1.3.4 导数的应用举例 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（湘教版）

1.3.4　导数的应用举例 [课时跟踪检测] 1.某箱子的体积V与底面边长x的关系为V(x)=x2(0<x<60),则当箱子的体积最大时,箱子的底面边长为 (　　) A.30 B.40 C.50 D.55 解析:选B　由题意得V'(x)=-x2+60x=-x(x-40),因为0<x<60,所以当0<x<40时,V'(x)>0,V(x)单调递增;当40<x<60时,V'(x)<0,V(x)单调递减.所以V(40)是V(x)的最大值,即当箱子的体积最大时,箱子的底面边长为40. 2.现要做一个容积为256 m3的方底无盖水箱,所用材料最省时,它的高为 (　　) A.6 m B.8 m C.4 m D.2 m 解析:选C　设水箱的底面边长为x m,高为h m,则有x2h=256,所以h=.设所用材料的面积为S m2,则有S=4x·h+x2=4x·+x2=+x2,所以S'=2x-,令S'=0,得x=8,当x∈(0,8)时,S'<0,当x∈(8,+∞)时,S'>0,即x=8时S取得最小值.因此当h==4,即高为4 m时,所用材料最省. 3.张师傅欲将一球形的石材工件削砍加工成一圆柱形的新工件.已知原球形工件的半径为R,则张师傅的材料利用率的最大值等于 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　设圆柱形工件的高为h,底面半径为r,则圆柱形工件的体积为V(h)=πr2h=πh,则V'(h)=π,令V'(h)=0得h=R或- R(舍).当0<h<R时,V'(h)>0,当h>R时,V'(h)<0,所以当h=R时,圆柱的体积最大,最大值为π· R·= R3,所以材料利用率为=. 4.“如意金箍棒”是神话小说《西游记》中孙悟空所使用的兵器,大小可随意变化.假设其变化时形状始终保持为圆柱体,底面半径原为12 cm,且以1 cm/s等速率缩小,而长度以20 cm/s等速率增长.若“如意金箍棒”的底面半径从12 cm缩到4 cm的过程中,底面半径为10 cm时,体积最大,则其体积最小时底面半径为 (　　) A.7 cm B.6 cm C.5 cm D.4 cm 解析:选D　设“如意金箍棒”变化前的长度为a cm,t s时的体积为V(t),则V(t)=π(12-t)2(a+20t),0≤t≤8.所以V'(t)=[-2(12-t)(a+20t)+20(12-t)2]π.令12-t=10,解得t=2,因为当底面半径为10 cm时,V(t)最大,所以V'(2)=0,得a=60.所以V(t)=20π(12-t)2(3+t),0≤t≤8,V'(t)=60π(t-12)(t-2).当V'(t)>0,即t∈(0,2)时,V(t)单调递增;当V'(t)<0,即t∈(2,8)时,V(t)单调递减.因为V(0)=8 640π,V(8)=3 520π,所以当t=8时,V(t)有最小值3 520π,此时“如意金箍棒”的底面半径为4 cm. 5.某厂生产x件产品的总成本为C万元,产品单价为P万元,且满足C=1 200+x3,P=,则总利润最大时,x= (　　) A.25 B.26 C.24 D.28 解析:选A　总利润L(x)=x·-1 200-x3=-x3+500-1 200(x>0), 由L'(x)=-x2+=0,得x=25. 令L'(x)>0,得0<x<25,令L'(x)<0,得x>25.所以L(x)在(0,25)上单调递增,在(25,+∞)上单调递减,故当x=25时,总利润最大. 6.[多选]已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1 000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)=当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时,则有 (　　) A.年产量为9 000件 B.年产量为10 000件 C.年利润最大值为38万元 D.年利润最大值为38.6万元 解析:选AD　设年利润为W.当0<x≤10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x--10, W'=8.1-.令W'=0,得x=9(舍负), 且当x∈(0,9)时,W'>0;当x∈(9,10]时,W'<0; 所以当x=9时,年利润W取得最大值38.6; 当x>10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98--2.7x,W'=-2.7. 令W'=0,得x=(舍负), 所以当x=时,年利润W取得最大值38. 因为38.6>38,所以当年产量为9 000件时, 该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大,且年利润最大值为38.6万元. 7.(5分)做一个无盖的圆柱形水桶,若要使水桶的容积是27π,且用料最省,则水桶的底面半径为　　　　.  解析:不妨设该圆柱形水桶的底面半径为r,其高为h,则由其容积为27π可得27π=πr2×h,即h=, 故该无盖圆柱形水桶的表面积S=πr2+2πrh=πr2+,令y=πr2+(r>0),则y'=,当0<r<3时,y'<0,此时该函数单调递减,当r>3时,y'>0,该函数单调递增,故当r=3时,y=πr2+(r>0)取得最小值,也即该水桶用料最省. 答案:3 8.(5分)某银行准备设一种新的定期存款业务,经预测,存款额与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x∈(0,4.8%)),则使银行获得最大收益的存款利率为　　　　.  解析:依题意知,存款额是kx2,银行应支付的存款利息是kx3,银行应获得的贷款利息是0.048kx2,所以银行的收益是y=0.048kx2-kx3(x∈(0,4.8%)),故y'=0.096kx-3kx2,令y'=0,解得x=0.032或x=0(舍去),当0<x<0.032时,y'>0,当0.032<x<0.048时,y'<0.因此,当x=0.032时,y取得极大值,也是最大值,即当存款利率为3.2%时,银行可获得最大收益. 答案:3.2% 9.(5分) 某中学开展劳动实习,学习加工制作模具,有一个模具的毛坯直观图如图所示,是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体,其中圆柱体的底面半径为1,高为2,半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间,该中空的圆柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行,挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成,则该模具体积的最小值为　　　　.  解析: 设中空圆柱的底面半径为r, 圆柱的高为2+h(0<h<2), 则r2+=1,r2=1-, ∴中空圆柱的体积V=πr2(2+h)=π(2+h). V'=-π, 可得当h∈时,V'>0, 当h∈时,V'<0, 则当h=时,V取得最大值为π, 又毛坯的体积为π×12×2+π×13=, ∴该模具体积的最小值为-π=. 答案: 10.(10分)将一条长为l的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,要使两个正方形的面积和最小,两段铁丝的长度分别是多少? 解:设一个正方形的边长为x,则另一个正方形的边长为-x, ∴两个正方形的面积和S=x2+=2x2-+,则S'=4x-, ∴x=时S'=0, 故当0<x<时,S'<0,S单调递减; 当<x<时,S'>0,S单调递增; ∴当x=时,S的极小值也是最小值为,此时另一个正方形的边长也为.综上,当两段铁丝的长度都为时,它们的面积和最小. 11.(15分) 蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子,建造和搬迁都很方便,适于游牧生活.其结构如图所示,上部分是侧棱长为3的正六棱锥,下部分是高为1的正六棱柱,P,Q分别为正六棱柱上底面与下底面的中心. (1)若OP长为x,把蒙古包的体积V表示为x的函数;(7分) (2)求蒙古包体积的最大值.(8分) 解:(1)正六边形的边长a=(0<x<3),底面积S=6×a2×sin 60°=(9-x2),于是V=V柱+V锥=(9-x2)+×(9-x2)x =-(x3+3x2-9x-27),其中0<x<3. (2)∵V(x)=-(x3+3x2-9x-27),0<x<3,∴V'(x)=-(3x2+6x-9)=-(x2+2x-3)=-(x+3)(x-1), 当x∈(0,1)时,V'(x)>0,V(x)单调递增, 当x∈(1,3)时,V'(x)<0,V(x)单调递减, 所以当x=1时,V(x)max=16. 综上,当x=1时,蒙古包体积最大,且最大体积为16. 12.(15分) 如图,工厂A到铁路专用线的距离AB=20 km,在铁路专用线上距离B 100 km的地方有一个配件厂C,现在准备在专用线的BC段选一处D铺设一条公路(向着A),为了使得配件厂到工厂A的运费最省,那么D处应如何选址?(已知每千米的运费铁路是公路的60%) 解:设BD=x,AD=,CD=100-x,设公路每千米的运费为a,则铁路每千米的运费为a,则配件厂到工厂A所需的总运费为y=a+a(100-x)(0≤x≤100), y'=-a=. 令y'=0,即=0, 得5=3, 解得x1=15,x2=-15(不合题意,舍去). 当0≤x<15时,y'<0;当15<x≤100时,y'>0,即当x=15时,函数y=a+a(100-x)取最小值. 故D处选在距点B处15 km时运费最省. 学科网（北京）股份有限公司 $