精品解析：江苏省南京市江宁区2025-2026学年八年级上学期10月联考数学试题

2025~2026学年度第一学期练习卷 八年级 数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效！ 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分；在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 2. 如图，有一△ABC，今以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于D点，以C为圆心，AC长为半径画弧，交BC于E点．若∠B=40°，∠C=36°，则关于AD、AE、BE、CD的大小关系，下列何者正确？（ ） A. AD=AE B. AD＜AE C. BE=CD D. BE＜CD 3. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，若，则的长为（　　） A. 3 B. C. 4 D. 6 5. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿沿墙滑动过程中的某个位置，则的长（ ） A. 下滑时，的长度增大 B. 上升时，的长度减小 C. 只要滑动，的长度就变化 D. 无论怎样滑动，的长度不变 7. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 8. 如图所示，D为BC上一点，且AB=AC=BD，则图中∠1与∠2的关系是（　　） A. ∠1=2∠2 B. ∠1+∠2=90° C. ∠1+3∠2=180° D. 3∠1﹣∠2=180° 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知等腰三角形的顶角度数为，则底角的度数为_____． 10. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是______． 11. 如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是______________.（写一种即可） 12. 若一个等腰三角形的周长为10，其中一边长为4，则该等腰三角形的腰长为___________． 13. 直角三角形斜边上的高和中线分别是2和3，则该直角三角形的面积是__________． 14. 如图，在中，，，点为的中点，于点，，则为____________． 15. 如图，中，是的垂直平分线，如果，的周长为8，那么的周长为________． 16. 如图，在中，以O为圆心，为半径画弧，分别交，于点D，B．若，，则____________． 17. 如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的面积为_____________． 18. 在中，是角平分线，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE＝CF，∠D＝∠B，ADBC．求证：DFEB． 20. 如图，在四边形中，，．求证：． 21. 尺规作图，如图，中，． （1）试求作一点P，使得点P到B．C两点的距离相等，并且到两边的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，则的度数为______． 22. 已知：如图，在四边形中，，点E是的中点. （1）求证：是等腰三角形； （2）当_____________时，是等边三角形. 23. 证明：等腰三角形两腰上的高相等． 已知：如图，在中，，_______． 求证：_______． 证明： 24. 如图，在中，点在边上，，且，求证：． 25. 美“逆”的定理：在中，①；②为中点；③． （1）请写出以①②为条件，③为结论的定理的文字语言：_______________； （2）判断以②③为条件，①为结论的命题真假，若为真命题，请给出证明；若为假命题，请画出反例； （3）判断以①③为条件，②为结论的命题真假，若为真命题，请给出证明；若为假命题，请画出反例． 26. 【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据 证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得 ． 【拓展延伸】 （1）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （2）如图4，中，，，点在线段上，，，垂足为，与相交于点．线段与的数量关系为 ．（直接写出） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期练习卷 八年级 数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效！ 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分；在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，无法做成三角形，故A不符合题意； B、，无法做成三角形，故B不符合题意； C、，可以做成三角形，故C符合题意； D、，无法做成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 2. 如图，有一△ABC，今以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于D点，以C为圆心，AC长为半径画弧，交BC于E点．若∠B=40°，∠C=36°，则关于AD、AE、BE、CD的大小关系，下列何者正确？（ ） A. AD=AE B. AD＜AE C. BE=CD D. BE＜CD 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由∠C＜∠B利用大角对大边得到AB＜AC，进一步得到BE+ED＜ED+CD，从而得到BE＜CD． 解：∵∠C＜∠B， ∴AB＜AC， ∵AB=BD，AC=EC， ∴BE+ED＜ED+CD， ∴BE＜CD． 故选D． 点评：考查了三角形的三边关系，解题的关键是正确的理解题意，了解大边对大角． 3. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：D． 4. 如图，，若，则的长为（　　） A. 3 B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等． 根据全等三角形的对应边相等可知，，进而可求解 ． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 5. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有． 根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系逐个判断即可． 【详解】解：A、，不符合三角形的三边关系，不能画出三角形，故本选项不符合题意； B、，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； C、，只有一角一边，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； D、，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意； 故选： D． 6. 如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿沿墙滑动过程中的某个位置，则的长（ ） A. 下滑时，的长度增大 B. 上升时，的长度减小 C. 只要滑动，的长度就变化 D. 无论怎样滑动，的长度不变 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键是熟练掌握以上知识点．根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可． 【详解】解：∵，P为的中点， ∴， 即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变， 故选：D． 7. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 【答案】B 【解析】 【详解】∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所在边的垂直平分线上， ∴同时到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点． 8. 如图所示，D为BC上一点，且AB=AC=BD，则图中∠1与∠2的关系是（　　） A. ∠1=2∠2 B. ∠1+∠2=90° C. ∠1+3∠2=180° D. 3∠1﹣∠2=180° 【答案】D 【解析】 【分析】依据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得到∠1，∠2，∠C之间的关系，由三角形三个内角的和等于180°得到∠1，∠B，∠BAD之间的关系，结合∠B=∠C，∠1=∠BAD，依据等量代换即可解答本题. 【详解】解：∵AB=AC=BD， ∴∠B=∠C，∠1=∠BAD. ∵∠1=∠2+∠C，∠B=180°-∠1-∠BAD=180°-2∠1， ∴∠1-∠2=180°-2∠1， ∴3∠1-∠2=180°. 故选D. 【点睛】本题是与三角形有关的题目，旨在考查学生对等腰三角形的性质、三角形内角和以及外角的性质的掌握情况.在与三角形内角度数有关的题目中，我们经常会想到三角形内角和定理以及外角的性质，而若题中给出了相等线段，且该线段恰好是三角形的两条边，通过会应用“等边对等角”进行解答，希望大家认真体会. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知等腰三角形的顶角度数为，则底角的度数为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，在等腰三角形中，两底角相等，再结合三角形内角定理即可作答． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角的度数为， ∴等腰三角形的底角的度数为， 故答案为：． 10. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是______． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，钉在墙上的方法是构造三角形支架，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 11. 如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是______________.（写一种即可） 【答案】AC=BD或AD=BC(答案不唯一) 【解析】 【详解】∵AC⊥BC，AD⊥BD， ∴∠C=∠D=90°，∵AB=AB， ∴当AC=BD时，可利用HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD， 当AD=BC时，可利用HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD， 故答案为：AC=BD或AD=BC． 12. 若一个等腰三角形的周长为10，其中一边长为4，则该等腰三角形的腰长为___________． 【答案】3或4##4或3 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系；分两种情况讨论：腰长为4、底边为4，先根据每种情况得到三条边长，再根据三角形三边关系判定三角形是否存在即可． 【详解】解：当腰长为4时，，则等腰三角形三边边长分别是4，4，2， ， 此时等腰三角形存在，腰长为4； 当底边为4时，，则等腰三角形三边边长分别是3，3，4， ， 此时等腰三角形存在，腰长为3； 故答案为：3或4． 13. 直角三角形斜边上的高和中线分别是2和3，则该直角三角形的面积是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，三角形面积，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线为3， ∴该直角三角形的斜边长为， 又∵直角三角形斜边上的高为， ∴该直角三角形的面积为， 故答案为：6． 14. 如图，在中，，，点为的中点，于点，，则为____________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三线合一和含的特殊直角三角形的性质，连接 ，利用等边对等角得， 在 中，得，在 中，得，即可求出的长，熟练运用三线合一的性质是解题的关键． 【详解】解：连接 ，如图， ∵，，为的中点， ∴， 平分，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 在 中，，， ∴， 在 中，，， ∴， ∴ ， 故答案为：6． 15. 如图，中，是的垂直平分线，如果，的周长为8，那么的周长为________． 【答案】14 【解析】 【分析】此题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，利用的周长为8得到，由此求出的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵， ∴的周长， 故答案为：14． 16. 如图，在中，以O为圆心，为半径画弧，分别交，于点D，B．若，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角定理；先根据等腰三角形的性质及三角形的外角定理得到，再根据三角形内角和定理求解，最后求出答案即可． 【详解】解：如图，连接， 由题可知， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 17. 如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的面积为_____________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了互余的性质，平角定义，三角形全等的判定和性质，三角形面积公式，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 过点D作交的延长线于点M，证明，根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：过点D作交的延长线于点M，如图， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：8． 18. 在中，是角平分线，，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过点D作，垂足分别为点E，F，设点A到的距离为h，先根据角平分线的性质得到，则利用三角形面积公式得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，垂足分别为点E，F，设点A到的距离为h， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE＝CF，∠D＝∠B，ADBC．求证：DFEB． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明△AFD全等于△CEB，然后依据全等三角形的性质得到∠BEC=∠EFD，最后依据平行线的判定定理进行证明即可． 【详解】解：证明： ∵AE=CF， ∴AF=EC． ∵AD∥BC， ∴∠DAF=∠BCE． 在△AFD和△CEB中， ， ∴△AFD≌△CEB， ∴∠AFD=∠BEC， ∴DF∥EB． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，找出AFD≌△CEB的条件是解题的关键． 20. 如图，在四边形中，，．求证：． 【答案】 证明：如图所示，连接BD， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】如图所示（见详解），连接，根据，可得，再根据，可证，由此即可求证． 【详解】略 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，连接，求证，是等腰三角形，这是解答此题的关键． 21. 尺规作图，如图，中，． （1）试求作一点P，使得点P到B．C两点的距离相等，并且到两边的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，则的度数为______． 【答案】（1）作图见解析；（2）10． 【解析】 【分析】（1）作BC的垂直平分线和∠ABC的平分线，它们的交点为P点； （2）设∠PBC=x，利用角平分线的定义得到∠ABC=2∠PBC=2x，利用线段垂直平分线的性质得到PB=PC，则∠PCB=∠PBC=x，然后根据三角形内角和定理可计算出x的值． 【详解】解：（1）如图，点P为所作； （2）设∠PBC=x， ∵PB平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠PBC=2x， ∵PB=PC， ∴∠PCB=∠PBC=x， ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°， ∴2x+x+50°+100°=180°，解得x=10°． 即∠PBC的度数为10°． 故答案为10． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段的垂直平分线的性质． 22. 已知：如图，在四边形中，，点E是的中点. （1）求证：是等腰三角形； （2）当_____________时，是等边三角形. 【答案】（1） 证明：，点是边的中点， ，， ， 是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，从而得到． （2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出，即可得出，然后根据四边形内角和即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质和判定以及三角形外角的性质等知识，根据题意得出是解题关键． 23. 证明：等腰三角形两腰上的高相等． 已知：如图，在中，，_______． 求证：_______． 证明： 【答案】；， 证明：， ． ， ． 同理，． ． 在和中， ． ． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和全等三角形的性质及判定，利用图形写出已知条件和求证是解答此题的关键． 根据图形写出已知条件和求证，利用全等三角形的判定得出，由全等三角形的性质可得结论． 【详解】略 24. 如图，在中，点在边上，，且，求证：． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】本题考查了主要全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确添加辅助线是解题的关键． 延长至点，使得，证明，再证明，等量代换即可求证． 【详解】证明：延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 25. 美“逆”的定理：在中，①；②为中点；③． （1）请写出以①②为条件，③为结论的定理的文字语言：_______________； （2）判断以②③为条件，①为结论的命题真假，若为真命题，请给出证明；若为假命题，请画出反例； （3）判断以①③为条件，②为结论的命题真假，若为真命题，请给出证明；若为假命题，请画出反例． 【答案】（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （2）真命题，证明见详解 （3）假命题，反例见详解 【解析】 【分析】本题主要考查命题和直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉命题判断， （1）根据命题的要求作答即可； （2）根据已知得，结合等腰三角形的性质得和，再利用三角形内角和定理即可证明； （3）根据已知做出反例即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 【小问2详解】 解：真命题，理由如下， ∵，为中点， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：假命题，反例如下， 如图，在中，，点D在边上，是斜边上的中线，且，但不是斜边上的中线． 26. 【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据 证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得 ． 【拓展延伸】 （1）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （2）如图4，中，，，点在线段上，，，垂足为，与相交于点．线段与的数量关系为 ．（直接写出） 【答案】【问题情境】； 【类比解答】； 【拓展延伸】（1）， 证明：如图，延长与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， 由问题情境可知：， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】问题情境：根据角平分线的定义得到，根据垂直的性质得到，再利用证明即可； 类比解答：延长交于点，由问题情境可知：，得到，再利用三角形外角的性质即可求解； 拓展延伸：（1）延长与交于点，利用证明，得到，由问题情境可知：，则有，即可得出结论；（2）过点作，交的延长线于点，交于点，同理（1）中的方法可证，得到，由问题情境可知：，则有，即可得出结论． 【详解】解：问题情境： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，． 故答案为：； 类比解答： 延长交于点， 由问题情境可知：， ∴， ∵ ∴； 故答案为：； 拓展延伸： （1）略 （2）如图，过点作，交的延长线于点，交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理（1）中的方法可得， ∴， 由问题情境可知：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、角平分线的定义以及平行线的性质，利用角平分线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $