4.3.1 第3课时 等比数列的综合应用(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第三课时　等比数列的综合应用 　 1.由公比为q的等比数列a1，a2，…依次相邻两项的乘积组成的数列a1a2，a2a3，a3a4，…是（　　） A.等差数列 B.以q为公比的等比数列 C.以q2为公比的等比数列 D.以2q为公比的等比数列 2.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为（　　） A.2　　　　 B.　　　　 C.3　　　　 D. 3.已知等比数列{an}中，a2＝，a5＝，则数列{log2an}的前10项和为（　　） A.－55 B.－33 C.33 D.55 4.设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝（　　） A.210 B.220 C.216 D.215 5.画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于（　　） A.2 024 B.2 012 C.2 048 D.4 096 6.下列说法正确的是（　　） A.若＝4n，n∈N*，则{an}为等比数列 B.若anan＋2＝，n∈N*，则{an}为等比数列 C.若aman＝2m＋n，m，n∈N*，则{an}为等比数列 D.若anan＋3＝an＋1an＋2，n∈N*，则{an}为等比数列 7.〔多选〕如图，各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和等于1.按照图示规律，有同学提出了以下结论，其中正确的是（　　） A.矩形块中所填数字构成的是以1为首项，为公比的等比数列 B.由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为 C.按照这个规律继续下去，第n－1个矩形块中所填数字是 D.由大到小排列，是第七个矩形块中的数字 8.在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为　　　　. 9.我国生物科技发展日新月异，其中生物制药发展尤其迅速，某制药公司第一年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%.按此规律至少到第　　　　年每年投入的资金可达250万元以上（精确到1年）.（参考数据：lg 1.2≈0.08，lg 5≈0.70） 10.有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间的两个数的和为18，求这四个数. 11.（2025·青岛月考）若数列{an}是等差数列，bn＝，则数列{bn}也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为（　　） A.dn＝ B.dn＝ C.dn＝ D.dn＝ 12.〔多选〕设{an}（n∈N*）是各项均为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列选项中成立的是（　　） A.0＜q＜1 B.a7＝1 C.K9＞K5 D.K6与K7均为Kn的最大值 13.设有4项的数列{an}的前3项成等比数列，其和为m，后3项成等差数列，其和为6，则实数m的取值范围为　　　　. 14.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，nSn＋1－（n＋1）Sn＝，n∈N*. （1）求数列{an}的通项公式； （2）是否存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由. 15.已知数列{Am}：a1，a2，…，am（m≥2）.若存在公比为q的等比数列{Bm＋1}：b1，b2，…，bm＋1，使得bk＜ak＜bk＋1，其中k＝1，2，…，m，则称数列{Bm＋1}为数列{Am}的“等比分割数列”.若数列{A10}的通项公式为an＝2n（n＝1，2，…，10），其“等比分割数列”{B11}的首项为1，求数列{B11}的公比q的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三课时　等比数列的综合应用 1.C　2.D　3.A　4.B　 5.C　依题意，这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}，所以an＝2×（）n－1，所以第10个正方形的面积S＝＝[2×（）9]2＝4×29＝2 048. 6.C　由＝4n知｜an｜＝2n，则数列{an}未必是等比数列；对于B、D选项，满足条件的数列中可以存在零项，故数列{an}不一定是等比数列；对于C选项，由aman＝2m＋n知，aman＋1＝2m＋n＋1，两式相除得＝2（n∈N*），故数列{an}是等比数列.故选C. 7.BCD　设每个矩形块中的数字从大到小形成数列{an}，则由题意可得{an}是首项为，公比为的等比数列，∴an＝×（）n－1＝，故A中结论错误；a8＝＝，故B中结论正确；第n－1个矩形块中所填数字是，故C中结论正确；a7＝＝，故D中结论正确.故选B、C、D. 8.8　解析：设插入的3个数依次为a，b，c，即，a，b，c，8成等比数列，由等比数列的性质可得b2＝ac＝×8＝4，因为a2＝b＞0，所以b＝2（舍负）.所以这3个数的积为abc＝4×2＝8. 9.10　解析：由题知，该制药公司每年投入的研发资金满足等比数列模型，且a1＝50，q＝1.2，所以an＝50×1.2n－1，令an＝50×1.2n－1＞250，所以1.2n－1＞5，所以n－1＞log1.25＝≈＝8.75，所以n＞9.75，又因为n为正整数，所以n＝10. 10.解：法一　设前三个数分别为，a，aq（q≠0），则第四个数为2aq－a. 由题意得 解得q＝2或q＝. 当q＝2时，a＝6，这四个数为3，6，12，18； 当q＝时，a＝，这四个数为，，，. 法二　设后三个数分别为a－d，a，a＋d， 则第一个数为， 因此这四个数为，a－d，a，a＋d. 由题意得 解得或 故这四个数为3，6，12，18或，，，. 11.D　设正项等比数列{cn}的首项为c1，公比为q，则c1·c2·…·cn＝c1·（c1q）·…·（c1qn－1）＝，令dn＝＝＝＝c1，∴{dn}是等比数列. 12.ABD　对于B，由K6＝K7，得a7＝＝1，B正确；对于A，由K5＜K6可得，a6＝＞1，则q＝∈（0，1），故A正确；对于C，由{an}是各项均为正数的等比数列且q∈（0，1）可得数列是递减数列，因为a7＝1，所以a8＜1，则＝a6a7a8a9＝（a7a8）2＝＜1，所以K9＜K5，故C错误；对于D，结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正确.故选A、B、D. 13.［，＋∞）　解析：∵后3项成等差数列，其和为6，∴可设公差为d，后3项可写成2－d，2，2＋d.又∵前3项成等比数列，∴根据等比中项的性质，可知第1项为，∴数列{an}为，2－d，2，2＋d.∴m＝＋2－d＋2＝d2－3d＋6＝（d－3）2＋≥. 14.解：（1）由nSn＋1－（n＋1）Sn＝，得－＝， ∴数列{}是首项为＝1， 公差为的等差数列， ∴＝1＋（n－1）＝（n＋1）， ∴Sn＝. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n. a1＝1也适合上式，∴an＝n. （2）由（1）知an＝n，Sn＝. 假设存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列， 则＝ak·a4k，即［］2＝k·4k. ∵k为正整数， ∴（2k＋1）2＝4， 得2k＋1＝2或2k＋1＝－2， 解得k＝或k＝－，与k为正整数矛盾. ∴不存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列. 15.解：因为{B11}的首项为1，公比为q，所以bn＝qn－1， 则qk－1＜2k＜qk对于k＝1，2，…，10成立， 当k＝1时1＜2＜q， 当k＝2，3，…，10时，2＜q＜， 而y＝2x是增函数，＝1＋随着k的增大而减小，所以y＝随着k的增大而减小， 从而（）min＝，所以2＜q＜. 即公比q的取值范围为（2，）. 学科网（北京）股份有限公司 $