精品解析：山东省德州市齐河县刘桥乡中学2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试题

2025-2026学年度九年级数学第一次月考试卷 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列函数关系中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的概念：形如（为常数，且）的函数；由此问题可求解． 【详解】解：A、当时，则不是二次函数，故不符合题意； B、不是二次函数，故不符合题意； C、是二次函数，故符合题意； D、化简得，不是二次函数，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的概念，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键． 2. 一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　） A. （x﹣3）2=14 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=14 D. （x+3）2=4 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可. 【详解】解：移项得：x2-6x=5， 两边同时加上9得：x2-6x+9=14， 即（x-3）2=14， 故选A． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是关键. 3. 关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 函数图象的开口向上 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数有最大值，是大值是5 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解． 【详解】解：中， 的系数为1，，函数图象开口向上，A说法正确，不符合题意； 函数图象的顶点坐标是（1，5），B说法正确，不符合题意； 函数图象开口向上，有最小值为5，C说法错误，符合题意错误； 函数图象的对称轴为，时y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大，D说法正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的基本知识和性质，熟练掌握二次函数图象是解题的关键． 4. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则a的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】由常数项为0，则，结合一元二次方程的定义，即可求出a的值． 【详解】解：根据题意，则 ∵一元二次方程的常数项为0， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握定义进行解题． 5. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键． 根据一元二次方程的定义，得到，再根据根与系数的关系，得到，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 是一元二次方程的实数根， ， ， 又、是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：． 6. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数与一次函数的图象可知，，，从而判断出二次函数的图象． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵次函数的图象经过一、三、四象限， ∴，， 对于二次函数的图象， ∵，开口向上，排除A、B选项； ∵，， ∴对称轴， ∴D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函数图象经过的象限，找出，，是解题的关键． 7. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了2，剩余空地的面积为18，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用长方形的面积等于18和矩形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设原正方形的空地的边长为，则剩余空地的长和宽分别为和，由题意，得：； 故选A． 【点睛】本题考查根据实际问题列一元二次方程，正确的识图，找准等量关系，是解题的关键． 8. 对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如：，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的为（ ） A. 有两个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了新定义，根的判别式，根据新定义，转化得到一元二次方程，再根据方程的根的判别式判断即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 原方程有两个实数根， 故选A． 9. 已知关于的一元二次方程为的根为则关于的一元二次不等式的解集为（　　） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把不等式化为，求出解集即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的根为 不等式可化为， 解得或， 关于的一元二次不等式的解集为或． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，该题利用了“十字相乘法”对所求不等式进行转化． 10. 函数的最大值和最小值分别为（ ） A. 和 B. 0和 C. 和0 D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数的最值是解题的关键． 由题意知，，则对称轴为直线，由，可知当时，；当时，；当时，；由，可得，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时，； 当时，；当时，； ∵， ∴， ∴函数的最大值和最小值分别为和， 故选：A． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 二次函数对称轴是直线______，顶点坐标______． 【答案】 ①. 直线 ②. 【解析】 【分析】首先把解析式化成顶点式，再根据二次函数的性质，即可解答． 【详解】解：， ∴顶点坐标是，对称轴是直线． 故答案为：直线，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，把解析式化成顶点式是解题的关键． 12. 已知点，，都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是______．（用号连接） 【答案】 【解析】 【分析】分别计算自变量为4、2、对应函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】解：当，； 当，； 当，， 所以． 故答案为 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 13. 已知三角形两边长分别是2和9，第三边的长为一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为__________． 【答案】19 【解析】 【分析】利用因式分解法可得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可． 【详解】解：解方程得第三边的边长为6或8， 依据三角形三边关系，不难判定边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形， ∴三角形的周长=2+8+9=19． 故答案为：19． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法和三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯． 14. 抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线顶点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出原抛物线的顶点坐标为，再根据抛物线平移的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线顶点坐标是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了抛物线的平移，熟练掌握抛物线的平移的规律是解题的关键． 15. 若二次函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与轴有公共点得到一元二次方程有解且，再根据根的判别式进行判断即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象与轴有公共点， ，且有解， ，且， 解得：且， 的取值范围是且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，理解二者之间的关系是解决问题的关键． 16. 如图所示的抛物线是二次函数的图象，其对称轴为，过，则下列结论：①；②；③方程的两根为，；④，其中正确的结论是 _____．（填写序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】由函数图象可知，对称轴为直线，与y轴的交点在负半轴，即，然后可判断①②，令时，然后根据抛物线的对称性可判断③；把代入函数解析式即可判断④． 【详解】解：由图象可得：，对称轴为直线，与y轴的交点在负半轴，即， ∴， ∴，， ∴，故①不符合题意，②符合题意； 令时，则有的两根即为二次函数与x轴两个交点的横坐标， ∵二次函数过， ∴它的另一个交点的横坐标为4， ∴方程的两根为，；故③符合题意； 把代入函数解析式得：， ∴由函数图象可得：，即，故④符合题意； 综上所述：符合题意的有②③④三个； 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 三、解答题（7小题，共86分） 17. 解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解方程解一元二次方程即可． （2）利用因式分解方程解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 则或， ∴，． 【小问2详解】 解： ， 则或， ∴，． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系；能熟练利用一元二次方程根的判别式及根与系数的关系进行求解是解题的关键． （1）由根的判别式得，即可求解； （2）由根与系数的关系得，，代入，即可求解． 【小问1详解】 解：∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵方程两实数根分别为，， ∴， ， ∵， ∴， ， 解得：（舍去）或， ∵， ∴． 19. 如图，在中，，，，点P从点A出发沿边向点C以的速度移动，点Q从C点出发沿边向点B以的速度移动． （1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使的面积为8平方厘米？ （2）点P、Q在移动过程中，是否存在某时刻，使得的面积等于的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 【答案】（1）当2秒或4秒时，面积可为8平方厘米 （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式的求法，和一元二次方程的解的情况． （1）设x秒钟后，可使的面积为8平方厘米，用x表示出的边长，根据面积是8可列方程求解． （2）假设y秒时，的面积等于的面积的一半，列出方程看看解的情况，可知是否有解． 【小问1详解】 设x秒钟后，可使的面积为8平方厘米，由题意得： ， 或， 当2秒或4秒时，面积可为8平方厘米； 【小问2详解】 不存在． 理由：设y秒时，的面积等于的面积的一半，由题意得： ． ． 方程无实数根，所以不存在． 20. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】（1）； （2）此球一定能投中． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出值，与比较即可作出判断． 【小问1详解】 解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 21. 兰溪联华超市今年三月初以每件40元的进价购进一批水磨年糕，当年糕售价为每件60元时，三月份共销售192件．四、五月该批年糕销售量持续走高，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到300件． （1）求四、五两个月销售量的月平均增长率； （2）按照（1）中的增长速度，六月份联华超市销售量是多少？ （3）六月份联华超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经市场调查发现，该年糕每件降价2元，月销售量增加40件，在顾客获得最大实惠的前提下，当年糕每件降价多少元时，联华超市六月份仍可获利为6080元？ 【答案】（1）四、五两个月销售量的月平均增长率为 （2）按照（1）中的增长速度，六月份联华超市销售量是375件 （3）当年糕每件降价4元时 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解实际应用问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式． （1）设四、五两个月销售量的月平均增长率为x，根据五月份的销售量达到件列方程求解即可得到答案； （2）根据（1）可知增长率，由基数乘以1加增长率计算即可； （3）设年糕每件降价m元时，商场六月仍可获利为元，根据利润列方程求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：设四、五两个月销售量的月平均增长率为x，由题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：四、五两个月销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：（件）， 答：按照（1）中的增长速度，六月份联华超市销售量是375件； 【小问3详解】 解：设年糕每件降价m元时，商场六月仍可获利为元， 由题意，得：， 化简，得：， 解得：或， 顾客获得最大实惠的前提下，， ∴在顾客获得最大实惠的前提下，当年糕每件降价4元时，六月份仍可获利为元； 22. 如图，已知二次函数图象过点，． （1）求此二次函数的解析式； （2）若二次函数图象与x轴的另一个交点为B，在抛物线上存在一点P，使的面积为10，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与面积等知识． （1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，把，代入二次函数中，求出b、c的值，即可得到函数解析式是． （2）求出A、B两点坐标，得到的长，再设，根据的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标： 【小问1详解】 解：∵二次函数过点，， ∴， 解得． ∴二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵当时，， 解得：，． ∴，． ∴． 设， ∵的面积为10， ∴， 解得：． 当时，， 解得：或2． ∴或． 当时，，方程无解． ∴或． 23. 饲养场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面（粗线表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场，并在每个区域开一个宽2米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），点在线段上． （1）设的长为x米，则_____米；（用含x的代数式表示） （2）若围成的饲养场的面积为132平方米，求饲养场的宽的长； （3）围成的饲养场的面积能否达到最大值？如果能达到，求出的长，求出最大面积是多少；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）11米 （3）不能达到，利用见详解 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当时，方程无实数根”；（3）将一般式化为顶点式． （1）据各边之间的关系，即可用含的代数式表示出的长； （2）利用矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合不超过米，即可得出饲养场的宽的长为米； （3）先求得EF的长的取值范围，再根据（2）列出围成的饲养场的面积公式并将其化为顶点式，判断是否满足最值条件即可． 【小问1详解】 解：设的长为米，则（米）． 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：饲养场的宽的长为米． 【小问3详解】 解：由题意知，解得， 由（2）知围成的饲养场的面积： ， 当时，取得最大值， 但x不能取到，则围成的饲养场的面积不能达到最大值． 24. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； （3）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； 【答案】（1）抛物线的解析式为： （2）点的坐标是 （3）四边形面积的最大值是，此时点的坐标是 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与几何的综合，用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、将军饮马原理、最短路径． 利用一次函数的解析式求出点、的坐标，根据抛物线的对称轴是，可得关于、、的三元一次方程组，解方程组求出、、的值，即可得到抛物线的解析式； 根据将军饮马原理可知，当的值最小时，点是直线与对称轴的交点，即可求出点的坐标； 设点的坐标为 ，点的坐标为，结合和，则，利用二次函数的性质化简为顶点式求得最大值即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 当时， 可得：， 点的坐标是， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 抛物线经过点，， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图，设直线交于点，连接、和， 直线， 当时，， ， 直线垂直平分， ，， 的周长， ， 当点与点重合时，，此时的周长最小， 点的坐标是，点的坐标是， ，， ∵直线， ∴点的坐标是， ∴， ∵，，此时的值最小， 当的值最小时，的周长最小为，点的坐标是； 【小问3详解】 解：如图，作轴于点，交于点， 点的横坐标为， 点的坐标为 ，点的坐标为， ， ∴点的坐标是， ∴， ，， 则， 当时，，此时， 则四边形面积的最大值是，此时点的坐标是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级数学第一次月考试卷 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列函数关系中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　） A （x﹣3）2=14 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=14 D. （x+3）2=4 3. 关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 函数图象的开口向上 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数有最大值，是大值是5 D. 当时，y随x的增大而增大 4. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则a的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 0 5. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 6. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了2，剩余空地的面积为18，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如：，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的为（ ） A. 有两个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 9. 已知关于的一元二次方程为的根为则关于的一元二次不等式的解集为（　　） A 或 B. C. D. 10. 函数的最大值和最小值分别为（ ） A. 和 B. 0和 C. 和0 D. 和 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 二次函数对称轴是直线______，顶点坐标______． 12. 已知点，，都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是______．（用号连接） 13. 已知三角形两边长分别是2和9，第三边的长为一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为__________． 14. 抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线顶点坐标是__________． 15. 若二次函数图象与轴有公共点，则的取值范围是________． 16. 如图所示的抛物线是二次函数的图象，其对称轴为，过，则下列结论：①；②；③方程的两根为，；④，其中正确的结论是 _____．（填写序号） 三、解答题（7小题，共86分） 17. 解下列方程： （1）． （2）． 18. 已知关于x一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 19. 如图，在中，，，，点P从点A出发沿边向点C以的速度移动，点Q从C点出发沿边向点B以的速度移动． （1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使的面积为8平方厘米？ （2）点P、Q在移动过程中，是否存在某时刻，使得的面积等于的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 20. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 21. 兰溪联华超市今年三月初以每件40元的进价购进一批水磨年糕，当年糕售价为每件60元时，三月份共销售192件．四、五月该批年糕销售量持续走高，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到300件． （1）求四、五两个月销售量的月平均增长率； （2）按照（1）中的增长速度，六月份联华超市销售量是多少？ （3）六月份联华超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经市场调查发现，该年糕每件降价2元，月销售量增加40件，在顾客获得最大实惠的前提下，当年糕每件降价多少元时，联华超市六月份仍可获利为6080元？ 22. 如图，已知二次函数的图象过点，． （1）求此二次函数的解析式； （2）若二次函数图象与x轴的另一个交点为B，在抛物线上存在一点P，使的面积为10，求点P的坐标． 23. 饲养场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面（粗线表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场，并在每个区域开一个宽2米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），点在线段上． （1）设的长为x米，则_____米；（用含x的代数式表示） （2）若围成的饲养场的面积为132平方米，求饲养场的宽的长； （3）围成的饲养场的面积能否达到最大值？如果能达到，求出的长，求出最大面积是多少；如果不能，请说明理由． 24. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； （3）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $