精品解析：云南省玉溪市第三中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

高二数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：必修第一、二册，选择性必修一第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算得集合，利用交集的定义求. 【详解】，，则， 故选：D． 2. 设向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量加法及共线的坐标表示运算即可得解. 【详解】由题意，， 因为，所以，解得． 故选：C. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求出，再根据二倍角得正切公式即可得解. 【详解】由，得， 则. 故选：B. 4. 已知，则的最小值是（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】变形得，利用基本不等式求解. 【详解】∵，∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值是12． 故选：A． 5. 已知为空间四点，且向量，，不能构成空间的一组基底，则一定有( ) A. ，，共线 B. 中至少有三点共线 C 与共线 D. 四点共面 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理可判断. 【详解】∵向量，，不能构成空间一组基底， ∴，，共面， ∵向量，，有共同的点， ∴四点共面，故D正确； 当四点共面时， ，，不一定共线，故A错误； 中不一定有三点共线，故B错误； 与不一定共线，故C错误， 故选：D. 6. 已知为不同的平面，l，m为不同的直线，那么下列命题中正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线、平面的位置关系以及平行的传递性进行判断. 【详解】对于选项A，如图，若，且，但，故A错误. 对于选项B，如图，，且，但，故B错误. 对于选项C，如图，根据平行的传递性，若，且，则， 故C正确. 对于选项D，如图，，且，但，故D错误. 故选：C. 7. 三个顶点的坐标分别为，则的形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 正三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量模长的坐标表示求出的边长即可求解. 【详解】由题得， 则，，， 因为，所以为直角三角形， 故选：D 8. 如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为（　　） A. 2π B. 4π C. 16π D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析图中的几何关系，分别求出圆锥的底面半径和母线长即可. 【详解】依题意，做球的剖面图如下： 其中，O是球心，E是圆锥的顶点，EC是圆锥的母线， 由题意可知球的半径计算公式： ，由于圆柱的高为2， OD=1，DE=3-1=2， ，母线 ， ∴圆锥的侧面积为 ， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. 与同向共线的单位向量是 C. 若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，且，则实数 D. 在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量模的坐标表示判断A；计算可判断B；由条件得，计算可判断C，根据投影向量的定义可判断D. 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，与同向共线的单位向量是，故B正确； 对于C，因为，所以，则，解得，故C错误； 对于D，， 则在上的投影向量为，D正确． 故选：BD． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上为增函数 D. 把的图象向右平移个单位长度，得到一个偶函数的图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数解析式，然后利用三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】由已知，， ∴，则， ∵图象过，∴， ∴，，又，∴， ∴， 显然，∴的图象关于点对称，A正确； 令，得，∴的对称轴为， 令，得，故B错误； 时，令，在上递增，因此C正确； 把的图象向右平移个单位长度，得函数表达式为，它是偶函数，D正确． 故选：ACD． 11. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论错误的是( ) A. 当为线段的中点时，平面 B. 当为线段三等分点时，平面 C. 在线段的延长线上，存在一点，使得平面 D. 不存在点，使与平面垂直 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，设，表示出向量，再利用，建立关系式，从而判断出无解，即不存在这样的点，进而判断出选项ABC不正确，选项D正确. 【详解】如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 易知，，，，，，， 所以，，，. 设平面的一个法向量为， 则，取，则，， 所以平面的一个法向量为. 假设平面，且， 则. 因为也是平面的法向量， 所以与共线， 所以成立， 但此方程关于无解，因此不存在点，使与平面垂直，所以选项ABC不正确，选项D正确. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知事件相互独立，且，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式，列出方程求得，再结合对立事件的概率公式，即可求解. 【详解】由事件相互独立，且， 可得，可得， 则． 故答案为：. 13. 已知点P在所在平面内，O为空间中任一点，若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由空间共面定理可将题目中表达式化为，即可求出的值. 【详解】因为， 所以. 因为P，A，B，C四点共面，O具有任意性，所以， 故. 故答案为：. 14. 若函数零点为，函数零点为，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据零点的定义及反函数的图像特征，判断出A、B两点关于y=x对称，即可求出. 【详解】令，得：；令，得：； 所以分别为和与的图像交点的横坐标，如图所示： 所以，. 因为和互为反函数，所以和的图像关于y=x对称，所以A、B两点关于y=x对称. 又A、B两点均在的图像上，所以，所以2. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数． （1）若为奇函数，求m的值； （2）在（1）的情况下，若关于x的不等式在上恒成立，求k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求解； （2）由题意可得，关于x的不等式在上恒成立，根据函数的单调性求出最小值即可得解. 【小问1详解】 若为奇函数，且定义域为，则， 即， 即， 则，解得． 【小问2详解】 由题意可得，则， 所以关于x的不等式在上恒成立. 因为函数在上单调递增， 所以当时，， 则，故k的取值范围为． 16. 如图，棱长为1的正四面体中，，，，点M满足，点N为中点． （1）用、、表示； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量线性运算求解即可； （2）根据数量积的运算计算，进而可得. 【小问1详解】 连接，如图所示． ∵点N为中点，∴． ∵，∴. 则． 【小问2详解】 因为正四面体棱长为1，所以， 所以 ， 所以． 17. 某高校承办了2025怒江傈僳“阔时”文化节志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的众数和分位数（分位数精确到0.1）； （3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率. 【答案】（1）， （2）众数为70；分位数为71.7 （3） 【解析】 【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，根据所有频率之和为1可得； （2）根据频率分布直方图中百分位数和中位数的计算求解即可； （3）先由分层抽样得出第四、第五两组志愿者抽取的人数，再利用古典概型的概率公式求解． 【小问1详解】 因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以，解得， 所以前两组的频率之和为，即，所以. 【小问2详解】 根据频率直方图可知，众数为； 前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75， 所以分位数在第三组，且为． 【小问3详解】 第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，第五组志愿者人数为1，设为， 这5人中选出2人，所有情况有 ，共有10种情况， 其中选出的两人来自不同组的有，共4种情况， 故选出的两人来自不同组的概率为． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）求角A； （2）若D是线段的中点，且，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 由正弦定理可知， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，∴， ∵，∴． 【小问2详解】 由（1）及余弦定理得，即，① 又因为，则， 则， 即， 所以，② 由得， 所以． 【小问3详解】 由（1）得，则，即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为△ABC为锐角三角形，所以，， 即，， 则，即， 则， 故△ABC的周长的取值范围为． 19. 如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，且. （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用直四棱柱的性质得到，结合，结合线面垂直的判定定理得到平面，再运用线面垂直的性质证明所求结论即可. （2）建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量求法求解即可. （3）建立空间直角坐标系，求出每个平面的法向量，利用面面夹角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 在直四棱柱中，底面， 又底面，故， 又面， 得到平面，又平面，则. 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴， 如图，建立空间直角坐标系， ， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以， 由点到平面的距离公式得点到平面的距离为. 【小问3详解】 由（2）知， 设平面的法向量为， 则令，得，所以， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则，而，则， 由同角三角函数的基本关系得， 故平面与平面夹角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：必修第一、二册，选择性必修一第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的最小值是（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 5. 已知为空间四点，且向量，，不能构成空间的一组基底，则一定有( ) A. ，，共线 B. 中至少有三点共线 C. 与共线 D. 四点共面 6. 已知为不同的平面，l，m为不同的直线，那么下列命题中正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 7. 三个顶点的坐标分别为，则的形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 正三角形 D. 直角三角形 8. 如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为（　　） A. 2π B. 4π C. 16π D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. 与同向共线的单位向量是 C. 若直线l方向向量为，平面α的法向量为，且，则实数 D. 在上的投影向量为 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 图象关于点对称 B. 图象关于直线对称 C. 在上为增函数 D. 把的图象向右平移个单位长度，得到一个偶函数的图象 11. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论错误的是( ) A. 当为线段的中点时，平面 B. 当为线段的三等分点时，平面 C. 在线段的延长线上，存在一点，使得平面 D. 不存在点，使与平面垂直 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知事件相互独立，且，则__________． 13. 已知点P在所在平面内，O为空间中任一点，若，则___________. 14. 若函数零点为，函数零点为，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数． （1）若为奇函数，求m的值； （2）在（1）的情况下，若关于x的不等式在上恒成立，求k的取值范围． 16. 如图，棱长为1正四面体中，，，，点M满足，点N为中点． （1）用、、表示； （2）求． 17. 某高校承办了2025怒江傈僳“阔时”文化节志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的众数和分位数（分位数精确到0.1）； （3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）求角A； （2）若D是线段的中点，且，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 19. 如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，且. （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $