精品解析：吉林省长春北湖学校2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

长春北湖学校2025-2026学年度九年级上学期 第一次阶段性评价数学学科试卷 满分：120分时长：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若代数式有意义，则x应满足的条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解， 本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是：熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：B． 2. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，此题比较简单，需要同学们熟练掌握． 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，最后转化成解的一元一次方程． 【详解】解：把代入方程可得， 解得， 故选：A． 3. 如图，，若，，，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据该知识求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 4. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， 故选：D． 5. 如图，在电线杆离地面高度为的A处向地面拉一条揽绳，使揽绳与地面的夹角为，则揽绳的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解决本题的关键． 本题中已知中的角、，利用即可解答． 【详解】解：在中，， ∵， ∴，解得：． 故选：C． 6. 如图，是的边上的一点，那么下列四个条件不能单独判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活利用相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐项即可． 【详解】解：∵是公共角，∴再加上或都可判定，不符合题意，即A、B都不符合题意； ∵是公共角，再加上，即可判定，则选项D不符合题意；选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，不能，符合题意． 故选C． 7. 如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，由题意可得，且相似比为，结合相似三角形的性质即可得解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为O， ∴，且相似比为， ∵的周长为4， ∴的周长为， 故选：B． 8. 如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题结合矩形的性质考查反比例函数的系数的意义，关键是利用相似三角形的判定与性质，结合反比例函数的坐标特征求解阴影面积． 【详解】解：四边形是矩形，设， ∴，点纵坐标与点相同，为． 又∵在上， ∴点横坐标为，即， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，. ∴阴影总面积为． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 如果，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的知识，解题的关键是掌握分式的性质，对进行化简，得，把代入，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 一元二次方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 通过因式分解法求解一元二次方程． 【详解】解：， ， 或， 解得：，． 故答案为：，． 11. 关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为________． 【答案】k＞1 【解析】 【分析】根据由方程无实数根得到方程的判别式小于零，据此求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得k＞1． 故答案为：k＞1． 【点睛】本题考查了一元二次方程（a≠0）的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 12. 如图,中,，点E为的中点，点D在上，且、相交于点F，若，则等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟练运用“直角三角形斜边中点到三顶点距离相等”得出等腰三角形，再结合等腰三角形底角相等和三角形外角等于不相邻两内角和推导角度． 由且E为中点，得，故；由得，再利用三角形外角性质得，，计算得角度． 【详解】解：由条件可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，放在正方形网格纸的位置如图，则的值为_____________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．连接，利用勾股定理分别计算出、、的长，然后根据勾股定理逆定理得出，再利用三角函数定义可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，，点、分别是边、上的点，连接，将菱形沿翻折，使点的对称点落在对角线上，给出下面四个结论：①；②若，则；③若菱形边长为4，是的中点，连接，则；④若，，则；上述结论中，正确的序号有____________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据一线三等角基本模型可得，可知①正确；根据相似三角形的性质可得，再利用三角形内角和定理可知②正确；作交的延长线于点，利用含30度角的直角三角形的性质得，再根据勾股定理可得的长，则③正确；设，则，利用相似三角形的性质可得，再根据可得答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ∴是等边三角形， ，； 由折叠性质可知，， ， ， 又∵， ，故①正确； ， ，故②正确； 如图，过点M作交的延长线于点， 在中，， 由菱形的性质可得， ， ∴， 是的中点， ， ， ∴ ，故③错误； 设，则 由折叠的性质可得，； ， ， ， 解得或（舍去）； ∴，故④正确； 故正确的有：①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用所学知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算题： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，三角函数值的混合运算．熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘除法法则和特殊角的三角函数值是解决问题的关键． （1）先算乘除法，化简二次根式，再合并计算； （2）将特殊角的三角函数值代入，再计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握基本解法是解题的关键． （1）开平方法求解； （2）公式法求解． 【小问1详解】 解： 或， 解得或， ∴原方程的解为：，； 【小问2详解】 解： ， ， ， ∴， ∴或， ∴原方程的解为：，． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）的值为1，方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和解一元二次方程，解题关键是牢记根的判别式的意义和解方程的方法． （1）求出根的判别式即可求证； （2）先将方程的根代入方程求出，确定方程后再解方程求另一个根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程可得：， ∴， ∴该方程为， ∴， ∴， ∴的值为1，方程的另一个根为． 18. 图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、M、N均在格点上，在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）如图①， ． （2）如图②，在线段上找一点E，使． （3）如图③，在线段上找一点F，连接，使． 【答案】（1） （2） 所作图形如下： （3） 所作图形如下： 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易知，，然后问题可求解； （2）根据相似三角形的性质与判定可直接进行作图； （3）根据相似三角形的性质与判定可直接进行作图 【小问1详解】 解：由图可知：，， ∴； 故答案为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． 【答案】该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，列式，进行计算，即可作答． 【详解】解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为． 20. 如图，在中，，为边上的中线，于点E． （1）求证：． （2）若，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵，为边上的中线， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质： （1）等边对等角，得到，三线合一得到，进而得到，即可得证； （2）根据相似三角形的性质进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，为边上的中线， ∴， 由（1）知：， ∴，即：， ∴． 21. 小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高度．如图所示，已知建筑物的高为15米，某一时刻，他们在阳光下分别测得的影长为24米，小军的影长为米，其中四点在同一直线上，三点在同一直线上，且，． （1）线段与线段之间的位置关系为_________； （2）已知小军的身高为米，求旗杆的高． 【答案】（1）平行 （2）米 【解析】 【分析】本题考查两直线的位置关系，相似三角形判定及性质等． （1）根据题意可知两线段位置关系为平行； （2）先证明，继而求出，再证明，继而得到本题答案． 【小问1详解】 解：∵太阳光线是平行光线， ∴， 故答案为：平行； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， 过点作交于， ， 同理得：， ∴， ∴（米）， ∴旗杆的高为米． 22. 阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； （2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，当为何值时，围成的生物园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）9；（2）当时，代数式有最小值，最小值为； （3）当时，围成的生物园面积最大，最大面积为50平方米 【解析】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）根据完全平方公式的特征判断即可； （2）仿照阅读材料中的方法，利用完全平方公式配方求出代数式的最值，以及x的值即可； （3）根据垂直于墙的长为x米，表示出平行于墙的长，进而表示出生物园的面积，利用完全平方公式配方后确定出最大面积即可． 【详解】解：（1）根据题意得：， 故答案为：9； （2） ， 当时，代数式有最小值，最小值为； （3）设生物园的面积为，则 ， 当，即时，S取得最大值，最大值为50平方米． 23. 【定理】三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 【应用】 如图①，在中，点P、Q分别是边、的中点，连结，若，则线段的长为________． 【探究】 如图②，在应用的条件下，点为平面上的一点（与不平行），点M为线段的中点，连结、，当时，求的长． 【拓展】 如图②，在探究的条件下，若，当的面积最大时，直接写出的度数． 【答案】6； 6；或 【解析】 【分析】此题重点考查三角形的中位线定理的应用、垂线段最短、等腰三角形的判定与性质． 应用：由点、分别是边、的中点，得，于是得到问题的答案； 探究：由，得，因为，，所以，则； 拓展：作交的延长线于点，则，由“垂线段最短”证明当时，，此时，再分两种情况讨论，一是点在直线的下方，设交于点，则，，得，，则；二是点在直线的上方，延长交于点，则，，所以． 【详解】解：应用：∵，点、分别是边、的中点， ∴是中位线， ∴， 线段的长为6， 故答案为：6； 探究：， ， 点为线段的中点，点为线段的中点， ∴是中位线， ， ， ， ， 的长是6； 拓展：如图②，作交的延长线于点， ，且， 当时，， 当的面积最大时，， 分以下两种情况讨论： 如图③，点在直线的下方，设交于点， 、、分别为、、的中点， ∴，， ，， ； 如图④，点在直线的上方，延长交于点， 、、分别为、、的中点， ∴，， ，， ， 综上所述，的度数为或． 24. 如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点运动．过点作交边或边于点，且点不与点、重合，点不与点重合，设线段的中点为，将截得到的小三角形绕点旋转，得到．设点的运动时间为秒． （1）的长为___________； （2）用含的代数式表示线段的长； （3）当点落在的一边上时，求的长； （4）在点运动过程中，直接写出射线平分面积时的长． 【答案】（1） （2）或 （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）直接由勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求出点与点重合时；再分两种情况：当点在上（不包括端点），即时，当点在上（不包括端点），即时，分别求解即可； （3）分两种情况：当点落在上时，当点在上，且点在上时，根据相似三角形的性质，列出比例式，即可求解； （4）当点Q在线段上时，设射线交于点N，根据三角形中线平分三角形面积可得点N为的中点，证明，利用相似三角形的性质可得，解方程即可得到答案；当点Q在线段上时，设射线交于点T，同理可得点T为的中点，证明，利用相似三角形的性质可得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴； 【小问2详解】 解：当点与点重合，即时， ∵， ∴ ∴， ， ∴此时； 当点在上（不包括端点），即时， ，， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴； 当点在上（不包括端点），即时， 同理可得， ∴ ∴ 综上，线段的长为或． 【小问3详解】 解：当点落在上时，如图， 同理可证明 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转可知， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当点在上，且点在上时，如图， 同理可得， ∴，即， ∴， ∴； 由旋转可知， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴ 综上所述，的长为或； 【小问4详解】 解：当点Q在线段上时，设射线交于点N， ∵射线平分面积， ∴点N为的中点， ∴， 由旋转可知， ∴， ∴， ∴ 由（2）知， ∴， ∴， ∴ 当点Q在线段上时，设射线交于点T， ∵射线平分面积， ∴点T为的中点， ∴， 由旋转可知， ∴， ∴， ∴ 由（2）知， ∴， ∴， ∴． 综上所述，射线平分面积时的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春北湖学校2025-2026学年度九年级上学期 第一次阶段性评价数学学科试卷 满分：120分时长：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若代数式有意义，则x应满足的条件为（ ） A. B. C. D. 2. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 如图，，若，，，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 9 4. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在电线杆离地面高度为的A处向地面拉一条揽绳，使揽绳与地面的夹角为，则揽绳的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的边上的一点，那么下列四个条件不能单独判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 9 8. 如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 如果，那么________． 10. 一元二次方程的解是______． 11. 关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为________． 12. 如图,中,，点E为的中点，点D在上，且、相交于点F，若，则等于__________． 13. 如图，放在正方形网格纸的位置如图，则的值为_____________． 14. 如图，在菱形中，，点、分别是边、上的点，连接，将菱形沿翻折，使点的对称点落在对角线上，给出下面四个结论：①；②若，则；③若菱形边长为4，是的中点，连接，则；④若，，则；上述结论中，正确的序号有____________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算题： （1）； （2）． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根． 18. 图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、M、N均在格点上，在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）如图①， ． （2）如图②，在线段上找一点E，使． （3）如图③，在线段上找一点F，连接，使． 19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． 20. 如图，在中，，为边上的中线，于点E． （1）求证：． （2）若，求线段的长． 21. 小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高度．如图所示，已知建筑物的高为15米，某一时刻，他们在阳光下分别测得的影长为24米，小军的影长为米，其中四点在同一直线上，三点在同一直线上，且，． （1）线段与线段之间的位置关系为_________； （2）已知小军的身高为米，求旗杆的高． 22. 阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； （2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，当为何值时，围成的生物园的面积最大？最大面积是多少？ 23. 【定理】三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 【应用】 如图①，在中，点P、Q分别是边、的中点，连结，若，则线段的长为________． 【探究】 如图②，在应用的条件下，点为平面上的一点（与不平行），点M为线段的中点，连结、，当时，求的长． 【拓展】 如图②，在探究的条件下，若，当的面积最大时，直接写出的度数． 24. 如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点运动．过点作交边或边于点，且点不与点、重合，点不与点重合，设线段的中点为，将截得到的小三角形绕点旋转，得到．设点的运动时间为秒． （1）的长为___________； （2）用含的代数式表示线段的长； （3）当点落在的一边上时，求的长； （4）在点运动过程中，直接写出射线平分面积时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $