3.1.3 乘法公式-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修 第二册创新导学案课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦“乘法公式”，从条件概率与事件的独立性切入，通过知识导学呈现基础公式P(A)P(B|A)，再推广至n个事件的一般乘法公式及独立事件的特殊情形，构建从具体到抽象的知识支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以核心素养为导向，通过“疾病两次患病心肌未受损害”“无放回抽取卡片”等实际情境题型，培养数学建模与数学运算能力，随堂达标和分层课后精练（如灯泡合格率问题、射击过关概率）巩固理解。学生能提升用数学思维解决问题的能力，教师可借助结构化内容高效开展教学。

第3章　概率 3.1　条件概率与事件的独立性 3.1.3　乘法公式 (教师独具内容) 课程标准：结合古典概型，会用乘法公式计算概率． 教学重点：理解并掌握乘法公式． 教学难点：应用乘法公式解决实际问题． 核心素养：1．通过乘法公式的学习培养数学抽象素养和数学运算素养．2．通过应用乘法公式解决问题培养数学建模素养和数学运算素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 P(A)P(B|A) P(A)P(B|A)·P(C|AB) 核心概念掌握 5 将(1)，(2)，(3)式推广到n个事件，则有： 若Ai(i＝1，2，…，n)为n个随机事件，且P(A1A2…An－1)>0，则P(A1A2…An)＝____________________________________________．(4) (4)式常称为一般概率乘法公式． 若事件Ai(i＝1，2，…，n)相互独立，则(4)式变为P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)·…·P(An)．(5) 由此可知，(5)式实质上是(4)式的一种特殊情形． P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An－1) 核心概念掌握 6 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．(　　) (2)P(B)＝P(A)P(B|A)．(　　) √ × 0．56 核心概念掌握 7 核心素养形成 题型　乘法公式的应用 某种疾病能导致心肌受损害，若第一次患该病，则心肌受损害的概率为0．3，第一次患病心肌未受损害而第二次再患该病时，心肌受损害的概率为0．6，试求某人患病两次心肌未受损害的概率． 核心素养形成 9 核心素养形成 10 【跟踪训练】 在标有1，2，3，4，5这5个数字的卡片里，无放回地抽取两次，一次一张，求： (1)第一次取到奇数卡片的概率； (2)已知第一次取到偶数卡片，求第二次取到奇数卡片的概率； (3)第二次才取到奇数卡片的概率． 核心素养形成 11 核心素养形成 12 随堂水平达标 1．设A，B是任意两个随机事件，且A⊆B，P(B)>0，则下列各式中正确的是(　　) A．P(A)<P(A|B) B．P(A)≤P(A|B) C．P(A)>P(A|B) D．P(A)≥P(A|B) 随堂水平达标 1 2 3 4 5 14 2．在市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个甲厂的合格灯泡的概率是(　　) A．0．665 B．0．564 C．0．245 D．0．285 解析　记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则P(A)＝0．7，P(B|A)＝0．95，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0．7×0．95＝0．665． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 15 随堂水平达标 1 2 3 4 5 16 4．一批产品中有4%的次品，而合格品中一等品占45%，从这批产品中任取一件，则该产品是一等品的概率为________． 43．2% 随堂水平达标 1 2 3 4 5 17 0．28 随堂水平达标 1 2 3 4 5 18 课后课时精练 一、选择题 1．下列式子成立的是(　　) A．P(A|B)＝P(B|A) B．0<P(B|A)<1 C．P(AB)＝P(A)P(B|A) D．P((AB)|B)＝P(B|A) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 20 2．在一次数学测试中，某学校成绩不及格的学生占5%，在及格生中优秀生占80%，则在该学校随机抽取一名学生是优秀生的概率为(　　) A．0．04 B．0．76 C．0．8 D．0．95 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 21 3．某食物的致敏率为2%，在对该食物过敏的条件下，嘴周产生皮疹的概率为99%，则某人食用该食物过敏且嘴周产生皮疹的概率为(　　) A．1．98% B．0．98% C．97．02% D．99% 解析　设事件A表示“食用该食物过敏”，事件B表示“嘴周产生皮疹”，则P(A)＝2%，P(B|A)＝99%，所以某人食用该食物过敏且嘴周产生皮疹的概率为P(AB)＝P(A)P(B|A)＝2%×99%＝1．98%．故选A． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 22 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 23 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 24 二、填空题 6．5张彩票中仅有1张中奖彩票，5个人依次摸奖，则第二个人摸到中奖彩票的概率为_____． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 25 7．某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0．8，继续射击，射中第二个目标的概率为0．5，则这个选手过关的概率为________． 解析　记事件A为“射中第一个目标”，事件B为“射中第二个目标”，则P(A)＝0．8，P(B|A)＝0．5．所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0．8×0．5＝0．4． 0．4 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 26 8．第一个袋中有黑球、白球各2只，第二个袋中有黑球、白球各3只．先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中，再从第二个袋中任取一球．则第一次取到白球且第二次取到黑球的概率为______． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 27 三、解答题 9．100件产品中有5件是次品，从中连续无放回地抽取3次，求第三次才取得次品的概率(精确到0．001)． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 28 10．已知口袋中有3个黑球和7个白球，这10个球除颜色外完全相同． (1)先后两次从中不放回地各摸出一球，求两次摸到的均为黑球的概率； (2)从中不放回地摸球，每次各摸一球，求第三次才摸到黑球的概率． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 29 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 30 1．设盒中有m只红球，n只白球，每次从盒中任取一只球，看后放回，再放入k只与所取颜色相同的球．若在盒中连取四次，则第一次、第二次取到红球，第 三次、第四次取到白球的概率为_________________________________． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 31 2．把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A1，3个球标有字母B1；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A1的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B1的球，则在第三个盒子中任取一个球，如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 32 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 33 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点　概率的乘法公式 由条件概率的计算公式P(B|A)＝eq \f(P(AB),P(A))可知，对于两个事件A，B，若P(A)>0，则P(AB)＝____________．(1) 同理，若P(B)>0，则P(AB)＝P(B)P(A|B)．(2) 我们称公式(1)(2)为概率的乘法公式． 如果三个事件A，B，C不相互独立，一般地，若P(AB)>0，则P(ABC)＝_____________________．(3) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知P(B|A)＝eq \f(3,4)，P(A)＝eq \f(1,2)，则P(AB)等于_____． (2)有一批种子的发芽率为0．8，出芽后的幼苗成活率为0．7，则在这批种子中，随机抽取一粒，这粒种子能成长为幼苗的概率为________． eq \f(3,8) 解　设A1表示“第一次患病心肌受损害”，A2表示“第二次患病心肌受损害”，则所求概率为P(eq \o(A,\s\up12(－))1eq \o(A,\s\up12(－))2)． 由题意可知，P(A1)＝0．3，P(A2|eq \o(A,\s\up12(－))1)＝0．6． 又P(eq \o(A,\s\up12(－))1)＝1－P(A1)＝0．7，P(eq \o(A,\s\up12(－))2|eq \o(A,\s\up12(－))1)＝1－P(A2|eq \o(A,\s\up12(－))1)＝0．4， 所以P(eq \o(A,\s\up12(－))1eq \o(A,\s\up12(－))2)＝P(eq \o(A,\s\up12(－))1)P(eq \o(A,\s\up12(－))2|eq \o(A,\s\up12(－))1)＝0．7×0．4＝0．28． 【感悟提升】 由条件概率公式P(B|A)＝eq \f(P(AB),P(A))，可推导得出乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)(P(A)>0)．即要求事件A，B同时发生的概率，需建立缩小的样本空间，再由概率相乘可得． 解　设事件A，B分别表示第一次和第二次取到奇数卡片，则 (1)P(A)＝eq \f(3,5)． (2)第一次取出一张偶数卡片，还剩4张卡片，而其中有3张奇数卡片，故此时取一张奇数卡片的概率为eq \f(3,4)，即P(B|eq \o(A,\s\up12(－)))＝eq \f(3,4)． (3)∵第二次才取到奇数卡片， ∴第一次应取偶数卡片，即第一次eq \o(A,\s\up12(－))发生，故第二次才取到奇数卡片应是eq \o(A,\s\up12(－))与B同时发生， ∴P(eq \o(A,\s\up12(－))B)＝P(eq \o(A,\s\up12(－)))P(B|eq \o(A,\s\up12(－)))＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,10)． 解析　因为A⊆B，所以A∩B＝A，所以P(A|B)＝eq \f(P(AB),P(B))＝eq \f(P(A),P(B))，所以P(A)＝P(B)P(A|B)．又0＜P(B)≤1，所以P(A)≤P(A|B)．故选B． 解析　记事件A为“从1号箱中取到红球放入2号箱”，事件B为“从2号箱中取到红球”．由题意，知P(A)＝eq \f(4,2＋4)＝eq \f(2,3)，P(B|A)＝eq \f(3＋1,8＋1)＝eq \f(4,9)，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq \f(2,3)×eq \f(4,9)＝eq \f(8,27)，所以两次都取到红球的概率为eq \f(8,27)． 3．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球(白球与红球大小、形状、质地相同)，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是(　　) A．eq \f(11,27) B．eq \f(11,24) C．eq \f(8,27) D．eq \f(3,8) 解析　设A表示“取到的产品是一等品”，B表示“取到的产品是合格品”，则P(A|B)＝45%，P(eq \o(B,\s\up12(－)))＝4%，∴P(B)＝1－P(eq \o(B,\s\up12(－)))＝96%，∴P(A)＝P(AB)＝P(B)P(A|B)＝96%×45%＝43．2%． 5．已知随机事件A，B，若P(A)＝0．7，P(eq \o(B,\s\up12(－)))＝0．6，P(eq \o(B,\s\up12(－))|A)＝0．6，则P(AB)＝________． 解析　∵P(eq \o(B,\s\up12(－))|A)＝0．6，∴P(B|A)＝1－P(eq \o(B,\s\up12(－))|A)＝0．4．由乘法公式得P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0．7×0．4＝0．28． 解析　显然A错误；0≤P(B|A)≤1，B错误；由P(B|A)＝eq \f(P(AB),P(A))，得P(AB)＝P(A)P(B|A)，C正确；P((AB)|B)＝eq \f(P(AB),P(B))＝P(A|B)，D错误．故选C． 解析　记事件A为“随机抽取的一名学生为及格生”，事件B为“随机抽取的一名学生为优秀生”．因为P(A)＝1－P(eq \o(A,\s\up12(－)))＝0．95，P(B|A)＝0．8，所以P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0．95×0．8＝0．76． 4．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是(　　) A．eq \f(1,10) B．eq \f(1,5) C．eq \f(4,5) D．eq \f(9,10) 解析　记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P(A)＝eq \f(9,10)，P(B|A)＝eq \f(1,9)，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq \f(1,10)． 5．(多选)连续抛掷一枚均匀的骰子两次，观察每次掷出的点数．设事件A表示“第二次掷出的点数为1”，事件B表示“第二次掷出的点数比第一次的小1”，则下列结论正确的是(　　) A．P(AB)＝eq \f(1,36) B．P(B|A)＝eq \f(1,6) C．P(AB)＝eq \f(5,36) D．P(B|A)＝eq \f(5,6) 解析　设第一次掷骰子出现的点数为x，第二次掷骰子出现的点数为y，两次掷骰子的情况为(x，y)，共有6×6＝36种可能，则事件A中包含的样本点为(1，1)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，共6个，事件B中包含的样本点为(2，1)，(3，2)，(4，3)，(5，4)，(6，5)，共5个，则P(A)＝eq \f(6,6×6)＝eq \f(1,6)，P(B|A)＝eq \f(1,6)，P(AB)＝P(B|A)P(A)＝eq \f(1,6)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,36)．故选AB． 解析　记事件Ai为“第i个人摸到中奖彩票”，显然P(A1)＝eq \f(1,5)，则P(A2)＝ P(eq \o(A,\s\up12(－))1A2)＝P(eq \o(A,\s\up12(－))1)P(A2|eq \o(A,\s\up12(－))1)＝eq \f(4,5)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,5)． eq \f(1,5) 解析　记Ai为“第i(i＝1，2)次取到白球”，则P(A1)＝eq \f(1,2)，P(eq \o(A,\s\up12(－))2|A1)＝eq \f(3,7)，由乘法公式得，P(A1eq \o(A,\s\up12(－))2)＝P(A1)P(eq \o(A,\s\up12(－))2|A1)＝eq \f(1,2)×eq \f(3,7)＝eq \f(3,14)． eq \f(3,14) 解　设Ai表示“第i(i＝1，2，3)次取得次品”， B表示“第三次才取得次品”，则B＝eq \o(A,\s\up12(－))1eq \o(A,\s\up12(－))2A3，P(B)＝P(eq \o(A,\s\up12(－))1eq \o(A,\s\up12(－))2A3) ＝P(eq \o(A,\s\up12(－))1)P(eq \o(A,\s\up12(－))2|eq \o(A,\s\up12(－))1)·P(A3|eq \o(A,\s\up12(－))1eq \o(A,\s\up12(－))2)＝eq \f(95,100)×eq \f(94,99)×eq \f(5,98)≈0．046． 所以第三次才取得次品的概率约为0．046． 解　设事件Ai表示“第i(i＝1，2，3)次摸到的是黑球”，则事件A1A2表示“两次摸到的均为黑球”． (1)由题意知P(A1)＝eq \f(3,10)，P(A2|A1)＝eq \f(2,9)． 根据乘法公式，有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝eq \f(3,10)×eq \f(2,9)＝eq \f(1,15)． 所以先后两次从中不放回地各摸出一球，两次摸到的均为黑球的概率为eq \f(1,15)． (2)设事件A表示“第三次才摸到黑球”， 则A＝eq \o(A,\s\up12(－))1eq \o(A,\s\up12(－))2A3． 由题意知P(eq \o(A,\s\up12(－))1)＝eq \f(7,10)，P(eq \o(A,\s\up12(－))2|eq \o(A,\s\up12(－))1)＝eq \f(6,9)， P(A3|eq \o(A,\s\up12(－))1eq \o(A,\s\up12(－))2)＝eq \f(3,8)． 根据乘法公式，有P(eq \o(A,\s\up12(－))1eq \o(A,\s\up12(－))2A3)＝P(eq \o(A,\s\up12(－))1)·P(eq \o(A,\s\up12(－))2|eq \o(A,\s\up12(－))1)P(A3|eq \o(A,\s\up12(－))1eq \o(A,\s\up12(－))2)＝eq \f(7,10)×eq \f(6,9)×eq \f(3,8)＝eq \f(7,40)． 所以从中不放回地摸球，每次各摸一球，第三次才摸到黑球的概率为eq \f(7,40)． eq \f(m,m＋n)·eq \f(m＋k,m＋n＋k)·eq \f(n,m＋n＋2k)·eq \f(n＋k,m＋n＋3k) 解析　令Ai为第i(i＝1，2，3，4)次取到红球，则P(A1A2eq \o(A,\s\up12(－))3eq \o(A,\s\up12(－))4)＝P(A1)P(A2|A1)P(eq \o(A,\s\up12(－))3|A1A2)·P(eq \o(A,\s\up12(－))4|A1A2eq \o(A,\s\up12(－))3)＝eq \f(m,m＋n)·eq \f(m＋k,m＋n＋k)·eq \f(n,m＋n＋2k)·eq \f(n＋k,m＋n＋3k)． 解　设A＝“从第一个盒子中取得标有字母A1的球”， B＝“从第一个盒子中取得标有字母B1的球”， R＝“第二次取出的球是红球”，则容易求得P(A)＝eq \f(7,10)，P(B)＝eq \f(3,10)，P(R|A)＝eq \f(1,2)，P(R|B)＝eq \f(4,5)． 事件“试验成功”为AR∪BR，又事件AR与事件BR互斥，故由概率的加法公式，得P(AR∪BR)＝P(AR)＋P(BR)＝P(R|A)·P(A)＋P(R|B)P(B)＝eq \f(1,2)×eq \f(7,10)＋eq \f(4,5)×eq \f(3,10)＝0．59． $