专题强化02：二次函数综合应用【八大题型 培优 】-2025-2026学年九年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

专题强化02：二次函数综合应用 【题型归纳】 · 题型一：动点问题 · 题型二：线段问题 · 题型三：周长问题 · 题型四：面积问题 · 题型五：角度问题 · 题型六：特殊三角形问题 · 题型七：特殊四边形问题 · 题型八二次函数与其他知识交汇综合 【题型探究】 题型一：动点问题 【例1】．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上，，将沿平移，当点F与点C重合时，停止平移．设点B平移的距离为x，与正方形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（    ）    A．  B．  C．  D．   【变式1】．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 题型二：线段问题 【例2】．（25-26九年级上·天津·阶段练习）已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)过P点作y轴的平行线交直线于点E，求线段的最大值． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．已知点． (1)求抛物线的解析式． (2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，抛物线与轴交于点，． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)观察图象，当时，y的取值范围为________； (3)已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 题型三：周长问题 【例3】．（25-26九年级上·江西宜春·阶段练习）已知，如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，顶点为． (1)求此函数的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在对称轴上找一点，使的周长最小，求出点坐标． 【变式1】．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）已知抛物线经过、、三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)抛物线的顶点为D，连接CD、BD、BC，求的面积； (3)设点P是直线l上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽六安）已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求该抛物线的解析式． (2)如图，点坐标，为抛物线对称轴上一动点，过点的直线平行轴交抛物线于、两点（点在点的左侧）． ①若，求点坐标； ②若以为边构造矩形（、在线段、上），求该矩形周长的最大值． 题型四：面积问题 【例4】．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，已知二次函数的图象过点和． (1)求该二次函数的解析式； (2)C为点B关于抛物线的对称轴的对称点，直线经过A，C两点，在抛物线上找一点P（异于点B），使得，求点P的坐标． 【变式1】．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值； 【变式2】．（25-26九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，抛物线与轴交，两点，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为2． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，设点的横坐标为，线段的长度为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值和此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，当线段取得最大值时，请直接写出四边形的面积． 题型五：角度问题 【例5】．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数； (2)若，点在抛物线上，且，求点的坐标． 【变式2】．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 【变式2】．（24-25九年级下·河南郑州·阶段练习）如图所示，抛物线与轴交于点，点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)设直线所在的函数解析式为，请直接写出不等式的解集； (3)抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 题型六：特殊三角形问题 【例6】．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点E，己知点B的坐标为，经过点B的直线与抛物线另一个交点D的坐标为，连接． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若点F在x轴上，则当的值最小时，求点F的坐标； (3)若点P是y轴上的一点，使得为等腰三角形，求点P的坐标． 【变式1】．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，抛物线的顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，判断的形状； (3)若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． 【变式2】．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图①，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点，设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点）．其横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当m为何值时，面积S取得最大值？请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点Q，使得是以为底的等腰三角形，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 题型七：特殊四边形问题 【例7】．（25-26九年级上·山东日照·阶段练习）如图（1），直线与、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式与点的坐标； (2)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值； (3)连接，点在轴上，点在对称轴上，是否存在点，，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）综合与探究 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点． (1)求直线的解析式． (2)若点E是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点的坐标． (3)在（）的条件下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中已知抛物线与直线都经过，两点，该抛物线的顶点为． (1)求此抛物线的解析式． (2)在线段上存在点，使得取得最小值，求此时点坐标及的最小值． (3)在（2）条件下，点为直线上一点，过作轴的垂线交抛物线于点，是否存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型八：二次函数与其他知识交汇综合 【例8】．（2024·湖北荆州·一模）如图，已知经过点和的抛物线与y轴交于点C，过点C作轴交抛物线于点D． (1)请用含m的代数式表示n和点D的坐标； (2)设直线垂直平分，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F，连接，，，求m的值； (3)若在（2）的条件下，若点Q是抛物线上在y轴右侧的一个动点，其横坐标为t，点Q到抛物线对称轴和直线的距离分别是，且，①求d关于t的函数解析式；②当时，直接写出t的取值范围． 【变式1】．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D；抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线与x轴交于点M、N（点M在点N的左边）． (1)用配方法求抛物线的顶点坐标； (2)求线段的长； (3)如果，平移抛物线，使所得新抛物线的顶点E在其关于轴对称抛物线的对称轴上，当时，求平移后新抛物线的表达式． 【变式2】．（24-25九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）经过点，其对称轴为直线，点、在该抛物线上（点与点不重合），且点、的横坐标分别为、，将此抛物线在、两点之间的部分（包含、两点）记为． (1)求此抛物线对应的函数表达式． (2)当图象的最低点是抛物线的最低点时，求的取值范围． (3)当点、到直线距离相等时，求的值． (4)设点、的坐标分别为、，连接，当线段与图象只有一个公共点时，直接写出的取值范围． 【专题强化】 1．（20-21九年级上·河南·期中）如图，在中，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t， (1) ， ， ； (2)t为何值时的面积为？ (3)t为何值时的面积最大？最大面积是多少？ 2．（2025·四川广元·模拟预测）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过点B，C，且与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式． (2)点G是抛物线上的一点，且满足，求点G的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得 是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·重庆·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和点C的坐标； (2)连接，点P是直线上方抛物线上的一动点，若有，求出点P的横坐标； (3)若将抛物线沿直线方向平移一定距离得到新抛物线L，且抛物线L满足当时，有最大值为0，直接写出抛物线L的对称轴． 4．（25-26九年级上·广东·期中）已知，如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左方），与轴相交于点，直线经过点、． (1)求的长度； (2)点为直线下方抛物线上一点，当四边形面积最大时，求点的坐标． 5．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，已知点A、B的坐标分别是、． (1)求该抛物线的解析式； (2)在x轴上是否存在一点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，抛物线与x轴交于两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当和时，y的值相等，直线与这条抛物线交于两点，其中一点横坐标为4，另一点是这条抛物线的顶点M． (1)求顶点M 的坐标并求出这条抛物线对应的函数解析式． (2)P为线段上一点（P不与点重合），作轴于点Q，连接，设，四边形的面积为S， ①求S与t的函数解析式，并直接写出t的取值范围． ②当t为何值时，四边形的面积最大，求出这个最大值． 7．（2022·青海西宁·一模）已知，如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得的周长最小，如果存在，求出点E； (3)若点D是x轴下方抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，的面积为S，求出S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，S有最大值？最大值是多少． 8．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，抛物线与x轴交于 ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与y轴交于点，直线 与x轴交于点 D，动点M在抛物线上运动，过点 M 作轴，垂足为P，交直线于点 N． (1)求抛物线的解析式； (2)E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M 运动过程中，若C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标． 9．（2025·山东聊城·三模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，且经过点，顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点D为抛物线上一个动点，连接，求的面积的最大值； 10．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，作直线．动点P在线段上运动（不含O、B），过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)求四边形面积的最大值； (3)设点Q为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使为直角三角形的点Q的坐标． 11．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，抛物线（是常数，且）与轴交于两点，与y轴交于点．并且两点的坐标分别是． (1)①求抛物线的解析式； ②顶点的坐标为___________； ③直线的解析式为___________； (2)若为线段上的一个动点，过点作轴于点，求四边形面积的最大值； (3)若点是抛物线在第一象限上的一个动点，过点作交轴于点．当点的坐标为___________时，四边形是平行四边形． 12．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为，且点（2，5）在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求的最大值和此时点坐标． 13．（25-26九年级上·广东·期中）抛物线与 x 轴交于，两点，与 y 轴交于点 C． (1)求该抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使得三角形的周长最小？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点 B， C 重合），过点 P 作 轴于点 D，交 于点 E．设点 P 的横坐标为 m，求线段 的最大值及此时点 P 的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化02：二次函数综合应用 【题型归纳】 · 题型一：动点问题 · 题型二：线段问题 · 题型三：周长问题 · 题型四：面积问题 · 题型五：角度问题 · 题型六：特殊三角形问题 · 题型七：特殊四边形问题 · 题型八二次函数与其他知识交汇综合 【题型探究】 题型一：动点问题 【例1】．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上，，将沿平移，当点F与点C重合时，停止平移．设点B平移的距离为x，与正方形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（    ）    A．  B．  C．  D．   【答案】A 【分析】本题主要考查动点函数图象问题，涉及到二次函数的性质，正方形和三角形面积，先判断在平移过程中不同阶段重合部分图形的形状，再求出面积关于平移距离的函数表达式，最后根据函数表达式判断出函数的图象． 【详解】解：当时，向右平移，此时重合部分是一个等腰直角三角形，重合面积为，这是一个二次函数，图象开口向上，对称轴为轴； 当时，重合部分是一个四边形，面积等于的面积减去右侧小等腰直角三角形的面积，即：，这是一个二次函数，图象开口向下，对称轴为． 综上，选项A的图象符合题意， 故选：A． 【变式1】．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，动点问题与函数图象，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键． 先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值． 【详解】解：四边形是菱形，， ，． 如图1，当点N在上运动时，，． 过点M作于点E． 在中，， ． ． 当点N在点C时，，即．解得（负值已舍）． ． 如图2，当点N在上运动时，，． 过点N作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 解得，（不符合题意，舍去）． ． 故选：C． 【变式2】．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用等边三角形的性质得出相等的边和角，通过证明全等三角形得出对应边相等，判定是等边三角形，作垂线利用面积公式求出和的面积，即可得到函数关系式，再结合二次函数的性质判断图象即可． 【详解】解：是等边三角形， ∴， ∵ ， 即， ， ∴， 过点A作于G点，则， ∴ ∴， ∴， ∴， 过点D作于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ' ， ∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为， ∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意， 故选：B 题型二：线段问题 【例2】．（25-26九年级上·天津·阶段练习）已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)过P点作y轴的平行线交直线于点E，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）将两点坐标代入解析式即可求得抛物线解析式； （2）根据坐标求出所在直线解析式为，设，，进而求得，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点和点， ∴， ∴， ∴这个二次函数的表达式为． （2）解：∵点P是直线下方的抛物线上一动点， ∴设，， 设直线的解析式为， 将点和点代入得， ∴， ∴直线的解析式为． ∵过P点作y轴的平行线交直线于点E， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴线段的最大值为． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．已知点． (1)求抛物线的解析式． (2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为2，的坐标为 【分析】本题考查了求解二次函数解析式，二次函数的性质． （1）根据对称轴，利用待定系数法即可求解． （2）根据对称轴得出点坐标，由点、的坐标得直线的解析式为，设点，则点，进而求解． 【详解】（1）解：点的坐标为 ． 抛物线过点，对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线对称轴为直线，点的坐标为， 点的坐标为． ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为． 设点， 则点， ． ， 当时，线段的值最大，最大值为2，此时点的坐标为． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，抛物线与轴交于点，． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)观察图象，当时，y的取值范围为________； (3)已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了用待定系数法求解析式以及二次函数图象的性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握用待定系数法求解析式是解题关键． （1）将点与点坐标代入抛物线解析式得到关于的方程组，由此求出的值，从而进一步得出解析式即可； （2）由得出开口方向向下，对称轴为直线，再根据越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小，以及结合进行分析，即可作答． （3）根据垂线段最短可知当时，最小，据此进一步利用三角形的面积公式求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由（1）得， ∴开口方向向下，对称轴为直线， 在时，有最大值，且，越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵， ∴把代入，得， ∴观察图象，当时，y的取值范围为． （3）解：当是边上的高时，的值最小， 由（2）得对称轴为直线，有最大值，且 ∵点是的顶点， 即， ∵，， ∴，，点到轴的距离为， ∴， ∴， ∴的最小值是． 题型三：周长问题 【例3】．（25-26九年级上·江西宜春·阶段练习）已知，如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，顶点为． (1)求此函数的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在对称轴上找一点，使的周长最小，求出点坐标． 【答案】(1) (2)为直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，勾股定理的逆定理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可求出点A和点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求把解析式化为顶点式求出点D的坐标，则可证明，据此可得结论； （3）连接，可证明当P、A、C三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，求出直线解析式，即可求出此时点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，且点A在x轴负半轴，点C在y轴负半轴， ∴， 把点A和点B的坐标代入抛物线解析式中得， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：是直角三角形，理由如下： 如图所示，连接， ∵抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为； ∵，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：如图所示，连接， 由对称性可得， ∴的周长， ∵的长为定值， ∴当P、A、C三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴点P的坐标为． 【变式1】．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）已知抛物线经过、、三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)抛物线的顶点为D，连接CD、BD、BC，求的面积； (3)设点P是直线l上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题考查了二次函数综合题，涉及了抛物线的性质及解析式的确定等知识，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）先求出直线与对称轴的交点，即可得出，再用面积之和即可得出结论 （3）点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点P，则点P为所求点，即可求解； 【详解】（1）解：将、、代入抛物线中，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式：； （2）解：∵抛物线的解析式：； ∴：， ∴顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 将、)代入上式，得： ， 解得：， ∴直线的函数关系式， 设直线交抛物线对称轴于点N， ∴当时，， ∴． ∴，， ∴； （3）解：连接，直线与直线的交点为P； ∵点A、B关于直线l对称， ∴， ∴， 的周长为，当、、三点共线时，最小，即的周长最小。 ∵直线的函数关系式， 当时，，即P的坐标； 【变式2】．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求该抛物线的解析式． (2)如图，点坐标，为抛物线对称轴上一动点，过点的直线平行轴交抛物线于、两点（点在点的左侧）． ①若，求点坐标； ②若以为边构造矩形（、在线段、上），求该矩形周长的最大值． 【答案】(1) (2)①；②该矩形周长的最大值为 【分析】本题考查了待定系数法的应用，二次函数与几何综合； （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出B点坐标，设，则，表示出和， ①根据列方程求出m，进而可得点坐标； ②易得直线解析式，则可知，，用含m的式子表示出矩形的周长，再利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：与轴交于、， ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）∵， ∴， 设，则， ，， ①， ， 解得：（舍去）或， ； ②∵ ∴直线解析式为， ∴， ， 设矩形周长为， 则， ∴当时，的最大值为． 题型四：面积问题 【例4】．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，已知二次函数的图象过点和． (1)求该二次函数的解析式； (2)C为点B关于抛物线的对称轴的对称点，直线经过A，C两点，在抛物线上找一点P（异于点B），使得，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数解析式求解及二次函数综合应用，准确分析计算是解题的关键． （1）把点和代入解析式中求解即可； （2）根据对称的性质求出点，根据直线过点，两点，求出一次函数的解析式为，设，当点在上方时，即，过点作轴，交直线于点，可得，可得，代值计算即可；当点在直线下方，即或时，构造矩形减去三个拐角三角形计算即可； 【详解】（1）解：二次函数的图象过点和， ， ， ； （2）由题可得，抛物线对称轴为， C为点B关于抛物线的对称轴的对称点，， ， 直线过点，两点， ， 解得：， ， 在抛物线上， 设点， 由已知条件可得：， 当点在上方时，即，过点作轴，交直线于点， ， ， ， ， ， ，， 与不重合， 舍去， ，， ； 当点在直线下方，即或时， 当时，，，共线，不符合题意； 当时， ， ， ， , 或， ， ， ， ； 综上所述：或． 【变式1】．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值； 【答案】(1)，； (2)面积的最大值为 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与几何图形的综合等，熟练掌握知识点并能够综合运用知识点是解题的关键． （1）直接由待定系数法求出二次函数的解析式，再令，解方程求解即可； （2）过点作轴的垂线交于点，连接、，先求出直线解析式，则，当取最大值时，的面积最大，设，则，故有，利用二次函数的性质求最值即可解答． 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得， ∴二次函数的表达式为， 当时， ， 解得，， ∴； （2）解：过点作轴的垂线交于点，连接、， 设直线的表达式为， 把、代入得：， 解得， ∴直线的表达式为， 则， ∴当取最大值时，的面积最大， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴， ， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为． 【变式2】．（25-26九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，抛物线与轴交，两点，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为2． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，设点的横坐标为，线段的长度为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值和此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，当线段取得最大值时，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)； (2)；； (3) 【分析】（1）由题意得抛物线的解析式为：；即可求解　； （2）求出直线的解析式为：；由题意得，，推出； （3）根据即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交，， ∴抛物线的解析式为； 当时，； ∴； （2）解：设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：； 由题意得：，， ∴； ∵， ∴当时，； 此时，，即； （3）解： ． 题型五：角度问题 【例5】．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数； (2)若，点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)，，， (2)或 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是学会分类讨论． （1）令，解方程可得，两点坐标，令，可得点的坐标，证明，可得； （2）分两种情况，即点在轴上方或点在轴下方，利用等腰三角形的判定和性质即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 解方程，得，， 点在点的左侧，且， ，， 当时，， ， ， ， ； （2）解：当时，，，，， 当点在轴上方时，如图，过点作的垂线段交于点， ，，， ， 设， ， 解得， ； 当点在轴下方时，如图，过点作的垂线段交于点， ， 同理可得， 设， ，即 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 【变式2】．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点或 【分析】（1）首先求得点，然后利用待定系数法求得抛物线解析式即可； （2）过点作交于点，首先求得点，设点，则点，可求得，进而可得四边形面积，由二次函数的图像与性质即可获得答案； （3）分点在上方和点在下方两种情况进行分析，即可获得答案． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点， ∴可有，解得， ∴点， ∵抛物线经过点， ∴将点代入，可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如下图，过点作交于点， ∵抛物线与轴的交点为， 当时，可有， 解得， ∴点， 设点，则点， ∴， ∵四边形面积， ∴当时，四边形面积有最大值， 此时点； （3）如下图，当点在上方时，设交轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点， 设直线解析式为，将点，点代入， 可得，解得， ∴直线解析式为， 联立方程组可得， 解得：或， ∴点， 当点在下方时， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，利用数形结合思想和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 【变式2】．（24-25九年级下·河南郑州·阶段练习）如图所示，抛物线与轴交于点，点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)设直线所在的函数解析式为，请直接写出不等式的解集； (3)抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与不等式，求一次函数的关系式， 对于（1），将点，点代入顶点式，整理求出解即可； 对于（2），先求出交点B，P的坐标，再根据直线在抛物线上方时自变量的取值范围即为答案； 对于（3），分两种情况：点M在x轴下方时，此时与点P重合可得答案；点M在x轴上方时，先求出点P关于x轴的对称点的坐标，再求出直线的关系式，然后联立直线和抛物线的关系式，求出解即可. 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点． 设抛物线解析式为 ． 整理，得； （2）解：． 将化为顶点式，得． 点坐标为. 点的坐标为， 不等式的解集为； （3）解：存在． 由抛物线的对称性可知 故当点在x轴下方时，点与点重合，可得点坐标为． 如图所示，作点关于轴的对称点，点P的坐标为， 可得Q点坐标为. 设直线的解析式为． ∵点，， 直线的解析式为． 联立方程组可得 解得（舍）． 将代入， 得． 故的坐标为. 综合以上可得点M的坐标为或． 题型六：特殊三角形问题 【例6】．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点E，己知点B的坐标为，经过点B的直线与抛物线另一个交点D的坐标为，连接． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若点F在x轴上，则当的值最小时，求点F的坐标； (3)若点P是y轴上的一点，使得为等腰三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为；直线的解析式为 (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）可求出，顶点E的坐标为；，作点C关于x轴的对称点G，连接，则，，可证明当三点共线时，有最小值，即此时有最小值；求出直线的解析式，进而求出直线与x轴的交点坐标即可得到答案； （3）求出点A坐标，进而求出的长，再分，和三种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点B和点D的坐标代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴； ∵抛物线解析式为， ∴顶点E的坐标为； 如图所示，作点C关于x轴的对称点G，连接，则，， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点F的坐标为； （3）解：在中，当时，解得或， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，则点P的坐标为或； 当时，∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 【变式1】．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，抛物线的顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，判断的形状； (3)若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)直角三角形 (3) 【分析】（1）设抛物线的表达式为，再把点C的坐标代入，即可求解； （2）先求出点B的坐标，可得到，，的长，然后勾股定理逆定理解答即可； （3）求出直线的表达式，设，作轴交于点，则，可得到，进而可用m表示出面积，再结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的表达式为． 又， 点的坐标为， 代入表达式，得， 解得， 抛物线的表达式为，即； （2）解：令，则， 解得， 点的坐标为， ， ， 是直角三角形； （3）解：设直线的表达式为， 将点，点的坐标代入，得： ， 解得， 直线的表达式为； 设， 如图，作轴交于点，则， ， ， 当时，有最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的面积综合，一次函数的解析式，二次函数的解析式，勾股逆定理，两点间的距离公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式2】．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图①，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点，设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点）．其横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当m为何值时，面积S取得最大值？请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点Q，使得是以为底的等腰三角形，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2，理由见解析 (3)存在，或 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，连接，过点M作轴交于E，过点M作分别交直线于G、F，先求出直线的解析式，进而得到，则点M在运动过程中的长保持不变，故要使的面积最大，则最大，即要使最大，进一步推出当最大时，最大，即此时的面积最大，求出，则，再用m表示出，然后结合二次函数的性质求解即可； （3）设，根据勾股定理得到，根据等腰三角形的性质得到，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：把，代入抛物线解析式中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：当m为2时，的面积最大，理由如下： 如图，连接，过点M作轴交于E，过点M作分别交直线于G、F， 设直线的解析式为， 把，代入得∶ ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴点M在运动过程中的长保持不变，要使的面积最大，则最大，即要使最大， ∵， ∴当最大时，最大，即此时的面积最大， ∵点M的横坐标为m， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大，即此时的面积最大； （3）解：设， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴点Q的坐标为或． 题型七：特殊四边形问题 【例7】．（25-26九年级上·山东日照·阶段练习）如图（1），直线与、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式与点的坐标； (2)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值； (3)连接，点在轴上，点在对称轴上，是否存在点，，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点坐标为 (2)当时，的面积有最大值 (3)存在点M的坐标为或或时，以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形 【分析】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程． （1）先将点B和点C代入抛物线求得b和c的值，然后得到抛物线的解析式，再求得点P的坐标； （2）过点E作y轴的平行线交直线于点F，然后设点E的坐标，得到点F的坐标，再表示出线段的长度，最后表示出的面积，从而利用二次函数的性质求得的面积最大值； （3）先设点M和点N的坐标，然后分情况利用平行四边形的中心对称性列出方程求得点M和点N的坐标． 【详解】（1）解：由已知，、代入， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为，顶点坐标为； （2）解：当时，如图（1），在此抛物线上任取一点E，连接，经过点E作x轴的垂线，交直线于点F， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， ∴， ∴ （3）解：如图（3）， ∵，， 设， 当为对角线时， ， 解得：， ； 当为对角线时， ， 解得：， ； 当为对角线时， ， 解得：， ； 综上所述，存在点M的坐标为或或时，以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形． 【变式1】．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）综合与探究 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点． (1)求直线的解析式． (2)若点E是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点的坐标． (3)在（）的条件下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为； (2)当的面积最大时，点的坐标为； (3)或或． 【分析】（）求出抛物线与两坐标轴的交点坐标，用待定系数法即可求得直线表达式； （）过点作轴，交直线于点，设点的坐标为，则点的坐标为，　，由，利用二次函数的性质即可求得点的坐标； （）设点的坐标，分三种情况考虑：为平行四边形的对角线；为平行四边形的对角线；为平行四边形的对角线；利用平行四边形性质即可求解． 【详解】（1）解：对于，令，则， 解得，， ∵点在点的右侧， ∴，， 令，得， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入，得： ， 解得 ， ∴直线的表达式为； （2）解：如图，过点作轴，交直线于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， 由（）知， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大， 当时，， ∴当的面积最大时，点的坐标为； （3）解：点的坐标为或或，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴点的横坐标为， 由（）知，由（）知点的横坐标为， 设点的坐标为， 分三种情况： 当为平行四边形的对角线时，如图， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，如图， ∵， 解得， ∴点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，如图， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 综上，点的坐标为或或． 【变式2】．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中已知抛物线与直线都经过，两点，该抛物线的顶点为． (1)求此抛物线的解析式． (2)在线段上存在点，使得取得最小值，求此时点坐标及的最小值． (3)在（2）条件下，点为直线上一点，过作轴的垂线交抛物线于点，是否存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为; (2)点坐标为，的最小值为； (3)存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点，点的坐标为或或或． 【分析】（1）把点和点的坐标代入，可得和，即可得抛物线的解析式； （2）在线段上取点，作于点，根据勾股定理可得，由垂线段最短可知当于点，交于点时，取得最小值，由等腰三角形的性质，可得点坐标，结合勾股定理和，从而可得，即为的最小值； （3）把点和点的坐标代入，可得直线的解析式，根据题意可知，，若点，，，是平行四边形的四个顶点，则，设，则，根据点和点的位置关系，进行分类讨论，列方程求解，可得每种情况对应的的值，从而可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：在令，得或， ∴， ∴， 连接， ∵，， ∴，且 ∴， 在线段上取点，作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，取得最小值，最小值为的长度，点为与的交点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为，的最小值为． （3）解：∵直线都经过，两点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 根据题意可知，， 若点，，，是平行四边形的四个顶点，则， 设，则， 若点在点的上方，则， 解得或， 当时，，， 当时，，， 若点在点的下方，则， 解得或， 当时，，， 当时，，， ∴存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点，点的坐标为或或或． 题型八：二次函数与其他知识交汇综合 【例8】．（2024·湖北荆州·一模）如图，已知经过点和的抛物线与y轴交于点C，过点C作轴交抛物线于点D． (1)请用含m的代数式表示n和点D的坐标； (2)设直线垂直平分，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F，连接，，，求m的值； (3)若在（2）的条件下，若点Q是抛物线上在y轴右侧的一个动点，其横坐标为t，点Q到抛物线对称轴和直线的距离分别是，且，①求d关于t的函数解析式；②当时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)，点的坐标为； (2)的值为； (3)①与之间的函数关系式为；②当时，的取值范围为或或． 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，直线与抛物线的交点问题，掌握相关知识是解题的关键． （1）将点代入可得，求出抛物线的对称轴为直线，即可求解； （2）设与对称轴交于点，则，，得到是等腰直角三角形，再得到，即可求解； （3）①先求得，当， 时，时，即求得解析式； ②先求得当，时，的值，则当时，可得出的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵， ∴对称轴为直线， ∴点的坐标为． （2）解：设与对称轴交于点，则，， ∵点与点关于抛物线对称轴对称，，轴 ∴是等腰直角三角形，， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：①∵，， ∴抛物线的解析式为， ∴，，抛物线对称轴方程为，直线的方程为， ∴， ∵点在轴右侧的抛物线上运动，， ∴当时，； 当时，； 当时，， ∴与之间的函数关系式为； ②如图： 当时，，解得：或（舍去）， 当时，，解得：或（舍去）， 当时，，解得：或（舍去）， 当时，，解得：或（舍去）， 当时，，解得：或（舍去）， ∴当时，的取值范围为或或． 【变式1】．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D；抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线与x轴交于点M、N（点M在点N的左边）． (1)用配方法求抛物线的顶点坐标； (2)求线段的长； (3)如果，平移抛物线，使所得新抛物线的顶点E在其关于轴对称抛物线的对称轴上，当时，求平移后新抛物线的表达式． 【答案】(1) (2)2 (3)平移后新抛物线的表达式为或． 【分析】此题考查二次函数的图象及性质， （1）先对含x的项提取系数a，在括号里配方，最后整理即可得到二次函数的顶点坐标； （2）先由抛物线与x轴交于点A、B，求出A、B的坐标，再由对称性得到M、N的坐标，即可算出线段的长； （3）先根据求出a的值，再根据求出顶点E，即可求出平移后新抛物线的表达式． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）∵，令得， 解得， ∴； ∵抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称， ∴抛物线的解析式为 当时，， 解得， ∴， ∴； （3）由（2）得，， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设， ∴，得， ∴或， ∵ ∴或， ∴平移后新抛物线的表达式为或． 【变式2】．（24-25九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）经过点，其对称轴为直线，点、在该抛物线上（点与点不重合），且点、的横坐标分别为、，将此抛物线在、两点之间的部分（包含、两点）记为． (1)求此抛物线对应的函数表达式． (2)当图象的最低点是抛物线的最低点时，求的取值范围． (3)当点、到直线距离相等时，求的值． (4)设点、的坐标分别为、，连接，当线段与图象只有一个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)4或 (4)或 【分析】本题主要考查二次函数综合应用、待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、一元一不等式的应用等知识点，根据题意列出满足条件的方程或不等式（组）是解题的关键． （1）根据抛物线经过点，其对称轴为直线得，解得：，即可确定抛物线对应的函数表达式； （2）①当，即时，P在Q左侧，也在对称轴直线左侧，故，可得；②当，即时，Q在P左侧，可得，解得：； （3）求出，又点P、Q到直线距离相等，得，然后求解即可解答． （4）先求出抛物线与直线交点为，①当，即时，A在B左侧，根据线段与图象G只有一个公共点，得或，解得：；②当，即时，A．B重合，不存在线段，这种情况不存在；③当，即时，B在A左侧，有或，解得． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，其对称轴为直线， ∴，解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为． （2）解：①当，即时，P在Q左侧，也在对称轴直线左侧， ∵图象G的最低点是抛物线的最低点， ∴Q不在对称轴直线左侧，即，解得：， ∴此时m范围是； ②当，即时，Q在P左侧， ∵图象G的最低点是抛物线的最低点， ∴，解得：， ∴此时m范围是． 综上，m的范围是或． （3）解：在中，令得， ∴， 在中，令，得：， ∴， ∵点P、Q到直线距离相等， ∴， ∴或，解得：或（此时P，Q重合，舍去）或． ∴m的值为4或． （4）解：在中，令得：，解得或， ∴抛物线与直线交点为， ①当，即时，A在B左侧， ∵线段与图象G只有一个公共点， ∴或，解得：； ②当，即时，A．B重合，不存在线段，这种情况不存在； ③当，即时，B在A左侧， ∵线段与图象G只有一个公共点， ∴或，解得：． 综上所述，m的范围是或． 【专题强化】 1．（24-25九年级上·河南·期中）如图，在中，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t， (1) ， ， ； (2)t为何值时的面积为？ (3)t为何值时的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)，， (2)当秒或4秒时，的面积是 (3)当t为3秒时的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了三角形的面积，二次函数的最值等知识点，能求出S与t的函数关系式是解此题的关键． （1）根据题意得出即可； （2）根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可； （3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， 故答案为：，，； （2）解：的面积 ， 解得：或4， 即当秒或4秒时，的面积是； （3）解：， ∴当t为3秒时，的面积最大，最大面积是． 2．（2025·四川广元·模拟预测）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过点B，C，且与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式． (2)点G是抛物线上的一点，且满足，求点G的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得 是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点G的坐标为或 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与图形的面积，二次函数图象的性质，直角三角形的判定． （1）先求出点B，C的坐标，再根据待定系数法求出关系式即可； （2）先表示出点再设的高为，然后根据，求出，再计算可得答案； （3）先求出抛物线的对称轴是直线，可得点，再表示出、、，然后分两种情况，当为斜边时，则；当为斜边时，则，求出答案即可． 【详解】（1）解：当时，；当时，， ∵直线与x轴交于点B，与 y轴交于点C， ∴点． 将点 B，C的坐标分别代入抛物线 中，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为 ． （2）解：∵点G在抛物线 上， ∴设点， ∴以为底的的高为， 在抛物线中，当时，， 解得或， ∴， ∴， ， ，即， 解得， 当时， ； 当时， ； ∴点G的坐标为或． （3）解：存在，点Q的坐标为或． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴设， 则，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴有以下两种情况，如图： ①当为斜边时，则， 即，解得． ②当为斜边时，则， 即，解得． 综上所述，存在点Q，点Q的坐标为或． 3．（24-25九年级上·重庆·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和点C的坐标； (2)连接，点P是直线上方抛物线上的一动点，若有，求出点P的横坐标； (3)若将抛物线沿直线方向平移一定距离得到新抛物线L，且抛物线L满足当时，有最大值为0，直接写出抛物线L的对称轴． 【答案】(1)抛物线的表达式为，点C的坐标为 (2)点P的横坐标为或 (3)抛物线L的对称轴为直线 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图形平移的性质、面积的计算等，正确求出抛物线解析式是解答本题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）设抛物线沿方向向右平移m个单位，则向上平移个单位，则平移后的抛物线为，原抛物线在时，取得最大值，故当时，平移后的抛物线也在时取得最大值，进而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴将点A、B的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故抛物线的表达式为， 令，则， 故点C的坐标为； （2）解：过点P作y轴的平行线交于点H， 设直线的表达式为， 把，代入上式得， 解得， 故直线的表达式为， 设点P的坐标为，则点H的坐标为， 则， 解得， 故点P的横坐标为或； （3）解：， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的表达式为， ∵， 故设抛物线沿方向向右平移m个单位，则向上平移个单位， 则平移后的抛物线为， 原抛物线在时，取得最大值， ∴当时，平移后的抛物线必定也在时取得最大值， 即， 解得（舍去负值）， 故抛物线L的对称轴为直线． 4．（25-26九年级上·广东·期中）已知，如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左方），与轴相交于点，直线经过点、． (1)求的长度； (2)点为直线下方抛物线上一点，当四边形面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数与x轴的交点问题，二次函数的最值，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）令，求出一元二次方程的根，进而求得； （2）设点，根据B，C坐标，求出的函数关系式，过点P作y轴平行线交于D，设点P坐标，表示出点D坐标，进而求得的长，从而表示出的面积，进而表示出四边形的面积函数关系式，配方求得最大值即可． 【详解】（1）解：由得， ， ，， ，， ； （2）如图1， 设点， 点，， 的解析式是：， 如图，过点P作y轴平行线交于D， ， ， ， ， ， 当时，， 当时，， ． 5．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，已知点A、B的坐标分别是、． (1)求该抛物线的解析式； (2)在x轴上是否存在一点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）由抛物线与x轴的交点可设交点式，再对比原解析式，即可得解； （2）根据勾股定理求出，再根据等腰三角形的性质，分类讨论，即可得解． 【详解】（1）解：抛物线与x轴相交于、两点， 设抛物线的解析式为，即， ，， 解得，， 抛物线的解析式为； （2）解：存在．理由如下： 连接，如图， 当时， ， ， ， ， ， ， 当时， ， ， 点坐标为； 当时， 若点在B点左侧，点坐标为，若点在B点右侧，点坐标为， 综上所述，满足条件的P点坐标为或或． 6．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，抛物线与x轴交于两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当和时，y的值相等，直线与这条抛物线交于两点，其中一点横坐标为4，另一点是这条抛物线的顶点M． (1)求顶点M 的坐标并求出这条抛物线对应的函数解析式． (2)P为线段上一点（P不与点重合），作轴于点Q，连接，设，四边形的面积为S， ①求S与t的函数解析式，并直接写出t的取值范围． ②当t为何值时，四边形的面积最大，求出这个最大值． 【答案】(1)， (2)①；②当时，最大值为 【分析】（1）首先求出抛物线的对称轴为，将代入直线的解析式中即可求出抛物线顶点的坐标，根据直线的解析式还可求出另一交点的坐标，可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式，然后将另一交点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式； （2）①首先求出，，，然后求出直线对应的函数解析式为，得到，然后利用代入表示即可； ②根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵当和时，y的值相等， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点M的横坐标为1， 又∵顶点M在直线上， ∴将代入得 ∴， 把代入得， ∴设抛物线对应的函数解析式为， 将点的坐标代入得， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为，即； （2）①∵， ∴将代入得，， ∴， 将代入得，， 解得或， ∴，， ∴设直线对应的函数解析式为， 将，代入得，， 解得， ∴直线对应的函数解析式为， ∵P为线段上一点（P不与点重合），作轴于点Q，， ∴， ∴， ∵P为线段上一点（P不与点重合）， ∴， ∴S与t的函数解析式为； ②∵， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，二次函数和四边形面积综合，二次函数和一次函数交点问题，二次函数的图象和性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 7．（2022·青海西宁·一模）已知，如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得的周长最小，如果存在，求出点E； (3)若点D是x轴下方抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，的面积为S，求出S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，S有最大值？最大值是多少． 【答案】(1) (2)在抛物线的对称轴上存在一点E，使得的周长最小，点E的坐标是 (3)当时，S有最大值， 【分析】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数求最值等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． （1）由点B的坐标及，求出C点的坐标，把点B、C的坐标分别代入，即可得到抛物线的解析式； （2）根据两点之间线段最短可得E点是与对称轴的交点．利用待定系数法求出直线的解析式，将抛物线的对称轴方程代入求出y的值，即可得到点E的坐标． （3）点D在抛物线上，其横坐标为m，则纵坐标为．由求出关于S的函数关系式，由m的取值范围可求出当时，S有最大值为8． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴C点的坐标为． 将点B、C的坐标分别代入，得 ， 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点E，此时的周长最小．    ∵，点B的坐标为， ∴． 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． ∵的对称轴是直线， ∴当时，， ∴点E的坐标是； （3）解：∵点D在抛物线上，其横坐标为m，则纵坐标为． ∵，， ∴， 即．m的取值范围是． 将化成顶点式为． ∴当时，S有最大值，． 8．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，抛物线与x轴交于 ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与y轴交于点，直线 与x轴交于点 D，动点M在抛物线上运动，过点 M 作轴，垂足为P，交直线于点 N． (1)求抛物线的解析式； (2)E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M 运动过程中，若C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，设，， ∵， ∴当以为对角线时，则：，解得：或（舍去）； ∴； 当以为对角线时，，解得：或， ∴或； 当以为对角线时，，解得：或（舍去）； ∴； 综上：或或或． 9．（2025·山东聊城·三模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，且经过点，顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点D为抛物线上一个动点，连接，求的面积的最大值； 【答案】(1) (2)面积的最大值为8 (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数与几何图形的综合，相似三角形的判定与性质，掌握二次函数图形的性质是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点B的坐标，再求出直线的表达式为：，过点作轴的垂线交于点，设点，则点，求出，进而得到，利用二次函数的性质即可解答； 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为： 将点代入得， ∴表达式为：； （2）解：当时，， 得，， ∴， 设直线的表达式为：， 将代入得，解得， ∴直线的表达式为：， 过点作轴的垂线交于点， 设点，则点， ∴， ∴， ∵， ∴当是，的面积有最大值；最大值为8； 10．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，作直线．动点P在线段上运动（不含O、B），过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)求四边形面积的最大值； (3)设点Q为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使为直角三角形的点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)、、或 【分析】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解． （1）把点A，点C的坐标代入抛物线，得出抛物线的解析式为，令，得点B的坐标，设直线的解析式为，把，B的坐标代入，得出直线的解析式为． （2）根据题意得，，求出，，，求出，，根据得，运用二次函数的性质得出结论即可； （3）求出抛物线的对称轴为直线，设点，由两点间距离公式得，，；分，，三种情况，结合勾股定理列方程求出的值可得点的坐标． 【详解】（1）解：把点，点代入抛物线， 得， 解得， 所以抛物线的解析式为， 令， 解得， ∴点B的坐标， 设直线的解析式为， 把，B的坐标代入，得， 解得 所以直线的解析式为． （2）解：∵轴，点P的横坐标为m． ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴四边形面积， ， ∵， ∴有最大值， ∴当时，最大值为； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点， ∵， ∴，，； 分三种情况讨论： ①当时，， ∴， 解得， ∴； ②当时，， ∴， 解得， ∴； ③当时，， ∴， 整理得， 解得， ∴或， 综上所述，点的坐标为、、或． 11．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，抛物线（是常数，且）与轴交于两点，与y轴交于点．并且两点的坐标分别是． (1)①求抛物线的解析式； ②顶点的坐标为___________； ③直线的解析式为___________； (2)若为线段上的一个动点，过点作轴于点，求四边形面积的最大值； (3)若点是抛物线在第一象限上的一个动点，过点作交轴于点．当点的坐标为___________时，四边形是平行四边形． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3) 【分析】（1）①利用待定系数法解答即可；②把函数解析式化为顶点式，即可求解；③利用待定系数法解答即可； （2）设点P的坐标为，可得，再求出，然后根据，结合二次函数的性质解答即可； （3）根据平行四边形的性质可得轴，从而得到点M的纵坐标为3，即可求解． 【详解】（1）解：①把分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； 故答案为： ②∵， ∴顶点D的坐标为； 故答案为： ③设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； 故答案为： （2）解：设点P的坐标为， ∵轴， ∴， 对于，当时，， ∴点C的坐标为， 即， ∴四边形面积， ∵， ∴当时，S取得最大值，最大值为； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，即轴， ∵点C的坐标为， ∴点M的纵坐标为3， 对于，当时， ， 解得：， ∴点M的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的解析式及顶点、一次函数的解析式、二次函数在三角形和平行四边形中的应用，将二次函数的解析式与几何图形相结合是解题的关键． 12．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为，且点（2，5）在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求的最大值和此时点坐标． 【答案】(1)． (2)①或；②，． 【分析】本题考查了二次函数—几何综合，解题关键是熟练掌握二次函数的图象及性质． （1）因为抛物线的对称轴为点坐标为与在为抛物线上，代入为物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标； ②先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值，进一步求出的最大值和点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为点坐标为与在抛物线上，则∶ 解得∶． ∴抛物线的解析式为． （2）①抛物线的解析式为， 抛物线与y轴交点坐标为， ， 设点坐标为， ∵ ， ． 当时，， 当时，． 点的坐标或， ②设直线的解析式为，将代入， 得， 解得∶． 即直线的解析式为． 如图， 设点坐标为，则点坐标为，， 当时，有最大值． 此时的最大值为， 当时，， ∴点坐标为． 13．（25-26九年级上·广东·期中）抛物线与 x 轴交于，两点，与 y 轴交于点 C． (1)求该抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使得三角形的周长最小？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点 B， C 重合），过点 P 作 轴于点 D，交 于点 E．设点 P 的横坐标为 m，求线段 的最大值及此时点 P 的坐标． 【答案】(1) (2)点M的坐标为 (3)的最大值为，点P的坐标为． 【分析】本题考查求解二次函数解析式，轴对称的性质，二次函数图象与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键，掌握这些知识和模型是解题关键． （1）直接将两点坐标代入解析式求解，即可求得解析式． （2）周长最小即要使得最小，A点关于对称轴的对称点是B点，连接交对称轴于M点，此时的即为最小值． （3）设 ，则 ，可得，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：将，代入得： ， 解得：， 二次函数的解析式为：． （2）解：存在点M，使的周长最小，理由如下： 连接交抛物线对称轴于M，连接，如图： ∵得抛物线对称轴是， ，关于抛物线对称轴对称， ， ， 而当B、M、C共线时，最小，此时也最小， 故此时的周长最小 设直线为，将，代入得： ， 解得：， 直线解析式为：， 令时，得， ． （3）解：如图， 设 ，则 ， ． ∵， 当时，有最大值，最大值为， 此时点P的坐标为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $