图，在中，，，利用圆规在上截取，在上截取，若，则的长为 ． 30．若直角三角形的两条边的长分别为a、b，且满足，则该直角三角形第三边长为 ． 31．如图，在中，，，，于D，则的长是 ． 32．如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 33．如图，在四边形中，，若，则的长为 ． 34．如图，小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以4m/s的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3m/s的速度由南向北行驶．已知，则开始游戏3s后，两赛车相距 m． 35．某初中数学小组参加项目学习，他们的项目课题是《测量吊车起重臂顶端与地面的距离》，他们的项目对象是吊车，如图为某吊车操作示意图，吊车作业时是通过液压杆的伸缩使起重臂绕点转动的，从而使得起重臂完成升降作业（起重臂的长度也可以伸缩），如果起重臂米，点到地面的距离米，钢丝绳所在直线垂直地面于点，点到的距离米，则吊车起重臂的顶端到地面的距离 米． 36．如图，是一个长方体盒子，长为，宽为，要往盒子中装进塑料管，则能完全装进盒子中的塑料管的最大长度是 ．（忽略塑料管粗细） 37．如图，在中，，．过点作，且，连接，称为第1次操作；过点作，且，连接，称为第2次操作；过点作，且，连接，称为第3次操作；，则第20次操作后，的长为 ． 三、解答题【13小题】 38．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的上，这时点B到墙底端C的距离为米．如果梯子的顶端沿墙面下滑米，那么点B是否也向外移动米？请通过计算说明． 39．如图，是正方形网格中（每个小正方形的边长均为1）的一条线段，点、均为格点，画，使得点在格点上，且． 40．国际数学教育大会被誉为数学教育界的“奥林匹克”，于2021年首次在中国举办．其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法．图2是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形围成的一个大正方形，请用等面积法验证勾股定理： 41．风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，后来演变为一项民俗娱乐活动．小明买了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点，在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 42．如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了，和三个区域．已知，，米，米，米，米．小明和小林从点出发散步，小明沿路径行走，小林沿路径行走，试比较两人所走路程的长短． 43．如图是某学校图书馆一楼与二楼之间的手扶电梯侧面示意图，其中分别表示一楼、二楼地面的水平线，电梯上升的高度为，扶手的长是，，求的长． 44．如图所示，为修通铁路需开凿隧道，量得，，．若每天凿隧道，问几天才能把隧道凿通？ 45．如图，在一次户外探险活动中，小亮从营地点出发沿北偏东方向行到达点，然后再沿北偏西方向行到达到目的地点，求出两点之间的距离． 46．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 47．在探究笔记本电脑张角大小与顶部边缘离桌面高度之间的关系时，小亮进行了如下实践：如图，将笔记本电脑平放在水平桌面上，当张角（显示屏与底板的夹角）为时，显示屏的顶部边缘点离桌面的高度为，底板边缘点和点之间的距离为，已知电脑显示屏的宽为．（显示屏与底板的厚度忽略不计） (1)求此时显示屏的顶部边缘点离桌面的高度； (2)小亮将张角调整为（是点的对应点），此时显示屏的顶部边缘点离桌面的高度为，底板边缘点和点之间的距离为，当张角从调整为时，电脑显示屏的顶部边缘上升了多少？ 48．如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图．小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 49．根据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”． (1)观察：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；…发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且，和， 发现规律：勾为n（，且n为奇数）时有：股，弦，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式？ (2)根据（1）的规律，用n（n为奇数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾，股，弦，写出它们之间的两种等量关系并对其中一种猜想加以证明． (3)继续观察①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述的探索的方法，直接用m（m为偶数，且m≥4）的代数式来表示它们的股和弦． 50．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论． 【方法运用】（1）千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2中的，，用两种方法表示出梯形的面积，说明勾股定理； 【方法迁移】（2）如图3，每个小方格的边长为1，点，，分别在格点上，连接点，，可得，求边上的高； 【方法拓展】（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 勾股定理章末复习易错提分50题 【易错要点归纳】 1.混淆定理适用条件（必须直角三角形） ◎易错：忽略勾股定理只适用于直角三角形，误用于其他类型的三角形（如锐角或钝角三角形）。 ◎正确做法：在应用前，务必确认三角形有一个直角（90度角），或通过已知条件验证。 2.定理公式错用（符号与位置错误） ◎易错：记错公式中 a、b、c 的顺序，例如在 a² + b² = c² 中，混淆斜边（c）与直角的邻边（a、b）。 ◎正确做法：明确 c 总是斜边（直角对边），a 和 b 是直角的两个邻边；计算前先标注好边的角色。 3.忽视逆定理的应用 ◎易错：误以为只要三边满足 a² + b² = c²，就一定是直角三角形（可能忽略单位或测量误差）；或反之，在没有验证条件下就排除直角三角形。 ◎正确做法：使用逆定理时，需确保数据精确，并检查是否同时满足“三边关系”和“直角条件”。 4.计算错误（数值或单位问题） ◎易错：计算平方或平方根时出现算术错误；或单位不一致（如厘米和米混用），导致结果偏差。 ◎正确做法：先统一单位，分步计算（先平方和，再开方），并用估算验证合理性。 5.应用场景中的忽略（实际问题） ◎易错：在几何问题中，忘记识别直角三角形（如省略辅助线或标注）；在现实应用如测量距离时，忽略高度、方向等隐含条件。 ◎正确做法：先画图分析，明确所有边和角；应用题中，列出已知和未知量。 6.忽视分类讨论（特殊值或多情况） ◎易错：当问题涉及多种可能（如斜边位置不确定）时，只考虑一种情形；或对无理数（如 √2、√3）计算时简化错误。 ◎正确做法：遇到不确定情况时，列出所有可能情形；简化平方根时保留精确值或有理化。 【备考策略】 ◎复习技巧：多做习题，尤其关注如何验证直角三角形；练习时强调画图和分步推理。 ◎错误预防：每次应用勾股定理前，自问：这是直角三角形吗？哪边是斜边？数据单位一致吗？ ◎额外注意：本单元常与距离、面积等结合考查，易错点往往是概念混淆或细节疏忽，而非复杂计算。 【易错实战练习】（单选题+填空题+解答题） 一、单选题【18小题】 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B．，， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此即可求解． 【详解】解：根据勾股数的定义，首先排除A、B选项； ∵， ∴C不符合题意；D符合题意； 故选：D 2．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（   ） A．18 B．16 C．9 D．12 【答案】A 【详解】解：在中，， ， ， ， 在中，， ， 即阴影部分的面积是18． 故选：A． 3．一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：)，可得出两圆孔中心A，B之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，得，， 则，即两圆孔中心A，B之间的距离为． 故选：B． 4．如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形．现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体表面爬行到顶点C处，则小虫爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：①如图，将长方体的上面和右面或者前面和下面展开在同一平面内，    ∵，，， ∴； ②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内， ∵，，， ∴， ∵ ∴小虫爬行的最短路程为． 故选：B． 5．如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线处，若，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【详解】解：由题意得，， ∴； 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，几乎不用文字解释，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（   ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．统计思想 D．公理化思想 【答案】A 【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法， 如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的， 由图形到数学规律的转化体现的数学思想为：数形结合思想， 故选：A． 7．《九章算术》“勾股”章记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为多少？（注：1丈尺）．若设竹子未折断部分的高度为尺，根据勾股定理可列方程求解，则未折断部分的高度为（　　） A．4.55尺 B．5.45尺 C．6.35尺 D．7.25尺 【答案】A 【详解】设竹子未折断部分的高度为尺，因竹子高尺，所以折断部分的高为尺， 根据题意可得出图形： ， 解得：； 故选． 8．如图，某人持竿进门，已知门高为2米．将竿横放则比门宽长1米，将竿斜放则刚好与门框对角线长度相等，则竿的长度为（   ） A．2.2米 B．1.9米 C．2.5米 D．2米 【答案】C 【详解】解：设竿的长度为x米，则门宽为米， 根据勾股定理，得， 解得， 则竿的长度为米． 故选：C． 9．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记，，．若，．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出． 由勾股定理得出，求出，进而求解即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴由图形可知，阴影部分的面积为． 故选：D． 10．如图，在中，，点在的延长线上，连接，若，，则的长为（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】A 【详解】解：，， ， 在中，， 故选：A． 11．下列说法中正确的是（   ） A．已知，，是三角形的三边，则 B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C．，，是一组勾股数 D．在中，，所以 【答案】D 【详解】解：A、当，是直角三角形的两直角边，是直角三角形的斜边时，，故A选项说法错误； B、在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，故B选项说法错误； C、勾股数指满足的三个正整数，，，，且，故C说法错误； D、在中，，所以，故D选项说法正确． 故选：D． 12．将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①，彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度即为旗杆的高度减去彩旗的对角线的长， 彩旗的对角线长为， ∴． 则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度为． 故选：B． 13．如图，在中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边的延长线于点，交边于点，则的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠的性质，解题的关键是掌握折叠的不变性． 设，由折叠可得，，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设， 由折叠可得，， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 14．如图，高速公路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（　　）． A．4 B．5 C．6 D． 【答案】C 【详解】解：设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵C、D两村庄到E站的距离相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 15．【古籍残卷】如图，方格中的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与全等的格点三角形共有（   ）个．（不含） A．7 B．29 C．32 D．31 【答案】D 【详解】解：如图，在左下角的正方形中，共有7个格点三角形与全等． 同理，在左上角的正方形中，共有8个格点三角形与全等， 在右上角的正方形中，共有8个格点三角形与全等， 在右下角的正方形中，共有8个格点三角形与全等， 所以可以与全等的格点三角形共有（个）．（不含） 故选：D． 16．如图，在四边形中，于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：于点， 、、、都是直角三角形， ，，，， ， ， ， ． 故选：D． 17．如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为按照此规律继续下去，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分、、、的值，根据面积的变化即可找出变化规律“”，依此规律即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 18．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个判断：①；②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是（   ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了以“赵爽弦图”为背景的勾股定理的运用，正方形面积的计算，设“赵爽弦图”中直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边长为c，由此可得，小正方形的边长为，，由此可求出，图形结合，及正方形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：设“赵爽弦图”中直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，斜边长为，则小正方形的边长为， ∴正方形的面积为，正方形的面积为， ∵，， ∴，故①正确； ∵， ∴，， ∴，故②正确； 当时，，即， ∴，故③正确； 当点是的中点时，，即， ∴，即， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：D ． 二、填空题【19小题】 19．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问：这根芦苇的长度是 尺． 【答案】13 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度是尺，根据题意可得芦苇底部到水池右边的距离为5尺，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度是尺， ∵水面是一个边长为10尺的正方形， ∴芦苇底部到水池右边的距离为5尺， ∴由勾股定理得， 解得， ∴， ∴这根芦苇的长度是13尺， 故答案为：13． 20．在中，的对边分别是a、b、c，且，，， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理， 先设，再根据勾股定理得，求出解即可. 【详解】解：设，根据勾股定理，得 ， 解得， 所以. 故答案为：. 21．如图，在直角三角形中，，，．为边上一点，连接．将沿折叠，若点恰好落在线段的延长线上的点处，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握折叠的性质和勾股定理．先由折叠的性质得到，再由勾股定理求出，从而得到，设，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∵在中，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 22．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为 米． 【答案】2.7 【分析】本题主要考查勾股定理，先根据勾股定理求出梯子的长，进而可得出结论． 【详解】解：由题意可得： ， 在中， ∵米， ， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴米， ∴小巷的宽度为（米）． 故答案为：2.7． 23．如图，枣庄公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架由水平、竖直方向的两段构成，若段长度为，点A，C之间的距离比段长，则段的长度为 ． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理的应用，设，则，利用勾股定理求出的值即可． 【详解】解：由题意，，， 设，则， 由勾股定理，得：， ∴， 解得， ∴； 故答案为：15． 24．勾股定理最早出现在《周髀算经》中：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列各组勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；……可发现当一组勾股数的勾为（，为正整数）时，它的股、径分别为和．若一组勾股数的勾为26，则径为 ． 【答案】170 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是读懂题意，利用题中的结论进行求解． 根据题干的公式直接进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， 当时，， ∴径为， 故答案为：170． 25．如图是一台手机支架的示意图，可分别绕点A，B转动，测得，若，垂足为点E，，则点D到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理可得，则此题可解. 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴点D到的距离为. 故答案为：． 26．如图，一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于 米． 【答案】2.9 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意得：米，米，米，在 中，由勾股定理可得米，从而得到米，即可求解． 【详解】解：如图，根据题意得：米，米，米， 在 中，由勾股定理得： 米， ∴ 米， ∴卡车的外形高必须低于2.9米． 故答案为：2.9． 27．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，最短路径的计算，理解最短路径，正确运用勾股定理是关键． 根据题意得到半圆的周长为，得到展开后图形的长，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点M， ∴， ∵长方形地毯，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为， ∴，，， ∴半圆的弧长为， 将中间半圆展开，如图所示，连接， ∴， ∴， ∴一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走的路程， 故答案为： ． 28．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为100元，则购买地毯需花费 元． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用. 先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为， ∴购买地毯需花费（元）， 故答案为：． 29．如图，在中，，，利用圆规在上截取，在上截取，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出，再求出，最后利用线段和差求即可． 【详解】∵，， ∴， 在中，， ∵，， ∴，， ∴ 故答案为：． 30．若直角三角形的两条边的长分别为a、b，且满足，则该直角三角形第三边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理．根据非负性，，再分情况讨论，当为直角边时，当为斜边时，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 解得：，， 设直角三角形的第三边为， 当为直角边时， ， 当为斜边时，． 故答案为：或． 31．如图，在中，，，，于D，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理． 先利用勾股定理求出的长，再利用三角形面积求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 32．如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先由勾股定理求出的长，进而求出的长，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 33．如图，在四边形中，，若，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、勾股定理的应用以及几何图形中的垂直关系，证明，通过勾股定理计算出是解题的关键． 首先利用全等三角形对应边相等得到，再通过勾股定理求出的长度，最后依据全等三角形对应边相等得出的长度． 【详解】解：， ， ，且， ， ， ， 即是直角三角形， 在中， ， 即：， ， ， 故答案为：10． 34．如图，小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以4m/s的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3m/s的速度由南向北行驶．已知，则开始游戏3s后，两赛车相距 m． 【答案】35 【详解】解：如图，连接， 根据题意知，出发秒钟时，，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 35．某初中数学小组参加项目学习，他们的项目课题是《测量吊车起重臂顶端与地面的距离》，他们的项目对象是吊车，如图为某吊车操作示意图，吊车作业时是通过液压杆的伸缩使起重臂绕点转动的，从而使得起重臂完成升降作业（起重臂的长度也可以伸缩），如果起重臂米，点到地面的距离米，钢丝绳所在直线垂直地面于点，点到的距离米，则吊车起重臂的顶端到地面的距离 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 在中， ， （米）， 故答案为：． 36．如图，是一个长方体盒子，长为，宽为，要往盒子中装进塑料管，则能完全装进盒子中的塑料管的最大长度是 ．（忽略塑料管粗细） 【答案】17 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方． 连接、，首先利用勾股定理计算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． 【详解】解：连接、，如图： 在中，， 在中，， ∴， 能完全装进盒子中的塑料管的最大长度为， 故答案为：17． 37．如图，在中，，．过点作，且，连接，称为第1次操作；过点作，且，连接，称为第2次操作；过点作，且，连接，称为第3次操作；，则第20次操作后，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 利用勾股定理求出，然后通过找规律即可得到结果． 【详解】解：∵在中，，． ∴， ∵第一次操作，过点作，， ∴， 又∵第二次操作，过点作，且， ∴， ∴同理第三次操作中，， 按此规律，，…… ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题【13小题】 38．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的上，这时点B到墙底端C的距离为米．如果梯子的顶端沿墙面下滑米，那么点B是否也向外移动米？请通过计算说明． 【答案】点B不是向外移动米，说明见解析 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求出的长度是解题的关键． 在中，利用勾股定理可得米，从而得到米，然后在中，利用勾股定理可得的长度，即可求解． 【详解】解：点B不是向外移动米，说明如下： 根据题意得：米，米，米， 在中，（米）， ∴（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 即点B向外移动米， ∴点B不是向外移动米． 39．如图，是正方形网格中（每个小正方形的边长均为1）的一条线段，点、均为格点，画，使得点在格点上，且． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；因此此题可根据题意及勾股定理进行作图即可． 【详解】解：所作如图所示： 40．国际数学教育大会被誉为数学教育界的“奥林匹克”，于2021年首次在中国举办．其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法．图2是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形围成的一个大正方形，请用等面积法验证勾股定理： 【答案】见解析 【详解】解：∵外面大正方形的面积， 里面小正方形的面积4个直角三角形的面积， ∴， ∴． 41．风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，后来演变为一项民俗娱乐活动．小明买了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点，在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，注意计算的准确性； （1）作，则四边形是矩形，推出，，求出即可求解； （2）延长至点，连接，推出，求出；据此即可判断； 【详解】（1）解：作，如图所示; 则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：不能成功，理由如下： 假设风筝能沿射线方向再上升，如图所示，延长至点，连接， 则； ∴， ∴； ∵余线仅剩，，且 ∴不能成功； 42．如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了，和三个区域．已知，，米，米，米，米．小明和小林从点出发散步，小明沿路径行走，小林沿路径行走，试比较两人所走路程的长短． 【答案】一样长，见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据勾股定理求出，的长，从而得到，的长，比较即可得到答案． 【详解】解：∵，米，米， ∴米．     又∵米，， ∴米．     ∵（米），（米）， ∴两人所走路程一样长． 43．如图是某学校图书馆一楼与二楼之间的手扶电梯侧面示意图，其中分别表示一楼、二楼地面的水平线，电梯上升的高度为，扶手的长是，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，直接利用勾股定理解即可． 【详解】解：由题意知，在中，，， ， 即的长为． 44．如图所示，为修通铁路需开凿隧道，量得，，．若每天凿隧道，问几天才能把隧道凿通？ 【答案】天才能把隧道凿通 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先由勾股定理求出，再结合每天凿隧道计算即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵每天凿隧道， ∴（天）， 故天才能把隧道凿通． 45．如图，在一次户外探险活动中，小亮从营地点出发沿北偏东方向行到达点，然后再沿北偏西方向行到达到目的地点，求出两点之间的距离． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据所走的方向可判断出是直角三角形，根据勾股定理可求出解． 【详解】解：根据题意得：， ， 在中，，， ， 、C两点之间的距离为． 46．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【详解】（1）解：根据题意得：米，米，米， 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴风筝的垂直高度为米； （2）如图，在上取点，使米，连接， ∴（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线米． 47．在探究笔记本电脑张角大小与顶部边缘离桌面高度之间的关系时，小亮进行了如下实践：如图，将笔记本电脑平放在水平桌面上，当张角（显示屏与底板的夹角）为时，显示屏的顶部边缘点离桌面的高度为，底板边缘点和点之间的距离为，已知电脑显示屏的宽为．（显示屏与底板的厚度忽略不计） (1)求此时显示屏的顶部边缘点离桌面的高度； (2)小亮将张角调整为（是点的对应点），此时显示屏的顶部边缘点离桌面的高度为，底板边缘点和点之间的距离为，当张角从调整为时，电脑显示屏的顶部边缘上升了多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）在中，利用勾股定理求解即可； （2）在，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，在中，， ∴， 答：此时显示屏的顶部边缘点离桌面的高度为； （2）解：由题意得，在中，， ∴， ， 答：电脑显示屏的顶部边缘上升了． 48．如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图．小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 【答案】(1)旗杆的高度为米 (2)此时绳结离地面米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． （1）由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答； （2）由题可知，米，米．在中根据勾股定理列出方程 ，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 答：旗杆的高度为米： （2）解：由题可知，米，米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴（米）， 答：此时，绳结离地面米高． 49．根据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”． (1)观察：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；…发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且，和， 发现规律：勾为n（，且n为奇数）时有：股，弦，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式？ (2)根据（1）的规律，用n（n为奇数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾，股，弦，写出它们之间的两种等量关系并对其中一种猜想加以证明． (3)继续观察①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述的探索的方法，直接用m（m为偶数，且m≥4）的代数式来表示它们的股和弦． 【答案】(1)7，24，25的股的算式是：，弦的算式是：； (2)成立，证明见解析 (3)股表示为，弦表示为 【分析】题目主要考查勾股定理的应用及新定义的计算方法与规律，理解题意，通过计算发现规律是解题关键． （1）先计算，然后根据计算找出相应规律求解即可； （2）依据（1）中的计算结果得出勾股弦的代数式，然后猜想关系证明即可； （3）根据（1）（2）中的方法先计算股、弦，然后找出规律得出表达式即可． 【详解】（1）解：，； ，； ∴7，24，25的股的算式为：；弦的算式为：； （2）当n 为奇数且时，勾、股、弦的代数式分别为：n，，， 猜想它们之间的关系为：①弦股；②勾股弦； 证明：①弦股； ②勾股 弦； （3）4，3，5的股、弦表示为：，； 6，8，10的股、弦表示为：，； … ∴m为勾，股表示为：；弦表示为：． 50．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论． 【方法运用】（1）千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2中的，，用两种方法表示出梯形的面积，说明勾股定理； 【方法迁移】（2）如图3，每个小方格的边长为1，点，，分别在格点上，连接点，，可得，求边上的高； 【方法拓展】（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，掌握利用面积证明勾股定理是解本题的关键． （1）利用直角梯形的面积的两种表示，列式化简即可得证； （2）设中边上的高为，计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵ ； 又， ， ∴， ； （2），， 设中边上的高为， ， ∴，即边上的高是； （3）在中， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $