精品解析：广东省揭阳华侨高级中学2024-2025学年高三上学期第三次阶段考试数学试题

揭阳华侨高级中学高三级数学学科第三次阶段考试 2024-2025学年度第一学期 （考试时间：120分钟，满分：150分） 命题人： 陈志觉 审核人： 宋建泉 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数为上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（ ） A. B. C. D. 以上都不对 3. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 7. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点．若关于函数在区间上的“中值点”个数为m，函数在区间上的“中值点”的个数为n，则有（ ）（参考数据：） A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 8. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上单调递减 D. 的图象关于直线对称 10. 已知定义在上的可导函数的导函数为，若为奇函数，，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 是函数的一个周期 D. 11. 已知函数，函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则有1个零点 B. 若，则有6个零点 C. 若有5个零点，则的取值范围为 D. 一定有零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 13. 已知均为正数，且，则的最小值______. 14. 已知，当时，恒成立，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77，分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A、B、C所对的边为、、，且． （1）求角B； （2）当时，求面积的最大值． 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：. 17. 在四棱锥中，底面． （1）证明：； （2）求PD与平面所成的角的正弦值． 18. 已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，过的直线交的右支于两点，且． （1）求的方程； （2）点关于轴对称点为（异于点），直线交轴于点，记，的面积分别为，求的值． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，且. （ⅰ）求的极值点的个数. （ⅱ）证明：当，且时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 揭阳华侨高级中学高三级数学学科第三次阶段考试 2024-2025学年度第一学期 （考试时间：120分钟，满分：150分） 命题人： 陈志觉 审核人： 宋建泉 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数和对数的单调性解不等式可化简集合 ，利用集合的交集、并集运算即可求解. 【详解】由得，即，所以； 由得，所以 所以 故选：A. 2. 已知函数为上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的关于原点对称，即可求解. 【详解】由函数为上的奇函数，则， 又因为当时，， 所以当时，， 故选：A. 3. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解. 【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，排除AC； 当时， ，所以，排除D. 故选：B. 4. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是， 故选：A. 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求得两个不等式解集，由集合间关系即可判断. 【详解】由可得：， 由可得：， 即， 即，可得， 又 所以“”是“”必要不充分条件， 故选：B 6. 已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中条件，分别讨论，两种情况，结合函数单调性与奇偶性，即可求出结果. 【详解】若，则等价于，因是偶函数，故， 又在上单调递减，则由可得； 若，则等价于，由题意，在上单调递增，则由可得； 综上，的解集为. 故选：A. 7. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点．若关于函数在区间上的“中值点”个数为m，函数在区间上的“中值点”的个数为n，则有（ ）（参考数据：） A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用拉格朗日中值定理应用导函数得出方程解的个数即可判断求解． 【详解】设函数在区间上的“中值点”为，由，得， 则由拉格朗日中值定理得，，即， 而，则，即函数在区间上的“中值点”的个数为1，因此， 设函数在区间上的“中值点”为，由，求导得， 由拉格朗日中值定理得，，即， 令函数，，在上单调递增， ，， 则在上有唯一零点，即方程在区间上有1个解， 因此函数在区间上的“中值点”的个数为1，即，所以． 故选:B． 8. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】命题等价于在上单调递增，再利用单调性求出参数范围. 【详解】当时，不等式恒成立，令函数， 则函数在上单调递增， 因此，恒成立， 令函数，求导得 当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，，则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上单调递减 D. 的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，由真数大于0，解不等式组求定义域；对B和C，通过复合函数单调性判断；对D，由与关系判断. 【详解】对于A：令，解得， 所以的定义域为，故A正确； 对于B和C：函数， 令，则函数在上单调递增，在上单调递减， 又是增函数， 所以在上单调递增，在上单调递减，故B正确，C错误； 对于D：因为， ， 所以， 所以的图象关于直线对称，故D正确． 故选：ABD. 10. 已知定义在上的可导函数的导函数为，若为奇函数，，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 是函数的一个周期 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据奇函数的性质及中心对称的性质即可判断选项A；结合选项A有，再两边求导，结合轴对称的性质即可判断选项B；根据选项B中轴对称及题意中的中心对称即可推导出的一个周期，进而即可判断选项C；先用赋值法求出，再结合的对称性及周期性即可得到，从而即可求出，进而即可判断选项D． 【详解】对于选项A，因为函数为奇函数， 则，即， 所以函数的图象关于点对称，故A正确； 对于选项B，由选项A有，则， 又，则，所以的图象关于直线对称，故B错误； 对于选项C，由，即，则， 又结合选项B有，则，即， 则，所以是函数的一个周期，故C正确； 对于选项D，由，令，则，得， 又结合选项B有，结合选项C有，即，， 所以，故D错误． 故选：AC． 11. 已知函数，函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则有1个零点 B. 若，则有6个零点 C. 若有5个零点，则的取值范围为 D. 一定有零点 【答案】BD 【解析】 【分析】画出的简图，令，则，令，则，然后结合图象，分，，，，，和七种情况讨论函数的零点即可. 【详解】令，解得或2； 令，解得或1或3. 根据函数图象的平移变换，可画出的简图，如图所示. 令，则. 令，则. 当时，只有1解，且，此时只有1解，所以只有1个零点. 当时，有2解，即或2. 有1解；有2解.所以有3个零点. 当时，有3解，，. 当时，只有1解； 当时，有2解； 当时，有2解.所以有5个零点. 当时，有3解，即或1或3. 只有1解； 有2解； 有3解.所以有6个零点. 当时，有2解，. 当时，有2解； 当时，有3解.所以有5个零点. 当时，只有1解，有2解，所以有2个零点. 当时，只有1解，且，此时只有1解，所以只有1个零点. 综上，B，D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知解析式，应用周期性得，即可得. 【详解】由题设. 故答案为： 13. 已知均为正数，且，则的最小值______. 【答案】 【解析】 【分析】通过已知等式变形得到，再利用“”的代换将目标表达式展开，最后应用基本不等式求得最小值. 【详解】已知均为正数，且，所以， 则， 当且仅当，即时，取得等号， 又，所以当，时，取得最小值. 故答案为： 14. 已知，当时，恒成立，则的最小值为________． 【答案】e 【解析】 【分析】由分析得到，再构造函数，，求导，进而分析其单调性即可求出的最小值． 【详解】由，均递增，且与轴均只有一个交点， 要使在上恒成立，只需要，与轴交于同一点， 令，得；令，得， 所以，又，，所以， 则， 令，，则，， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增， 所以，即的最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77，分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A、B、C所对的边为、、，且． （1）求角B； （2）当时，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换将题干中的式子化简为，根据角B的范围即可求解角B的大小； （2）根据余弦定理，通过基本不等式放缩得到ac的最大值，再结合正弦定理面积公式即可求解出面积最大值． 【小问1详解】 由及正弦定理可得， 因为，则，所以，故． 【小问2详解】 因为，由余弦定理可得， 当且仅当时，等号成立，故， 故面积的最大值为． 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：. 【答案】（1） （2） 令，则， 当时，所以在上单调递减， 当时，所以在上单调递增， 所以当时，有最小值为， 所以当时，，即当时，. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解； （2）将问题转化为，然后利用导数求出的最小值即可证明. 【小问1详解】 由题，，所以切线斜率为. 因为切点为， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 略 17. 在四棱锥中，底面． （1）证明：； （2）求PD与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1） 在四边形中，作于，于， 因为， 所以四边形为等腰梯形， 所以， 故，， 所以， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2）. 【解析】 【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ， 则， 则， 设平面的法向量， 则有，可取， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 18. 已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，过的直线交的右支于两点，且． （1）求的方程； （2）点关于轴对称点为（异于点），直线交轴于点，记，的面积分别为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义可得，再根据双曲线经过点可求得，可得双曲线的方程. （2）先确定为定点，再根据可求解. 【小问1详解】 因为，根据双曲线的定义可得. 又双曲线过点，所以. 所以双曲线的方程为：. 【小问2详解】 如图： 因为，所以，. 因为、关于轴对称，且与不同，所以直线必存在斜率, 可设直线：，代入得：， 整理得：. 设，，则，因为均在双曲线右支， 由韦达定理可得，，所以. 直线方程为：， 令得 . 所以为定点，坐标为. 所以. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，且. （ⅰ）求的极值点的个数. （ⅱ）证明：当，且时，. 【答案】（1）当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在和上单调递增； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在和上单调递增. （2）（ⅰ）0；（ⅱ）由（ⅰ）知，在上单调递减，且， 又，所以， 令，， 则，， 令， 则， 所以函数在上单调递增，所以，即， 所以函数在上单调递减，所以， 所以当时，，所以， 因为，所以，即， 因为函数在上单调递减，所以，即. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，对分类讨论，分析导函数的正负取值范围即可得解； （2）（ⅰ）求出函数的导数，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，由此得出的符号，可得的单调性，据此判断极值点个数； （ⅱ）结合（ⅰ）中的单调性，可得，再构造，由导数得出函数单调性，利用单调性得出，再由函数的单调性可得，即证. 【小问1详解】 ， 当时，由，解得，由，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得，或，由，得， 所以函数在上单调递减，在和上单调递增； 当时，恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，由，得或，由，得， 所以函数在上单调递减，在和上单调递增. 综上：当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在和上单调递增； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在和上单调递增. 【小问2详解】 （ⅰ）当时，， ，令，， 当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以函数在上单调递减，故的极值点的个数为0; （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $