精品解析：江苏省镇江市丹徒区宜城中学集团五校2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

八年级数学阶段性学习评价 一、单项选择题（本题共8小题，每小题只有1个选项符合题意．每小题3分，共24分） 1. 已知三角形的两边分别为3和6，则此三角形的第三条边的长可能是（　　） A. 3 B. 5 C. 9 D. 10 2. 如图，，若，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，已知，则添加一个条件，不一定能使的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，，测得，则长为（　 　） A. B. C. D. 5. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是( ) A. 20° B. 30° C. 45° D. 60° 6. 如图，已知是等边三角形，是中线，在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则的长为（　　） A. B. C. D. 以上答案都不对 8. 如图，在五边形中，，，在边，上分别找一点M，N，连接，，，则当的周长最小时，求的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 已知等腰三角形的一个角为，则它的顶角为______． 10. 若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，，则它的面积是__________． 11. 如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的依据是______． 12. 12.如图，在中，，垂直平分，垂足为E，交于D，若的周长为，则的长为_____． 13. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是_______ ． 14. 如图，，且，E，F是上两点，．若，则的长为_____． 15. 如图，已知的面积为18，平分，且于点P，则的面积是____． 16. 如图，在锐角中，，，，点P是边上的一动点，点P关于直线，的对称点分别是M，N，连接，则的最小值为 ____． 三．解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 如图，表示两条道路，在上有一个车站（用点P表示），现在要在两条道路形成的角的内部建一个报亭，要求报亭到两条道路的距离相等且到点P所表示的车站距离最短．请在图中作出报亭的位置． 18. 如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2． （1）求证：； （2）证明：∠1=∠3． 19. 如图，点B、F、C、E在同一直线上，，垂足为B，，垂足为E，且，求证：． 20. 如图，在中，，点D是的中点，，垂足分别为．求证：． 21. 如图，在中，于点D，于点E，F为的中点，连接， （1）求证：； （2）若．则的周长为 ． 22. 如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． （1）求证：； （2）若，，则______． 23. 已知，中，，，一条直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，请直接写出，，之间的数量关系 ； （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 24. 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 　　　 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是______； A.    　　B.    　　C.　 D. （2）由“三角形的三边关系”，可求得AD的取值范围是_____． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，线段的长为 ． （4）如图3，是的中线，，点E在的延长线上，．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学阶段性学习评价 一、单项选择题（本题共8小题，每小题只有1个选项符合题意．每小题3分，共24分） 1. 已知三角形的两边分别为3和6，则此三角形的第三条边的长可能是（　　） A. 3 B. 5 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和求得第三边的取值范围，再进一步选择． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得 第三边大于：6-3=3，小于：3+6=9． 则此三角形的第三边可能是：5． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，即三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和，此题基础题，比较简单． 2. 如图，，若，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全等三角形的性质可得到，在中可求得，则可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题主要考查全等三角形的性质三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 3. 如图，已知，则添加一个条件，不一定能使的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用，加上公共边，然后利用全等三角形的判定方法对各选项进行判断即可； 本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键. 【详解】， 当添加时，可根据“”判断； 当添加时，可根据“”判断； 当添加时，则，可根据“”判断. 故选：A. 4. 如图，，测得，则长为（　 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等得到则利用即可求出长． 【详解】解：∵， ∴ ∴, 故选：C 5. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是( ) A. 20° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案． 【详解】在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°， 由作图可知MN为AB的中垂线， ∴DA=DB， ∴∠DAB=∠B=30°， ∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°， 故选B． 【点睛】本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键． 6. 如图，已知是等边三角形，是中线，在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质及等腰三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 先根据是等边三角形，为中线可得出，再由可知，根据三角形内角和定理即可求出的度数，故可得出的度数． 【详解】解：∵是等边三角形，为中线， 故选：D． 7. 如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则的长为（　　） A. B. C. D. 以上答案都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键，先利用证明，得出，又，将代入即可求出的值． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，在五边形中，，，在边，上分别找一点M，N，连接，，，则当的周长最小时，求的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理，作点关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，连接，，由轴对称的性质可得，，，，由两点之间线段最短可得，此时的周长最小，为，求出，，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，连接，， 由轴对称的性质可得，，，， ∴的周长，由两点之间线段最短可得，此时的周长最小，为， ∵， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴由得：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 已知等腰三角形的一个角为，则它的顶角为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分角为底角和顶角两种情况求解即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当的角为底角时， 此时顶角为； 当的角为顶角时， 此时顶角为； 即该三角形的顶角为或， 故答案为：或． 10. 若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，，则它的面积是__________． 【答案】48 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出斜边的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线长是 ∴该直角三角形的斜边长为8×2=16cm ∵直角三角形斜边上的高是6cm ∴该直角三角形的面积为：×16×6=48cm2 故答案为：48 【点睛】此题考查的是直角三角形的性质和求三角形的面积，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的面积公式是解决此题的关键． 11. 如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的依据是______． 【答案】SSS 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质． 根据题意可知和三边对应相等，可证明，可得对应角相等，从而可得射线是的平分线，即可得这种作法的依据． 【详解】解：根据题意，， ， ∴射线即是的平分线， ∴这种作法的依据是“SSS”． 故答案为：SSS． 12. 12.如图，在中，，垂直平分，垂足为E，交于D，若的周长为，则的长为_____． 【答案】##8厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 根据线段垂直平分线的性质可知，再利用已知条件结合三角形的周长计算即可． 【详解】解：∵DE垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是_______ ． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 过点作于点，先根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 过点作于点，如图所示： 由作图过程可知，是的平分线， ∴， ∴的面积为， 故答案为：18． 14. 如图，，且，E，F是上两点，．若，则的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 15. 如图，已知的面积为18，平分，且于点P，则的面积是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算，解题的关键在于利用角平分线的性质和垂直的条件．通过延长构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到对应边相等，进而推出，，从而得到． 【详解】如图，延长交于点， 于点， ， 平分， ， 又， ， ， ，， ， 故答案为：． 16. 如图，在锐角中，，，，点P是边上的一动点，点P关于直线，的对称点分别是M，N，连接，则的最小值为 ____． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，，，，，利用轴对称的性质可推出是等边三角形，进而得到，当时，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接，，，，， ∵点P关于直线，的对称点分别是M，N， ∴AB垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 当时，最小，此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求线段最小值的问题，关键是应用轴对称的性质得出． 三．解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 如图，表示两条道路，在上有一个车站（用点P表示），现在要在两条道路形成的角的内部建一个报亭，要求报亭到两条道路的距离相等且到点P所表示的车站距离最短．请在图中作出报亭的位置． 【答案】 解：如图：点Q即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、垂线段的性质的运用等知识点，弄清问题中对所作图形的要求、结合对应几何图形的性质和基本作图的方法成为解题的关键． 先作的平分线，再过P作于点Q，则点Q到两条道路的距离相等且到点P所表示的车站距离最短． 【详解】略 18. 如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2． （1）求证：； （2）证明：∠1=∠3． 【答案】 （1）证明：， ，即， 在和中，， ； （2）证明：由（1）已证：， ， 由对顶角相等得：， 又， ． 【解析】 【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）先根据三角形全等的性质可得，再根据对顶角相等可得，然后根据三角形的内角和定理、等量代换即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、对顶角相等、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 19. 如图，点B、F、C、E在同一直线上，，垂足为B，，垂足为E，且，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，通过线段之间的关系先证明，再利用证明即可，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】略 20. 如图，在中，，点D是的中点，，垂足分别为．求证：． 【答案】 证明：是边的中点， ， 又，， ， 又∵， ∴， 在和中， ． ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定方法，比较简单． 利用“”证明即可得到：． 【详解】略 21. 如图，在中，于点D，于点E，F为的中点，连接， （1）求证：； （2）若．则的周长为 ． 【答案】（1） 解：∵，， ∴均为直角三角形， ∵F为的中点， ∴， ∴； （2）9 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理是解题关键． （1）根据直角三角形斜边中线的性质解答即可； （2）根据直角三角形斜边中线的性质，可得，从而得到，再由以及三角形内角和定理可得，从而得到，可证明是等边三角形，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴的周长为． 22. 如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． （1）求证：； （2）若，，则______． 【答案】（1） 证明：连接， 垂直平分， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据角平分线的性质和证明和全等，进而解答即可； （2）先证明得到，设，然后根据，得出方程解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在，中， ， ∴， ∴， 设， 则，， ， ， ， ． 故答案为： ． 23. 已知，中，，，一条直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，请直接写出，，之间的数量关系 ； （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积公式，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）证明，得出，，即可得证； （2）证明，得出，，即可得证； （3）由（2）得且，求出，，再由三角形面积公式计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即； 【小问3详解】 解：由（2）得且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 24. 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 　　　 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是______； A.    　　B.    　　C.　 D. （2）由“三角形的三边关系”，可求得AD的取值范围是_____． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，线段的长为 ． （4）如图3，是的中线，，点E在的延长线上，．求证：． 【答案】（1）C （2） （3） （4）证明：如图所示，延长到点，使，连接，标记， ∵是的中线， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 即， 又∵， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算即可； （3）延长到点，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质，推出，即可得出答案； （4）延长到点，使，连接，由证得，再证，即可证明． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴在和中 ， ∴（）， ∴依据是， 故选：C； 解：由（1）知， ∴，， 在中，， ∴， 即， ∴， 故答案为：； 解：如图所示，延长到点，使，连接，标记， ∵是的中线， ∴， 在和中 ， ∴（SAS）， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴线段的长为； （4）略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $