精品解析：辽宁省铁岭市铁岭县莲花第一初级中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期九年级第一次月考 满分120分 一、单选题（每题3分，总10题，共30分） 1. 下列函数是二次函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，判断各选项是否为整式且最高次数为2即可． 【详解】解：选项A：形如，但未明确，当时不是二次函数，故不符合题意； 选项B：含分式，不符合二次函数为整式的要求，故不符合题意； 选项C：展开得，是最高次为2的整式，且二次项系数，符合二次函数定义，故符合题意； 选项D：展开得，是一次函数，故不符合题意． 故选：C． 2. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（　　） A. 2 B. ﹣2 C. 4 D. ﹣4 【答案】C 【解析】 【分析】将代入，解出m的值即可． 【详解】将代入，得：， 解得：． 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键． 3. 用配方法解方程 x2-2x-7=0 时，原方程应变形为( ) A. （x+1）2=8 B. （x+2）2=4 C. （x-1）2=8 D. （x-2）2=4 【答案】C 【解析】 【详解】解：方程x2﹣2x﹣7=0，变形得：x2﹣2x=7，配方得：x2﹣2x+1=8，即（x﹣1）2=8，故选C． 点睛：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 4. 参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加聚会？（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有人参加聚会，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设有人参加聚会， 由题意得，， 整理得，， 解得，（不合，舍去）， ∴有人参加聚会， 故选：． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. k＞﹣1 B. k＞﹣1且k≠0 C. k＜﹣1 D. k＜﹣1或k=0 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0， 解得k＞﹣1且k≠0． 故选B． 【点睛】本题考查了根判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 6. 用一段米长的铁丝在平地上围成一个一边靠墙的长方形，墙长足够长．设长方形与墙垂直的一边长为米，与墙平行的边留了一个米的门，长方形的面积为平方米，则与的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意可得与墙平行的边长为米，进而根据矩形的面积公式即可列出函数关系式． 【详解】解：由题意可得，与墙平行的边长为米， ∴， 故选：． 7. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由小路宽为，可得出种植草坪的部分可合成长为，宽为的长方形，再利用长方形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设小路宽为， 种植草坪的部分可合成长为，宽为的长方形， 依题意得：． 故选：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用、图形的平移解决实际问题，根据平移得出种植草坪的部分可合成一个长方形是解题的关键． 8. 二次函数的图象如图所示，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象与x轴有两个交点即可判断A选项；根据二次函数的图象开口向下，二次函数图象的对称轴在y轴右侧，即可判断B选项；二次函数的图象与y轴的交点在x轴上方，即可判断C选项；根据，，即可判断D选项． 【详解】解：由图象知：二次函数的图象与x轴有两个交点，故．故选项A正确，符合题意； 二次函数的图象开口向下，故．二次函数图象的对称轴在y轴右侧，故，则．故选项B错误，不符合题意； 二次函数的图象与y轴的交点在x轴上方，故．故选项C错误，不符合题意； ∵，，， ∴，故选项D不正确，不符合题意； 故选：A． 9. 函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式、二次函数的性质和一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以得到函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是哪个选项中的图象． 【详解】解：当a＞0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的图象经过第一、二、三象限，故选项A、D错误； 当a＜0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向下，顶点坐标为（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的图象经过第二、三、四象限，故选项B错误，选项C正确； 故选：C． 【点睛】此题主要考查二次函数与一次函数的图像，解题的关键是熟知二次函数图像与系数的关系． 10. 二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： x … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 ﹣2 … 则下列判断中正确的是（　　） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与y轴交于负半轴 C. 当x=﹣1时y＞0 D. 方程ax2+bx+c=0的负根在0与﹣1之间 【答案】D 【解析】 【分析】根据表中的对应值，求出二次函数的表达式即可求解． 【详解】解：选取，，三点分别代入得， 解得： ∴二次函数表达式为 ∵，抛物线开口向下； ∴选项A错误； ∵函数图象与的正半轴相交； ∴选项B错误； 当x=－1时，； ∴选项C错误； 令，得， 解得：， ∵， 方程的负根在0与－1之间； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质，掌握性质，利用数形结合思想解题是关键． 二、填空题（每题3分，总5题，共15分） 11. 在二次函数中，若y随x的增大而减小时，x的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图像和性质即可求解． 【详解】解：二次函数， 则， 开口向上，对称轴为：直线． 当时，y随x的增大而减小． 故答案为：． 12. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从年的万人增加到年的万人．则该市参加健身运动人数的年均增长率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该市参加健身运动人数的年均增长率是，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该市参加健身运动人数的年均增长率是， 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴该市参加健身运动人数年均增长率是， 故答案为：． 13. 把抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位，得到的抛物线解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”解答即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：把抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位，得到的抛物线解析式是， 故答案为：． 14. 关于的方程有实数根，则的取值范围为_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方的意义得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴a-1≥0， 解得a≥1， 故答案为a≥1． 【点睛】本题考查了一元二次方程有根的条件，直接开平方法解一元二次方程，列出关于a的一元一次不等式是解题的关键． 15. 若m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则15m﹣+2010的值为_____． 【答案】2019 【解析】 【分析】根据m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根代入得到5m2﹣3m﹣1＝0，进一步得到5m2﹣1＝3m，两边同时除以m得：5m﹣＝3，然后整体代入即可求得答案． 【详解】解：∵m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根， ∴5m2﹣3m﹣1＝0， ∴5m2﹣1＝3m， 两边同时除以m得：5m﹣＝3， ∴15m﹣+2010＝3（5m﹣）+2010＝9+2010＝2019， 故答案为：2019． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，灵活的进行代数式的变形是解题的关键. 三、解答题（总8题，共75分） 16. 用适当方法解下列方程： （1） （2） （3） 【答案】（1），； （2），； （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用开平方法解方程即可； （2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可． （3）先移项，然后利用配方法解方程即可； 【小问1详解】 ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， 则或 解得，； 【小问3详解】 ∴， ∴， 解得，； 17. 已知：关于x的方程 （1）求证：不论k取何值，方程总有实数根； （2）若方程的两根为x1，x2，求的值 【答案】（1）见解析 （2）0 【解析】 【分析】（1）要保证方程总有实数根，只需要证Δ≥0恒成立即可； （2）欲求代数式的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可 【小问1详解】 解：关于x的方程， ∵， ∴不论k取何值，方程总有实数根． 【小问2详解】 解：∵ 、是方程的两个根， ∴，， ∴ 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 18. 新冠病毒的传染性极强，某地因1人患了新冠病毒没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了新冠病毒． （1）每天平均一个人传染了几人? （2）如果按照这个传染速度，再经过1天的传染后，这个地区一共将会有多少人患新冠病毒？ 【答案】（1）2人 （2）27 【解析】 【分析】（1）设每天平均一个人传染了x人，根据“经过两天的传染后共有9人患了新冠病毒”列一元二次方程，求出x的值，即可求解； （2）根据（1）的结果，直接计算即可． 【小问1详解】 解：设每天平均一个人传染了x人， 由题意，得， 整理得， 解得，（舍去）， 即每天平均一个人传染了2人； 【小问2详解】 ∵每天平均一个人传染了2人，现有9人已被感染， ∴第三天总患病人数（人）， 答：再经过1天的传染后，这个地区一共将会有27人患新冠病毒． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键． 19. 已知抛物线的顶点坐标为（2，1），且经过点（-1，-8）． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）求抛物线与坐标轴交点坐标； （3）若自变量x的取值范围是，求对应的函数值y的取值范围． 【答案】（1）；（2）（1，0）、（3，0）、（0，－3）；（3）－3＜y≤1． 【解析】 【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x-2）2+1，将点（-1，-8）代入上式，即可求解； （2）令y=-x2+4x-3=0，即可求解； （3）将函数自变量x的取值范围是代入解析式，即可解答. 【详解】（1）函数的表达式为：y=a（x-2）2+1， 将点（-1，-8）代入上式得：-8=a（-1-2）2+1， 解得：a=-1， 故抛物线的表达式为：y=-（x-2）2+1=-x2+4x-3； （2）令y=-x2+4x-3=0，解得：x=1或3，令x=0，则y=-3 故抛物线与坐标轴的交点坐标为：（1，0）、（3，0）、（0，-3）； （3）当时，y=-x2+4x-3解得－3＜y， 当时，y=-x2+4x-3解得y≤1． 故自变量x的取值范围是时，－3＜y≤1． 【点睛】此题考查待定系数法求二次函数解析式，解题关键在于利用待定系数法求解析式. 20. 若等腰△ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根，求△ABC的周长． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意为等腰三角形，则或者之中有一个为，分情况讨论，求得的值，进而得出一元二次方程，解一元二次方程，进而求得△ABC的周长． 【详解】为等腰三角形， 或者之中有一个为， ①当时， b，c的长度恰好是关于x的一元二次方程 x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根， ， 解得， 原方程为， 解得，即， ， 能构成三角形，该三角形的周长为， ②当或之中一个为，将代入原方程，得， ， 解得， 原方程为， 解得， 能组成三角形， 该三角形的周长为． 综上所述，的周长为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，分类讨论是解题的关键． 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利是多少？ 【答案】（1）每件衬衫应降价20元 （2）每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，最多盈利是1250元 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用二次函数求最值是解决此题的关键． （1）若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为元，但每天多售出件即售出件数为件，因此每天赢利为元，进而可根据题意列出方程求解． （2）列出商场平均每天赢利y与衬衫降价x之间的函数关系式，利用二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设每件衬衫应降价x元， 根据题意得， 整理得， 解得，． 因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快， 故每件衬衫应降20元． 答：每件衬衫应降价20元． 【小问2详解】 解：设商场平均每天赢利y元，则 ； ∵， ∴当时，y取最大值，最大值为1250． 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元． 22. 如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1m的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6m的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4m高．球第一次落地后又弹起．据试验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式； (2)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米?(取，) 【答案】(1); (2)17米． 【解析】 【分析】（1）易得第一次落地时抛物线的顶点，可设所求的函数解析式为顶点式，把（0，1）代入即可求得所求的函数解析式； （2）易得第二次落地时的抛物线的二次项的系数与第一次落地时抛物线的二次项系数相同，顶点的纵坐标为第一个函数顶点纵坐标的一半，用顶点式设出所求的函数解析式，把C坐标代入后求得第二次落地时的抛物线解析式，让函数值等于0可得D的横坐标，减去OB的距离即为跑的距离． 【详解】（1）如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为y=a（x-6）2+4． 由已知：当x=0时y=1．即1=36a+4， ∴a=-． ∴表达式为y=-（x-6）2+4=； （2）由题意得：0=-（x-6）2+4 解得：x1=4+6≈13，x2=-4+6＜0（舍去）， ∴点C坐标为（13，0）． 设第二次落地的抛物线为y=-（x-k）2+2． 将C点坐标代入得：0=-（13-k）2+2． 解得：k1=13-2＜13（舍去），k2=13+2≈18． ∴y=-（x-18）2+2． 0=-（x-18）2+2． x1=18-2（舍去），x2=18+2≈23， ∴BD=23-6=17（米）． 答：运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑17米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用；判断出两个二次函数的顶点坐标是解题的关键；用到的知识点为：若二次函数的形状相同，则两个二次函数的二次项系数相同． 23. 如图，已知抛物线经过点、、三点． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是线段上的点（不与B、C重合），过M作轴交抛物线于N．若点M的横坐标为m．请用m的代数式表示的长； （3）在（2）的条件下，连接、，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，当时，的面积最大为． 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，然后用m表示出点M和点N，然后用点N的纵坐标减去点M的纵坐标即可解答； （3）根据的面积等于，据此列出二次函数解析式，然后运用二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点、、三点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得：，解得：， ∴抛物线的解析式：，即． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为：， 把、代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 又∵轴， ∴， ∴， 即. 【小问3详解】 解：存在， ∵， ∴当最大时，的面积最大， ∵， 当时，有最大值为， 所以当时，的面积最大为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期九年级第一次月考 满分120分 一、单选题（每题3分，总10题，共30分） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（　　） A. 2 B. ﹣2 C. 4 D. ﹣4 3. 用配方法解方程 x2-2x-7=0 时，原方程应变形为( ) A. （x+1）2=8 B. （x+2）2=4 C. （x-1）2=8 D. （x-2）2=4 4. 参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加聚会？（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. k＞﹣1 B. k＞﹣1且k≠0 C. k＜﹣1 D. k＜﹣1或k=0 6. 用一段米长铁丝在平地上围成一个一边靠墙的长方形，墙长足够长．设长方形与墙垂直的一边长为米，与墙平行的边留了一个米的门，长方形的面积为平方米，则与的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 10. 二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： x … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 ﹣2 … 则下列判断中正确的是（　　） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与y轴交于负半轴 C. 当x=﹣1时y＞0 D. 方程ax2+bx+c=0的负根在0与﹣1之间 二、填空题（每题3分，总5题，共15分） 11. 在二次函数中，若y随x的增大而减小时，x的取值范围是________________． 12. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从年的万人增加到年的万人．则该市参加健身运动人数的年均增长率是______． 13. 把抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位，得到的抛物线解析式是______． 14. 关于的方程有实数根，则的取值范围为_______________________． 15. 若m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则15m﹣+2010的值为_____． 三、解答题（总8题，共75分） 16. 用适当方法解下列方程： （1） （2） （3） 17. 已知：关于x的方程 （1）求证：不论k取何值，方程总有实数根； （2）若方程两根为x1，x2，求的值 18. 新冠病毒的传染性极强，某地因1人患了新冠病毒没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了新冠病毒． （1）每天平均一个人传染了几人? （2）如果按照这个传染速度，再经过1天的传染后，这个地区一共将会有多少人患新冠病毒？ 19. 已知抛物线的顶点坐标为（2，1），且经过点（-1，-8）． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）求抛物线与坐标轴的交点坐标； （3）若自变量x的取值范围是，求对应的函数值y的取值范围． 20. 若等腰△ABC一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根，求△ABC的周长． 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利是多少？ 22. 如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1m的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6m的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4m高．球第一次落地后又弹起．据试验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线表达式； (2)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米?(取，) 23. 如图，已知抛物线经过点、、三点． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是线段上点（不与B、C重合），过M作轴交抛物线于N．若点M的横坐标为m．请用m的代数式表示的长； （3）在（2）的条件下，连接、，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $