精品解析：吉林油田第十二中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

吉林油田第十二中学2025-2026年第一学期第一次月考初三数学 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 在下列方程中，属于一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的定义，正确理解定义是解题的关键．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，是一元二次方程，根据定义判断． 【详解】解：A. ，不是等式，故该选项不正确，不符合题意； B. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； C. ，含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； D. ，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2. 下列二次函数中，图象的形状与二次函数相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，两个二次函数的二次项系数的绝对值相同时，两个二次函数图象的形状才相同，据此求解即可． 【详解】解：两个二次函数的二次项系数的绝对值相同时，两个二次函数图象的形状才相同， 故选：D． 3. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程定义及根的判别式，根据一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， m的取值范围是且． 故选：D． 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 有最小值4 D. 顶点坐标是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据函数图象与各系数之间的关系，结合二次函数图象的性质逐一判断即可． 【详解】解：在中，， 图象开口向下，故选项A错误； 二次函数图象关于直线对称，且开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项B正确； ∴当时，有最大值4，故选项C错误； ∵二次函数 ∴顶点坐标是，故选项D错误； 故选：B． 5. 一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x人，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是设这个小组有x个人，则每个人发出去条祝福信息，根据全组共发送306条信息，列方程即可． 【详解】解：设这个小组有x个人， 由题意得，． 故选C． 6. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图像及性质，二次函数的图像及性质．根据一次函数的图像经过的象限确定，，进而根据二次函数的图像的开口方向及对称轴，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图像经过第二、三、四象限， ，， ∴二次函数的图像开口向下，， ∴对称轴在y轴左侧，则符合题意的选项为C． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 7. 请写出一个顶点在原点且开口向下的抛物线解析式_____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，抛物线是形式，值为负即可． 【详解】解：根据题意，抛物线是形式，值为负即可， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，解题关键是熟记二次函数的性质，准确写出解析式． 8. 关于的方程是一元二次方程，则的值为的______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用一元二次方程概念求参数，根据一元二次方程概念得到，求解，即可解题． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，， 解得，， 综上，， 故答案为：． 9. 若点，是二次函数图象上的两点，则______（填）． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向上，图象的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可． 【详解】解：， ，对称轴为：， ∴抛物线的开口向上，图象的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查比较二次函数的函数值大小．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 10. 已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，则的周长为__________． 【答案】15 【解析】 【分析】用因式分解法可以求出方程的两个根分别是3和6，根据等腰三角形的三边关系，腰应该是6，底是3，然后可以求出三角形的周长． 【详解】x2-9x+18=0 （x-3）（x-6）=0 解得x1=3，x2=6． 由三角形的三边关系可得：腰长是6，底边是3， 所故周长是：6+6+3=15． 故答案为：15． 【点睛】此题考查解一元二次方程-因式分解，解题关键在于用十字相乘法因式分解求出方程的两个根，然后根据三角形的三边关系求出三角形的周长． 11. 若是方程的解，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共87分） 12 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，． 13. 解方程： 【答案】x1=-, x2=. 【解析】 【分析】利用因式分解方法解此方程，具体先移项，再提组间公因式，转化成两个一元一次方程即可解答. 【详解】解： , , 2x+1=0或2x-1=0, 解得：x1=-, x2= 【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题关键是能把一元二次方程转化成两个一元一次方程，题目比较好，难度适中． 14. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，每个支干长出多少小分支？ 【答案】每个支干长出10个小分支． 【解析】 【分析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程求得x的值． 【详解】解：设主干长出x个支干，由题意得 1+x+x•x=111， 即x2+x﹣110=0， 解得：x1=10，x2=﹣11（舍去） 答：每个支干长出的小分支是10个． 考点：一元二次方程的应用． 15. 已知二次函数． （1）求函数图象与坐标轴的交点坐标． （2）将该抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出所得抛物线的解析式为________． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象和性质与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． （1）根据函数图象与坐标轴的交点的性质，列出方程式求解即可； （2）根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【小问1详解】 解：令，则，解得， 则二次函数与x轴的交点坐标为和； 令，则， 则二次函数与y轴的交点坐标为， 那么，二次函数与坐标轴的交点坐标为，和； 【小问2详解】 解：， 由“左加右减”的原则可知，将二次函数的图象向左平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：；由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：， 故答案为：． 16. 刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利2500元，4月份的盈利达到3600元，且从2月到4月，每个月盈利的增长率相同． （1）求每个月盈利的增长率； （2）按照这个增长率，请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元？ 【答案】（1）20%；（2）4320元 【解析】 【分析】（1）设该商店的月平均增长率为x,根据等量关系：2月份盈利额×(1+增长率)2=4月份的盈利额列出方程求解即可； （2）5月份盈利=4月份盈利×增长率． 【详解】（1）设每月盈利平均增长率为，根据题意得： ， 解得：（不符合题意舍去） 答：每月盈利的平均增长率为； （2）（元） 答：按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到4320元． 【点睛】本题考查的是二次方程的实际应用，熟练掌握二次方程是解题的关键． 17. 如图，已知二次函数图象的顶点为，且过． （1）求这个二次函数的解析式； （2）观察图象，当时，取值范围为_____(直接写出答案）． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质； （1）设二次函数的解析式为，将代入，即可求解； （2）求得时与时的函数值，结合函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象的顶点为， 设二次函数的解析式为 ∵过点， ∴ 解得：， ∴二次函数的解析式为： 【小问2详解】 解：当时，， 解得：或 当时， 解得：或 观察函数图象可得当时，的取值范围为或， 故答案为：或． 18. 阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴， 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，则　 　，　 　； （2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可先求出，，再将变形，代入求值即可． 【小问1详解】 ∵一元二次方程的两个根为，， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 ∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 19. 已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长． 【答案】（1）证明见解析． （2）7． 【解析】 【分析】（1）先计算判别式，将结果写成完全平方形式，再根据判别式的意义得出结论． （2）运用因式分解法求得到方程的两个根，根据等腰三角形性质，求出等腰三角形的周长． 【小问1详解】 ∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4•（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0， ∴无论k取何值，方程总有实数根； 【小问2详解】 ∵等腰三角形的底边长3，另两边长恰好是这个方程的两根， 即以3为底，则，为腰， ∴以3为底，，为腰能构成等腰三角形， ∴周长 ∴等腰三角形的周长为7． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，本题第二问，运用因式分解法求得到方程的两个根，根据等腰三角形性质，求出等腰三角形的周长． 20. 如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点，连接AD，BD． （1）直接写出点C、D的坐标； （2）求△ABD面积； （3）点P是抛物线上的一动点，若△ABP的面积是△ABD面积的，求点P的坐标． 【答案】（1）D（1，﹣4）；（2）8；（3）（1+，2）、（1﹣，2）、（1+，﹣2）、（1﹣，﹣2）． 【解析】 【分析】（1）利用抛物线与y轴交点求法得出C点坐标，再利用配方法求出其顶点坐标； （2）利用D点坐标得出△ABD的面积； （3）利用△ABD的面积得出△ABP的面积，进而求出P点纵坐标，进而求出其横坐标． 【详解】解：（1）当x＝0，则y＝﹣3， 故C（0，﹣3）， y＝x2﹣2x﹣3 ＝（x﹣1）2﹣4， 故D（1，﹣4）； （2）∵点A（﹣1，0），点B（3，0）， ∴AB＝4， ∴S△ABD＝×4×4＝8； （3）∵△ABP的面积是△ABD面积的， ∴S△ABP＝4， ∵AB＝4， ∴P点纵坐标为2或﹣2， 当P点纵坐标为2，则2＝x2﹣2x﹣3， 解得：x1＝1+，x2＝1﹣， 此时P点坐标为：（1+，2）或（1﹣，2）， 当P点纵坐标为﹣2，则﹣2＝x2﹣2x﹣3， 解得：x1＝1+，x2＝1﹣， 此时P点坐标为：（1+，﹣2）或（1﹣，﹣2）， 综上所述：点P坐标为：（1+，2）、（1﹣，2）、（1+，﹣2）、（1﹣，﹣2）． 【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及三角形面积求法和二次函数图象上点的坐标性质等知识，注意分类讨论得出是解题关键． 21. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加___________件，每件商品，盈利___________元（用含x的代数式表示）； （3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 【答案】（1）某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元 （2）， （3）每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元 【解析】 【分析】（1）根据盈利单件利润销售数量即可得出结论； （2）根据每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来每件盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额； （3）根据盈利单件利润销售数量即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值． 【小问1详解】 解：当天获利：（元）； 答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元； 【小问2详解】 解：∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品盈利元， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：根据题意，得：， 整理，得：， 解得：， ∵商城要尽快减少库存， ． 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程是解题关键． 22. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线的解析式； （3）当点在线段上运动时，求线段的最大值； （4）当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； （5）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）的最大值为 （4） （5）的值为或 【解析】 【分析】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）根据（1）中所求抛物线解析式可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （3）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （4）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可求表示出M点纵坐标，代入抛物线解析式可求得m的值； （5）由条件可得出，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值． 【小问1详解】 解：∵抛物线过，两点， ∴代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：令可得，，解，， ∵点在点右侧， ∴点坐标为， 设直线解析式为， 把、坐标代入可得，解得， ∴直线解析式为； 【小问3详解】 解：∵轴，点的横坐标为， ∴，， ∵在线段上运动， ∴点在点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为； 【小问4详解】 解：∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴点纵坐标为3， ∴，解得或， 当时，则，重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 【小问5详解】 解：∵， ∴当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴， ∴或， 解方程，即， 此时． ∴方程无解， 解方程，即， ∴， 综上，的值为或． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（3）中用m表示出的长是解题的关键，在（4）中确定出是解题的关键，在（5）中由平行四边形的性质得到是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林油田第十二中学2025-2026年第一学期第一次月考初三数学 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 在下列方程中，属于一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 2. 下列二次函数中，图象的形状与二次函数相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A B. C. 且 D. 且 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 有最小值4 D. 顶点坐标是 5. 一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x人，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ） A B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 7. 请写出一个顶点在原点且开口向下的抛物线解析式_____________． 8. 关于的方程是一元二次方程，则的值为的______． 9. 若点，是二次函数图象上的两点，则______（填）． 10. 已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，则的周长为__________． 11. 若是方程的解，则代数式的值为______． 三、解答题（共87分） 12. 解方程： 13. 解方程： 14. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，每个支干长出多少小分支？ 15. 已知二次函数． （1）求函数图象与坐标轴的交点坐标． （2）将该抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出所得抛物线解析式为________． 16. 刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利2500元，4月份的盈利达到3600元，且从2月到4月，每个月盈利的增长率相同． （1）求每个月盈利的增长率； （2）按照这个增长率，请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元？ 17. 如图，已知二次函数图象的顶点为，且过． （1）求这个二次函数解析式； （2）观察图象，当时，的取值范围为_____(直接写出答案）． 18 阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴， 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，则　 　，　 　； （2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． 19. 已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长． 20. 如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点，连接AD，BD． （1）直接写出点C、D的坐标； （2）求△ABD的面积； （3）点P是抛物线上的一动点，若△ABP的面积是△ABD面积的，求点P的坐标． 21. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加___________件，每件商品，盈利___________元（用含x的代数式表示）； （3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 22. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线的解析式； （3）当点在线段上运动时，求线段的最大值； （4）当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； （5）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $