1.2.1 几个基本函数的导数-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修 第二册创新导学案课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦“导数的运算”核心知识点，从导数定义过渡到基本函数导数公式，通过表格梳理幂函数、指数函数等导数公式，搭建知识支架帮助学生构建公式体系，衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合“数学思维”与“数学语言”，通过“直接求导”“切线方程”“近似值计算”题型分层教学，如用切线方程求e^0.0002近似值，培养运算推理与应用意识。学生提升解题能力，教师可高效开展分层教学。

第1章　导数及其应用 1.2　导数的运算 1.2.1　几个基本函数的导数 (教师独具内容) 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 函数 导函数 f(x)＝c，c为常数 f′(x)＝____ f(x)＝x f′(x)＝____ f(x)＝x2 f′(x)＝____ f(x)＝x3 f′(x)＝____ f(x)＝ f′(x)______ f(x)＝ (x＞0) f′(x)＝_____ 0 1 2x 知识点一　常见幂函数的导数 3x2 核心概念掌握 5 函数 导函数 f(x)＝xα(α≠0) f′(x)＝_____ f(x)＝ex f′(x)＝____ f(x)＝ax(a＞0，a≠1) f′(x)＝_______ f(x)＝ln x f′(x)＝____ αxα－1 ex axln a 知识点二　基本初等函数的导数公式 核心概念掌握 6 f(x)＝logax(a＞0，a≠1) f′(x)＝_____ f(x)＝sinx f′(x)＝_____ f(x)＝cosx f′(x)＝______ f(x)＝tanx f′(x)＝______ cosx －sinx 核心概念掌握 7 核心概念掌握 8 × × × 核心概念掌握 9 2xln 2 y－1＝0 e 核心概念掌握 10 核心素养形成 题型一　利用求导公式直接求导 核心素养形成 12 【感悟提升】 求简单函数的导函数的方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂． (2)用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 核心素养形成 13 核心素养形成 14 题型二　利用导数公式求曲线的切线方程 核心素养形成 15 (2)已知点P(－1，1)，Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程． 核心素养形成 16 【感悟提升】 根据导数的几何意义，可直接得到曲线上一点处的切线的斜率．需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征．当问题中涉及相切但未出现切点坐标时要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标． 核心素养形成 17 核心素养形成 18 2x－y－1＝0 核心素养形成 19 题型三　导数的应用 (1)求曲线y＝ln x在点A(1，0)处的切线方程，并利用切线方程求 ln 1.0002的近似值． 核心素养形成 20 核心素养形成 21 【感悟提升】 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以求近似值，解决一些与距离、面积相关的最值问题．此外，导数不仅在数学中有着广泛的应用，在物理、化学等自然与社会科学中同样拥有广泛的应用．要学会通过导数的概念的学习，更深刻全面地认识所学的所有内容． 核心素养形成 22 核心素养形成 23 (2)求曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线方程，并利用切线方程求e0.0002的近似值． 解　y′＝ex，当x＝0时，切线的斜率k＝y′＝1．所以切线方程为y＝x＋1．把x＝0.0002代入切线方程得y＝1．0002，所以e0．0002≈1.0002． 核心素养形成 24 随堂水平达标 随堂水平达标 1 2 3 4 5 26 2．已知函数f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值为(　　) A．4 B．－4 C．5 D．－5 解析　∵f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，∴a＝4． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 27 3．(多选)若函数f(x)的导函数为偶函数，则f(x)的解析式可能是(　　) A．f(x)＝x3 B．f(x)＝cosx C．f(x)＝sinx D．f(x)＝ex 解析　对于A，f(x)＝x3，则f′(x)＝3x2，f′(x)为偶函数；对于B，f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sinx，f′(x)为奇函数；对于C，f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx，f′(x)为偶函数；对于D，f(x)＝ex，则f′(x)＝ex，f′(x)为非奇非偶函数．故选AC． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 28 随堂水平达标 1 2 3 4 5 29 随堂水平达标 1 2 3 4 5 30 课后课时精练 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 32 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 33 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 34 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 35 5．(多选)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中不具有T性质的是(　　) A．y＝sinx B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 36 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 37 7．已知曲线y＝x3在点(2，8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝______． 解析　∵点(2，8)在切线上，∴2k＋b＝8　①，又y＝x3，∴y′＝(x3)′＝3x2，∴切线斜率k＝3×22＝12　②，由①②可得k＝12，b＝－16，∴k－b＝28． 28 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 38 eln 2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 39 三、解答题 9．已知点P(e，a)在曲线f(x)＝ln x上，直线l是以点P为切点的切线，求过点P且与直线l垂直的直线的方程．(e是自然对数的底数) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 40 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 41 1．已知抛物线y＝x2，直线x＋y＋2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 42 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 43 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 44 　　　　　　　　　　　　　 R 课程标准：1．能根据导数定义求函数f(x)＝c，f(x)＝x，f(x)＝x2，f(x)＝x3，f(x)＝eq \f(1,x)，f(x)＝eq \r(x)的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． 教学重点：利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． 教学难点：基本初等函数的导数公式的运用． 核心素养：1．通过学习导数公式的推导过程提升逻辑推理素养．2．通过应用导数公式求简单函数的导数提升数学运算素养． eq \r(x) －eq \f(1,x2) eq \f(1,2\r(x)) eq \f(1,x) eq \f(1,x) eq \f(1,xln a) eq \f(1,cos2x) 基本初等函数的四类求导公式 (1)第一类为幂函数，y′＝(xα)′＝αxα－1．对于解析式为根式形式的函数，首先应把根式化为分数指数幂的形式，再求导数． (2)第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数．注意余弦函数的导数，不要漏掉前面的负号． (3)第三类为指数函数，y′＝(ax)′＝axln a，当a＝e时，ex的导数是(ax)′的一个特例． (4)第四类为对数函数，y′＝(logax)′＝eq \f(1,xln a)，也可记为(logax)′＝eq \f(1,x)·logae，当a＝e时，ln x的导数也是(logax)′的一个特例． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y＝eq \r(2)，则y′＝eq \f(1,2)×2＝1．(　　) (2)若f′(x)＝sinx，则f(x)＝cosx．(　　) (3)若f(x)＝4x，则f′(x)＝x·4x－1．(　　) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x3)))′＝________． (2)(2x)′＝________． (3)曲线y＝cosx在点M(0，1)处的切线方程是________． (4)已知函数f(x)＝logax，若f′(1)＝1，则a＝____． －eq \f(3,x4) (1)y＝x12；(2)y＝eq \f(1,x4)；(3)y＝eq \r(5,x3)；(4)y＝log5x． 解　(1)y′＝(x12)′＝12x11． (2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x4)))′＝(x－4)′＝－4x－5＝－eq \f(4,x5)． (3)y′＝(eq \r(5,x3))′＝(xeq \s\up10(\f(3,5)))′＝eq \f(3,5)xeq \s\up10(-\f(2,5))＝eq \f(3,5\r(5,x2))． (4)y′＝(log5x)′＝eq \f(1,xln 5)． 【跟踪训练】 1.求下列函数的导数． (1)y＝3x；(2)y＝xeq \r(x)；(3)y＝2－x；(4)y＝cos2eq \f(x,2)－sin2eq \f(x,2)． 解　(1)y′＝(3x)′＝3xln 3． (2)y′＝(xeq \r(x))′＝(xeq \s\up6(\f(3,2)))′＝eq \f(3,2)xeq \s\up6(\f(3,2))－1＝eq \f(3,2)xeq \s\up6(\f(1,2))． (3)y′＝(2－x)′＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)))′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)ln eq \f(1,2)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)ln 2． (4)∵y＝cos2eq \f(x,2)－sin2eq \f(x,2)＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx． \lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))INCLUDEPICTURE"例2.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../张伟/PPT/557数学/例2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../张伟/PPT/557数学/例2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../张伟/PPT/557数学/例2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../张伟/PPT/557数学/例2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../张伟/PPT/557数学/例2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../张伟/PPT/557数学/例2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "例2.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)求过曲线y＝sinx上点P且与在这点的切线垂直的直线方程． 解　∵y＝sinx，∴y′＝cosx，设f(x)＝y， 则曲线在点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))处的切线斜率是f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝coseq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)． ∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－eq \f(2,\r(3))， 故所求的直线方程为y－eq \f(1,2)＝－eq \f(2,\r(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))， 即2x＋eq \r(3)y－eq \f(\r(3),2)－eq \f(π,3)＝0． 解　∵y′＝(x2)′＝2x， 设切点为M(x0，y0)，f(x)＝y，则f′(x0)＝2x0， 又直线PQ的斜率为k＝eq \f(4－1,2＋1)＝1， 而切线平行于直线PQ， ∴k＝2x0＝1，即x0＝eq \f(1,2)，∴切点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))． ∴所求的切线方程为y－eq \f(1,4)＝x－eq \f(1,2)， 即4x－4y－1＝0． 【跟踪训练】 2.(1)曲线y＝eq \f(1,x)在点P处的切线的斜率为－4，则点P的坐标为(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2)) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－2)) 解析　y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq \f(1,x2)＝－4，解得x＝±eq \f(1,2)，所以点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))．故B正确． (2)P是抛物线y＝x2上的点，若在点P处的切线方程与直线y＝－eq \f(1,2)x＋1垂直，则在点P处的切线方程是________________． 解析　∵在点P处的切线方程与直线y＝－eq \f(1,2)x＋1垂直，∴在点P处的切线的斜率为2．∵y＝x2，∴y′＝2x，令y′＝2x＝2，则x＝1，将x＝1代入y＝x2，得y＝1，则点P的坐标为(1，1)，则在点P处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0． 解　y′＝eq \f(1,x)，当x＝1时，切线的斜率k＝y′＝1．所以切线方程为y＝x－1． 把x＝1.0002代入切线方程得y＝0.0002，所以ln 1．0002≈0.0002． 解　由于直线l：2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点， ∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大， 设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的切线斜率为k＝y′＝2x0， ∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0＝1． 故可得P(1，1)， ∴切线方程为2x－y－1＝0． 故点P(1，1)即为所求弧eq \o(AOB,\s\up15(︵))上的点，使△ABP的面积最大． (2)已知直线l：2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试在弧eq \o(AOB,\s\up15(︵))上求一点P，使△ABP的面积最大． 【跟踪训练】 3.(1)已知A，B，C三点在曲线f(x)＝eq \r(x)上，其横坐标依次为1，m，4(1<m<4)，当△ABC的面积最大时，m的值为_____． 解析　如图，在△ABC中，边AC是确定的，要使△ABC的面积最大，则点B到直线AC的距离应最大，可以将直线AC作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当在点B处的切线平行于直线AC时，△ABC的面积最大．因为f′(m)＝eq \f(1,2\r(m))，又A点坐标为(1，1)，C点坐标为(4，2)，所以kAC＝eq \f(2－1,4－1)＝eq \f(1,3)，所以eq \f(1,2\r(m))＝eq \f(1,3)，所以m＝eq \f(9,4)． eq \f(9,4) 1．给出下列结论： ①(cosx)′＝sinx；②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′＝coseq \f(π,3)；③若y＝eq \f(1,x2)，则y′＝－eq \f(1,x)；④eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))′＝－eq \f(1,2x\r(x))． 其中正确结论的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　因为(cosx)′＝－sinx，所以①错误；因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))′＝0，所以②错误；因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))′＝(x-2)′＝－2x-3，所以③错误；因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))′＝(xeq \s\up10(-\f(1,2)))′＝－eq \f(1,2)·xeq \s\up7(-\f(3,2))＝ －eq \f(1,2x\r(x))，所以④正确． 4．曲线y＝eq \f(1,\r(4,x3))在x＝1处的切线的倾斜角的正切值为_____． －eq \f(3,4) 解析　y′＝(xeq \s\up7(-\f(3,4)))′＝－eq \f(3,4)×xeq \s\up7(-\f(7,4))，∴当x＝1时，y′＝－eq \f(3,4)＝k，∴切线的倾斜角的正切值为－eq \f(3,4)． 5．若曲线y＝xeq \s\up7(-\f(1,2))在点(a，aeq \s\up7(-\f(1,2)))处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值． 解　∵y＝xeq \s\up7(-\f(1,2))，∴y′＝－eq \f(1,2)xeq \s\up7(-\f(3,2))，∴曲线在点(a，aeq \s\up7(-\f(1,2)))处的切线斜率k＝－eq \f(1,2)aeq \s\up7(-\f(3,2))， ∴切线方程为y－aeq \s\up7(-\f(1,2))＝－eq \f(1,2)aeq \s\up7(-\f(3,2)) (x－a)． 令x＝0得y＝eq \f(3,2)aeq \s\up7(-\f(1,2))；令y＝0得x＝3a． ∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S＝eq \f(1,2)·3a·eq \f(3,2)aeq \s\up7(-\f(1,2))＝eq \f(9,4)aeq \s\up7(\f(1,2))＝18，∴a＝64． 一、选择题 1．若函数f(x)＝x2025，则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2025)))\s\up6(\f(1,2024))))＝(　　) A．0 B．1 C．2024 D．2025 解析　函数f(x)＝x2025，∴f′(x)＝2025x2024，∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2025)))\s\up6(\f(1,2024))))＝2025× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2025)))\s\up6(\f(1,2024)))) eq \s\up12(2024)＝2025×eq \f(1,2025)＝1．故选B． 2．给出下列结论： ①若y＝tanx，则y′＝eq \f(1,cos2x)；②若y＝eq \r(3,x)，则y′＝eq \f(1,3) eq \r(3,x)； ③若y＝eq \f(1,x2)，则y′＝－2x－3；④若f(x)＝x，则f′(1)＝1． 其中正确结论的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　①y＝tanx，则y′＝eq \f(1,cos2x)；②y＝eq \r(3,x)＝xeq \s\up7(\f(1,3))，则y′＝eq \f(1,3)xeq \s\up7(-\f(2,3))≠eq \f(1,3) eq \r(3,x)；③y＝eq \f(1,x2)＝x－2，则y′＝－2x－3；④由f(x)＝x，知f′(x)＝1，∴f′(1)＝1．∴①③④正确．故选C． 3．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A．eq \f(9e2,4) B．2e2 C．e2 D．eq \f(e2,2) 解析　y′＝ex，设f(x)＝y＝ex，f′(2)＝e2．∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2．令x＝0得y＝－e2；令y＝0得x＝1．∴S＝eq \f(1,2)×1×e2＝eq \f(e2,2)．故选D． 4．设曲线y＝xn＋1(n∈N＋)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1x2·…·xn的值为(　　) A．eq \f(1,n) B．eq \f(1,n＋1) C．eq \f(n,n＋1) D．1 解析　对y＝xn＋1(n∈N＋)求导得y′＝(n＋1)xn．令x＝1，得曲线在点(1，1)处的切线的斜率k＝n＋1，∴曲线在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，得xn＝eq \f(n,n＋1)，∴x1x2·…·xn＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)×…×eq \f(n－1,n)×eq \f(n,n＋1)＝eq \f(1,n＋1)．故选B． 解析　设两切点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．A中，y′＝cosx，cosx1cosx2＝－1，当x1＝0，x2＝π时满足，故A中的函数具有T性质；B，C中函数的导数均为正值，故两点处的导数之积不可能为－1；D中，y′＝2x，则2x1·2x2＝4x1x2＝－1，当x1＝eq \f(1,2)，x2＝－eq \f(1,2)时满足，故D中的函数具有T性质．故选BC． 二、填空题 6．曲线y＝eq \f(1,x)在x＝1处的切线的倾斜角为________． 解析　y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq \f(1,x2)，∴当x＝1时，导数为－1，∴切线斜率为－1，∴倾斜角为eq \f(3π,4)． eq \f(3π,4) 8．已知f(x)＝2x，则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ln 2)))＝________． 解析　∵f(x)＝2x，∴f′(x)＝2xln 2，∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ln 2)))＝f′(log2e)＝2log2eln 2＝eln 2． 解　∵f′(x)＝eq \f(1,x)， ∴直线l的斜率k＝f′(e)＝eq \f(1,e)． ∴所求直线的斜率为－e． ∵点P(e，a)在曲线f(x)＝ln x上， ∴a＝ln e＝1． 故所求直线的方程为y－1＝－e(x－e)， 即ex＋y－e2－1＝0． 10．已知曲线f(x)＝x3，过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0))作曲线C的切线，求该切线的方程． 解　设切点为Q(x0，xeq \o\al(3,0))， 切线的斜率为k＝f′(x0)＝3xeq \o\al(2,0)， 切线方程为y－xeq \o\al(3,0)＝3xeq \o\al(2,0)(x－x0)， 即y＝3xeq \o\al(2,0)x－2xeq \o\al(3,0)， ∵切线过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0))， ∴2xeq \o\al(2,0)－2xeq \o\al(3,0)＝0，解得x0＝0或x0＝1， 故切线方程为y＝0或y＝3x－2． 解　根据题意，可知与直线x＋y＋2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x＋y＋2＝0的距离最短． 设切点坐标为(x0，xeq \o\al(2,0))，设f(x)＝y＝x2， 则f′(x)＝2x，则f′(x0)＝2x0＝－1， 所以x0＝－eq \f(1,2)，所以切点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4)))， 切点到直线x＋y＋2＝0的距离d＝eq \f(|－\f(1,2)＋\f(1,4)＋2|,\r(2))＝eq \f(7\r(2),8)． 所以抛物线y＝x2上的点到直线x＋y＋2＝0的最短距离为eq \f(7\r(2),8)． 2．已知点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，B(2，1)，函数f(x)＝log2x． (1)过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程； (2)在曲线y＝f(x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤2))上是否存在点P，使得在点P处的切线与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 解　(1)设切点为(m，log2m)(m＞0)．因为f(x)＝log2x，所以f′(x)＝eq \f(1,xln 2)． 由题意可得eq \f(1,mln 2)＝eq \f(log2m,m)，解得m＝e， 所以切线方程为y－log2e＝eq \f(1,eln 2)(x－e)， 即y＝eq \f(1,eln 2)x． (2)过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，B(2，1)的直线的斜率为kAB＝eq \f(4,3)． 假设存在点P，使得在点P处的切线与直线AB平行，设P(n，log2n)，eq \f(1,2)≤n≤2， 则有eq \f(1,nln 2)＝eq \f(4,3)，得n＝eq \f(3,4ln 2)． 又eq \f(1,2)＝ln eq \r(e)＜ln 2＜ln e＝1， 所以eq \f(3,4)＜eq \f(3,4ln 2)＜eq \f(3,2)， 所以在曲线y＝f(x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤2))上存在点P，使得在点P处的切线与直线AB平行，且点P的横坐标为eq \f(3,4ln 2)． $