1.1.3 导数的几何意义-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修 第二册创新导学案word（湘教版）

该高中数学导学案聚焦“导数的几何意义”，通过割线PQ随Δx→0趋近切线PT的动态过程，直观呈现导数与切线斜率的关系，衔接导数定义，为切线方程求解及应用搭建学习支架。 资料以图象直观助力理解几何意义，培养直观想象素养，通过“点在曲线上与不在曲线上”的切线方程分类题型及辨析题，训练数学思维，分层练习设计帮助学生巩固重点，提升自主学习效率。

数学　选择性必修·第二册（湘教） 1．1．3　导数的几何意义 (教师独具内容) 课程标准：通过函数图象直观理解导数的几何意义． 教学重点：1．导数的几何意义．2．求曲线的切线方程． 教学难点：通过函数图象理解导数的几何意义． 核心素养：通过学习导数的几何意义培养直观想象素养． 知识点一　曲线的切线 如图，设函数y＝f(x)的图象是一条光滑曲线，P(x0，f(x0))，Q(x0＋Δx，f(x0＋Δx))是该曲线上的两点，这时直线PQ称为该曲线的一条割线．可以发现，当点Q沿该曲线无限趋近点P(即Δx→0)时，割线PQ将绕点P转动并趋于一确定的位置PT，则称该位置上的直线PT为曲线在P点的切线，或称直线PT与曲线在点P处相切，其中点P称为切点． 知识点二　导数的几何意义 当Δx→0时，割线PQ趋近于切线PT，于是，割线PQ的斜率将趋近于切线PT的斜率，因为割线PQ的斜率为，且由导数的定义可知，当Δx→0时，→f′(x0)，因此，切线PT的斜率k就是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，即k＝f′(x0)． 当函数y＝f(x)表示曲线方程时，其导数的几何意义就是该曲线在点(x，f(x))处的切线的斜率． 对导数几何意义的理解 (1)若函数在某点处的导数存在，则函数图象在该点处的切线斜率存在，故切线一定存在； 若函数在某点处的导数不存在，则函数图象在该点处的切线斜率不存在，但切线不一定不存在．如函数f(x)＝x在x＝0处的导数不存在，但函数f(x)的图象在x＝0处的切线存在，为y轴所在的直线． (2)曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．(　　) (2)已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P的横坐标为1．(　　) (3)双曲线y＝－在点处的切线的斜率大于在点处的切线的斜率．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√ 2．做一做 (1)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 (2)曲线y＝2x2－x在x＝2处的切线方程为________． (3)若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，抛物线在点P处的切线恰好过坐标原点，则c的值为________． 答案　(1)A　(2)y＝7x－8　(3)4 题型一　求切线的方程 　已知曲线方程f(x)＝x2． (1)求点A(2，4)处与曲线相切的直线方程； (2)求过点B且与曲线相切的直线方程． [解]　(1)∵A(2，4)在f(x)＝x2上，由f(x)＝x2，得f′(x)＝ ＝2x． ∴f′(2)＝4． ∴切线方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0． (2)设切点坐标为(x0，x)． 由(1)得f′(x)＝2x，∴f′(x0)＝2x0． ∴切线方程为y－x＝2x0(x－x0)． ∵点在切线上， ∴6－x＝2x0， 即x－7x0＋6＝0，解得x0＝1或x0＝6， ∴切线方程为2x－y－1＝0或12x－y－36＝0． 【感悟提升】 利用导数的几何意义求切线方程的分类 (1)当已知的点在曲线上且切于该点时，直接利用导数求切线的斜率，写出直线方程． (2)当已知点不是切点时，设出切点，利用导数表示出切线斜率，写出切线方程，代入点的坐标，求出切点坐标，写出直线方程． 【跟踪训练】 1.已知曲线C：f(x)＝x3． (1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程； (2)求过点(1，1)与f(x)＝x3相切的直线方程． 解　(1)∵f′(x)＝ ＝ ＝ (d2＋3x2＋3xd)＝3x2， ∴f′(1)＝3×12＝3，又f(1)＝13＝1， ∴切线方程为y－1＝3(x－1)， 即3x－y－2＝0． (2)设切点为P(x0，x)， 由(1)知切线斜率为k＝f′(x0)＝3x， 故切线方程为y－x＝3x(x－x0)． 又点(1，1)在切线上，将其代入切线方程得1－x＝3x(1－x0)，即2x－3x＋1＝0， 解得x0＝1或x0＝－． 故所求的直线方程为y－1＝3(x－1)或y－1＝(x－1)， 即3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0． 题型二　导数几何意义的应用 　在曲线f(x)＝x2上哪一点处的切线： (1)平行于直线y＝4x－5? (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0? (3)倾斜角为135°？ [解]　设P(x0，y0)是满足条件的点， 则f′(x0)＝ ＝ ＝2x0． (1)因为切线与直线y＝4x－5平行， 所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4， 即P(2，4)是满足条件的点． (2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直， 所以2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝， 即P是满足条件的点． (3)因为切线的倾斜角为135°， 所以其斜率为－1，即2x0＝－1， 得x0＝－，y0＝， 即P是满足条件的点． 【感悟提升】 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系、平行、垂直等． 【跟踪训练】 2.已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标． 解　设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)， ∵f′(x0)＝ ＝ ＝3x－4x0． 由题意可知k＝4， 即3x－4x0＝4， 解得x0＝－或x0＝2， ∴切点坐标为或(2，3)． 当切点为时，有＝4×＋a， 解得a＝． 当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a， 解得a＝－5． ∴当a＝时，切点坐标为； 当a＝－5时，切点坐标为(2，3)． 1．某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：h)近似满足函数关系：V(t)＝H(H为常数)，其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为(m3/h)，观察图象可知瞬时融化速度等于(m3/h)的时刻是图中的(　　) A．t1 B．t2 C．t3 D．t4 答案　C 解析　如图所示，平均融化速度实际上是点A与点B连线的斜率k；瞬时融化速度的几何意义就是曲线V(t)在某时刻的切线斜率，通过对比，t3时刻曲线的切线斜率与k相等，故瞬时融化速度等于(m3/h)的时刻是t3． 2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　) A．不存在 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直 答案　B 解析　函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零． 3．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线 B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)不一定存在 C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在 D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线 答案　BC 解析　对于A，若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处可能有切线x＝x0，A错误；对于B，若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)不一定存在，B正确；对于C，由导数的几何意义可知，曲线在某点处的切线的斜率为该点处的导数，若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率一定不存在，C正确；对于D，若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处可能有切线为x＝x0，D错误．故选BC． 4．如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)＝(　　) A． B．3 C．4 D．5 答案　A 解析　根据导数的几何意义知f′(4)是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线的斜率k，注意到k＝＝，所以f′(4)＝． 5．已知曲线y＝2x2－7，求曲线过点P(3，9)的切线方程． 解　y′＝ ＝ (4x＋2d)＝4x． 因为2×32－7＝11≠9， 所以点P(3，9)不在曲线上． 设所求切线的切点为A(x0，2x－7)， 则切线的斜率k＝4x0． 又因为点P(3，9)，A(x0，2x－7)都是切线上的点， 所以k＝＝4x0， 解得x0＝2或x0＝4． 当x0＝2时，k＝8，切点为(2，1)， 切线方程为y－1＝8(x－2)， 即8x－y－15＝0； 当x0＝4时，k＝16，切点为(4，25)， 切线方程为y－25＝16(x－4)， 即16x－y－39＝0． 故所求的切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0． 课后课时精练 一、选择题 1．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则(　　) A．f′(x0)>0 B．f′(x0)＝0 C．f′(x0)<0 D．f′(x0)不存在 答案　C 解析　根据导数的几何意义，f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点x0处切线的斜率，因为切线斜率k＝－2<0，所以f′(x0)<0． 2．已知曲线f(x)＝x2－2上一点P，则曲线在点P处的切线的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．135° D．165° 答案　B 解析　因为f(x)＝x2－2，所以f′(x)＝ ＝ ＝x，所以曲线在点P处的切线的斜率为1，所以曲线在点P处的切线的倾斜角为45°． 3．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是(　　) A．(1，1) B．(－1，1) C．(1，1)或(－1，－1) D．(2，8)或(－2，－8) 答案　C 解析　因为y＝x3，所以y′＝ ＝ (3x2＋3xd＋d2)＝3x2．由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1．当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1．故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1)． 4．函数f(x)的图象如图所示，下列排序正确的是(　　) A．0<f′(2)<f′(3)<f′(4) B．0<f′(3)<f′(4)<f′(2) C．0<f′(4)<f′(3)<f′(2) D．0<f′(2)<f′(4)<f′(3) 答案　C 解析　由导数的几何意义可知，函数f(x)在点x0处的导数即为曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，又由图象可知曲线f(x)在x＝2，3，4处的切线的斜率逐渐减小．所以0<f′(4)<f′(3)<f′(2)，故选C． 5．(多选)已知抛物线y＝x2＋bx＋c在点(1，2)处的切线与直线y＝x－2平行，则(　　) A．b＝－1 B．b＝1 C．c＝－2 D．c＝2 答案　AD 解析　∵点(1，2)在抛物线y＝x2＋bx＋c上，∴2＝1＋b＋c，即b＋c＝1　①．∵抛物线在点(1，2)处的切线与直线y＝x－2平行，∴f′(1)＝1，而f′(1)＝ ＝ ＝ (d＋2＋b)＝2＋b．∴2＋b＝1　②． 由①②可得b＝－1，c＝2． 二、填空题 6．设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为________． 答案　(1，0) 解析　设点M(x0，y0)，得k＝ ＝2x0＋1，令2x0＋1＝3，得x0＝1，则y0＝0． 7．设点P是曲线f(x)＝x3－x＋上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则α的取值范围为________． 答案　∪ 解析　设P(x0，y0)，∵f′(x)＝ ＝3x2－，∴切线的斜率k＝3x－，∴tanα＝3x－≥－，又0≤α<π，∴α∈∪． 8．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)＝________． 答案　1 解析　由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点(4，0)，与y轴交于点(0，4)，则可知l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴f(2)＋f′(2)＝1． 三、解答题 9．求过点P(－1，2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1，1)处的切线平行的直线方程． 解　设曲线y＝3x2－4x＋2在M(1，1)处的切线的斜率为k，令y＝f(x)＝3x2－4x＋2， 则k＝f′(1)＝ ＝ (3d＋2)＝2． 设过点P(－1，2)且斜率为2的直线为l， 则由点斜式得l的方程为y－2＝2(x＋1)， 化为一般式为2x－y＋4＝0， 所以所求直线方程为2x－y＋4＝0． 10．求曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积． 解　联立两曲线方程得解得 即交点坐标为(1，1)．令f(x)＝，g(x)＝x2． 曲线y＝在点(1，1)处的切线斜率为 f′(1)＝ ＝ ＝－1， 所以曲线y＝在点(1，1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2． 同理，曲线y＝x2在点(1，1)处的切线斜率为 g′(1)＝ ＝ ＝ (2＋d)＝2， 所以曲线y＝x2在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)， 即y＝2x－1． 两条切线y＝－x＋2和y＝2x－1与x轴所围成的图形如图所示， 所以所求三角形的面积为S＝×1×＝． 1．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a>0)．若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，求a，b的值． 解　因为 ＝ ＝， 所以 ＝＝， 解得a＝2或a＝－(不符合题意，舍去)． 将a＝2代入f(1)＝a＋＋b＝， 解得b＝－1． 所以a＝2，b＝－1． 2．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2． (1)求直线l2的方程； (2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积． 解　(1)设f(x)＝y＝x2＋x－2， f′(1)＝ ＝3， 所以l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3． 设曲线y＝x2＋x－2在点B(b，b2＋b－2)处的切线为l2， f′(b)＝ ＝2b＋1， 所以l2的方程为y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)(x－b)， 即y＝(2b＋1)x－b2－2． 因为l1⊥l2，所以3×(2b＋1)＝－1， 所以b＝－， 所以l2的方程为y＝－x－． (2)由得 即l1与l2的交点坐标为，l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1，0)，， 所以所求三角形的面积S＝××＝． 1 学科网（北京）股份有限公司 $