专题10 勾股定理实际应用模型（几何模型讲义）数学苏科版2024八年级上册

专题10 勾股定理实际应用模型 勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）；（2）确定要求的线段所在的直角三角形；（3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边,则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边,则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.梯子滑动模型 5 模型2.轮船航行模型 6 模型3.信号站（中转站）选择模型 8 模型4.台风（噪音）、爆破模型 10 模型5.超速模型 13 模型6.风吹莲动模型 14 模型7.折竹抵地模型 15 模型8.台阶上的地毯长度模型 17 模型.8不规则图形面积模型 19 23 勾股定理的实际应用模型源于工程（实际）测量，这些模型均基于直角三角形三边关系，通过数学抽象将实际问题转化为几何计算，体现了从具体测量到理论验证的完整应用链条。 （2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） (1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； （24-25八年级下·广东广州·期中）如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里．求：(1)两船分别航行了多少海里？(2)“小蛮腰号”的航行方向． 模型1）梯子滑动模型 模型背景：梯子滑动、绳子移动等。 解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。 梯子滑动模型解题步骤：（1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；（2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；（3）两者相减即可求出梯子在墙上或地面上滑动的距离。 模型2）轮船航行模型 模型背景：轮船航行等。解题关键：轮船航行模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。 航行模型解题步骤：（1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；（2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长；（3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。 模型3）信号站（中转站）选择模型 相关模型背景：信号塔、中转站等。 解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。 信号塔、中转站模型解题步骤：（1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长；（2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长；（3）根据斜边长相等建立方程求解。 模型4）台风（噪音）、爆破模型 相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。 解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。 台风、爆破模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离；（2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较；（3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。 模型5）测超速、河宽模型 相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。 解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。 超速模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算行驶的距离；（2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度； （3）比较实际行驶速度和规定速度。 模型6）风吹莲动模型 相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。 解题关键：“莲花”高度为不变量。 风吹莲动模型解题步骤：（1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；（2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。 模型7）折竹抵地模型 相关模型背景：竹子、旗杆（风筝）拉绳等。 解题关键：“竹子”高度为不变量。 折竹抵地模型解题步骤：（1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度； （2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。 模型8）不规则图形面积模型 相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。 解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。 面积模型解题步骤：（1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形；（2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度；（3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形；（4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。 模型1.梯子滑动模型 例1（24-25八年级上·福建三明·阶段练习）如图，一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙．(1)这架云梯的顶端距地面有多高？(2)如果云梯的顶端下滑了，那么它的底部在水平方向也滑动了吗？ 例2（24-25广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，巷子宽米，一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端到地面的距离为米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为米，则的长度为多少？      例3（24-25八年级下·江西宜春·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度；(2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 模型2.轮船航行模型 例1（24-25·广东中山·八年级校联考期中）如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是 nmile． 例2（24-25八年级下·广东·期中）禁渔期的规定对渔业资源的保护起了良好作用．如图，在一次禁渔期间，渔政部门发现一艘渔船正在违规捕鱼，于是派出甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的、两地前去劝阻，后同时到达处．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西．(1)求甲巡逻艇的航行方向；(2)成功劝阻后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？ 例3（24-25江苏八年级期中）南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向以20海里/小时的速度前去拦截．问：经过多少小时，海监执法船恰好在C处成功拦截． 模型3.信号站（中转站）选择模型 例1（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，河岸上、两点相距，、为两村庄，，，垂足分别为、，已知，，现要在河岸上建一水厂向，两村输送自来水，当水厂E建在距A点多少千米处时，水厂到两村的距离相等？并证明你的结论． 例2（24-25·广东八年级课时练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定 例3（24-25八年级下·云南昆明·期中）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．如图，点是自来水管的位置，点和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，两处相距12米，、两处相距16米，、两处相距20米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段、铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段，，铺设3段水管； (1)求证：；(2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 模型4.台风（噪音）、爆破模型 例1（24-25八年级下·内蒙古·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．(1)海港C受台风影响吗？为什么？(2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 例2（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传．(1)求的度数．(2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？(3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 例3（24-25·山西大同·八年级校考阶段练习）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米，（1）出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？（2）当两赛车距点的距离之和为米时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 模型5.测超速、河宽模型 例1（24-25·江苏·八年级专题练习）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现比河宽多10米． (1)求该河的宽度；（两岸可近似看作平行） (2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间． 例2（24-25八年级下·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 模型6.风吹莲动模型 例1（2025·浙江·模拟预测）数学经典著作《九章算术》中有一道著名的“引葭(jiā)赴岸”题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”意思为：如图，有一池塘，底面是边长为一丈(一丈等于十尺)的正方形，池的中央生有一棵芦苇，高出水面一尺，若将芦苇引到池边中点处，正好与岸边齐平，则水深为 尺． 例2（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图1，荡秋千是小朋友非常喜爱的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉得很直，则绳索 m． 例3（24-25八年级下·北京密云·期末）已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是和，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，，则铅笔的长是（    ） A． B． C． D． 模型7.折竹抵地模型 例1（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 例2（24-25八年级上·广东·专题练习）如图，一棵大树在离地面两处折断成了三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（   ） A． B． C． D． 例3（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（）处时而绳索用尽．则木柱长为 尺． 模型.8台阶上的地毯长度模型 例1（24-25八年级下·广东·期中）如图，在高2米，坡角为的楼梯表面铺地毯，地毯的长需（　　）米． A． B．2 C． D． 例2（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 例3（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，李丽参加一期小出探宝节目，她先从点P处登陆小岛，往西走9千米，又往北走6千米，她接着向西走3千米，往南一拐，仅走1千米到达点Q处就找到了宝藏，则登陆点P与藏宝点Q之间的距离是 千米． 模型.9不规则图形面积模型 例1（24-25八年级下·福建厦门·期末）口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升．如图所示，四边形是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桂花园B在A入口的正南方向处，C入口在桂花园B的正东方向处，玫瑰园D与C入口相距，玫瑰园D与A入口相距．求某市口袋公园的面积； 例2（2025八年级上·湖北·专题练习）如下图，某开发区有一块四边形空地，现计划在这块空地上种植草皮，经测量，，，，，．若种植每平方米草皮需要元，则在这块空地上种植草皮共需要多少元？ 例3（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离．(2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用．(3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 3.（24-25八年级下·广西来宾·期末）《九章算术》中有一道“折竹抵地”的问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？其意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，那么折断处离地面的高度是（    ） A．3.6尺 B．3.2尺 C．3尺 D．2.4尺 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图所示，靠墙放着一个梯子，梯子底端B离墙根的距离为3米，现梯子底端B向右滑动1米到了处，梯子顶端A恰好也向下滑动了1米到了处．则梯子的长度是 米． 5．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图是一块长为80米，宽为60米的长方形菜地，王大伯要从A处到C处去，则沿比沿少走（   ） A．20米 B．30米 C．40米 D．50米 6．（24-25八年级下·广东惠州·期末）为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 7．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈（1丈尺），有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为（    ） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 8．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 9．（25-26八年级上·成都·期中）晨光微洒，湖边钓者静心垂钓，如图，已知鱼线没入水中的长度为1.5米，在距离鱼线1.2米（米）的水下1米处（米）有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米／秒的速度向鱼饵游去，则这条鱼到达鱼饵处至少需要（   ） A．6秒 B．6.5秒 C．13秒 D．26秒 10．（24-25八年级下·江西赣州·期末）一只小猫爬楼梯，楼梯斜靠在墙上，楼梯底部距离墙角米（即），由于楼梯滑动，底部滑动了米（即），楼梯的高度为米（即），则楼梯下滑了 米．（即求的长）． 11．（2025·浙江·模拟预测）一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为 ． 12.（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）如图，A市北偏东方向上有一旅游景点M，在A市北偏东方向的公路上向前行800米到C处，测得M位于C的北偏西的方向上，则景点M到公路的距离为 米．（结果保留根号） 13．（24-25八年级上·陕西西安·期末）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图①所示，该零件内有两个小滑块A，B，由一根连杆连接，滑块A，B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图，如图②所示，开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．当滑块A向下滑13厘米至点处时，滑块B滑动到点的位置，则的长为多少厘米？ 14．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在笔直的河边的一侧是一片空旷的草地，牧马人从草地上的A处出发到河边饮马，然后前往草地上的B处．若测得A处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为D）为12米，B处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为E）为28米，且两处相距30米．(1)在图中画出从A到再到B的最短路径，并计算最短路径的长度（保留作图痕迹）； (2)C是河边上D，E两地之间的一个地点，且与D处相距16米，如果从A先到C处饮水，再回到B处，行走路程比（1）中的最短路径长多少？ 15．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米．(1)求公路的长度；(2)若修公路每千米的费用是2000万元，请求出修建公路的总费用． 16．（24-25八年级下·新疆巴音郭楞·期末）某校在一次消防演练中，消防车按如图所示的方式停放，长的云梯需要到高的宿舍楼的点处，其示意图如图，已知云梯的底端到地面的距离是，与宿舍楼的水平距离是．云梯的长度够吗？请说明理由． 17．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．某村有一块三角形空地，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点是边上的一点，过点作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米，求小路的长． 18．（25-26八年级上·湖北·专项）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间；(2)C岛在A港的什么方向？ 19．（24-25八年级下·湖北·阶段练习）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到C的小路，经测量，． (1)求小路的长；(2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点B处，小狗以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A处停止奔跑，现在小狗从点B出发，奔跑t秒后到达小路上的某点，此时小狗与淇淇的距离最近，求t的值． 20．（24-25八年级下·广东惠州·期末）跨学科融合——项目式学习 供水路线设计 背景 在惠州东江流域，有一个依山傍水的传统村落——青溪村（图中点处）．过去，村民们一直依赖河边原有的两个取水点、获取生活用水，且．但由于东江流域季节性洪水冲刷，从村庄到取水点的道路被严重损毁，已无法通行． 测量数据 为保障村民日常用水，青溪村与地理科研团队合作开展“智慧供水”项目，决定在河边新建取水点（、、在一条直线上），并修建一条新路．经地理勘测团队测量，千米，千米，千米． 任务一 最佳路线评估地理团队在进行供水路线规划时，需要确定是否为从村庄到河边的最近路． （）请你结合数学知识，通过计算加以说明：是否为从村庄到河边的最近路？ 任务二 工程成本分析在项目成本核算阶段，施工团队需要了解新路比原路少多少千米，从而估算节省的材料与人力成本． （）请运用数学方法，结合地理实际测量数据，求出新路相比原路缩短多少千米？ 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 勾股定理实际应用模型 勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）；（2）确定要求的线段所在的直角三角形；（3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边,则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边,则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.梯子滑动模型 5 模型2.轮船航行模型 6 模型3.信号站（中转站）选择模型 8 模型4.台风（噪音）、爆破模型 10 模型5.超速模型 13 模型6.风吹莲动模型 14 模型7.折竹抵地模型 15 模型8.台阶上的地毯长度模型 17 模型.8不规则图形面积模型 19 23 勾股定理的实际应用模型源于工程（实际）测量，这些模型均基于直角三角形三边关系，通过数学抽象将实际问题转化为几何计算，体现了从具体测量到理论验证的完整应用链条。 （2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） (1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； 【答案】(1)秋千绳索的长度为尺 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为点B． 设秋千绳索的长度为x尺．由题可知，，，，∴． 在中，由勾股定理得： ∴．解得．答：秋千绳索的长度为尺． （24-25八年级下·广东广州·期中）如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里．求：(1)两船分别航行了多少海里？(2)“小蛮腰号”的航行方向． 【答案】(1)“广州湾号”航行路程为海里；“小蛮腰号”航行路程为海里； (2)“小蛮腰号”的航行方向是南偏东． 【详解】（1）解：∵“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，航行时间为2小时， ∴“广州湾号”航行路程为：海里；“小蛮腰号”航行路程为海里； （2）由（1）得（海里），（海里），∵两船相距26海里，∴（海里）， ∵，，故， 是直角三角形，，∴， “小蛮腰号”的航行方向是南偏东． 模型1）梯子滑动模型 模型背景：梯子滑动、绳子移动等。 解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。 梯子滑动模型解题步骤：（1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；（2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；（3）两者相减即可求出梯子在墙上或地面上滑动的距离。 模型2）轮船航行模型 模型背景：轮船航行等。解题关键：轮船航行模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。 航行模型解题步骤：（1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；（2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长；（3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。 模型3）信号站（中转站）选择模型 相关模型背景：信号塔、中转站等。 解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。 信号塔、中转站模型解题步骤：（1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长；（2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长；（3）根据斜边长相等建立方程求解。 模型4）台风（噪音）、爆破模型 相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。 解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。 台风、爆破模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离；（2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较；（3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。 模型5）测超速、河宽模型 相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。 解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。 超速模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算行驶的距离；（2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度； （3）比较实际行驶速度和规定速度。 模型6）风吹莲动模型 相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。 解题关键：“莲花”高度为不变量。 风吹莲动模型解题步骤：（1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；（2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。 模型7）折竹抵地模型 相关模型背景：竹子、旗杆（风筝）拉绳等。 解题关键：“竹子”高度为不变量。 折竹抵地模型解题步骤：（1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度； （2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。 模型8）不规则图形面积模型 相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。 解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。 面积模型解题步骤：（1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形；（2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度；（3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形；（4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。 模型1.梯子滑动模型 例1（24-25八年级上·福建三明·阶段练习）如图，一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙．(1)这架云梯的顶端距地面有多高？(2)如果云梯的顶端下滑了，那么它的底部在水平方向也滑动了吗？ 【答案】(1)(2)不是，滑动了 【详解】（1）解：由题意和勾股定理，得：这架云梯的顶端距地面的高度为； 答：这架云梯的顶端距地面有； （2）云梯的顶端下滑了，则：此时云梯的顶端距地面的高度为， ∴此时云梯底端离墙，∴它的底部在水平方向滑动了； 故它的底部在水平方向滑动了． 例2（24-25广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，巷子宽米，一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端到地面的距离为米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为米，则的长度为多少？      【答案】的长度为米． 【详解】解：根据勾股定理得，，， ∵，∴，∴，∴， 答：的长度为米． 例3（24-25八年级下·江西宜春·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度；(2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【答案】(1)绳子的总长度为(2)此时物体C升高了 【详解】（1）解：根据题意得． ，，答：绳子的总长度为； （2）解：∵滑块B向左滑动了，即，， 在中，， 由（1）得绳子的总长度为，， ∴物体C升高的高度 答：此时物体C升高了． 模型2.轮船航行模型 例1（24-25·广东中山·八年级校联考期中）如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是 nmile． 【答案】25 【详解】根据题意可知，∴．在中，，， ∴（nmile）．故答案为：25． 例2（24-25八年级下·广东·期中）禁渔期的规定对渔业资源的保护起了良好作用．如图，在一次禁渔期间，渔政部门发现一艘渔船正在违规捕鱼，于是派出甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的、两地前去劝阻，后同时到达处．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西． (1)求甲巡逻艇的航行方向；(2)成功劝阻后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？ 【答案】(1)甲巡逻艇的航行方向为北偏东(2)6.5海里 【详解】（1）解：由题意得：， （海里），（海里）， （海里）， ，是直角三角形， ，，甲的航向为北偏东； （2）解：甲巡逻船航行3分钟的路程为：（海里）， 乙巡逻船航行3分钟的路程为：（海里）， 3分钟后，甲乙两巡逻船相距为：（海里）． 例3（24-25江苏八年级期中）南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向以20海里/小时的速度前去拦截．问：经过多少小时，海监执法船恰好在C处成功拦截． 【答案】 【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D， ∵∠BAC＝75°−30°＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AD＝CD，∴AC＝CD， ∵BCAE，∴∠DBC＝∠BAE＝90°−30°＝60°，∴∠BCD＝30°， ∴BC＝2BD，AD＝CD＝， ∵AD−BD＝AB，∴ 海里，解得：BD＝10 海里， ∴CD＝ 海里，∴AC＝CD （海里）， ∴小时 答：经过小时，海监执法船恰好在C处成功拦截． 模型3.信号站（中转站）选择模型 例1（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，河岸上、两点相距，、为两村庄，，，垂足分别为、，已知，，现要在河岸上建一水厂向，两村输送自来水，当水厂E建在距A点多少千米处时，水厂到两村的距离相等？并证明你的结论． 【答案】站应建在离站处 【详解】解：水厂应建在离点处，即，理由如下： 设，则，在中，，， 在中，，， ，，解得：，故水厂应建在离点处，即． 例2（24-25·广东八年级课时练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km， ∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等， ∴，∴ ， ∴，解得：x＝16，则煤栈E应距A点16km．故选：B． 例3（24-25八年级下·云南昆明·期中）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．如图，点是自来水管的位置，点和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，两处相距12米，、两处相距16米，、两处相距20米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段、铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段，，铺设3段水管； (1)求证：；(2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 【答案】(1)见解析(2)选择八（1）班的方案，理由见解析 【详解】（1）证明：由题意可得：， ∴，∴，即； （2）解：选择八（1）班的方案，理由如下：∵，∴， 则按照八（1）班方案：沿线段、铺设2段水管，需要铺设水管的总长度为； 按照八（2）班方案：沿线段，，铺设3段水管，需要铺设水管的总长度为， ∵，∴从节约水管的角度考虑，应该选择八（1）班的铺设方案． 模型4.台风（噪音）、爆破模型 例1（24-25八年级下·内蒙古·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．(1)海港C受台风影响吗？为什么？(2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析(2) 【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下：如图所示，过点C作于D， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∴，∵，∴海港C受台风影响； （2）解：如图所示，在线段上取两点E、F，使得，连接， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得，∴， ∵台风中心移动的速度为，且，∴台风影响海港C持续的时间有， 答：台风影响海港C持续的时间有． 例2（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传．(1)求的度数．(2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？(3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 【答案】(1)(2)小丽在家能听到广播，计算见解析(3)小丽在家听到广播宣传的时间为14秒 【详解】（1）解：， 又，，是直角三角形，即． （2）解：过点作，垂足为D， 直角三角形，，，解得， 小丽在家能听到广播； （3）解：依题意，，根据勾股定理，， 移动广播车的速度为10米／秒，秒 答：小丽在家听到广播宣传的时间为14秒． 例3（24-25·山西大同·八年级校考阶段练习）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米，（1）出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？（2）当两赛车距点的距离之和为米时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】（1）出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰；（2）当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 【详解】解：(1)出发秒钟时，米，米 米，米米，米（米） 出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰 (2)设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时AC1=20，AB1=15，此时 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 模型5.测超速、河宽模型 例1（24-25·江苏·八年级专题练习）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现比河宽多10米． (1)求该河的宽度；（两岸可近似看作平行） (2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间． 【答案】(1)米(2)航行总时间为67.5秒 【详解】（1）解：设米，则米， 在中，根据勾股定理得：，解得：， 答：河宽240米． （2）解：（秒），（秒），（秒）， 答：航行总时间为67.5秒． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，列出方程是解题的关键． 例2（24-25八年级下·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】这辆小汽车超速了． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理可得：， ∴小汽车的速度为； ∵，∴这辆小汽车超速行驶，答：这辆小汽车超速了． 模型6.风吹莲动模型 例1（2025·浙江·模拟预测）数学经典著作《九章算术》中有一道著名的“引葭(jiā)赴岸”题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”意思为：如图，有一池塘，底面是边长为一丈(一丈等于十尺)的正方形，池的中央生有一棵芦苇，高出水面一尺，若将芦苇引到池边中点处，正好与岸边齐平，则水深为 尺． 【答案】12 【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺，    因为尺，所以尺，在中，， 解之得，∴水深为(尺)．故答案为：12． 例2（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图1，荡秋千是小朋友非常喜爱的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉得很直，则绳索 m． 【答案】10 【详解】解：设，,∴， 由勾股定理得即，解得，∴，故答案为：10． 例3（24-25八年级下·北京密云·期末）已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是和，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，，则铅笔的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设铅笔长度为，由题意得，，解得，， 故铅笔的长为；故选：A． 模型7.折竹抵地模型 例1（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设竹子折断处离地面的高度尺．由题意可得：，故选：C． 例2（24-25八年级上·广东·专题练习）如图，一棵大树在离地面两处折断成了三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点B作于点E，则， ，， 四边形是矩形，， ，， 在中，，， 大树折断前的高度为．故选：D． 例3（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（）处时而绳索用尽．则木柱长为 尺． 【答案】/ 【详解】解：设木柱长为x尺，根据题意得：， 则，解得：，答：木柱长为尺．故答案为：． 例3（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米．(1)求风筝的垂直高度；(2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度为米(2)他应该往回收线米 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得，， 所以，（负值舍去），所以，（米）， 答：风筝的高度为米； （2）解：由题意得，，（米）， （米），他应该往回收线米． 模型.8台阶上的地毯长度模型 例1（24-25八年级下·广东·期中）如图，在高2米，坡角为的楼梯表面铺地毯，地毯的长需（　　）米． A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，在中，，，，∴， ∴，∴．故选C． 例2（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【详解】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 由题意知：大树高为，小树高为，∴，，， 在中，答：小鸟至少飞行米，故选：C． 例3（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，李丽参加一期小出探宝节目，她先从点P处登陆小岛，往西走9千米，又往北走6千米，她接着向西走3千米，往南一拐，仅走1千米到达点Q处就找到了宝藏，则登陆点P与藏宝点Q之间的距离是 千米． 【答案】13 【详解】解：根据题意可知：（千米），（千米），， ∴根据勾股定理得：（千米）， 即登陆点P与藏宝点Q之间的距离是13千米．故答案为：13． 模型.9不规则图形面积模型 例1（24-25八年级下·福建厦门·期末）口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升．如图所示，四边形是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桂花园B在A入口的正南方向处，C入口在桂花园B的正东方向处，玫瑰园D与C入口相距，玫瑰园D与A入口相距．求某市口袋公园的面积； 【答案】 【详解】解：连接． 由题意得，∴．∴． ∵，，∴． 这块地的面积的面积的面积 （）． 例2（2025八年级上·湖北·专题练习）如下图，某开发区有一块四边形空地，现计划在这块空地上种植草皮，经测量，，，，，．若种植每平方米草皮需要元，则在这块空地上种植草皮共需要多少元？ 【答案】（元） 【详解】解：如下图所示，连接， ，为直角三角形， ，，，， ，，，为直角三角形，且， 这块空地的面积为， 在这块空地上种植草皮共需要元． 例3（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离．(2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用．(3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)A，C (2)建造绿化地的费用为11400元 (3)方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元 【详解】（1）解：连接，施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵∴，∴， 即当测量A，C两点之间的距离为∴满足勾股逆定理得；∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，，∴，∴， ∴，∴ ∴四边形的面积，∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵，∴ ∵，∴，∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵∴铺设管道所需的最少费用为700元． 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据图中数据，由勾股定理可得：． ∴该河流的宽度为．故选：C． 2．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【答案】D 【详解】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时， 在中，，，∴， 在中，，，∴， ∴，时，即A市经过个小时开始受到台风影响．故选：D 3.（24-25八年级下·广西来宾·期末）《九章算术》中有一道“折竹抵地”的问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？其意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，那么折断处离地面的高度是（    ） A．3.6尺 B．3.2尺 C．3尺 D．2.4尺 【答案】B 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：．解得：，折断处离地面的高度为3.2尺，故选：B． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图所示，靠墙放着一个梯子，梯子底端B离墙根的距离为3米，现梯子底端B向右滑动1米到了处，梯子顶端A恰好也向下滑动了1米到了处．则梯子的长度是 米． 【答案】5 【详解】解：，， ∴，得，∴梯子的长AB（米）．故答案为：5． 5．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图是一块长为80米，宽为60米的长方形菜地，王大伯要从A处到C处去，则沿比沿少走（   ） A．20米 B．30米 C．40米 D．50米 【答案】C 【详解】解：连接，∵四边形是长方形，∴（长方形的四个角都是直角）． 沿→的路径长度为已知米，米，∴米． 在中，由勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）得： 代入数值可得：∴米（边长为正数）． 则沿比沿→少走的距离为米．故选：C． 6．（24-25八年级下·广东惠州·期末）为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】A 【详解】解：∵∴，在中，米，米。∴， 米 ，故选：A． 7．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈（1丈尺），有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为（    ） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【答案】D 【详解】解：丈尺，设水深尺，则芦苇长尺， 根据勾股定理得：，解得，芦苇的长度为，故选D． 8．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 【答案】B 【详解】解：当人走到点的位置，头顶与点距离是时，灯刚好自动发光， 作于，则，在中，，    答：身高的学生要走到离墙的地方灯刚好发光．故选：B． 9．（25-26八年级上·成都·期中）晨光微洒，湖边钓者静心垂钓，如图，已知鱼线没入水中的长度为1.5米，在距离鱼线1.2米（米）的水下1米处（米）有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米／秒的速度向鱼饵游去，则这条鱼到达鱼饵处至少需要（   ） A．6秒 B．6.5秒 C．13秒 D．26秒 【答案】B 【详解】解：如图所示：过C点作于点，连接， 由题意可得：米，米， ∴米，∴米， 秒．∴这条鱼至少6.5秒后才能到达鱼饵处．故选：B． 10．（24-25八年级下·江西赣州·期末）一只小猫爬楼梯，楼梯斜靠在墙上，楼梯底部距离墙角米（即），由于楼梯滑动，底部滑动了米（即），楼梯的高度为米（即），则楼梯下滑了 米．（即求的长）． 【答案】 【详解】解：在中，， 在中， ∴米 故答案为：． 11．（2025·浙江·模拟预测）一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点 ∴∴ 由勾股定理可得： 即离门铃米远的地方，门铃恰好自动响起 故答案为：． 12.（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）如图，A市北偏东方向上有一旅游景点M，在A市北偏东方向的公路上向前行800米到C处，测得M位于C的北偏西的方向上，则景点M到公路的距离为 米．（结果保留根号） 【答案】/ 【详解】解：过点C作于点P，如图所示：则， 根据题意可知：米，，，，， ∴，∴，， ∴米，， ∴，∴为等腰直角三角形， ∴米，根据勾股定理得：米，∴米， ∵，∴米． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·陕西西安·期末）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图①所示，该零件内有两个小滑块A，B，由一根连杆连接，滑块A，B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图，如图②所示，开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．当滑块A向下滑13厘米至点处时，滑块B滑动到点的位置，则的长为多少厘米？ 【答案】的长为厘米 【详解】解： ， ∴在中，； ∵，， ∴在中，，． 14．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在笔直的河边的一侧是一片空旷的草地，牧马人从草地上的A处出发到河边饮马，然后前往草地上的B处．若测得A处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为D）为12米，B处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为E）为28米，且两处相距30米．(1)在图中画出从A到再到B的最短路径，并计算最短路径的长度（保留作图痕迹）； (2)C是河边上D，E两地之间的一个地点，且与D处相距16米，如果从A先到C处饮水，再回到B处，行走路程比（1）中的最短路径长多少？ 【答案】(1)见解析，最短路径的长度米(2)米 【详解】（1）解：（1）如图，最短路径为A→P→B． 过点作交的延长线于点T，∵米，米，米， ∴（米），∴（米）， ∴最短路径的长（米）； （2）∵（米），（米）， ∴行走路程比（1）中的最短路径长：米． 15．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米．(1)求公路的长度；(2)若修公路每千米的费用是2000万元，请求出修建公路的总费用． 【答案】(1)公路的长度是千米 (2)修建公路的费用为万元 【详解】（1）解：∵，千米，千米，∴（千米）， ∵千米，∴（千米）．答：公路的长度是千米． （2）解：∵，∴． ∵，∴，∴， ∵千米，千米，千米，∴（千米）． ∴修建公路的费用为（万元）．答：修建公路的费用为万元． 16．（24-25八年级下·新疆巴音郭楞·期末）某校在一次消防演练中，消防车按如图所示的方式停放，长的云梯需要到高的宿舍楼的点处，其示意图如图，已知云梯的底端到地面的距离是，与宿舍楼的水平距离是．云梯的长度够吗？请说明理由． 【答案】云梯的长度足够 【详解】解：如下图所示，连接，，， ，， 在中，， ，云梯的长度足够． 17．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．某村有一块三角形空地，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点是边上的一点，过点作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米，求小路的长． 【答案】小路的长为米 【详解】解：∵，，，∴， ∴，∴， ∵，，∴， ∵，∴，即：， ∴；答：小路的长为米． 18．（25-26八年级上·湖北·专项）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间；(2)C岛在A港的什么方向？ 【答案】(1)(2)北偏西 【详解】（1）解：由题意可知． 在中，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，而，∴轮船从岛沿返回港所需的时间为． （2）解：∵，，∴， ∴，∴，∴岛在港的北偏西方向上． 19．（24-25八年级下·湖北·阶段练习）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到C的小路，经测量，． (1)求小路的长；(2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点B处，小狗以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A处停止奔跑，现在小狗从点B出发，奔跑t秒后到达小路上的某点，此时小狗与淇淇的距离最近，求t的值． 【答案】(1)小路的长为；(2)12秒． 【详解】（1）解：∵， ∴在中， ，∴小路的长为； （2）如图所示：过B作， 当小狗在小路上奔跑，且跑到点H的位置时，小狗与淇淇的距离最近． ∵，∴， 即，∴，则， 即，， ∵由题意可得：，则， 当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑12秒与淇淇的距离最近． 20．（24-25八年级下·广东惠州·期末）跨学科融合——项目式学习 供水路线设计 背景 在惠州东江流域，有一个依山傍水的传统村落——青溪村（图中点处）．过去，村民们一直依赖河边原有的两个取水点、获取生活用水，且．但由于东江流域季节性洪水冲刷，从村庄到取水点的道路被严重损毁，已无法通行． 测量数据 为保障村民日常用水，青溪村与地理科研团队合作开展“智慧供水”项目，决定在河边新建取水点（、、在一条直线上），并修建一条新路．经地理勘测团队测量，千米，千米，千米． 任务一 最佳路线评估地理团队在进行供水路线规划时，需要确定是否为从村庄到河边的最近路． （）请你结合数学知识，通过计算加以说明：是否为从村庄到河边的最近路？ 任务二 工程成本分析在项目成本核算阶段，施工团队需要了解新路比原路少多少千米，从而估算节省的材料与人力成本． （）请运用数学方法，结合地理实际测量数据，求出新路相比原路缩短多少千米？ 【答案】（）是从村庄到河边的最近路，理由见解析；（）千米 【详解】解：（）是从村庄到河边的最近路，理由如下： 在中，，，∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵垂线段最短，∴是从村庄到河边的最近路； （）设千米，则千米，∴千米， 在中，由勾股定理得：， .∴，解得， ∴千米，∴千米， 答：新路相比原路缩短千米． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $