1.1.2 瞬时变化率与导数-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修 第二册创新导学案word（湘教版）

该高中数学导学案围绕瞬时变化率与导数展开，引导学生从平均变化率过渡到瞬时变化率，通过运动物体瞬时速度等实例导入，构建从具体到抽象的学习支架，涵盖瞬时速度求法、导数定义及导函数等核心知识点。 资料结合高台跳水、沥青加热等实例设计题型，分层次设置判断、例题及跟踪训练，帮助学生通过数学运算掌握计算方法，通过数学抽象理解导数内涵，培养逻辑推理与应用意识，提升数学核心素养，便于师生高效教学与学习。

数学　选择性必修·第二册（湘教） 1．1．2　瞬时变化率与导数 (教师独具内容) 课程标准：1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．2．体会极限思想． 教学重点：1．瞬时速度的求法．2．理解导数的概念． 教学难点：1．求瞬时速度的极限方法．2．理解导数与瞬时变化率的关系． 核心素养：1．通过学习瞬时速度的求法提升数学运算素养．2．通过学习导数的概念培养数学抽象素养． 知识点一　求运动物体的瞬时速度 若物体的运动方程为s＝f(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)，就是平均速度v(t，d)＝在d趋近于0时的极限．这个极限记为 ． 知识点二　函数的瞬时变化率 一般地，若函数y＝f(x)的平均变化率在d趋近于0时，有确定的极限值，则称这个值为该函数在x＝u处的瞬时变化率．函数的瞬时变化率，数学上叫作函数的导数或微商． 知识点三　y＝f(x)在x＝x0处的导数 设函数y＝f(x)在包含x0的某个区间上有定义，在d趋近于0时，如果比值趋近于一个确定的极限值，则称此极限值为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数或微商，记作f′(x0)．这时我们就说f(x)在点x0处的导数存在，或者说f(x)在点x0处可导或可微．可简单地表述为：→f′(x0)(d→0)，读作“d趋近于0时，趋近于f′(x0)”． 知识点四　导函数 若y＝f(x)在定义区间中任一点的导数都存在，则f′(x)(或y′)也是x的函数，我们把f′(x)(或y′)叫作y＝f(x)的导函数或一阶导数．若f′(x)在定义区间中任一点处都可导，则它的导数叫作f(x)的二阶导数，记作f″(x)．类似地，可以定义三阶导数f(x)等． 1．对瞬时速度的理解 (1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率． (2)在平均变化率中，d趋近于0是指时间间隔d越来越短，能越过任意小的时间间隔，但始终不能为0． 2．对导数概念的理解 函数在某处的导数即为函数在该处的瞬时变化率，有两层含义： (1) 存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值； (2) 不存在，则称f(x)在x＝x0处不可导． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与d值的正、负无关．(　　) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　　) (3)函数y＝f(x)在点x0处的导数，即函数在点x0处的瞬时变化率．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√ 2．做一做 (1)函数在某一点的导数是(　　) A．在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比 B．一个函数 C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 (2)函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值为________． (3)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位： m)是h(t)＝－4．9t2＋6．5t＋10，则该高台跳水运动员在t＝1 s时的瞬时速度为________． 答案　(1)C　(2)0　(3)－3．3 m/s 题型一　物体运动的瞬时速度 　一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s(t)＝3t－t2． (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在t＝2时的瞬时速度． [解]　(1)当t＝0时的速度为初速度． 物体在[0，d]这个时间区间内的平均速度为＝＝3－d． 当d趋近于0时，3－d趋近于3， 所以物体的初速度为3 m/s． (2)物体在[2，2＋d]这个时间区间内的平均速度为 ＝ ＝－1－d． 当d趋近于0时，－1－d趋近于－1， 所以物体在t＝2时的瞬时速度为－1 m/s． 【感悟提升】 若物体的运动方程为y＝f(t)，要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量d，求出平均速度＝，计算当d趋近于0时，趋近于常数，就是物体在t时刻的瞬时速度． 【跟踪训练】 1.若一物体的运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)s＝f(t)＝ 求：(1)物体的初速度v0； (2)物体在t＝1时的瞬时速度． 解　(1)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度． ∵物体在t＝0附近的平均速度为 ＝＝3d－18， 当d趋近于0时，3d－18趋近于－18． ∴物体的初速度v0＝－18 m/s． (2)∵物体在t＝1附近的平均速度为 ＝ ＝3d－12， 当d趋近于0时，3d－12趋近于－12． ∴物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s． 题型二　求函数在某点处的导数 　利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数． [解]　f(2＋d)－f(2)＝－(2＋d)2＋3(2＋d)－2＝－d2－d， ＝－d－1， 当d→0时，－d－1→－1， 所以f′(2)＝－1． 【感悟提升】 由导数的定义，我们可以得到求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的方法： (1)求平均变化率； (2)取极限，令d趋近于0，得导数f′(x0)． 【跟踪训练】 2.(1)求函数f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数． 解　f(3＋d)－f(3) ＝2(3＋d)2＋4(3＋d)－(2×32＋4×3) ＝12d＋2d2＋4d＝2d2＋16d， ∴＝＝2d＋16． 当d→0时，2d＋16→16，因此f′(3)＝16． (2)若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值． 解　∵f(1＋d)－f(1)＝a(1＋d)2＋c－a－c＝ad2＋2ad． ＝ad＋2a，当d→0时，ad＋2a→2a，则f′(1)＝2a，即2a＝2， ∴a＝1． 题型三　导数在实际问题中的应用 　柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的．铺路工人需要对沥青加热使其由固体变成粘稠液体，如果开始加热后第x h的沥青温度(单位：℃)为f(x)＝80x2＋20，0≤x≤1，求第0．25 h时，沥青温度的瞬时变化率，并说明它的实际意义． [解]　因为f(x)＝80x2＋20，0≤x≤1， 所以 ＝ ＝＝40＋80d． 当d→0时，40＋80d→40， 所以f′(0．25)＝40． 所以第0．25 h时，沥青温度的瞬时变化率为40，它表示在x＝0．25 h附近，沥青的温度以40 ℃/h的速率上升． 【感悟提升】　一般地，函数在某点处的导数即在该点处的瞬时变化率，它反映了函数在该点处的变化状态．如以时间为自变量的位移函数的导数表示某时刻物体的运动速度，即v＝s′(t)；以时间为自变量的速度函数的导数表示某时刻物体的加速度，即a＝v′(t)． 【跟踪训练】 3.半径为R的气球，求半径为1时体积的瞬时变化率，并说明这一瞬时变化率的实际意义． 解　半径为R的气球体积为f(R)＝πR3， ∴＝ ＝π(3＋3d＋d2)， 当d→0时，π(3＋3d＋d2)→4π， ∴f′(1)＝4π， ∴球的体积在半径R＝1时的瞬时变化率为4π， 实际意义是，当半径改变量d很小时，其体积的改变量近似值为4πd． 1．函数f(x)＝2x2－1在x＝2处的导数为(　　) A．8＋4d B．8＋2d C．4 D．8 答案　D 解析　由已知，得f′(2)＝ ＝ ＝ ＝ (2d＋8)＝8，所以f(x)＝2x2－1在x＝2处的导数为8．故选D． 2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3 s末的瞬时速度是(　　) A．7 m/s B．6 m/s C．5 m/s D．8 m/s 答案　C 解析　∵＝＝5＋d，当d趋近于0时，5＋d趋近于5，故瞬时速度为5 m/s． 3．已知函数f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值为(　　) A．±2 B．2 C．－2 D．－4 答案　A 解析　由于f′(m)＝ ＝－，于是有－＝－，m2＝4，解得m＝±2． 4．人感冒服药后，血液中药物的质量浓度y是时间t的函数y＝f(t)(y的单位：μg/mL，t的单位：min)，假设函数y＝f(t)在t＝20时的导数f′(20)＝1．2，则其实际意义是________________________________________． 答案　表示服药后20 min时，血液中药物质量浓度上升的速度为1．2 μg/(mL·min) 解析　函数在某点处的导数反映的是函数在该点处的变化情况，在本题中反映的是血液中药物质量浓度上升或下降的速度． 5．航天飞机发射后的一段时间内，第t s时的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s． (1)h(0)，h(1)分别表示什么； (2)求第1 s内航天飞机的平均速度； (3)求第1 s末航天飞机的瞬时速度，并说明它的意义． 解　(1)h(0)表示航天飞机未发射时的高度，h(1)表示航天飞机发射1 s后的高度． (2)＝＝80(m/s)，即第1 s内航天飞机的平均速度为80 m/s． (3)＝5d2＋45d＋120， 当d趋近于0时，5d2＋45d＋120趋近于120， 即第1 s末航天飞机的瞬时速度为120 m/s． 它表示在第1 s末附近，航天飞机的高度大约以120 m/s的速度在增加． 课后课时精练 一、选择题 1．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的瞬时速度为(　　) A．4＋4t0 B．0 C．4＋8t0 D．4t0＋4t 答案　C 解析　＝4d＋4＋8t0，当d→0时，4d＋4＋8t0→4＋8t0．故选C． 2．若一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是(　　) A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．直线 答案　D 解析　因为这个函数的瞬时变化率处处为0，所以当这个函数的自变量x变化时，函数值y没有变化，即这个函数为一常函数，所以这个函数的图象是x轴或平行于x轴的一条直线．故选D． 3．已知函数f(x)＝3x2＋1，则f″(x)＝(　　) A．6x B．6x＋1 C．0 D．6 答案　D 解析　＝＝6x＋3d，当d→0时，6x＋3d→6x，因此f′(x)＝6x．＝＝6，当d→0时，6还是6，所以f″(x)＝6． 4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋d)－f(x0)＝ad＋bd2(a，b为常数)，则(　　) A．f(x)＝a B．f(x)＝b C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b 答案　C 解析　∵f(x0＋d)－f(x0)＝ad＋bd2，∴＝a＋bd．当d→0时，a＋bd→a，∴f′(x0)＝a．故选C． 5．一质点M沿直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为s(t)＝at2＋1，若质点M在t＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s，则常数a的值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．6 答案　B 解析　质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．∵质点M在t＝2附近的平均速度＝＝＝4a＋ad，∴ (4a＋ad)＝4a＝8，即a＝2． 二、填空题 6．设f(x)＝t2x，若f′(1)＝4，则t＝________． 答案　±2 解析　因为f′(1)＝ ＝t2＝4，所以t＝±2． 7．已知函数f(x)＝3x2＋6x＋1，且f′(x0)＝0，则x0＝________． 答案　－1 解析　f′(x0)＝ ＝ ＝ (6x0＋3d＋6)＝6x0＋6＝0，∴x0＝－1． 8．一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________． 答案　1 解析　∵s(t0＋d)－s(t0)＝7(t0＋d)2－13(t0＋d)＋8－7t＋13t0－8＝14t0d－13d＋7d2，∴ ＝ (14t0－13＋7d)＝14t0－13＝1．∴t0＝1． 三、解答题 9．求函数y＝在x＝x0(x0>－1)处的导数． 解　令f(x)＝， ＝ ＝ ＝． 当d→0时，→，因此f′(x0)＝． 10．建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是关于x的函数y＝f(x)＝＋＋0．3，求f′(100)的值，并解释它的实际意义． 解　根据导数的定义，得 f′(100)＝ ＝ ＝ ＝ ＝＋ ＝0．105． f′(100)＝0．105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1050元． 1．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动．子弹运动的时间t与位移s满足s＝2．5×105t2，其中s的单位是m，t的单位是s．子弹从枪口射出所用的时间为1．6×10－3 s，求子弹射出枪口时的瞬时速度． 解　设子弹从枪口射出时刻为t0， ∵＝ ＝ ＝5×105t0－2．5×105d， ∴v＝ (5×105t0－2．5×105d)＝5×105t0． 又t0＝1．6×10－3 s， ∴v＝5×105t0＝8×102＝800(m/s)． ∴子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s． 2．在受到制动后的t s内飞轮转过的角度(rad)由函数φ(t)＝4t－0．3t2给出． 求：(1)t＝2 s时，飞轮转过的角度； (2)飞轮停止旋转的时刻． 解　(1)t＝2 s时，飞轮转过的角度φ(2)＝8－1．2＝6．8(rad)． (2) ＝ ＝ ＝4－0．3d－0．6t． 当d→0时，4－0．3d－0．6t→4－0．6t， 因此φ′(t)＝4－0．6t． 飞轮停止旋转时，瞬时角速度为0． 所以令4－0．6t＝0， 得t＝， 所以在t＝ s时飞轮停止旋转． 9 学科网（北京）股份有限公司 $