精品解析：广东省清远市清城中学2024-2025学年上学期九年级第一次检测数学试题

清城中学2024-2025学年第一学期 九年级第一次检测数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 下列方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中是成比例线段的是（ ） A. 1，2，3，4 B. 3，5，9，13 C. 1，2，2，4 D. 1，2，2，3 3. 下列命题中不正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 有一个角是直角的菱形是正方形 D. 对角线相等、垂直且平分的四边形是正方形 4. 观察下列表格，一元二次方程的其中一个解的取值范围是（ ） x 0 1 2 3 4 13 30 49 A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为（　　）cm． A. 1 B. 22 C. 55 D. 1010 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 8. 一次排球赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场．设有个球队参加比赛，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，嘉嘉利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为的中点，若，则，的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，E、F分别是，的中点，，交于点G，，的延长线交于点M，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分． 11. 若，则________． 12. 若正方形对角线的长为，则面积为___________． 13. 一种商品经连续两次降价后，价格从原来的100元，降到81元，若两次降价的百分率相同，则这个百分率为____________. 14. 如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，，，且，那么等于___________ 15. 关于x的方程有两个乘积为1的实数根，方程有一个大于0且小于4的实数根，则a的整数值是__________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每题7分，共21分． 16. 解方程： 17. 如图，已知、分别为、上的两点，，，，． （1）求证：． （2）当时，求的长． 18. 关于的一元二次方程，其根的判别式的值为，求的值及这个方程的根． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每题9分，共27分． 19. 如图，四边形是矩形． （1）请用尺规作图法，在矩形的边和上分别找一点E、F使得四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法） （2）已知，．求菱形的面积． 20. 小明在学习了相似以后，尝试用平面镜的反射原理测学校小广场旗杆的高度，如图，是旗杆，是水平地面，是平放在地面的一面平面镜，是眼睛到地面的距离，调整和的位置，通过镜面反射（法线地面，），当眼睛正好在平面镜中看到旗杆顶端时，测出，，． （1）求旗杆的高度； （2）为了减少误差，请提出一个合理化的建议． 21. 某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个． （1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？ （2）在（1）的条件下，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和美数”．例如，是“和美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“和美数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于的“和美数”______；并判断是否为“和美数”______； （2）若二次三项式（x是整数）是“和美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为______； 探究问题： （1）已知“和美数”（x，y是整数）的值为0，则的值为______； （2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“和美数”，试求出符合条件的k值． 拓展结论：已知实数x，y满足，求的最小值是______． 23. 在直角梯形中，，，，，．分别以边所在直线为轴、轴建立如图1所示的平面直角坐标系． （1）求点的坐标； （2）已知分别为线段上的点，，直线交轴于点，求直线的解析式； （3）点是（2）中直线上的一个动点，在轴上方的平面内是否存在另一个点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 清城中学2024-2025学年第一学期 九年级第一次检测数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 下列方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的； B、，满足一元二次方程的定义，故该选项是正确的； C、不是整式方程，则不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的； D、，含有一个未知数x，未知数的最高次数是1，故该选项是错误的； 故选：B． 2. 下列各组线段中是成比例线段的是（ ） A. 1，2，3，4 B. 3，5，9，13 C. 1，2，2，4 D. 1，2，2，3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了成立比例的线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．． 根据定义对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：∵， ∴， A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C； 3. 下列命题中不正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 有一个角是直角的菱形是正方形 D. 对角线相等、垂直且平分的四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形、矩形、正方形的判定定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐一分析各选项的正确性，然后即可求解． 【详解】解：选项A：菱形的判定需满足“一组邻边相等的平行四边形”或“四边相等的四边形”，仅有一组邻边相等的四边形不一定是菱形（例如普通四边形），因此命题错误； 选项B：平行四边形的对角线互相平分，若再满足垂直，则符合菱形的判定条件（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），命题正确； 选项C：菱形的四边相等，若有一个角为直角，则四个角均为直角，符合正方形的定义，命题正确； 选项D：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，而对角线相等的菱形是正方形，故对角线相等、垂直且平分的四边形是正方形，命题正确； 综上，不正确的命题是A； 故选：A． 4. 观察下列表格，一元二次方程的其中一个解的取值范围是（ ） x 0 1 2 3 4 13 30 49 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解.的解是二次函数图象与x轴的交点的横坐标，再利用二次函数的增减性可估算解的范围． 【详解】解：观察表格可得： 当时，， 当时，， 从到的这个过程中图象一定会与x轴的相交， 所以的一个解的范围为． 故选：B． 5. 如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形为平行四边形，然后添加每个选项的条件，根据矩形的判定定理判定即可． 【详解】解：应添加的条件是，理由为： 证明：、、、分别为、、、的中点， ，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， A、添加的条件是时，四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B、添加的条件是，则，所以四边形为矩形，故此选项符合题意； C、添加的条件是，四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； D、添加的条件是， 、、、分别为、、、的中点，且，，，，， ， 则四边形为菱形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了中点四边形，以及平行四边形、矩形、菱形的判定，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键． 6. 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为（　　）cm． A. 1 B. 22 C. 55 D. 1010 【答案】C 【解析】 【分析】利用黄金分割的比值关系进行运算即可． 【详解】解：由黄金分割可得： ∴ 整理得： 解得：，(舍去) 故答案为： 【点睛】本题主要考查了黄金分割的比值关系，熟悉掌握比值关系建立式子是解题的关键． 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似变换的性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：， ， 和是以点为位似中心的位似图形， ，， ，， ， ， 与的面积比为：， 故选：C 8. 一次排球赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场．设有个球队参加比赛，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由传播问题的解法列一元二次方程求解即可得到答案． 【详解】解：设有个球队参加比赛，则， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程解实际应用题，读懂题意，掌握传播问题的求解方法是解决问题的关键． 9. 如图，嘉嘉利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为的中点，若，则，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵D为的中点，， ∴， 故选：A． 10. 如图，在正方形中，E、F分别是，的中点，，交于点G，，的延长线交于点M，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 根据正方形的性质 中点的性质可得，根据全等三角形的性质得到，故①正确；易得，根据垂直的定义得到，故②正确；根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，由是斜边的中线，得到，求得，根据余角的性质得到．故③正确．根据，可得，所以，进而可知④错误． 【详解】解：四边形是正方形， ， E、F分别是，的中点， 在与中， ，故①正确； ，故②正确； 点E是的中点， 是斜边的中线， ，故③正确； 不是等边三角形， ，故④错误； 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分． 11. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质求解即可得到答案 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 12. 若正方形对角线的长为，则面积为___________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和正方形面积的知识，解题的关键在于发现正方形的对角线与边的关系； 本题根据对角线的长，可由勾股定理求出其边长，面积又等于边长边长，通过作图可以使题目更加清晰明了； 【详解】解：如下图所示：下图为对角线的正方形， ， 设正方形的边长为：， 在中，，， 由勾股定理得：， 即， 解得，； ∴该正方形的面积为：． 故答案为：9； 13. 一种商品经连续两次降价后，价格从原来的100元，降到81元，若两次降价的百分率相同，则这个百分率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】设两次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：设两次降价的百分率为，则： 解得：（舍去） 故两次降价的百分率为： 故答案为：． 【点睛】本题考查增长率与一元二次方程．正确理解题意是解题关键． 14. 如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，，，且，那么等于___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据平行线分线段成比例定理的知识，进行解答，即可求解 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 15. 关于x的方程有两个乘积为1的实数根，方程有一个大于0且小于4的实数根，则a的整数值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程根与系数的关系求得m的值，利用因式分解法求得方程的解，根据方程的解的范围求得a的范围是解决本题的关键．先利用两根之积为1与根的判别式求得m的值，把方程化简后，求得其两根，再由方程有一个大于0且小于4的实数根，求得a的整数值． 【详解】解：关于x的方程有两个乘积为1的实数根， 即 ， 解得， ∵方程有两个实根， ∴， 解得， ∴； 则方程就是， 即， 解得， ∵方程有一个大于0且小于4的实数根， ∴得到， 解得 ， ∴a的整数值是． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每题7分，共21分． 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题根据公式法解一元二次方程的知识，进行作答，即可求解． 【详解】解：， ∴，，， ∴， ∴，． 17. 如图，已知、分别为、上的两点，，，，． （1）求证：． （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质和平行线的判定的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）本题先证明，然后求证，然后再根据平行线的判定和三角形的性质，即可证明； （2）根据，可得，然后即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； 18. 关于的一元二次方程，其根的判别式的值为，求的值及这个方程的根． 【答案】m＝－2；，. 【解析】 【分析】根据根的判别式△＝b2−4ac＝9，求得m的值；进而得到原方程，再解方程求出方程的根即可． 【详解】解：由题意得：（2m-1）2−4×m2＝9， 解得m＝－2， 当m＝－2时，原方程为：， 解得：，. 【点睛】本题考查根的判别式以及解一元二次方程，熟知根的判别式△＝b2−4ac是解题关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每题9分，共27分． 19. 如图，四边形是矩形． （1）请用尺规作图法，在矩形的边和上分别找一点E、F使得四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法） （2）已知，．求菱形的面积． 【答案】（1） 菱形即为所求： （2）20 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线分别交边、、于点O、E、F，连接、，则菱形即为所求； （2）根据菱形的性质得到，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，再利用菱形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接，作的垂直平分线分别交边、、于点O、E、F，连接、， 由作图可得，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形为菱形， ∴菱形即为所求； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵菱形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴菱形的面积． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、矩形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 20. 小明在学习了相似以后，尝试用平面镜的反射原理测学校小广场旗杆的高度，如图，是旗杆，是水平地面，是平放在地面的一面平面镜，是眼睛到地面的距离，调整和的位置，通过镜面反射（法线地面，），当眼睛正好在平面镜中看到旗杆顶端时，测出，，． （1）求旗杆的高度； （2）为了减少误差，请提出一个合理化的建议． 【答案】（1） （2）多次测量，求平均值（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）证明，推出，代入有关数据即可求出的长． （2）开放题，答案合理即可； 【小问1详解】 解：由题可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：多次测量，求平均值（答案不唯一）； 21. 某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个． （1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？ （2）在（1）的条件下，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？ 【答案】（1）每个背包售价应不高于55元 （2）42元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设每个背包售价x元，根据“这种背包的月均销量不低于130个，”列出不等式，即可求解； （2）根据“销售利润是3120元”列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设每个背包售价x元， 根据题意，得， 解得， 答：每个背包售价应不高于55元； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：这种背包销售单价为42元时，销售利润是3120元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和美数”．例如，是“和美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“和美数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于的“和美数”______；并判断是否为“和美数”______； （2）若二次三项式（x是整数）是“和美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为______； 探究问题： （1）已知“和美数”（x，y是整数）的值为0，则的值为______； （2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“和美数”，试求出符合条件的k值． 拓展结论：已知实数x，y满足，求的最小值是______． 【答案】解决问题：（1）或或或或或或（写出一个即可）；是；（2）2；探究问题：（1）（2）；拓展结论： 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的形式是解题关键． 解决问题（1）根据题目信息即可求解； （2）根据即可求解； 探究问题（1）根据即可求解； （2）根据即可求解；拓展结论：根据题意可得即可求解； 【详解】解：解决问题（1）： ∵ ∴小于的“和美数”有：或或或或或或（写出一个即可）； ∵， ∴是为“和美数” 故答案为：或或或或或或（写出一个即可）；是； （2）∵ ∴ ∴ 故答案为：2 探究问题（1）： ∵， ∴ ∴ 故答案为： （2）∵， ∴要使S为“和美数”， 则 拓展结论：∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的最小值是 故答案为： 23. 在直角梯形中，，，，，．分别以边所在直线为轴、轴建立如图1所示的平面直角坐标系． （1）求点的坐标； （2）已知分别为线段上的点，，直线交轴于点，求直线的解析式； （3）点是（2）中直线上的一个动点，在轴上方的平面内是否存在另一个点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点的坐标为 （2）直线的解析式为 （3）存在，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）作轴于，则，进而可得的长，在中，由勾股定理可得的长，即可得解； （2）作轴于，则，证明，得出，，从而得出点的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （3）分三种情况：当时，四边形为菱形，作轴于点，则轴；当时，四边形为菱形，延长交轴于点，则轴；当时，四边形为菱形，连接交于点，则与互相垂直平分；结合相似三角形的判定与性质以及勾股定理，分别求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，作轴于，则四边形为矩形， ， ， 在中，， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，作轴于，则， ， ， ， ， ， ， ，， 点的坐标为， 点的坐标为， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为； 【小问3详解】 解：存在， 如图，当时，四边形为菱形，作轴于点，则轴， ， ， 当时，， 解得：， 点的坐标为， ， 在中，， ， ，， 点的坐标为， 点的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形，延长交轴于点，则轴， 点在直线上， 设点的坐标为， 在中，， ， 解得：，（舍去）， 点的坐标为， 点的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形，连接交于点，则与互相垂直平分， ， ， ， ， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、一次函数的应用、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $