专题11 等腰（等边）三角形中重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型（几何模型讲义）数学苏科版2024八年级上册

专题11 等腰（等边）三角形中重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型 等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比”、“45°辅助线”、“半个正方形”等角度拓展延伸。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三角形为背景的几何题，有些难度，同时获得一连串等腰直角三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯性”+“思路延展性”，结合常用条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何问题！ 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.等直内接等直模型 5 模型2.等直+高分线模型 10 15 等直内接等直模型主要来源于初中几何教学体系，是等腰直角三角形衍生的重要模型，近年来，一些教育工作者根据几何结构将其命名为等直内接等直模型。该模型通过在等腰直角三角形斜边中点构造新顶点形成嵌套结构，利用中点对称性与直角特性，形成多组线段相等、面积比例关系及特殊角度关系。该模型与“等直角+角分模型”结合后，可扩展至动态旋转问题的快速解题路径，是培养学生几何思维的重要工具。 ‌ （24-25八年级上·河南新乡·期末）如图所示，在中，，是边上的中线，点E是边上一动点（不与A、B重合），连结，过点P作的垂线交于点F，连结．有下列四个结论：①； ②是等腰直角三角形； ③； ④．其中一定正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：∵在中，，是边上的中线， ∴，，， ∴均为等腰直角三角形，，∴，故①正确； ∵，∴，∴， ∵，，∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ∴，故③正确； ∵，∴，当为的中位线时，满足，此时， ∵点E是边上一动点，∴无法确定是否为的中位线， ∴无法判断和的大小关系，故④错误；故选∶B （2025·安徽六安·一模）如图，在等腰直角中，，平分，交于，且于点，边上的中线交于，连接．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：延长，交于点H，连接， ∵为等腰直角三角形，D为中点，∴；∵平分，∴， 又∵，D为中点，∴，∴， ∴，∴，∴，故A选项正确，不符合题意； ∵，∴， 又∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵平分，∴，∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴，故B选项正确，不符合题意； ∵，，∴， ∴，故C选项错误，符合题意； ∵为等腰直角三角形，D为中点，∴垂直平分，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，∴，∴，故D选项正确，不符合题意；故选：C． 1）等直内接等直模型 条件：已知如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P为底边BC的中点，且∠EPF=90°。 结论：①PE=PF；②PEF为等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④； ⑤；⑥。 （注意题干中的条件：∠EPF=90°，可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！） 证明：∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，点是的中点 同理可得：， ，∵AB=AC，∴AE=FB； 又是直角，是等腰直角三角形，同理：易证是等腰直角三角形。 ∴AE+AF=FB+AF=AB，∴。 ，∴SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC，∴。 ∵AE=FB，CE=AF，∠BAC=90°；∴ 2）等直+高分线模型 条件：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点． 结论：①；②；③是等腰三角形；④；⑤． 证明：，，， ，，， ，，，， 在和中，，． 平分，， ∵，，，，， ，，，， ，，， ，是等腰三角形．，，， 平分，点到的距离等于点到的距离，， ∵，∴，∵三角形BDC是等腰直角三角形，∴。 模型1.等直内接等直模型 例1（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，为边中点，，若，则四边形AEDF的面积为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如下图 由题意可得：，， ∴∴∴ ∴故答案为： 例2（2025天津·模拟预测）如图，已知中，，，直角的顶点P是中点，两边分别交于点E、F，当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出下列四个结论：①是等腰三角形；②M为中点时，；③；④和的面积之和等于9，上述结论中始终正确的有（　　）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵，∴是等腰直角三角形， ∵点P为的中点，∴， ∵是直角，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴是等腰三角形，故①正确； ∴，故④正确； ∵随着点E的变化而变化，∴不一定等于，故③错误； ∵M为中点，，∴， ∴，故②正确；故①②④正确，故选：C． 例3（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在等腰直角中，，是斜边的中点，点分别在直角边、上，且，连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴是等腰直角三角形，∴，故①②正确； ∵，∴， ∵，∴，即，故③正确； ∵，∴，∵∴，故④正确；故选：D． 例4（24-25八年级上·河北·期中）如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过O点的射线OM，ON分别交AB，BC于点E，F，且∠EOF=90°，BO，EF交于点P，则下面结论： ①图形中全等的三角形只有三对；②△EOF是等腰直角三角形；③正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；④BE＋BF=OA． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①不正确；图形中全等的三角形有四对：△ABC≌△ADC，△AOB≌△COB，△AOE≌△BOF△BOE≌△COF；理由如下：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∠BAO=∠BCO=45°， 在△ABC和△ADC中， ，∴△ABC≌△ADC（SSS）；∵点O为对角线AC的中点，∴OA=OC， 在△AOB和△COB中， ，∴△AOB≌△COB（SSS）； ∵AB=CB，OA=OC，∠ABC=90°，∴∠AOB=90°，∠OBC=45°，又∵∠EOF=90°，∴∠AOE=∠BOF， 在△AOE和△BOF中， ∴△AOE≌△BOF（ASA）；同理：△BOE≌△COF； ②正确；理由如下：∵△AOE≌△BOF，∴OE=OF，∴△EOF是等腰直角三角形； ③正确．理由如下：∵△AOE≌△BOF， ∴四边形OEBF的面积=△ABO的面积=正方形ABCD的面积； ④正确．理由如下：∵△BOE≌△COF，∴BE=CF，∴BE+BF=CF+BF=BC=AB=OA；故选：C． 例5（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，．将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线于点D、E，如图1，2，3是旋转三角板得到的三种情况． (1)如图1，当点D是的中点时，点E恰为的中点，请写出线段之间的数量关系：_____________； (2)当三角板绕点P旋转至图2所示的位置时，判断线段之间的数量关系，并说明理由； (3)三角板绕点P旋转时，能否成为以为腰的等腰三角形？若能，请直接写出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)（或） (2)，理由见解析 (3)能成为以为腰的等腰三角形，的长为0或或 【详解】（1）解：（或） 理由：根据题意可得， ∵点D是的中点，点E为的中点，点P是的中点， ∴，∴（或） （2）解：． 理由如下：连接． ∵是等腰直角三角形，点P是的中点， ∴，∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中∵，∴， ∴，∴； （3）解：能成为以为腰的等腰三角形， ，， ∵点是斜边的中点，， 当时，此时点 与点 重合，； 当在线段 上时，； 当在 的延长线上，； 综上，能成为以为腰的等腰三角形，的长为0或或． 模型2.等直+高分线模型 例1（24-25八年级上·浙江丽水·期中）已知：如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，则下列说法正确的个数有（   ）    ①   ②  ③  ④  ⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：∵，∴， ∵是边的中点，∴，故①正确； ∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∵是边的中点，∴，∴， ∵平分，∴，∴， ∵，， ∴，∴，故②正确；作于点，如下图，则，    ∴，∴，∴， ∵平分，，，∴，∴，故③错误； ∵，，∴， ∴，∴， 在和中，，∴，∴，故④正确； 连接，如图，∵是等腰直角三角形，是边的中点， ∴垂直平分，∴，∴， ∵，，∴， ∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，故⑤错误．综上所述，说法正确的个数有3个．故选：B． 例2（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，等腰中，于点D，的平分线分别交于E、F两点，M为的中点，的延长线交于点N，连接，下列结论：①；②为等腰三角形；③；④，其中正确结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：，，， ，，，， 平分，，， ，，∴为等腰三角形，故②正确； 又∵M为的中点，∴，故③正确； 在和中，，，故①正确； 在和中，， ，，故④正确；即正确的有4个，故选：D． 例3（24-25八年级·浙江宁波·阶段练习）如图①，在等腰直角三角形BCD中，∠BDC＝90°， BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF．（1）求证：△FBD≌△ACD；（2）延长BF交AC于点E，且BE⊥AC，求证：CE＝BF；（3）在（2）的条件下，H是BC边的中点，连接DH，与BE相交于点G，如图②．试探索CE，GE，BG之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3），理由见解析． 【详解】（1）证明：∵△BCD是等腰直角三角形，且∠BDC＝90°，∴BD＝CD，∠BDC＝∠CDA＝90°． 在△FBD和△ACD中，∴△FBD≌△ACD(SAS)； （2）证明：∵BE⊥AC，∴∠BEA＝∠BEC＝90°.∵BF平分∠DBC，∴∠ABE＝∠CBE， 又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE(ASA)，∴AE＝CE.∴CE＝AC． 由（1）知△FBD≌△ACD，∴BF＝CA，∴CE＝BF； （3）解：．证明如下：如图，连接CG， ∵H是BC边的中点，BD＝CD，∴HD垂直平分BC， ∴BG＝CG(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)． ∵BE⊥AC，∴在Rt△CEG中，，∴． 例4（24-25八年级上·浙江·专题练习）如图，是等腰直角三角形，D是中点，． (1)求证：；(2)若平分，求证：； (3)如图2，若F是中点，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，∴， ∵D为的中点，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴； （2）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴，∴垂直平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 由（1）知，，∴，∴； （3）证明：过点C作，交的延长线于点M， ∵，∴，∴． ∵F为的中点，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， 在中，，∴，∴． 1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，已知在中，，，直角的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F．以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】∵，，∴， ∵P是的中点，∴，，，∴， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴，，故①正确， ∵，∴是等腰直角三角形，故②正确， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，故③正确， 只有当为的中位线时，，故④错误；综上所述：正确的结论有①②③故选：A． 2．（24-25八年级上·重庆渝北·期中）如图，在等腰直角中，点是边上的中点，点为边上的动点，连接，过点作，交于点，连接，，则下列结论错误的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意：为等腰直角三角形，点是的中点， ，平分，且，， ，，， 在和中，，，A正确，不符合题意；， ，，C正确，不符合题意； ，，，， 为等腰直角三角形，点是的中点，，D正确，不符合题意； 无法得出，B错误，符合题意；故选：B． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，是的中点，点在上，点在上，且．下面四个结论中：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）；（4）有最小值，为．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵点是的中点，∴，，，∴， 在和中，，∴， ∴，，故结论（1）正确； ∵，∴，∴， ∴是等腰直角三角形，故结论（2）正确； ∵，∴，∵是的中点，，， ∴， ∴，故结论（3）正确； 当，时，、分别取小值， ∵，∴，此时的值最小， 又∵，∴四边形是矩形，∴，故结论（4）正确； 综上所述，正确的个数是4个．故选：D． 4．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，于点平分，且于点，与相交于点是边的中点，连接与相交于，下列结论：①；②；③；④是等腰三角形．其中正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：中，，∴∴．∴． ∵，，，∴．∴，． ∵，，，∴ 又，，∴． ∴，．∴．故选项①，②正确； ∵，∴．故选项③正确； 中，，H是边的中点，∴．∴． ∵，，∴． ∵，∴．∴． ∴是等腰三角形．故选项④正确；综上可知，①②③④都正确，故选：D． 5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,BM是AC边的中线,作AD⊥BM,垂足为点E,交BC于点D,且AH平分∠BAC交BM于N，交BC于H，连接DM，则下列结论：①∠AMB=∠CMD②HN=HD③BN=AD④∠BNH=∠MDC⑤MC=DC中,正确的有(  )个    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【详解】解：如图，过点C作KC⊥CA交AD的延长线于K．      ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AH平分∠BAC，∴AH⊥BC，BH＝CH，∴AH＝BH＝CH， ∵AD⊥BM，∴∠BHN＝∠AEN＝∠AHD＝90°， ∵∠BNH＝∠ANE，∴∠HBN＝∠DAH，∴△BHN≌△AHD（ASA）， ∴HN＝HD，BN＝AD，∠BNH＝∠ADH＝∠CDK，故②③正确， ∵∠BAM＝∠ACK＝90°，∴∠BAE＋∠CAK＝90°，∵∠BAE＋∠ABM＝90°，∴∠ABM＝∠CAK， ∵AB＝AC，∴△ABM≌△CAK（ASA），∴∠AMB＝∠K，AM＝CK＝CM， ∵∠DCM＝∠DCK＝45°，CD＝CD，∴△CDM≌△CDK（SAS），∴∠CDK＝∠CDM，∠K＝∠CMD， ∴∠AMB＝∠CMD，∠BNH＝∠MDC，故①④正确， 由于条件不足，无法证明MC=DC，故⑤错误，故选B． 6．（24-25八年级上·山西·期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上，且∠DOE=90°，DE交OC于P，下列结论正确的共有（       ） ①图中的全等三角形共有3对；②AD=CE；③∠CDO=∠BEO；④OC=DC+CE；⑤△ABC的面积是四边形DOEC面积的2倍． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：∵在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是AB边上的中点， ∴∠A=∠B=45°，CO=AO=BO，CO⊥AB，∠ACO=∠BCO=45°，∴∠A=∠ECO，∠B=∠DCO，∠COA=∠COB=90°， ∵∠DOE=90°，∴∠AOD=∠COE=90°−∠COD，∠COD=∠BOE=90°−∠COE， 在△COE和△AOD中∠ECO=∠A，CO=AO，∠COE=∠DOA，∴△COE≌△AOD(ASA)， 同理△COD≌△BOE， ∴S△COE=S△AOD，AD=CE，∠CDO=∠BEO，△ABC的面积是四边形DOEC面积的2倍， 在△AOC和△BOC中CO=CO，AC=BC，AO=BO∴△AOC≌△BOC， ∵AD=CE，∴CD+CE=AC，∵∠COA=90°，∴CO<AC，∴OC=DC+CE错误； 即①②③⑤正确，④错误；故选C． ，，④正确； 综上所述，正确的有4个，故选：D． 7．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图1，在中，，，点为边的中点，，将绕点旋转，它的两边分别交、所在直线于点、，有以下4个结论：①；②；③；④如图2，当点、落在、的延长线上时，，在旋转的过程中上述结论一定成立的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：如图，连接DC，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点， ∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°， ∵∠EDF＝90°，∴∠CDE＝∠BDF，在△CDE和△BDF中，，∴△CDE≌△BDF（ASA）， ∴CE＝BF，∠BFD＝∠CED，DE＝DF， ∴∠BFD+∠DFC＝180°＝∠CED+∠DFC， 如图，当点E、F落在AC、CB的延长线上时，连接CD， 同理可证△DEC≌△DFB，∴DE=DF，∠DEC＝∠DFC，故①正确；②错误， 当分别落在上时，∵∠BDC＝90°，∴∠BDF+∠CDF＝∠CDE+∠CDF＝90°， ∴∠EDF＝90°，∴EF2＝DE2+DF2＝2DE2， 当分别落在的延长线上时，同理可得EF2＝DE2+DF2＝2DE2，故③正确； 如图，连接CD，同理可证：△DEC≌△DFB，∠DCE＝∠DBF＝135°， ∴S△DEF＝S△CFE+S△DBC＝S△CFE+S△ABC，∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC．故④正确，故选：D． 8．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在边长一定的等腰直角中，点为斜边的中点，点是边上一动点，过点作，交边于点，在点运动的过程中，关于四边形下列说法正确的是（    ） A．面积不变，周长不变 B．面积不变，周长改变 C．面积改变，周长不变 D．面积改变，周长改变 【答案】B 【详解】∵等腰直角，∴，，连接 ∵点为斜边的中点，∴，∴，，∴， ∵，∴，∴， 又，，∴，∴，， ∴，∴， ∵的边长一定，∴四边形的面积为定值， ∵四边形的周长， ∴四边形的周长随着的变化而变化，故四边形的面积不变，周长改变，故选B． 9．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，平分，与相交于点，交延长线于E，且垂足为是边的中点，连接与相交于点G，则下列结论①；②；③；④；正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵BE⊥AD，∠ACB=90°，∴∠BCE=∠ADE=∠ADB=90°， ∴∠E+∠FAC=90°，∠FAC+∠AFC=90°，∴∠E=∠AFC， ∵AC=BC，∠ACF=∠BCE=90°，∴△ACF≌△BCE（AAS），∴AF=BE，CE=CF，故①正确； ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠EAD，∵∠ADE=∠ADB=90°，AD=AD， ∴△ADE≌△ADB（ASA），∴AB=AC，BD=DE，∴，故②正确， ∵H是边的中点，∴，故③错误； ∵AE=AC+CE，∴，故④正确；∴正确的有3个；故选C． 10．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中， ①；②；③；④． 正确的有（　　）个， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：①，，，， ，，，，， ，，，， ，，，，， ，是等腰直角三角形，，，故①正确； ②由①知，，过点作于，则， ，，点是的中点，， 在与中，，，，，， ，，故②正确； ③由，，设，则，，， ，故③正确； ④如图，，，由①知，，， ，，由①知，，， ，，，， ，，故④错误，正确的有3个，故选：C． 11．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，为斜边的中点，，且在内绕点D转动，分别交边、于点、（点不与点、重合），给出的下面4个结论中正确结论的选项为（   ）（多选题） A． B． C． D．最小值为 【答案】AB 【详解】解：，是等腰直角三角形 点是的中点，， 在和中 是等腰直角三角形，故A正确，符合题意； 在与中 ，故B正确，符合题意； 是等腰直角三角形，当时，最短， 即，故C错误，不符合题意； 当最短时，即最短， 最小值为，故D错误，不符合题意；故选：AB． 12．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，等腰的直角顶点D恰好为等腰底边中点，且点E，F分别在AB，AC上，若，则EF的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：∵三角形为等腰直角三角形，∴, 又∵D为等腰底边的中点，∴当最小时，最小，此时， 又∵，∴，故答案为：. 13．（2024九年级下·湖南长沙·培优）如图，等腰直角中，，平分的延长线于点D，若，则的面积为 ． 【答案】49 【详解】解：如图，过点作，交于点，延长相交于点， 是等腰直角三角形，∴，∴为等腰直角三角形， ，假设，由勾股定理得， ∵平分，∴，，， 由勾股定理得，∵，，， ∴，∴，， ∴，，由勾股定理得 即解得，，∴的面积为，答案：49． 14．（24-25八年级·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点是边的中点，连结与相交于点．（1）说明：；（2）说明：；（3）试探索，,之间的数量关系，并证明你的结论． 【解析】解：（1）∵CD⊥AB∴∠BDF=∠CDA=90  ∠A+∠ACD=90 ∵BE⊥AC∴∠A+∠FBD="90  " ∴∠FBD=∠ACD ∵ ∠BDC="90 " ∴∠DCB= ∴BD="CD " ∴△BDF≌△CDA ∴ (2) ∵平分∴△ABC关于直线BE成轴对称图形 ∴ ∵ ∴ (3) 连结GC ∵∠DCB= ∵CD⊥AB∴△BDC是等腰直角三角形 ∵H是BC的中点  ∴DH是BC的中垂线  ∴CG="BG " ∠EGC=2∠EBC=45 ∵BE⊥AC ∴△GEC是等腰直角三角形 ∴CE=GE=CG即CE=GE=BG 15．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，于点，，，过点作于点，交于点． (1)求线段的长度；(2)连接，求证：；(3)如图，若点为的中点，点为线段延长线上一动点，连接，过点作交线段延长线于点，则的值是否发生改变？如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1)；(2)见解析(3)的值不发生改变，等于．见解析 【详解】（1）解：，，， ，， 在和中，，，； （2）证明：过分别作于点，作于点，如图所示： 在四边形中，，． 在与中，，，． ，，平分，； （3）解：的值不发生改变，等于理由如下：连接，如图所示： ，，为的中点，，， ，，． ，即，． 在和中，，，， ． 16．（2025八年级下·湖北·专题练习）如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点． (1)如图1，若点C的坐标为，且于点H，交于点P．求证：． (2)如图2，若点D为的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，①线段与有什么数量关系？ ②若S表示三角形的面积，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，写出该式子的值． 【答案】(1)见解析(2)①，②不变，4 【详解】（1）证明：∵点A的坐标为，点B的坐标为，∴， ∵，，∴，∵，∴， 在和中，，∴； （2）解：①线段，理由如下：如图2，连接， ∵，，点D为的中点，∴， ∴，，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴； ②式子的值不发生改变，理由如下：， ∵点D为的中点，∴， ∵，∴． 17．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）【情境再现】甲、乙两个含角的等腰直角三角尺如图①放置，则有，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．则有，现将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．AB交HO于E，AC交OG于F，求证：．     【迁移应用】连接BH和AG，如图③，请你证明：． 【拓展延伸】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系． 【答案】情境再现：证明见解析；迁移应用：证明见解析；拓展延伸：；证明见解析 【详解】情境再现：由题意得， 又∵，∴， 在和中，，∴，∴； 迁移应用：∵，∴，， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴； 拓展延伸：猜想：；证明如下：∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 等腰（等边）三角形中重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型 等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比”、“45°辅助线”、“半个正方形”等角度拓展延伸。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三角形为背景的几何题，有些难度，同时获得一连串等腰直角三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯性”+“思路延展性”，结合常用条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何问题！ 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.等直内接等直模型 5 模型2.等直+高分线模型 10 15 等直内接等直模型主要来源于初中几何教学体系，是等腰直角三角形衍生的重要模型，近年来，一些教育工作者根据几何结构将其命名为等直内接等直模型。该模型通过在等腰直角三角形斜边中点构造新顶点形成嵌套结构，利用中点对称性与直角特性，形成多组线段相等、面积比例关系及特殊角度关系。该模型与“等直角+角分模型”结合后，可扩展至动态旋转问题的快速解题路径，是培养学生几何思维的重要工具。 ‌ （24-25八年级上·河南新乡·期末）如图所示，在中，，是边上的中线，点E是边上一动点（不与A、B重合），连结，过点P作的垂线交于点F，连结．有下列四个结论：①； ②是等腰直角三角形； ③； ④．其中一定正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 （2025·安徽六安·一模）如图，在等腰直角中，，平分，交于，且于点，边上的中线交于，连接．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 1）等直内接等直模型 条件：已知如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P为底边BC的中点，且∠EPF=90°。 结论：①PE=PF；②PEF为等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④； ⑤；⑥。 （注意题干中的条件：∠EPF=90°，可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！） 证明：∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，点是的中点 同理可得：， ，∵AB=AC，∴AE=FB； 又是直角，是等腰直角三角形，同理：易证是等腰直角三角形。 ∴AE+AF=FB+AF=AB，∴。 ，∴SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC，∴。 ∵AE=FB，CE=AF，∠BAC=90°；∴ 2）等直+高分线模型 条件：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点． 结论：①；②；③是等腰三角形；④；⑤． 证明：，，， ，，， ，，，， 在和中，，． 平分，， ∵，，，，， ，，，， ，，， ，是等腰三角形．，，， 平分，点到的距离等于点到的距离，， ∵，∴，∵三角形BDC是等腰直角三角形，∴。 模型1.等直内接等直模型 例1（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，为边中点，，若，则四边形AEDF的面积为 ． 例2（2025天津·模拟预测）如图，已知中，，，直角的顶点P是中点，两边分别交于点E、F，当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出下列四个结论：①是等腰三角形；②M为中点时，；③；④和的面积之和等于9，上述结论中始终正确的有（　　）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 例3（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在等腰直角中，，是斜边的中点，点分别在直角边、上，且，连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例4（24-25八年级上·河北·期中）如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过O点的射线OM，ON分别交AB，BC于点E，F，且∠EOF=90°，BO，EF交于点P，则下面结论： ①图形中全等的三角形只有三对；②△EOF是等腰直角三角形；③正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；④BE＋BF=OA． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例5（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，．将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线于点D、E，如图1，2，3是旋转三角板得到的三种情况． (1)如图1，当点D是的中点时，点E恰为的中点，请写出线段之间的数量关系：_____________； (2)当三角板绕点P旋转至图2所示的位置时，判断线段之间的数量关系，并说明理由； (3)三角板绕点P旋转时，能否成为以为腰的等腰三角形？若能，请直接写出的长；若不能，请说明理由． 模型2.等直+高分线模型 例1（24-25八年级上·浙江丽水·期中）已知：如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，则下列说法正确的个数有（   ）    ①   ②  ③  ④  ⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例2（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，等腰中，于点D，的平分线分别交于E、F两点，M为的中点，的延长线交于点N，连接，下列结论：①；②为等腰三角形；③；④，其中正确结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例3（24-25八年级·浙江宁波·阶段练习）如图①，在等腰直角三角形BCD中，∠BDC＝90°， BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF．（1）求证：△FBD≌△ACD；（2）延长BF交AC于点E，且BE⊥AC，求证：CE＝BF；（3）在（2）的条件下，H是BC边的中点，连接DH，与BE相交于点G，如图②．试探索CE，GE，BG之间的数量关系，并证明你的结论． 例4（24-25八年级上·浙江·专题练习）如图，是等腰直角三角形，D是中点，． (1)求证：；(2)若平分，求证：； (3)如图2，若F是中点，求证：． 1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，已知在中，，，直角的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F．以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 2．（24-25八年级上·重庆渝北·期中）如图，在等腰直角中，点是边上的中点，点为边上的动点，连接，过点作，交于点，连接，，则下列结论错误的是(    ) A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，是的中点，点在上，点在上，且．下面四个结论中：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）；（4）有最小值，为．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，于点平分，且于点，与相交于点是边的中点，连接与相交于，下列结论：①；②；③；④是等腰三角形．其中正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,BM是AC边的中线,作AD⊥BM,垂足为点E,交BC于点D,且AH平分∠BAC交BM于N，交BC于H，连接DM，则下列结论：①∠AMB=∠CMD②HN=HD③BN=AD④∠BNH=∠MDC⑤MC=DC中,正确的有(  )个    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．（24-25八年级上·山西·期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上，且∠DOE=90°，DE交OC于P，下列结论正确的共有（       ） ①图中的全等三角形共有3对；②AD=CE；③∠CDO=∠BEO；④OC=DC+CE；⑤△ABC的面积是四边形DOEC面积的2倍． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图1，在中，，，点为边的中点，，将绕点旋转，它的两边分别交、所在直线于点、，有以下4个结论：①；②；③；④如图2，当点、落在、的延长线上时，，在旋转的过程中上述结论一定成立的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 8．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在边长一定的等腰直角中，点为斜边的中点，点是边上一动点，过点作，交边于点，在点运动的过程中，关于四边形下列说法正确的是（    ） A．面积不变，周长不变 B．面积不变，周长改变 C．面积改变，周长不变 D．面积改变，周长改变 9．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，平分，与相交于点，交延长线于E，且垂足为是边的中点，连接与相交于点G，则下列结论①；②；③；④；正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中， ①；②；③；④． 正确的有（　　）个， A．1 B．2 C．3 D．4 11．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，为斜边的中点，，且在内绕点D转动，分别交边、于点、（点不与点、重合），给出的下面4个结论中正确结论的选项为（   ）（多选题） A． B． C． D．最小值为 12．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，等腰的直角顶点D恰好为等腰底边中点，且点E，F分别在AB，AC上，若，则EF的最小值为 ．    13．（2024九年级下·湖南长沙·培优）如图，等腰直角中，，平分的延长线于点D，若，则的面积为 ． 14．（24-25八年级·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点是边的中点，连结与相交于点．（1）说明：；（2）说明：；（3）试探索，,之间的数量关系，并证明你的结论． 15．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，于点，，，过点作于点，交于点． (1)求线段的长度；(2)连接，求证：；(3)如图，若点为的中点，点为线段延长线上一动点，连接，过点作交线段延长线于点，则的值是否发生改变？如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 16．（2025八年级下·湖北·专题练习）如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点． (1)如图1，若点C的坐标为，且于点H，交于点P．求证：． (2)如图2，若点D为的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，①线段与有什么数量关系？ ②若S表示三角形的面积，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，写出该式子的值． 17．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）【情境再现】甲、乙两个含角的等腰直角三角尺如图①放置，则有，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．则有，现将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．AB交HO于E，AC交OG于F，求证：．     【迁移应用】连接BH和AG，如图③，请你证明：． 【拓展延伸】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $