4.3.1等比数列的概念第3课时 等差、等比数列的综合应用 课时作业-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第3课时　等差、等比数列的综合应用 1.C　[解析] ∵数列{an}是公差为2的等差数列,∴a1=a2-2,a4=a2+4,又a1,a2,a4成等比数列,∴=a1a4,即=(a2-2)(a2+4),解得a2=4,故选C. 2.D　[解析] 设数列{an}的公比为q(q>0).因为4a3是a5与-2a4的等差中项,所以a5-2a4=8a3,即a3q2-2a3q=8a3,所以q2-2q-8=0,解得q=4或q=-2(舍),所以a4=a2q2=8,故a3a5==64.故选D. 3.A　[解析] 由等差数列的性质知a4==3,∴b2b8==9.由等比数列的性质可知b2b8==9,∴b5=±3.故选A. 4.A　[解析] 因为{an}为等比数列,所以a1a5=a2a4=36,所以+===,则a2+a4=13.由解得或因为{an}是递增数列,所以a2=4,a4=9,则q2=,又q>0,所以q=.故选A. 5.A　[解析] 由log3an+1=log3an+1(n∈N*),可得an+1=3an,所以数列{an}是公比为3的等比数列.因为a2+a4+a6=9,所以lo(a3+a5+a7)=lo[3(a2+a4+a6)]=lo33=-3.故选A. 6.C　[解析] 若a3为偶数,则a4==1,得a3=2,若a3为奇数,则a4=3a3+1=1,得a3=0,不成立,舍去;若a2为偶数,则a3==2,得a2=4,若a2为奇数,则a3=3a2+1=2,得a2=,不成立,舍去;若a1为偶数,则a2==4,得a1=8,若a1为奇数,则a2=3a1+1=4,得a1=1.故a1=1或8,则a1所有可能的取值之和是9,故选C. 7.D　[解析] 由题意可得2b=a+c=6,所以b=3,d2=ac=1,所以d=±1,所以b+d的值为2或4.故选D. 8.B　[解析] 在2和20之间插入两个数,设这四个数构成数列{an}(1≤n≤4,n∈N*),则a1=2,a4=20.设a2=a,则a3=,由a,,20成等差数列得2×=a+20,∴a2-a-20=0,解得a=-4或a=5.当a=-4时,插入的两个数的和为-4+=4;当a=5时,插入的两个数的和为5+=.故选B. 9.9　[解析] 因为a8a2+5a5=14,所以+5a5=14,解得a5=2或a5=-7(舍去),所以log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9=log2(a1a2a3…a9)=log2=9log2a5=9log22=9. 10.B　[解析] ∵a5=b6,∴b4+b8=2b6=2a5.设等比数列{an}的公比为q,∵a3+a7-2a5= a1q2+a1q6-2a1q4 =a1q2(q2-1)2≥0,∴a3+a7≥b4+b8.故选B. 11.D　[解析] 因为an+1=Sn+2,所以当n≥2时,an=Sn-1+2,两式相减,得an+1-an=Sn-Sn-1(n≥2),即an+1=2an(n≥2),故公比为2,所以a2=2a1,又当n=1时,a2=a1+2,所以a1=2,所以等比数列{an}的通项公式为an=2n,n∈N*,所以a3=8,a5=32,所以d===4.故选D. 12.ABC　[解析] 若{an}为等比数列,则公比q≠0,=q,=q(n≥2),所以-=0≠1(n≥2),故选项A中说法错误;若bn=1,则{bn}是等差数列,且-=0(n≥2),故{bn}为比等差数列,故选项B中说法错误;若an=0,bn=1,则{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且an·bn=0,此时-(n≥2)无意义,故选项C中说法错误;因为数列{an}满足a1=a2=1,an+1=an+an-1(n≥2),所以a3=2,a4=3,故-=1≠-=-,所以{an}不是比等差数列,故选项D中说法正确.故选ABC. 13.2n-1　[解析] 令bn=log2(an+1),∵a1=1,a3=7,∴b1=1,b3=3,又数列{bn}为等差数列,∴公差d=1,∴bn=1+n-1=n,即log2(an+1)=n,∴an=2n-1. 14.解:(1)由2lg an=lg an+1+lg an-1(n≥2,n∈N*), 得lg =lg (an+1an-1)(n≥2,n∈N*),则=an-1an+1(n≥2,n∈N*), 故数列{an}为等比数列, 因为a1=1,a3=4,所以=a1a3=4,解得a2=2或a2=-2(舍去),故公比q===2, 所以an=1×2n-1=2n-1(n∈N*). (2)由(1)得bn===-,所以Tn=1-+-+…+-=1-, 又Tm=,所以1-=,解得m=99. 15.解:(1)由公比q∈(0,1),可得 所以q2==,得q=, 所以an=a5qn-5=,bn=log2an=log2=5-n. (2)由(1)易知数列{bn}是以4为首项,-1为公差的等差数列,所以Sn==,则=. 当n<9时,>0;当n=9时,=0;当n>9时,<0. 故当n=9或8时,++…+取得最大值. 16.C　[解析] 因为数列a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7的前四项成公比为m的等比数列,后四项成公差为m的等差数列,所以a2=a1m,a3=a1m2,a6=a4+2m=a1m3+2m.因为a3=a6,所以a1m2=a1m3+2m,又m∈(0,1),所以a1m=a1m2+2,所以a1=,y=m-m2的图象开口向下,对称轴为直线m=,因为m∈(0,1),所以0<m-m2≤,所以a1=≥8,所以a1的最小值为8.故选C. 17.BC　[解析] 对于数列{an},若an=1,则an+1=1,an+2=1,{an}是等比数列,但无意义,所以A错误;若等差比数列的公差比为0,即=0,则an+2-an+1=0,则在中分母为0,无意义,所以B正确;若an=-3n+2,则===3,故数列{an}是等差比数列,所以C正确;若等差数列是等差比数列,设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d,则an+2-an+1=d,an+1-an=d,所以==1,所以D错误.故选BC. 18.解:(1)因为a1=1,an+1=an+3(n∈N*),即an+1-an=3, 所以{an}是首项为1,公差为3的等差数列, 所以an=1+3(n-1)=3n-2. 因为b1,b2,b3-1成等差数列,所以2b2=b1+b3-1, 设等比数列{bn}的公比为q(q≠0), 又b2=2,所以4=+2q-1,解得q=2或q=. 当q=2时,b1=1,此时bn=b1qn-1=2n-1,{bn}为递增数列,满足要求; 当q=时,b1=4,此时bn=b1qn-1=,{bn}为递减数列,不满足要求,舍去. 综上,an=3n-2,bn=2n-1. (2)由(1)得cn=an+log2bn=3n-2+log22n-1=4n-3, 则cn+1-cn=[4(n+1)-3]-(4n-3)=4,c1=1, 故{cn}是首项为1,公差为4的等差数列, 故Tn==2n2-n. 19.解:(1)证明:由Sn=,得2Sn=n(a1+an), 所以2an+1=2Sn+1-2Sn=(n+1)(a1+an+1)-n(a1+an),整理得(n-1)an+1=nan-a1, 所以nan+2=(n+1)an+1-a1,两式相减得nan+2+nan=2nan+1,所以an+2+an=2an+1,所以数列{an}是等差数列. (2)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),由题意可得=a1,=a4,=a10, 且有=a1a10,即(a1+3d)2=a1(a1+9d), 化简得a1=3d,则an=a1+(n-1)d=(n+2)d, 易知数列{}是首项为3d,公比为=2的等比数列, 所以=3d·2n-1=(kn+2)d,可得kn=3·2n-1-2. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3课时　等差、等比数列的综合应用 1.[2025·黑龙江大庆高二期末] 已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a2,a4成等比数列,则a2=(　 ) A.-10 B.-6 C.4 D.-4 2.各项均为正数的等比数列{an}中,4a3是a5与-2a4的等差中项,若a2=,则a3a5=(　 ) A.4 B.8 C.32 D.64 3.[2025·广西河池高二期末] 在等差数列{an}中,a2+a6=6,等比数列{bn}满足b2b8=,则b5= (　 ) A.±3 B.-3 C.±9 D.3 4.设递增的等比数列{an}满足+=,a1a5=36,则公比q= (　 ) A. B. C.2 D. 5.已知各项均为正数的数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N*),且a2+a4+a6=9,则lo(a3+a5+a7)的值是 (　 ) A.-3 B.5 C.4 D.-2 6.已知数列{an}满足an∈Z,a4=1,an+1=则a1所有可能的取值之和是 (　 ) A.6 B.7 C.9 D.17 7.[2025·河北廊坊高二期末] 已知a=3+2,c=3-2,若b为a,c的等差中项,d为a,c的等比中项,则b+d的值为 (　 ) A.3 B.4 C.2或2 D.2或4 8.在2和20之间插入两个数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的两个数的和为 (　 ) A.-4或 B.4或 C.4 D. 9.已知等比数列{an}的各项都为正数,若a8a2+5a5=14,则log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9=　　　　.  10.数列{an}是各项均为正数的等比数列,数列{bn}是等差数列,若a5=b6,则 (　 ) A.a3+a7≤b4+b8 B.a3+a7≥b4+b8 C.a3+a7≠b4+b8 D.a3+a7=b4+b8 11.[2025·重庆九龙坡区高二期末] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=Sn+2,其中n∈N*,若在a3与a5之间插入5个数,使这7个数组成公差为d的等差数列,则d= (　 ) A. B.2 C.3 D.4 12.(多选题)在数列{pn}中,如果对任意n≥2(n∈N*),都有-=k(k为常数),则称数列{pn}为比等差数列,k称为比公差.下列说法错误的是 (　 ) A.等比数列一定是比等差数列,且比公差k=1 B.等差数列一定不是比等差数列 C.若数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,则数列{an·bn}一定是比等差数列 D.若数列{an}满足a1=a2=1,an+1=an+an-1(n≥2),则数列{an}不是比等差数列 13.在数列{an}中,已知a1=1,a3=7,数列{log2(an+1)}为等差数列,则数列{an}的通项公式为an=　　　　.  14.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a3=4,且满足2lg an=lg an+1+lg an-1(n≥2,n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=,且数列{bn}的前m项和Tm=,求m的值. 15.在各项均为正数的等比数列{an}中,公比q∈(0,1).若a3+a5=5,a2a6=4,bn=log2an,数列{bn}的前n项和为Sn. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)求++…+取得最大值时n的值. 16.[2025·海口高二期末] 已知数列a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7的前四项成公比为m的等比数列,后四项成公差为m的等差数列,其中m∈(0,1),若a3=a6,则a1的最小值为(　 ) A.2 B.4 C.8 D.12 17.(多选题)在数列{an}中,若对任意n∈N*,都有=k(k为常数),则称{an}为等差比数列,k为公差比.下列说法正确的是 (　 ) A.等比数列一定是等差比数列 B.等差比数列的公差比一定不为0 C.若an=-3n+2,则数列{an}是等差比数列 D.若等差数列是等差比数列,则其公差比可能为2 18. 已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+3(n∈N*),数列{bn}为递增的等比数列,b2=2,且b1,b2,b3-1成等差数列. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设cn=an+log2bn,求数列{cn}的前n项和Tn. 19.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=,n∈N*. (1)证明:数列{an}是等差数列; (2)若数列{an}的公差不为0,数列{an}中的部分项组成的数列,,,…,恰为等比数列,其中k1=1,k2=4,k3=10,求数列{kn}的通项公式. 学科网（北京）股份有限公司 $