精品解析：云南省楚雄民族中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

楚雄州民族中学高二年级4月月考 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 2025年U-20男足亚洲杯足球赛于2月份在深圳举行，东道主中国所在的A组共有四支球队，四支球队之间进行单循环比赛，共进行的比赛的场数为（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 已知复数，则的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 4. 等比数列前n项和，则（ ）. A. B. C. D. 5. 已知为偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 设甲：曲线表示焦点在x轴上的椭圆，乙：是第一或第四象限角，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 函数在区间内存在最小值，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ）. A. 展开式共7项 B. 含项的系数为480 C. 无常数项 D. 所有项的二项式系数之和为128 10. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 2 11. 某机构根据逻辑斯蒂增长模型结合过去15年的数据，对2010~2040年我国新能源汽车的市场渗透率进行了模拟和预测，得到我国新能源汽车的市场渗透率与时间（单位：年，规定表示2010年初）的函数关系为，则下列结论正确的是（ ）参考数据：. A. 的图象关于点中心对称 B. 的图象关于直线对称 C. 2022年初，我国新能源汽车的市场渗透率不足 D. 预计2030年初，我国新能源汽车的市场渗透率超过 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与圆相交所得的弦长为__________. 13. 在五一小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能安排方法有__________种. 14. 已知为首项和公差均为1的等差数列，则满足的的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，所对的边分别是，，，且，. （1）求； （2）求的面积和周长. 16. 已知数列首项，的前项和为且满足 （1）证明：数列是等差数列； （2）若，求数列的前项和． 17. 如图，是圆柱上底面圆周上的三个不同的点，为直径，，均为该圆柱的母线． （1）证明：平面平面． （2）若，，，求与平面所成角正弦值． 18. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）试讨论函数的单调性. 19. 记抛物线的焦点为，过作直线交于，两点. （1）求的方程； （2）若上仅存在一点使得，求的方程； （3）若以为直径的圆与另交于，两点，证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 楚雄州民族中学高二年级4月月考 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，然后根据并集的定义判断答案. 【详解】由题意可知，， 又因为集合 所以 故选：C 2. 2025年U-20男足亚洲杯足球赛于2月份在深圳举行，东道主中国所在的A组共有四支球队，四支球队之间进行单循环比赛，共进行的比赛的场数为（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式计算. 【详解】四支球队之间进行单循环比赛，共进行的比赛的场数为. 故选：B 3. 已知复数，则的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先进行复数乘法运算，再由复数概念找虚部. 【详解】因为， 所以的虚部是. 故选：C 4. 等比数列的前n项和，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的前n项和求出首项，再求出时的通项公式，代入即可得到结论. 【详解】在等比数列中，由前n项和，则， 当时，由， 所以，即. 故选：D 5. 已知为偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件分类讨论，分别对情况解不等式即可. 【详解】当时，，若，则； 当时，，成立； 当时，因为为偶函数，所以，即，； 综上：， 故选：B. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得出，，再根据两角和的余弦公式求得，结合即可求解． 【详解】因为，且， 所以 所以， 所以， 因为，所以， 故选：A． 7. 设甲：曲线表示焦点在x轴上的椭圆，乙：是第一或第四象限角，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件的性质，结合椭圆和三角函数的性质，即可判断选项. 【详解】由条件可知，若甲正确，则，即可， 即，且，得是第一或第四象限角，即甲是乙的充分条件； 反过来，若是第一或第四象限角，则，即， 此时，即 所以，则甲也是乙的必要条件. 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 8. 函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先研究在上的单调性，再结合图象分析讨论的取值范围. 【详解】，则， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 因， 则当在内存在最小值时，有得， 则实数的取值范围是. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ）. A. 展开式共7项 B. 含项的系数为480 C. 无常数项 D. 所有项的二项式系数之和为128 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，结合二项展开式的通项公式和展开式的性质，逐项判定即可求解. 【详解】对于：由二项式的展开式共有8项；所以选项错误. 对于：由二项式，可得展开式的通项为：，. 令，可得，则项的系数为，所以选项错误. 对于：令，可得，所以无常数项，所以选项正确. 对于：二项式系数和为，所以选项正确. 故选：. 10. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，求得双曲线其中一条渐近线方程为，由双曲线的两条渐近线的夹角为，得到直线的倾斜角为或，求得或，利用离心率的公式，分类讨论，即可求解. 【详解】由双曲线，可得其中一条渐近线方程为， 因为双曲线的两条渐近线的夹角为， 所以直线的倾斜角为或，则或， 解得或， 当时，可得，此时双曲线的离心率为； 当时，可得，此时双曲线的离心率为. 故选：AD. 11. 某机构根据逻辑斯蒂增长模型结合过去15年的数据，对2010~2040年我国新能源汽车的市场渗透率进行了模拟和预测，得到我国新能源汽车的市场渗透率与时间（单位：年，规定表示2010年初）的函数关系为，则下列结论正确的是（ ）参考数据：. A. 的图象关于点中心对称 B. 的图象关于直线对称 C. 2022年初，我国新能源汽车的市场渗透率不足 D. 预计2030年初，我国新能源汽车的市场渗透率超过 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出的值判断A；求出的值判断B；结合，求出判断C；结合，求出判断D. 【详解】对于A，， 所以的图象关于点中心对称，故A正确； 对于B，， 所以的图象不关于直线对称，故B错误； 对于C，，因为，所以，所以， 所以，故C正确； 对于D，，因为，所以， 所以，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与圆相交所得的弦长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心到直线的距离，再利用几何法求相交弦长即可. 【详解】由，可知圆心为，半径为， 所以到的距离， 则直线与圆相交所得的弦长为. 故答案为：. 13. 在五一小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有__________种. 【答案】80 【解析】 【分析】根据值班人数2和3两种情况，结合排列组合即可求解. 【详解】根据题意可知，值班的人数为2人或者3个人， 若人数为2，则需要一个人值班首尾两天，一个人值中间的那一天，故, 若人数为3，则每人值一天班，故, 故总的方法有， 故答案为：80 14. 已知为首项和公差均为1等差数列，则满足的的最小值为_____. 【答案】11 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式求出的表达式，进而得到的表达式，再根据求出的取值范围，最后确定满足条件的的最小值. 【详解】由等差数列的定义可得，则， 所以令，解得，所以满足条件的的最小值为11. 故答案为：11. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，所对的边分别是，，，且，. （1）求； （2）求的面积和周长. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理将已知等式进行转化，再结合已知条件求出的值，最后利用余弦定理求出； （2）根据三角形面积公式求出面积，再将三边相加得到周长. 【小问1详解】 由正弦定理可得，. 将其代入中，得到， 化简可得，整理得. 由，得. 所以，即，解得或（舍去）. 由余弦定理可得： 因为，所以. 【小问2详解】 根据三角形面积公式，可得： 周长. . 16. 已知数列的首项，的前项和为且满足 （1）证明：数列是等差数列； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，结合等差数列的定义证明即可； （2）由（1）可得，再由求出的通项公式，最后利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 证明：因为，即， 所以，又，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列． 【小问2详解】 由（1）可得，所以， 当时， 所以， 当时也成立，所以， 所以， 所以①， ②， ①②得， 则， 所以． 17. 如图，是圆柱上底面圆周上的三个不同的点，为直径，，均为该圆柱的母线． （1）证明：平面平面． （2）若，，，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据母线的性质可得平面，从而得，根据直径得，从而得平面，结合面面垂直的判断可得平面平面； （2）利用向量法可求线面角的正弦值. 【小问1详解】 证明：因为为直径，是上底面圆周上异于的一点，所以． 因为为该圆柱的母线，所以平面，平面， 所以，又，平面． 所以平面． 因为平面，所以平面平面． 【小问2详解】 设点在圆柱下底面的射影为，连接． 以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示． 因为，，所以， 所以， ． 设平面的法向量为， 则，即， 取，得． 由， 得与平面所成角的正弦值为． 18. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）试讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程； （2）将在上单调递增转化为在上恒成立，然后求最值即可； （3）分和两种情况讨论即可. 【小问1详解】 ， 当时，，， 所以在处的切线方程为，整理得. 【小问2详解】 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，在处取得最小值， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 当时，，所以在上单调递增， 当时，令，解得或， 令，解得， 所以在，上单调递增，上单调递减， 综上可得，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，上单调递减. 19. 记抛物线的焦点为，过作直线交于，两点. （1）求的方程； （2）若上仅存在一点使得，求的方程； （3）若以为直径的圆与另交于，两点，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由焦点坐标得到，即可求解； （2）设，，直线，联立抛物线方程，由，结合韦达定理，向量垂直的坐标表示，列出等式即可求解； （3）由题意可知，设，由（2）得到，，结合斜率公式及中点坐标公式即可求解. 【小问1详解】 ，故， 故的方程为. 【小问2详解】 设，，直线， 联立，有，故， 记，由可知， 而，， 故， 而， 故，即，即， 由点唯一知，即， 故的方程为或. 【小问3详解】 由圆的性质：，不妨设， 由（2）可知，是方程的两根，故，， 直线的斜率， 直线的中点为， 而，， 故直线的方程可记作，即， 故直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $