2.2 第1课时 空间向量的概念及其线性运算-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修 第二册创新导学案word（湘教版）

该高中数学导学案聚焦空间向量的概念及其线性运算，通过平面向量到空间向量的推广过程导入，引导学生理解空间向量的定义、模、特殊向量等概念，掌握加减法和数乘运算，搭建从平面到空间的知识支架。 资料通过真假命题辨析强化数学抽象，结合正方体、空间四边形等模型培养直观想象，设置概念辨析、线性运算、共线证明等题型及分层练习，提升数学运算和逻辑推理能力，助力学生系统掌握空间向量知识。

数学　选择性必修·第二册（湘教） 第1课时　空间向量的概念及其线性运算 (教师独具内容) 课程标准：1．经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．2．经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算． 教学重点：1．空间向量的概念．2．空间向量的加减、数乘运算． 教学难点：空间几何体中向量的线性运算． 核心素养：1．通过对空间向量概念的学习提升数学抽象素养．2．通过对空间向量线性运算的学习培养直观想象素养和数学运算素养．3．通过运用空间向量的线性运算解决问题培养逻辑推理素养． 知识点一　空间向量 (1)定义 空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模 空间向量a的大小(或长度)称为a的模，记为|a|． (3)表示方法 几何 表示法 空间向量用有向线段表示 字母 表示法 如图，此向量的起点是A，终点是B，可记作a，也可记作，其模记为|a|或|| (4)几类特殊的空间向量 ①相等向量：方向相同且长度相等的向量称为相等向量． ②相反向量：方向相反、长度相等的向量称为相反向量． ③零向量：零向量的大小|a|＝0，用长度为0的有向线段表示，记作0．零向量所表示的位移的起点与终点重合，即保持起点不动．零向量的方向可以是任意的． 知识点二　空间向量的加减法 (1)定义 类似平面向量，定义空间向量的加减法运算(如图)： a＋b＝＋＝； a－b＝－＝． (2)空间向量的加法运算律 ①加法交换律：a＋b＝b＋a． ②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． (3)有限个空间向量的和：为了得到有限个空间向量的和，只需将这些空间向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和向量．例如，＋＋＝． 结论：三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量． 知识点三　向量与实数相乘 (1)向量λa的模：|λa|＝|λ||a|． (2)向量a与λa的关系 λ的范围 方向关系 λ>0 方向相同 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 λ<0 方向相反 (3)单位向量：长度为1的向量称为单位向量．对于每个非零向量a，与它方向相同的唯一单位向量e＝a． (4)共线向量：对于空间任意两个向量a，b(a≠0)，若b＝λa，其中λ为实数，则b与a共线或平行，记作b∥a．零向量与任意向量共线． (5)空间向量与实数的乘法运算律 ①对向量加法的分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb． ②对实数加法的分配律：(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a． 1．在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是长度相等，方向相反． 2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间向量的加、减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行． 3．空间向量进行减法运算时，一定要抓住向量的起点与终点，否则容易导致结果计算错误．如－，误写成，应为． 4．证明(或判断)A，B，C三点共线时，只需证明存在实数λ，使＝λ(或＝λ)即可，也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)”来证明A，B，C三点共线． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)零向量的方向是确定的．(　　) (2)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．(　　) (3)在空间中，互为相反向量的两个向量必共线．(　　) (4)空间向量的数乘中λ只决定向量的大小，不决定向量的方向．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)在单位正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与是________向量，向量与是________向量． (2)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＋＋＝________；－＋＝________． (3)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝________． 答案　(1)相等　相反　(2)　 (3)－a＋b－c 题型一　空间向量的基本概念 　给出下列命题： ①在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝； ②若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ③空间中任意两个单位向量必相等； ④只有零向量的模为0． 其中假命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　①是真命题．根据正方体的性质，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与的方向相同，模也相等，应有＝； ②是真命题．向量的相等满足递推规律； ③是假命题．空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等； ④是真命题．根据零向量的定义可知． [答案]　A 【感悟提升】 解决有关向量基本概念的问题，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例来排除或否定相关命题，在此过程中，要注意以下几点： (1)因为空间中任意两个向量都可以平移到同一平面上，故空间中任意两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决． (2)零向量是一个特殊的向量，易忽略，要注意！ (3)注意区别向量、向量的模、线段、线段的长度等概念． 【跟踪训练】 1.下列说法中正确的是(　　) A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反 B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律 D．在四边形ABCD中，一定有＋＝ 答案　B 解析　|a|＝|b|，说明a与b的模相等，但方向不确定，故A错误；向量a是向量b的相反向量，则b＝－a，故|a|＝|b|，故B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律，故C错误；只有在平行四边形ABCD中，＋＝才能成立，在其他四边形中，＋＝不成立，故D错误． 题型二　空间向量的加减运算 　如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出表示化简结果的向量． (1)－； (2)＋＋． [解]　(1)－＝－＝＋＝． (2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝． 向量，如图所示． 【感悟提升】 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 【跟踪训练】 2.如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，BD的中点，请化简下列运算，并在图中标出表示化简结果的向量． (1)－＋； (2)＋－． 解　(1)－＋＝＋＋＝． (2)＋－＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝． 作出向量，如图所示． 题型三　向量与实数相乘 　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M．求证：C1，O，M三点共线． [证明]　连接AO，AC1，A1C1． ∵＝， ∴＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋． ∵＝2，＝＋＝－＝－2， ∴＝(－2)＋＝＋． ∴－＝(－)，∴＝． ∴C1，O，M三点共线． 【感悟提升】 1．判断空间向量共线的策略 (1)熟记空间向量共线的充要条件：①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ，使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b． (2)判断空间向量共线的关键：找到实数λ． 2．证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使＝λ成立． (2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)． (3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)． 【跟踪训练】 3.已知空间向量e1，e2不共线，a＝3e1＋4e2，b＝－3e1＋8e2，判断a与b是否共线． 解　假设存在实数λ，使a＝λb， 即3e1＋4e2＝λ(－3e1＋8e2)， ∵e1，e2不共线， ∴无解． ∴不存在实数λ，使a＝λb， 即a与b不共线． 1．下列关于空间向量的命题中，是假命题的是(　　) A．任意两个向量共面 B．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 C．两个非零向量相加一定可以用平行四边形法则 D．平行且模相等的两个向量不一定是相等向量 答案　C 解析　空间中任意两个向量都是共面的，A为真命题；同平面向量一样，任意两个空间向量的模可以比较大小，但任意两个空间向量是不能比较大小的，B为真命题；当两个非零向量共线时，相加不能用平行四边形法则，C为假命题；根据相等的向量的定义，知大小相等、方向相同的两个向量是相等向量，平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，D为真命题．故选C． 2．已知空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 答案　A 解析　由已知可得＝a＋2b，＝＋＝2a＋4b，所以＝2，即，是共线向量，所以A，B，D三点共线． 3．(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是(　　) A．(－)－ B．(＋)－ C．(－)－ D．(－)＋ 答案　AB 解析　对于A，(－)－＝＋＋＝＋＋＝；对于B，(＋)－＝＋＋＝＋＝；对于C，(－)－＝－＝＋＝≠；对于D，(－)＋＝＋＋＝＋＋＝＋≠．故选AB． 4．化简2＋2＋3＋3＋＝________． 答案　0 解析　2＋2＋3＋3＋＝2(＋)＋3(＋)＋＝2＋3＋＝3＋3＝3(－)＝0． 5．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，M是C1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1＝4∶1．用a，b，c表示以下向量： (1)；(2)． 解　(1)＝＋＋＝＋＋＝a－b－c． (2)＝＋＝＋ ＝(－－＋)＋－ ＝－a＋b－c． 课后课时精练 一、选择题 1．下列命题中为真命题的是(　　) A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 答案　A 解析　因为向量与互为相反向量，所以||＝||，故A正确；将空间所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个球面，故B错误；空间向量可以用有向线段来表示，但二者并不相同，故C错误；两个空间向量不相等但有可能模相等，如相反向量，故D错误．故选A． 2．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设G是CD的中点，则＋(＋)等于(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　如图所示．∵G是CD的中点，∴(＋)＝，∴＋(＋)＝． 3．设棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点构成集合S，集合P＝{a|a＝，P1，P2∈S}，则集合P中模为的向量的个数是(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 答案　D 解析　集合P中模为的向量有，，，，，，，，所以集合P中模为的向量的个数是8．故选D． 4．(多选)在空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则下列各式中不成立的是(　　) A．＋－＋＝0 B．＋＋－＝0 C．＋－＋＝0 D．－＋＋＝0 答案　AD 解析　由于E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，所以四边形EFGH为平行四边形，其中＝，且＝，故＋＋－＝＋＋＋＝0，＋－＋＝＋＋＋＝＋＝0，即B，C正确，而A，D都不成立．故选AD． 5．已知空间四边形OABC，M在AO上，满足＝，N是BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量为(　　) A．a＋b＋c B．a＋b－c C．－a＋b＋c D．a－b＋c 答案　C 解析　因为空间四边形OABC中，M在AO上，满足＝，N是BC的中点，且＝a，＝b，＝c，所以＝＋＋＝＋＋(－)＝＋＋＝－a＋b＋c．故选C． 二、填空题 6．已知空间向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________． 答案　2 解析　因为a，c同向，a，b反向，所以|a＋b＋c|＝|a|－|b|＋|c|＝3－2＋1＝2． 7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．用，，表示向量，则＝________． 答案　＋＋ 解析　＝＋＋＝＋＋(＋)＝＋＋(－＋)＝＋＋． 8．已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________． 答案　3a＋3b－5c 解析　＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝(＋)＝3a＋3b－5c． 三、解答题 9．如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，化简下列表达式． (1)＋； (2)＋＋； (3)＋＋； (4)＋－． 解　(1)＋＝． (2)＋＋＝＋＝． (3)＋＋＝＋＋＝． (4)＋－＝(＋＋)＋(＋＋)－＝． 10．如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD′，BD的中点． 用向量a，b，c表示以下各向量： (1)；(2)． 解　(1)＝＋＋＝－b＋a－c． (2)＝＋＋ ＝＋＋ ＝(－b－c)＋a＋(－a＋b)＝(a－c)． 1．如图，几何体ABCD－A′B′C′D′是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N在BC′上， 且BN＝3NC′．试用，，表示． 解　连接BD，则M为BD的中点． 由BN＝3NC′，得＝， 则＝＋＝＋ ＝(＋)＋(＋) ＝(－＋)＋(＋) ＝＋＋． 2．空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别在边CB，CD上，且＝，＝．判断与是否共线？若共线，判断四边形EFGH的形状． 解　根据题意， ∵E，H分别是AB，AD的中点， ∴＝．① ∵＝－，＝－， 又＝，＝， ∴＝(－)＝．② 由①②得，＝． ∴与共线． ∴∥， 又||≠||，且点F不在直线EH上， ∴EH∥FG且EH≠FG． ∴四边形EFGH为梯形． 12 学科网（北京）股份有限公司 $