2.1.1-2.1.2 建立空间直角坐标系 空间两点间的距离-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修 第二册创新导学案word（湘教版）

数学　选择性必修·第二册（湘教） 2．1．1　建立空间直角坐标系 2．1．2　空间两点间的距离 (教师独具内容) 课程标准：1．在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置．2．借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式． 教学重点：1．点在空间直角坐标系中的坐标表示．2．空间两点间的距离公式． 教学难点：应用空间直角坐标系解决问题． 核心素养：1．通过学习空间直角坐标系的建系方法培养数学抽象素养．2．通过应用空间直角坐标系解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　空间直角坐标系 (1)定义 为了确定空间中的点的位置，我们可以在空间中任取一点O，以O为原点，作三条两两垂直的有向直线Ox，Oy，Oz，在这三条直线上选取共同的长度单位，分别建立坐标轴，依次称为x轴、y轴、z轴，从而组成了一个空间直角坐标系O－xyz，如图． (2)坐标平面 在空间直角坐标系O－xyz中，由两条坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，xOz平面． (3)右手螺旋法则 建立空间直角坐标系时，一般将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就垂直于水平面．它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向．我们也称这样的坐标系为右手系(如图)． (4)空间直角坐标系中点的坐标 若点P不在三个坐标平面内，则过点P分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点A，B，C．设交点A，B，C分别代表唯一的实数x，y，z，将这三个实数按顺序排成(x，y，z)，那么点P就对应唯一确定的有序实数组(x，y，z)． 此时，有序实数组(x，y，z)称为点P的坐标，记作P(x，y，z)，其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标，z称为点P的竖坐标． 知识点二　空间两点间的距离公式 (1)对于空间任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，有|AB|＝ ． (2)原点O到空间中任意一点P(x，y，z)的距离为|OP|＝． 1．特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示 点的位置 x轴 y轴 z轴 坐标表示 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) 点的位置 xOy平面 yOz平面 xOz平面 坐标表示 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 2．空间两点间距离的求解 (1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键． (2)若所给题目中未建立空间直角坐标系，需结合已知条件先建立适当的空间直角坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算． 3．空间中点坐标公式 对于空间任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，若点M为线段AB的中点，则M． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式．(　　) (2)空间直角坐标系中，点(1，，2)关于yOz平面的对称点为(－1，，2)．(　　) (3)在空间直角坐标系O－xyz中，已知点A的坐标为(－1，2，1)，点B的坐标为(1，3，4)，则|AB|＝．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√ 2．做一做 (1)在空间直角坐标系中，点P(3，4，5)与Q(－3，－4，5)两点的位置关系是(　　) A．关于z轴对称 B．关于xOy平面对称 C．关于坐标原点对称 D．以上都不对 (2)已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 (3)空间直角坐标系中，点(2，1，－3)关于坐标原点对称的点的坐标是________． 答案　(1)A　(2)C　(3)(－2，－1，3) 题型一　确定空间中点的坐标 　在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．试写出点E，F，G，H的坐标． [解]　如图，点E在z轴上，它的横、纵坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为． 过点F作FM⊥AD于M，FN⊥DC于N， 由平面几何知识，知FM＝，FN＝， 故点F的坐标为． 点G在y轴上，其横、竖坐标均为0， 又CG＝CD，所以GD＝， 故点G的坐标为． 过点H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点，故HK＝，CK＝． 所以DK＝，故点H的坐标为． 【感悟提升】 空间中点M的坐标的三种确定方法 (1)过M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的横坐标和纵坐标，再由射线M1M的指向和线段M1M的长度确定竖坐标． (2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标． (3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作坐标轴的垂线即可确定点M的坐标． 【跟踪训练】 1.如图所示，V－ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知AB＝2，VO＝3，建立如图所示的空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标． 解　∵底面是边长为2的正方形， ∴CE＝CF＝1． ∵点O是坐标原点，∴C(1，1，0)， 同样的方法可以确定B(1，－1，0)，A(－1，－1，0)，D(－1，1，0)． ∵V在z轴上，VO＝3，∴V(0，0，3)． 题型二　空间中点的对称 　在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)关于x轴对称的点的坐标是________；关于xOy平面对称的点的坐标是________；关于点A(1，0，2)对称的点的坐标是________． [解析]　点P关于x轴对称后，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数， 所以点P关于x轴的对称点P1的坐标为(－2，－1，－4)． 点P关于xOy平面对称后，横坐标、纵坐标均不变，竖坐标变为原来的相反数， 所以点P关于xOy平面的对称点P2的坐标为(－2，1，－4)． 设点P关于点A的对称点的坐标为P3(x，y，z)， 由中点坐标公式可得 解得 故点P关于点A(1，0，2)对称的点P3的坐标为(4，－1，0)． [答案]　(－2，－1，－4)　(－2，1，－4)　(4，－1，0) 【感悟提升】 求空间对称点的规律方法 (1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，需要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．解决关于坐标轴(坐标平面)的对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． (2)空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下： ①关于原点对称的点的坐标是P1(－x，－y，－z)； ②关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)； ③关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)； ④关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)； ⑤关于xOy平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)； ⑥关于yOz平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)； ⑦关于xOz平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)． 【跟踪训练】 2.已知在空间直角坐标系中点P(2，5，－3)． (1)求点P关于y轴对称的点的坐标； (2)求点P关于yOz平面对称的点的坐标； (3)求点P关于点N(－5，4，3)对称的点的坐标． 解　(1)由于点P关于y轴对称后，纵坐标不变，横坐标、竖坐标变为原来的相反数，故对称点的坐标为P1(－2，5，3)． (2)由于点P关于yOz平面对称后，纵坐标、竖坐标不变，横坐标变为原来的相反数，故对称点的坐标为P2(－2，5，－3)． (3)设所求对称点为P3(x，y，z)， 则点N为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得－5＝，4＝，3＝， 即x＝2×(－5)－2＝－12，y＝2×4－5＝3， z＝2×3－(－3)＝9，故P3(－12，3，9)． 题型三　空间两点间的距离 　在空间直角坐标系中，点A(1－t，1－t，t)，点B(2，t，t)，则|AB|的最小值是(　　) A． B． C． D． [解析]　∵A(1－t，1－t，t)，B(2，t，t)，∴|AB|2＝[2－(1－t)]2＋[t－(1－t)]2＋(t－t)2＝5t2－2t＋2＝5＋．∴(|AB|2)min＝．∴|AB|min＝． [答案]　C 【感悟提升】 已知两点坐标求距离，直接代入公式求解即可．求空间两点间距离的最值问题，主要是利用两点间距离公式，将距离转化成某动点坐标的函数表达式，利用二次函数求最值的方法求解．在解题过程中要注意动点坐标的取值范围． 【跟踪训练】 3.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PA＝AD＝1．在如图所示的空间直角坐标系中，|MN|＝________． 答案　 解析　连接PD，因为M，N分别为CD，PC的中点，所以|MN|＝|PD|，又P(0，0，1)，D(0，1，0)，所以|PD|＝＝，所以|MN|＝． 1．如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1， B1E1＝A1B1，则点E1的坐标为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由题图易知E1．故选C． 2．在空间直角坐标系中，点A(x2＋4，4－y，1＋2z)，B(－4x，9，7－z)关于y轴对称，则x，y，z的值依次是(　　) A．1，－4，9 B．2，－5，－8 C．2，5，8 D．－2，－5，8 答案　B 解析　∵A，B两点关于y轴对称，所以解得故选B． 3．(多选)设M，C(0，1，0)，则下列给出的各点中，到点M的距离与点C到点M的距离相等的是(　　) A．E(0，2，0) B．F(0，2，3) C．P(0，2，6) D．Q(0，2，8) 答案　AC 解析　M，C(0，1，0)，|CM|＝＝．对于A，|EM|＝＝＝|CM|，故A正确；对于B，|FM|＝＝≠|CM|，故B错误；对于C，|PM|＝＝＝|CM|，故C正确；对于D，|QM|＝＝≠|CM|，故D错误．故选AC． 4．如图，在空间直角坐标系中有三棱锥P－ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC的中点，则|MN|＝________． 答案　 解析　∵M，N分别为PC，AC的中点，∴|MN|＝|PA|，∵A(1，0，0)，P(0，0，1)， ∴|PA|＝＝，∴|MN|＝． 5．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为平面A1B1C1D1的中心，求AP，B1P，AB1的长度，并证明AP⊥B1P． 解　建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz， 则A(1，0，0)，B1(1，1，1)，P， 由空间两点间的距离公式得 |AP|＝＝， |B1P|＝＝， |AB1|＝＝， ∴|AP|2＋|B1P|2＝＋＝2 ＝|AB1|2， ∴AP⊥B1P． 课后课时精练 一、选择题 1．点(2，0，3)在空间直角坐标系中的位置是(　　) A．在y轴上 B．在xOy平面上 C．在xOz平面上 D．在x轴上 答案　C 解析　横坐标与竖坐标不为零，纵坐标为零，故C正确． 2．已知空间两点A(1，2，3)，B(2，－1，5)，则|AB|＝(　　) A． B． C．10 D．14 答案　B 解析　|AB|＝＝． 3．在空间直角坐标系中，P(2，3，4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于z轴对称 D．关于原点对称 答案　D 解析　由空间直角坐标系中，点(a，b，c)与点(－a，－b，－c)关于原点对称，故选D． 4．若点P(－4，－2，3)关于坐标平面xOz和y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为(　　) A．7 B．－7 C．－1 D．1 答案　A 解析　P(－4，－2，3)关于坐标平面xOz的对称点的坐标为(－4，2，3)，点P(－4，－2，3)关于y轴的对称点的坐标为(4，－2，－3)，∵点P(－4，－2，3)关于坐标平面xOz及y轴的对称点的坐标分别为(a，b，c)，(e，f，d)，∴c＝3，e＝4，∴c＋e＝7． 5．正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，点P在对角线BD′上，且BP＝BD′，建立如图所示的空间直角坐标系，则点P的坐标为(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　如图所示，过点P分别作xOy平面和z轴的垂线，垂足分别为E，H，过E分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为F，G，由于BP＝BD′，所以DH＝DD′＝，DF＝DA＝，DG＝DC＝，所以点P的坐标为．故选D． 二、填空题 6．在空间直角坐标系中，过点A(1，2，－3)作z轴的垂线，交z轴于点M，则垂足M的坐标为________． 答案　(0，0，－3) 解析　由于z轴上的点的横、纵坐标都为0，且点M的竖坐标与点A的竖坐标相同，所以垂足M的坐标为(0，0，－3)． 7．若点A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________． 答案　(0，0，3) 解析　设点P(0，0，z)，由|PA|＝|PB|，得＝，解得z＝3，所以点P的坐标为(0，0，3)． 8．方程(x＋2)2＋(y－6)2＋(z－1)2＝25的几何意义是________________________________． 答案　表示一个半径为5，球心为M(－2，6，1)的球面 解析　因为(x＋2)2＋(y－6)2＋(z－1)2＝25，所以＝5，即动点P(x，y，z)到定点M(－2，6，1)的距离等于5，所以(x＋2)2＋(y－6)2＋(z－1)2＝25表示一个半径为5，球心为M(－2，6，1)的球面． 三、解答题 9．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝3，AA1＝1，点M在A1C1上，且MC1＝2A1M，点N在D1C上，且为D1C的中点，建立适当的空间直角坐标系，求M，N两点间的距离． 解　如图所示，连接MN，以A为原点，分别以有向直线AB，AD，AA1为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则C(2，3，0)，D1(0，3，1)，A1(0，0，1)，C1(2，3，1)． ∵N为D1C的中点，∴N． 又MC1＝2A1M，∴M． ∴|MN|＝＝， 即M，N两点间的距离是． 10．求证：以A(4，1，9)，B(10，－1，6)，C(2，4，3)为顶点的三角形是等腰直角三角形． 证明　因为|AB|＝＝7， |AC|＝＝7， |BC|＝ ＝7， 所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，|AB|＝|AC|， 所以△ABC为等腰直角三角形． 1．一束光线自点P(－1，1，1)发出，被yOz平面反射后到达点Q(－6，3，3)被吸收，则光线所走的路程是(　　) A． B． C． D．3 答案　C 解析　因为点Q(－6，3，3)关于yOz平面的对称点为Q′(6，3，3)，所以光线所走的路程为|PQ′|＝＝．故选C． 2．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点． (1)求BM，BN的长； (2)求△BMN的面积． 解　以C为原点，分别以有向直线CA，CB，CC1为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系(如图)，则B(0，1，0)，M(1，0，1)，N． (1)|BM|＝＝， |BN|＝＝． (2)|MN|＝＝． ∴cos∠MBN＝＝＝， ∴sin∠MBN＝＝， 故S△BMN＝|BM||BN|sin∠MBN＝×××＝， 即△BMN的面积为． 12 学科网（北京）股份有限公司 $