精品解析：黑龙江省佳木斯市富锦市 2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级数学月考试卷 （考试时间：110分钟 满分：120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答． 一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误； B、，符合一元二次方程的定义，故本选项正确； C、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项错误； D、 符合二元一次方程的定义，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式得到，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 3. 抛物线y=2（x+m）2+n（m，n是常数）的顶点坐标是（ ） A. （m，n） B. （-m，n） C. （m，-n） D. （-m，-n） 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：因为抛物线y=2（x+m）2+n是顶点式，根据顶点式的坐标特点，它的顶点坐标是（-m，n）． 故选B． 考点：二次函数的性质． 4. 关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 5. 把向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，平移后抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．根据二次函数图象平移的方法即可得出结论． 【详解】解：把向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， 平移后抛物线的解析式为． 故选：D． 6. 如果关于x的方程（）中，，那么方程必有一个根是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意知，当时，，由此可以判定是原方程的一个根． 【详解】解：， ∴当时，， 是原方程的一个根． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 7. 用配方法解方程2x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程为（　　） A. （x﹣2）2=3 B. 2（x﹣2）2=3 C. 2（x﹣1）2=1 D. 2（x﹣1）2= 【答案】C 【解析】 【详解】解：2x2﹣4x=-1， x2﹣2x=， x2﹣2x+1=+1， ∴， 即． 故选C． 8. 已知二次函数，y与x的部分对应值如表： x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与y轴交于负半轴 C. 当时， D. 方程的正根在3与4之间 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图表可得， 该函数的对称轴是直线，有最大值， 抛物线开口向下，故选项A错误，不合题意； 当时，， 抛物线与轴的交点为，故选项B错误，不合题意； 和时的函数值相等，则时，，故选项C错误，不合题意； 方程的正根在3与4之间，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答． 9. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了2，剩余空地的面积为18，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用长方形的面积等于18和矩形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设原正方形的空地的边长为，则剩余空地的长和宽分别为和，由题意，得：； 故选A． 【点睛】本题考查根据实际问题列一元二次方程，正确的识图，找准等量关系，是解题的关键． 10. 如图，已知二次函数（）的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据开口判断a，结合对称轴判断与，结合交点判断即可得到答案； 【详解】解：由图像可得， ∵开口向下， ∴， ∵， ∴，故②错误， ∴，故③正确， ∵过点， ∴， ∴①正确， ∵函数与x轴有两个交点， ∴，故④正确， 故选C； 【点睛】本题考查根据二次函数图像判断式子的值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 方程的解为__________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 直接开平方得：， 解得：，． 故答案为：，． 12. 抛物线的对称轴是直线__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．根据函数解析式可求得答案． 【详解】解：∵， ∴对称轴是直线， 故答案为：． 13. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得二次函数的对称轴为直线，进而可得的值，从而可得函数解析式，再把代入函数解析式可得的值． 【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线， 故， 把代入二次函数可得， 当时，， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数定点式，对称轴为直线． 14. 关于的一元二次方程的一个根为零，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先把代入方程得，然后解关于的一元二次方程，再根据一元二次方程的定义取舍即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得或， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义． 15. 若点为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是__________．（用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵，，对称轴为直线， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点到抛物线的对称轴的距离越大，函数值越大， ∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查比较二次函数的函数值大小．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 16. 乐乐玩具商店今年3月份售出某种玩具3600个，5月份售出该种玩具4900个，设每个月平均增长率为x，根据题意，列出关于x的方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题应先用表示出4月份售出的个数，再表示出5月份售出的福娃个数，令其等于4900即可列出方程． 【详解】解：4月份售出的玩具个数为：， 则5月份售出的玩具个数为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题目时常常要先解出前一个月份的个数，再列出所求月份的个数的方程，令其等于已知的条件即可． 17. 设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系得到，再根据完全平方公式变形代入计算即可，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 18. 已知为实数，且满足，则的值为______ 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，把看作一个整体，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 解得：或， 当时，即，，此方程无实数根，不符合题意，舍去； 当时，即，，符合题意； 故答案为：1． 19. 如图为二次函数图象的一部分，其对称轴为直线．若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了利用二次函数的图象求不等式的解集，根据二次函数与不等式的关系解答即可，正确掌握二次函数与不等式的关系是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，图象与x轴一交点为, ∴图象与x轴的另一交点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，即， 故答案为：． 20. 已知二次函数，当时，有最小值，则的值为___________． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是分情况讨论的正负，根据二次函数的单调性求出最小值． 先将二次函数化为顶点式，确定对称轴，再分和两种情况，根据二次函数的单调性，结合给定的的取值范围，求出的最小值，进而得到的值． 【详解】解：将二次函数化为顶点式：，所以其对称轴为直线． 时，二次函数图象开口向上，在对称轴处取得最小值， 已知当时，有最小值，所以，解得， 当时，二次函数图象开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小． 所以在这个区间内，时，取得最小值． 把代入函数中，可得． 因为的最小值为，所以，解得． 综上，的值为5或． 故答案为：5或． 三、解答题（共60分） 21. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适的解法． （1）利用直接开平方法求解方程； （2）先将方程化为一般形式，再用因式分解法求解； （3）使用配方法来求解方程． 【小问1详解】 解： ， 当时，， 当时，， 方程的解为：，； 【小问2详解】 解： 则或， 当时，，解得， 当时，解得． 方程的解为：，； 【小问3详解】 解：， ． ， 即． ， 解得． 22. 先化简，再求值：，其中a是方程x2+x﹣3=0的解． 【答案】， 【解析】 【详解】解： = = = = ∵a是方程x2+x﹣3=0的解， ∴a2+a﹣3=0，即a2+a=3， ∴原式=． 23. 如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为，其顶点为C，对称轴为直线． （1）求抛物线的函数解析式； （2）已知点M为y轴上的一个动点，当为等腰三角形时，求点M的坐标． 【答案】（1）；（2）点M坐标分别为，，， 【解析】 【分析】（1）直接根据题意列出关于a、k的方程组，解方程组即可解决问题． （2）运用分类讨论的数学思想，根据等腰三角形的定义，分类讨论，数形结合，即可解决问题． 【详解】解：（1）依题意知，抛物线解析式为． 把A（3，0），B（0，3）分别代入，得， 解得， 所以该抛物线解析式是． （2）由题意得：OA=3，OB=3； 由勾股定理得：AB2=32+32， ∴AB=． 当为等腰三角形时， ①若AB为底， ∵OA=OB， ∴此时点O即为所求的点M， 故点M的坐标为M（0，0）； ②若AB为腰， 以点B为圆心，以长为半径画弧，交y轴于两点， 此时两点坐标为M）或M， 以点A为圆心，以长为半径画弧，交y轴于点（0，-3）； 综上所述，当为等腰三角形时，点M的坐标分别为，，，． 【点睛】主要考查了二次函数综合题，涉及抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式等知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用、大胆猜测、科学解答． 24. 2015年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯胜利70周年，9月3日全国各地将举行有关纪念活动.为了解初中学生对二战历史的知晓情况，某初中课外兴趣小组在本校学生中开展了专题调查活动，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据学生答题情况，将结果分为A、B、C、D四类，其中A类表示“非常了解”、B类表示“比较了解”、C类表示“基本了解”、D类表示“不太了解”，调查的数据经整理后形成下列尚未完成的条形统计图（如图①）和扇形统计图（如图②）： （1）在这次抽样调查中，一共抽查了 名学生； （2）请把图①中的条形统计图补充完整； （3）图②的扇形统计图中D类部分所对应扇形的圆心角的度数为 °； （4）如果这所学校共有初中学生1500名，请你估算该校初中学生中对二战历史“非常了解”和“比较了解”的学生共有多少名？ 【答案】（1）200； （2）补充条形统计图如图所示： （3）36； （4）900． 【解析】 【分析】（1）利用A类的人数除以A类人数所占的百分比即可得这次调查的总人数； （2）用总人数乘C类人数所占的百分比即可求得C类的人数，在条形统计图上画出即可； （3）用D类的人数除以总人数再乘以360°即可得D类部分所对应扇形的圆心角的度数； （4）利用对二战历史“非常了解”和“比较了解”的学生人数除以这次抽查的人数，先计算出对二战历史“非常了解”和“比较了解”的学生所占的比例，再用总人数乘以这个比例即可得校初中学生中对二战历史“非常了解”和“比较了解”的学生的人数． 【详解】解：（1）30÷15%=200， 故答案为：200； （2）200×30%=60 ； （3）20÷200=0.1=10%，360°×10%=36°， 故答案为：36； （4） 答：该校初中学生中对二战历史“非常了解”和“比较了解”的学生估计有900名． 【点睛】此题考查了扇形统计图和频数（率）分布表，关键是正确从扇形统计图和表中得到所用的信息． 25. 已知中，边的长与边上的高的和为20． （1）写出的面积y与的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时的长； （2）当的长为多少时，的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1），12或8 （2）当的长为10时，的面积最大，最大面积是50 【解析】 【分析】（1）先表示出边上的高，再根据三角形的面积公式就可以表示出表示y与x之间的函数关系式，当时代入解析式就可以求出其值； （2）将（1）的解析式转化为顶点式就可以求出最大值． 【小问1详解】 由题意，得 ， 整理，得， 当时，可得， 解得：，， ∴面积为48时，的长为12或8； 【小问2详解】 将化为顶点式为：， ∴当时，， 即当的长为10时，的面积最大，最大面积是50． 【点睛】此题主要考查了二次函数的顶点式的运用，掌握配方法将二次函数化为顶点式是解答本题的关键． 26. 商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件． （1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 【答案】（1）降价前商场每月销售该商品的利润是4800元； （2）每件商品应降价60元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解实际问题的运用． （1）先求出每件的利润．再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润； （2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得（元）． 答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元； 【小问2详解】 解：设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元， 由题意，得， 解得：． ∵有利于减少库存， ∴． 答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元． 27. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20 cm ， BC＝15 cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求： （1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S； （2）当t＝3秒时，这时P、Q两点之间的距离是多少？ （3）当t为多少秒时，S＝S△ABC？ 【答案】（1）；（2）10cm；（3）2秒或3秒 【解析】 【分析】（1）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQ=CP×CQ求解； （2）首先根据题意表示出线段CP与CQ的长，再由t=3，可求得线段CP与CQ的长，利用勾股定理即可求得P、Q两点之间； （3）首先由在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，求得△ABC的面积，再由（1），可表示出Rt△CPQ的面积，即可得方程-4t2+20t=××15×20，继而求得答案； 【详解】解：（1）由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20-4t， 因此Rt△CPQ的面积为S=×(20−4t)×2t＝20t−4t2cm2； ∴S＝20t－4t2； （2）根据题意得：AP=4tcm，CP=AC-AP=（20-4t）cm，CQ=2tcm， 则当t=3秒时，CP=8cm，CQ=6cm， ∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴PQ==10（cm）， 即当t=3秒时，P、Q两点之间的距离是10cm； （3）解：列方程20t－4t2＝××15×20，解得t＝2或t＝3． ∴t为2秒或3秒时S＝S△ABC． 【点睛】本题考查了直角三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键时用方程思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学月考试卷 （考试时间：110分钟 满分：120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 3. 抛物线y=2（x+m）2+n（m，n是常数）的顶点坐标是（ ） A. （m，n） B. （-m，n） C. （m，-n） D. （-m，-n） 4. 关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 把向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，平移后抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如果关于x的方程（）中，，那么方程必有一个根是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 7. 用配方法解方程2x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程为（　　） A. （x﹣2）2=3 B. 2（x﹣2）2=3 C. 2（x﹣1）2=1 D. 2（x﹣1）2= 8. 已知二次函数，y与x的部分对应值如表： x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与y轴交于负半轴 C. 当时， D. 方程的正根在3与4之间 9. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了2，剩余空地的面积为18，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数（）的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 方程的解为__________ 12. 抛物线的对称轴是直线__________． 13. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，则的值为__________． 14. 关于的一元二次方程的一个根为零，则__________． 15. 若点为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是__________．（用“<”连接） 16. 乐乐玩具商店今年3月份售出某种玩具3600个，5月份售出该种玩具4900个，设每个月平均增长率为x，根据题意，列出关于x的方程为___________． 17. 设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______ 18. 已知为实数，且满足，则的值为______ 19. 如图为二次函数图象的一部分，其对称轴为直线．若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是_______． 20. 已知二次函数，当时，有最小值，则的值为___________． 三、解答题（共60分） 21. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 22. 先化简，再求值：，其中a是方程x2+x﹣3=0的解． 23. 如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为，其顶点为C，对称轴为直线． （1）求抛物线的函数解析式； （2）已知点M为y轴上的一个动点，当为等腰三角形时，求点M的坐标． 24. 2015年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯胜利70周年，9月3日全国各地将举行有关纪念活动.为了解初中学生对二战历史的知晓情况，某初中课外兴趣小组在本校学生中开展了专题调查活动，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据学生答题情况，将结果分为A、B、C、D四类，其中A类表示“非常了解”、B类表示“比较了解”、C类表示“基本了解”、D类表示“不太了解”，调查的数据经整理后形成下列尚未完成的条形统计图（如图①）和扇形统计图（如图②）： （1）在这次抽样调查中，一共抽查了 名学生； （2）请把图①中的条形统计图补充完整； （3）图②的扇形统计图中D类部分所对应扇形的圆心角的度数为 °； （4）如果这所学校共有初中学生1500名，请你估算该校初中学生中对二战历史“非常了解”和“比较了解”的学生共有多少名？ 25. 已知中，边的长与边上的高的和为20． （1）写出的面积y与的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时的长； （2）当的长为多少时，的面积最大？最大面积是多少？ 26. 商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件． （1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 27. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20 cm ， BC＝15 cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求： （1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S； （2）当t＝3秒时，这时P、Q两点之间的距离是多少？ （3）当t为多少秒时，S＝S△ABC？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $