第1章三角形训练2025—2026学年苏科版（2024）数学八年级上册

第1章 三角形 训练 一、单选题 1．以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．设a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是（   ） A．11 B．13 C．12或13 D．11或13 3．将一束平行光射向凸透镜，得到如图所示的光路图．已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，如果，那么下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，，点是上一点，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．24 B．30 C．42 D．48 6．如图，在中，，，，．如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是（    ） A． B．5 C． D．6 7．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点D，连接．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．如图，，，由此可得下列哪组三角形全等（　　 ） A． B． C． D．没有三角形全等 9．如图，在三角形纸片中，，，，，平分，于F，则面积为（   ） A．15 B． C．27 D．42 10．如图，等腰直角中，，于D，的平分线分别交、于E、F两点，M为的中点，延长交于点N，连接，，给出下列结论：①；②垂直平分；③是等腰三角形；④；⑤．其中正确的结论有（ ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 11．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长等于 ． 12．如图，，且，E，F是上两点，，．若，，，则的长为 ． 13．如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是上的动点，E是边上一点，若，当取得最小值时，的度数为 ． 14．如图，在三角测平架中，，在的中点处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重垂线正好经过点，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是 ． 15．如图，在中，，首先以顶点B为圆心，适当长为半径作弧，在边上截取；然后分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若，P为边上一动点，则的最小值为 ． 三、解答题 16．如图，已知，点D在边上． (1)求作，使，并满足点E在的延长线上，（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据你的作图方法，说明的理由． 17．如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 18．是等边三角形，D是边端点除外)上一动点，连接． (1)如图1，以为边作等边，连接． ①求证：； ②，F为的中点，连接，当的长取最小值时，求的长． (2)如图2，M是延长线上的点，，N为的中点，连接，，求证：． 19．类比探究∶在中，． 模型建立（1）如图1，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由．小敏认为：可以延长交于点，容易得到与全等，从而解决问题．请你判断线段与的数量关系，并根据她的思路补全证明过程； 模型拓展∶（2）如图2，点在上，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由 20．问题初探 如图①，中，，，点是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 类比再探 如图②，中，，，点是上一点，点是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，则________．（直接写出答案，不写过程） 方法迁移 如图③，是等边三角形，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，则、、之间有怎样的数量关系？答案：________（直接写出答案，不写过程）． 拓展创新 如图④，是等边三角形，点是上一点，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，猜想的度数，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第1章 三角形 训练2025—2026学年苏科版（2024）数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C A A A C A B B 1．B 【分析】本题考查三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意； B、，能构成三角形，故B符合题意； C、，不能构成三角形，故C不符合题意； D、，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了非负数的性质，等腰三角形的性质，三角形三边关系，先根据绝对值非负数的性质求出，，再根据等腰三角形的定义分情况解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， 根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论： （1）当3为底边长时，腰长为5， ∵，能组成三角形， 此时三角形的周长为； （2）当5为底边长时，腰长为3， ∵，能组成三角形， 此时三角形的周长为． 综上可知，此三角形的周长为11或13． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．如图，连接，求出可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形对应边相等、对应角相等判断结论是否成立． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， 不能证明， 故选：A． 5．A 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据平行线的性质，结合，可由判定，进而得到阴影部分的面积与的面积相等，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， ∵在中，，，， ∴阴影部分的面积． 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，垂线段最短，正确进行转化是解题的关键．延长到点，使，连接，过点作于点，连接，，由得到当点重合，且点共线时，最小，即为的长，再由即可求解． 【详解】解：如下图所示，延长到点，使，连接，过点作于点，连接，， ，， 是的垂直平分线，， ∴， ∴， 当点重合，且点共线时，最小，即为的长， ， ， 解得：． 故选：A ． 7．C 【分析】根据基本作图，线段垂直平分线的性质，解答即可． 本题考查了线段垂直平分线的基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是的垂直平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 8．A 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据推出即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 9．B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：平分，，， ， ， 故选：B． 10．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键．根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得，继而可得，，即可判断①③；由M为的中点且可判断②；证明可判断④，证即可判断⑤． 【详解】解：，，， ∴，，， ∴， 平分， ∴， ∴， ∴， ，故①正确；③正确， 为的中点， ∴， ∴垂直平分；故②正确； ，， ，故④错误； ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，故⑤错误， 综上所述：其中正确的结论有①②③，共3个， 故选：B． 11．22 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三边关系，分类讨论，再结合三角形三边关系，最后得出周长，即可作答． 【详解】解：∵等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9， ∴当腰长为4，底边长为9时，则，不符合三角形三边关系，故舍去； ∴当腰长为9，底边长为4时，则，符合三角形三边关系， ∴周长是． 故答案为：22． 12． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，只要证明，可得，，推出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过E作，交于N，连接交于F，连接，推出M为中点，求出E和M关于对称，根据等边三角形性质求出，即可求出答案． 【详解】解：过E作，交于N， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴E和M关于对称， 连接交于F，连接， 此时的值最小， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为． 14．等腰三角形的三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵的中点处挂一重锤， ∴， 又∵， ∴， ∵是重锤所在的直线， ∴是水平的， 这种做法依据的数学原理是：等腰三角形的三线合一． 故答案为：等腰三角形的三线合一． 15． 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质定理等知识，熟记垂线段最短是解题的关键．根据角平分线的性质定理以及垂线段最短解决问题即可． 【详解】解：过点G作于点， 由尺规作图步骤可得，平分， ∵，，， ∴， ∵P为边上一动点， ∴， ∴的最小值为4． 故答案为：4． 16．(1)画图见解析 (2)理由见解析 【分析】本题考查了基本的作图方法及全等三角形的判定，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． （1）根据题意先作，然后截取，以点D为圆心，长为半径截取，即可得出图形； （2）根据作图方法得出，，，即可证明全等． 【详解】（1）解：如图所示即为所求． ； （2）证明：根据作图得：，，， ∴． 17．(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，可得出结论； （2）根据全等三角形的性质求解． 【详解】（1）证明：， ， 即：， 在和中， ， ∴， ； （2）解：， ， ，， ． 18．(1)①见详解；②3 (2)见详解 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识． （1）①由等边三角形的性质得出，，，，证明，由全等三角形的性质得出； ②由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质可得出答案； （2）过点A作交的延长线于点P，连接，，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，，证出是等边三角形，由等边三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）①证明：∵，都是等边三角形， ∴，，，， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∵，F为的中点， ∴， 当时，的长取最小值， 此时，，， ∴； （2）证明：过点A作交的延长线于点P，连接，， ∴， ∵N是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 19．（1），见解析；（2），见解析 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等腰三角形判定及性质． （1）证明，再利用等腰三角形判定及性质即可得到本题答案； （2）过点作交延长线于，交于，再证明，继而得到本题答案； 【详解】解：（1）延长交于点， ， ∵，， ∴，， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴（ASA）， ∴， ∵， ∴； （2）过点作交延长线于，交于， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴； 20．问题初探：，理由见解析；类比再探：；方法迁移：；拓展创新：，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．本题的综合性较强，解题的关键是添加辅助线，构造手拉手全等模型，证明三角形全等． （1）根据题意可推出，然后利用边角边即可证明，即可推出； （2）过点作交于点，则，同（1）可证：，即可算出； （3）根据题意推出，然后利用边角边即可证明，推出，即可推出； （4）过点作交于点，得到是等边三角形，再证明，得到，根据，即可得解． 【详解】解：（1），理由如下： ， ，即， 在和中， ， ， ； （2）如图所示，过点作交于点， ， ， 在中， ， ， ， ， 同（1）可得：， ， ， 故答案为：； （3）和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （4），理由如下： 如图所示，过点作交于点， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$