精品解析：内蒙古自治区通辽市开鲁县麦新中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一分析选项。 【详解】解：选项A：方程中未知数x的次数为1，属于一元一次方程，故不符合题意； 选项B：方程中含有两个未知数x和y，属于二元二次方程，不符合“一元”的条件，故不符合题意； 选项C：方程的右边含有分式，不是整式方程，不属于一元二次方程，故不符合题意； 选项D：方程中只含有一个未知数x，且最高次数为2，移项后，是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 2. 若将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的二次函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题需要根据二次函数图象平移的规律，逐步分析函数图象平移后的解析式．本题主要考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵ 二次函数的图象向右平移个单位长度，根据“左加右减”的原则， ∴ 得到； ∵ 再将向上平移个单位长度，根据“上加下减”的原则， ∴ 平移后的二次函数解析式为． 故选：． 3. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质对各选项进行判断． 【详解】解：A．，抛物线的开口向上，所以A选项正确，不符合题意； B．抛物线的对称轴为直线，所以B选项正确，不符合题意； C．抛物线的顶点坐标为，所以C选项正确，不符合题意； D．在对称轴左侧y随x的增大而减小，所以D选项错误，符合题意； 故选：D． 4. 某次乒乓球比赛采取单循环赛制（每两球队之间都赛一场），共安排了28场比赛，求这次比赛共有几支球队参加？设共有x支球队参加比赛，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有支球队参赛，根据参赛的每队之间都要比赛一场，结合总共场，列出一元二次方程，准确根据题意列式是解题的关键． 【详解】解：设共有x支球队参加比赛， 根据题意得：． 故选：． 5. 设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵函数的解析式是，如图， ∴抛物线的对称轴是，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴点A关于对称轴的点A′是， 那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边随的增大而减小， ∴于是， 故选A． 6. 用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程——配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤，并能灵活运用是解决此题的关键．将方程通过配方法转化为完全平方形式，需移项后加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：， 移项：将常数项移到方程右边，得到， 配方：方程两边加上一次项系数一半的平方，即加1：， 化简：左边写成完全平方形式，右边计算得：， 因此，配方后的方程为选项B． 故选：B． 7. 若，，则二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：， ∵，， ∴抛物线的开口向上，与轴交于负半轴， ∵二次函数的对称轴为y轴， ∴二次函数的图象大致是： ． 故选：A． 8. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ）． A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 如果是二次函数，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如的函数是二次函数是解题的关键，根据二次函数定义求出即可． 【详解】解：是二次函数， 且， 解得， 故答案为：． 10. 若关于x的一元二次方程一根为，则另一根是________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，设另一个根为，根据根与系数的关系，得到，进行求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为，则：， ∴； 故答案为：4． 11. 小雅经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设平均每节课一人教会x人，根据题意表示出两节课教会的人数，进而得出答案． 【详解】解：设平均每节课一人教会x人，根据题意可得： ， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线y＝a（x﹣2）2＋1（a＞0）的顶点为A，过点A作y轴的平行线交抛物线于点B，连接AO、BO，则△AOB的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得顶点A的坐标，然后根据题意得出B的横坐标，把横坐标代入抛物线，得出B点坐标，从而求得A、B间的距离，最后计算面积即可． 【详解】设AB交x轴于C ∵抛物线线y＝a（x﹣2）2＋1（a＞0）的顶点为A， ∴A（2，1）， ∵过点A作y轴的平行线交抛物线于点B， ∴B的横坐标为2，OC=2 把x=2代入得y=-3， ∴B（2，-3）， ∴AB=1+3=4， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求得A、B的坐标是解题的关键． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13. 用适当的方法解方程： （1）． （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案； 先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ， 则或， 解得，， 所以，原方程的解为，； 【小问2详解】 解： ， 则， 或， 解得，． 所以，原方程的解为，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键． 14. 已知抛物线与轴的交点为、，且过点． （1）求出二次函数解析式． （2）求出该函数顶点坐标． 【答案】（1）或 （2）顶点坐标 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）将（1）所得的解析式化成顶点式即可解答． 【小问1详解】 解：设，将代入可得： ，解得：； 所以． 【小问2详解】 解：∵， ∴该函数顶点坐标为． 15. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）如果m取最大的整数时，该方程的根为，，求的值． 【答案】（1）且 （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意可得，且，，解之即可得到答案； （2）由题意知当时，原方程为，根据根与系数的关系可得，，再根据计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， ∴且； 【小问2详解】 解：由题意知当时，原方程为， ∵原方程的两实数根分别为和， ∴， ∴． 16. 2023年11月，第一届全国学生（青年）运动会在广西举行，“壮壮”和“美美”作为运动会吉祥物也受到了人们的强烈喜爱．一某超市在今年9月份销售吉祥物毛绒玩具共100个，10月、11月销售量持续走高，在售价不变的基础上，11月份的销售量达到144个． （1）求10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率． （2）若吉祥物毛绒玩具每个进价25元，原售价为每个65元，每月销售量达到20个，该超市增加盈利，减少库存，进行降价促销，经调查发现，每个降价1元，月销售量可增加2个，当毛绒玩具每个降价多少元时，出售毛绒玩具可获利1200元? 【答案】（1） （2）20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两个月毛绒玩具销售量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设每个毛绒玩具降价a元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设10、11这两个月毛绒玩具销售量的月平均增长率为x， 则：， ∴（舍），， 答：这两个月销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设每个毛绒玩具降价a元， 则：， 整理得：， 解得：，， 因为要 “增加盈利，减少库存”， 所以选择降价更多的20元 答：每个毛绒玩具降价20元时可获利1200元． 17. 如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． （1）求m的值及点C坐标； （2）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在，或或或． 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解． 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【小问1详解】 解： 直线过点， ， ， ， ， 二次函数解析式为， 顶点坐标为； 【小问2详解】 解：存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形． 顶点坐标为， 对称轴为直线， 过点作于点， 在中，． ①当时，设， 在中， 解之得 ； ②当时，根据等腰三角形三线合一得：， ， ； ③当时，， ，． 综上所述：点的坐标为或或或． 18. 如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． （1）填空： cm， cm；（用含的代数式表示） （2）是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． （3）当为何值时，的长度等于？ 【答案】（1）， （2）存在，当或3 （3）， 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用．在解答时要注意所求的解使实际问题有意义． （1）根据题意可直接求解； （2）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出t的值； （3）在中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值． 【小问1详解】 解：由题意，得，． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 由题意，得， 解得：，， 当或3时，的面积等于． 【小问3详解】 解：在中，由勾股定理，得， 解得：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的二次函数解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 4. 某次乒乓球比赛采取单循环赛制（每两球队之间都赛一场），共安排了28场比赛，求这次比赛共有几支球队参加？设共有x支球队参加比赛，可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（ ） A. B. C. D. 7. 若，，则二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ）． A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 如果是二次函数，那么_______． 10. 若关于x的一元二次方程一根为，则另一根是________． 11. 小雅经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为_______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线y＝a（x﹣2）2＋1（a＞0）的顶点为A，过点A作y轴的平行线交抛物线于点B，连接AO、BO，则△AOB的面积为________． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13. 用适当的方法解方程： （1）． （2）． 14. 已知抛物线与轴的交点为、，且过点． （1）求出二次函数解析式． （2）求出该函数顶点坐标． 15. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）如果m取最大的整数时，该方程的根为，，求的值． 16. 2023年11月，第一届全国学生（青年）运动会在广西举行，“壮壮”和“美美”作为运动会吉祥物也受到了人们的强烈喜爱．一某超市在今年9月份销售吉祥物毛绒玩具共100个，10月、11月销售量持续走高，在售价不变的基础上，11月份的销售量达到144个． （1）求10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率． （2）若吉祥物毛绒玩具每个进价25元，原售价为每个65元，每月销售量达到20个，该超市增加盈利，减少库存，进行降价促销，经调查发现，每个降价1元，月销售量可增加2个，当毛绒玩具每个降价多少元时，出售毛绒玩具可获利1200元? 17. 如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． （1）求m的值及点C坐标； （2）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 18. 如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． （1）填空： cm， cm；（用含的代数式表示） （2）是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． （3）当为何值时，的长度等于？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $