专题08 勾股定理中的翻折模型（几何模型讲义）数学苏科版2024八年级上册

专题08.勾股定理中的翻折模型 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。 1 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 5 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 6 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 9 模型4.三角形翻折之折痕为一个顶角的角平分线模型 11 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 12 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 14 16 翻折模型的历史来源可追溯至古代折纸艺术与几何学发展的结合，其演变过程主要包含以下关键阶段：工艺技巧→几何实践→数学理论的升华过程，其核心始终围绕‌轴对称变换的数学本质‌与‌现实应用的适应性‌展开。20世纪后，学者将折纸抽象为数学问题，聚焦“轴对称变换”的本质——翻折前后图形全等、对应点连线被对称轴垂直平分等核心性质。 （2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵折叠，，∵四边形是矩形， ，，， ，，在中，， ，解得，=，故答案为：． （2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形，∴， ∵折叠，∴，在中， ∴，∴设，则， ∵折叠，∴，在中，，∴， 解得：，∴，∴的坐标为，故答案为：． 1）矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平分BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平分BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠ACD。 ∴∠B’AC=∠ACD，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 2）矩形翻折之折痕过一个顶点模型：沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平分BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平分BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平分BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 3）矩形翻折之折痕过边上任意两点模型：沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平分BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平分BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平分BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 4）三角形翻折之折痕为一个顶点角平分线翻折模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 5）三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 6）三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 模型4-6中的直角三角形翻折与矩形的翻折的结论和证明类似，故不再重复讲述。 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 例1（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形沿折叠，使点落在点的位置，与轴相交于点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∵将纸片矩形沿折叠，使点B落在点D的位置，,,， ∵点B的坐标为， ，，设，则， 在中，，解得，∴点E的坐标为，故选：C． 例3（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点F．(1)求证：；(2)若，，求． 【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）证明：长方形沿对角线对折，使落在的位置， ，，又四边形为长方形，，，而， 在与中：； （2）解：∵四边形为长方形，，， ，，设，则，， 在中，，即，解得． 例3（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，将矩形纸片沿对角线对折，点落在点的位置，与相交于点．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，，求．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：由折叠可知， ，，，，是等腰三角形． （2）设，则，， 在中，根据勾股定理有．解得：，的长为， ∴ 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 例1（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，矩形边沿折痕折叠，使点落在上的处，已知，的面积为6，则等于（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，， ∵，∴，即．解得：， 在中，．由翻折的性质可知：，． ∴．设，则． 在中，由勾股定理得：，∴． 解得：，∴．故选：B． 例2（24-25八年级上·江苏·专题练习）如图，在长方形纸片中，，，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：四边形为长方形，，，， 在中，，，， 由折叠的性质得：，，，， 设，则，，， 在中，，，解得：，．故答案为： ． 例3（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况： 当点落在矩形内部时，，如图所示： ∵沿折叠，点落在点处，∴，，， ∴，∴，∴点，，共线， 在中，，，∴，∴， 设，则，，在中，∵，∴， 解得：，∴； ②当点落在边上时，，如图所示： 此时四边形为正方形，∴， 综上所述，的长为或3，故答案为：或； 例4（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）矩形中，，，为边上的一点，沿直线将翻折至（点落到点处）．如图与相交于点，且，则的长为（    ） A．3 B． C．3.6 D． 【答案】D 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，，， 根据折叠的性质，得，，， ∵，∴，∴，， ∴，∴，∴，设， ∴，，， 根据勾股定理，得，解得，故，故选：D． 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 例1（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，则矩形的面积是 ． 【答案】 【详解】解：在矩形中，∵，∴， ∵把矩形沿翻折，点恰好落在边的处， ∴，，，，， 在中，∵∴是等边三角形， 在中，∵，∴，而， ∴，∴，即，∵，，∴， ∴矩形的面积．故答案为：． 例2（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在长方形纸片中，厘米，厘米．现将纸片沿直线折叠，使点与点重合，折痕为．则阴影部分的面积是 平方厘米． 【答案】138 【详解】解：∵四边形是长方形，∴厘米，厘米，， 由折叠可得，，厘米，， ∴，，，∴，∴， ∵在中，由勾股定理有，∴， ∵厘米∴厘米∴厘米，厘米∴厘米， ∴（平方厘米）．故答案为：138 例3（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，矩形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为， 若，， 的长是 ． 【答案】 【详解】解：根据折叠的性质得到，，，， 四边形是矩形，，， ，，．故答案为：． 例4（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点B落在边上的E点处，折痕的一端G点在边上． (1)如图（1），当折痕的另一端F在边上且时，求的长． (2)如图（2），当折痕的另一端F在边上且时，①求证：． ②求的长． 【答案】(1)(2)①见解析；② 【详解】（1）解：∵纸片折叠后顶点B落在边上的E点处，∴， ∵，∴，在中，， 即，解得：； （2）解：①∵纸片折叠后顶点B落在边上的E点处，∴， ∵长方形纸片的边，∴，∴，∴； ②∵纸片折叠后顶点B落在边上的E点处， ∴，，，∴， 在中，，∴． 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 例1（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，，，，点D为上一点，将沿所在直线折叠后，点B的对应点E恰好落在的延长线上，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】D 【详解】解：在中，，，，，， 由折叠的性质可知，，，， 设，则，在中，， ，解得：，故选：D 例2（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在边上的点处，为折痕，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，，∴在中， ∵将折叠，使点恰好落在边上的点处，为折痕， ∴，即，， 则 在中， 即，解得，故选：B 例3（24-25·河南·八年级校联考期末）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于，于， 将沿直线翻折，，，， ，，，，，， ，， ，， ，，，，故答案为：． 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 例1（24-25八年级上·江苏期中）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图折叠，使点A与点B重合，则折痕的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 由折叠可得： 设 则 故选：D． 例2（24-25·上海徐汇·八年级校联考期末）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为_______ 【答案】 【详解】解：连接，延长交于点G，作于点H，如图所示， 由折叠的性质可得：，则为的中垂线，∴， ∵D为中点，∴，∴， ∵，即，∴，即， 在直角三角形中，由勾股定理可得：，∴， ∵，∴，∴，∴．故答案为：． 例3（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知中，为斜边的中点．是直角边上的一点，连接，将沿折叠至交于点，若的面积是面积的一半，则为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接，过作于，∵，，， ∴由勾股定理得，由折叠可得，与全等，    ∵的面积是面积的一半，， ∴的面积是面积的一半，，∴F是的中点，∴ 又∵是的中点，∴，即是的中点， 又∵，∴，∴， 又∵，∴中，，故选：A． 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 例1（24-25八年级下·天津·阶段练习）如图，中，，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【详解】解：设，则，是的中点，， ，中，， 即，解得，，故选：C． 例2（2023·河南商丘·三模）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．小华在边找一点D，在边找一点E，以为轴折叠得到，点C的对应点为点M，小华变换D，E的位置，始终让点M落在上，则当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或． 【详解】解：在中，，，∴； ①当时，如图，由折叠得：， ∴，设，则， 在中，，∴，解得，，即：； ②当时，如图，由折叠得，， ∵，∴，又，∴， 设，则，∴, ∵，∴，解得：， 经检验，是原方程的解，∴；综上，的长为或． 例3（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴，∴，∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，，∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：，解得：；∴；故选：A． 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，将一张边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，点落在点处，折痕为，则线段长的平方为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，作交于点， 由四边形是正方形及折叠性知，，，，， 在中，，∵，为的中点， ∴，∴，解得，在中，， 在中，，∴， ∴，解得，，∴，∴， 在中，，故选：B． 2．（24-25九年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形纸片中，，，点E为边上一点，将沿翻折，点A恰好落在边上点F处，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵矩形纸片中，，，将沿翻折， ∴，，； 在中，；∴ 设，在中， ∴解得： ∴ 故选：B． 3．（2024·广东广州·一模）如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点B折叠纸片，使点A落在上的点F处，折痕为．若，则（　　） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【详解】解：设，则，， ∴中，， 又∵，，∴，解得，∴，故选：A． 4．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在长方形中，点在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【详解】解：∵长方形，∴，∴， ∵折叠，∴， ∴，∴，设，则：， 在中，由勾股定理，得：，解得：；∴；故选：C 5．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，若，，则折痕的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过作于，在矩形中，， 设，则，在中，， ，解得，，， ∵在矩形中，，∴，由折叠可知， ，，∵，∴四边形是矩形， ∴，，， ∴在中，，故选：C． 6．（24-25八年级下·云南文山·期中）如图，在矩形中，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由折叠的性质可得，设，则， 由长方形的性质可得，在中，由勾股定理得， 则，解得，，，故选：C． 7．（2024·湖北·模拟预测）如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，    （1）当折痕的另一端在边上，且时，则为 ． （2）当折痕的另一端在边上，且时，则为 ． 【答案】 【详解】解：（1）设，，， 长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处， ，，， ，，，故答案为：； （2）连接，如图所示：    折叠，，， 四边形是长方形，，，， ，，，，， ，．故答案为：． 8．（2025·广东东莞·一模）矩形中，沿翻折到，，的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接交于点，连接交于点，连接，如图所示： 四边形为矩形，且，， ，，，，， 在中，由勾股定理得：， ，由折叠的性质可得：，， 由三角形的面积公式得：， ，，， ，，是的垂直平分线，， ，，， 在中， ， ，，即，是直角三角形， 在中，由勾股定理得：，故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如图，中，，现将翻折，使点和点重合，折痕分别交、于点、，那么 ． 【答案】 【详解】解：根据折叠的性质，得，设，则， 根据勾股定理，得，解得，故答案为：． 10．（2025·广东东莞·二模）如图，在矩形ABCD中，，，点E在边上，将四边形沿直线翻折，得到四边形，点B，C的对应点分别为点F，当点D恰好在线段上时，线段的长为 ． 【答案】1.5 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，设，， 由翻折的性质得：，，，，， 在中，由勾股定理得：，， 在中，由勾股定理得：， ，解得：，故答案为： 11．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，三角形纸片中，，，．D是边上一点，连接，把沿翻折，点B恰好落在延长线上的点处，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：由翻折可得为的角平分线，作于点，则， 在中，由勾股定理得， ，，， 又，，．故答案为：． 12．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在长方形纸片中，，，点在上，沿直线折叠长方形纸片，点B落在点F处，连接，当取最小值时，的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴当点F在上，则，此时的值最小， 如图，点F在上，∵四边形是矩形，∴，由折叠得，， ∴，，∴， ∵，，∴，∴， 解得，故答案为：． 13．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，，，，是边上一点，将沿所在直线翻折得到交于当时，则的长为 【答案】 【详解】解：如图，作于H，于M， ∵，，∴，∵，∴，∴， ∵将沿所在直线翻折得到，且， ∴，，∴， ∴，∴．∴， ∴，∴，故答案为：． 14．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，已知在矩形中，，，将这个矩形沿直线折叠，使点C落在边上的点F处，折痕交边于点E，那么等于 度． 【答案】 【详解】解：由折叠可得：，∵，∴， ∵四边形为矩形，∴，在中，， ∴，∴，∴， ∵在中，，，∴， ∴，故答案为：． 15．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）已知，在中，，，，点是边上一点，，交边于点，沿着直线翻折，点落在边上的点处．如图所示，连接，当是等腰三角形时，则的长为 ． 【答案】5或或 【详解】解：由翻折得： 若，则 ∵∴∴ ∵∴ 若∴∴ 若 作辅助线于点，则， ∵∴解得： ∵ ∴∴ ∵∴综上所述，的长为：5或或. 16．（24-25八年级下·四川眉山·期末）如图，点是矩形的边上一点，连结，沿折叠矩形得到，的延长线刚好经过点，若，，则的长是 ． 【答案】/ 【详解】解：在矩形中，，，， 由折叠的性质知：，，，， 在中，，设，则，， 在中，，， 解得：，即，故答案为：． 17．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在直角三角形中，，，，点是边上的一点（不与、重合），连接，将沿折叠，使点落在点处． ①的长为 ；②当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】 6或 【详解】解：（1）在直角三角形中，，，， ，，；故答案为：； （2）∵点D是边上的一点，∴，∴当是直角三角形时，或， ①当时，则， ∵将沿折叠，使点C落在点E处，∴，∴， ②当时，∵将沿折叠，使点C落在点E处， ∴，∴，∴点E在上，如图， ∴，∴， ∵，∴，∴， 综上所述，的长为 6或，故答案为：6或． 18．（24-25七年级下·湖北荆门·期末）按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形， ，第二次折叠，得出，，故答案为：． 19．（24-25·广西·八年级专题练习）已知，如图，在中，是上的中线，如果将沿翻折后，点的对应点，那么的长为__________． 【答案】． 【详解】如图所示，∵，∴BC==8， ∵CD是上的中线，∴CD=BD=AD=5，设DE=x，BE=y， 根据题意，得，，解得x=，y=,∴,故答案为：． 20．（24-25·江苏·八年级专题练习）如图，是的中线，，把沿着直线翻折，点C落在点E的位置，如果，那么线段的长度为 ． 【答案】 【详解】解：连接，是的中线，且沿着直线翻折， ， 是等腰三角形， ， ，为等边三角形， ， 在中，，． 21．（24-25八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，三角形纸片为边上一点，连接，把沿着翻折，得到与交于点，连接交于点，若的面积为2，则点到的距离为 ．    【答案】 【详解】解：，，，    由翻折可知，，，，， ，，，， 设点到的距离为，则有，，故答案为：． 22．（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）【初步感知】（1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】（2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若，，求的长． 【答案】（1）12；（2） 【详解】解：（1）在中，，， ∵，∴，由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：； （2）∵四边形是长方形，，， ∴，，， 由折叠性质得：，，∴，， 在和中，，∴，∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：，∴，解得：，∴． 23．（24-25八年级上·江苏·期末）折叠如图所示的直角三角形纸片，使点C落在上的点处，折痕为 (点D在边上)． (1)用直尺和圆规画出折痕；(不写作法，保留画图痕迹)；(2)若，求折痕的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：在中，，∴， ∵是由沿翻折得到的，∴， ∴．设，则 在中，，∴，即，解得：，即． 在中，． 24．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知在矩形纸片中，，点P在边上，连接．将该纸片沿折叠，使点B落在点E的位置，设与与直线的交点为Q． (1)如图①，当点P与点A重合时，连接．①求的长；②求的长； (2)如图②，当点P与点A不重合时，连接．若为等腰三角形，求的长． 【答案】(1)①5；②； (2)或或4 【详解】（1）解：①由折叠的性质可得， ∵四边形是矩形，∴，， ∴，∴，∴， 设，则，在中，由勾股定理得， ∴，解得，∴； ②如图所示，过点E作于H，由折叠的性质可得， 由（1）得，∴，∵， ∴，∴，∴，∴； （2）解：当时，在中，由勾股定理得，∴； 当时，由折叠的性质可得，， ∴，∴； 当时，在中，∴； 综上所述，的长为或或4． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08.勾股定理中的翻折模型 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。 1 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 5 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 6 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 9 模型4.三角形翻折之折痕为一个顶角的角平分线模型 11 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 12 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 14 16 翻折模型的历史来源可追溯至古代折纸艺术与几何学发展的结合，其演变过程主要包含以下关键阶段：工艺技巧→几何实践→数学理论的升华过程，其核心始终围绕‌轴对称变换的数学本质‌与‌现实应用的适应性‌展开。20世纪后，学者将折纸抽象为数学问题，聚焦“轴对称变换”的本质——翻折前后图形全等、对应点连线被对称轴垂直平分等核心性质。 （2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． （2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    1）矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平分BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平分BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠ACD。 ∴∠B’AC=∠ACD，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 2）矩形翻折之折痕过一个顶点模型：沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平分BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平分BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平分BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 3）矩形翻折之折痕过边上任意两点模型：沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平分BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平分BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平分BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 4）三角形翻折之折痕为一个顶点角平分线翻折模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 5）三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 6）三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 模型4-6中的直角三角形翻折与矩形的翻折的结论和证明类似，故不再重复讲述。 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 例1（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形沿折叠，使点落在点的位置，与轴相交于点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 例3（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点F．(1)求证：；(2)若，，求． 例3（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，将矩形纸片沿对角线对折，点落在点的位置，与相交于点．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，，求．    模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 例1（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，矩形边沿折痕折叠，使点落在上的处，已知，的面积为6，则等于（   ） A．3 B． C． D． 例2（24-25八年级上·江苏·专题练习）如图，在长方形纸片中，，，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长为 ． 例3（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为 ． 例4（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）矩形中，，，为边上的一点，沿直线将翻折至（点落到点处）．如图与相交于点，且，则的长为（    ） A．3 B． C．3.6 D． 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 例1（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，则矩形的面积是 ． 例2（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在长方形纸片中，厘米，厘米．现将纸片沿直线折叠，使点与点重合，折痕为．则阴影部分的面积是 平方厘米． 例3（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，矩形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为， 若，， 的长是 ． 例4（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点B落在边上的E点处，折痕的一端G点在边上． (1)如图（1），当折痕的另一端F在边上且时，求的长． (2)如图（2），当折痕的另一端F在边上且时，①求证：． ②求的长． 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 例1（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，，，，点D为上一点，将沿所在直线折叠后，点B的对应点E恰好落在的延长线上，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D． 例2（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在边上的点处，为折痕，则的长为（ ） A． B． C． D． 例3（24-25·河南·八年级校联考期末）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是 ． 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 例1（24-25八年级上·江苏期中）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图折叠，使点A与点B重合，则折痕的长是（　　） A． B． C． D． 例2（24-25·上海徐汇·八年级校联考期末）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为_______ 例3（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知中，为斜边的中点．是直角边上的一点，连接，将沿折叠至交于点，若的面积是面积的一半，则为（    ） A．2 B．3 C． D． 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 例1（24-25八年级下·天津·阶段练习）如图，中，，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 例2（2023·河南商丘·三模）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．小华在边找一点D，在边找一点E，以为轴折叠得到，点C的对应点为点M，小华变换D，E的位置，始终让点M落在上，则当为直角三角形时，的长为 ． 例3（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，将一张边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，点落在点处，折痕为，则线段长的平方为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形纸片中，，，点E为边上一点，将沿翻折，点A恰好落在边上点F处，则长为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东广州·一模）如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点B折叠纸片，使点A落在上的点F处，折痕为．若，则（　　） A．2 B． C． D．1 4．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在长方形中，点在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 5．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，若，，则折痕的长度为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·云南文山·期中）如图，在矩形中，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·湖北·模拟预测）如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，    （1）当折痕的另一端在边上，且时，则为 ． （2）当折痕的另一端在边上，且时，则为 ． 8．（2025·广东东莞·一模）矩形中，沿翻折到，，的长为 ． 9．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如图，中，，现将翻折，使点和点重合，折痕分别交、于点、，那么 ． 10．（2025·广东东莞·二模）如图，在矩形ABCD中，，，点E在边上，将四边形沿直线翻折，得到四边形，点B，C的对应点分别为点F，当点D恰好在线段上时，线段的长为 ． 11．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，三角形纸片中，，，．D是边上一点，连接，把沿翻折，点B恰好落在延长线上的点处，则的长为 ． 12．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在长方形纸片中，，，点在上，沿直线折叠长方形纸片，点B落在点F处，连接，当取最小值时，的长为 ． 13．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，，，，是边上一点，将沿所在直线翻折得到交于当时，则的长为 14．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，已知在矩形中，，，将这个矩形沿直线折叠，使点C落在边上的点F处，折痕交边于点E，那么等于 度． 15．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）已知，在中，，，，点是边上一点，，交边于点，沿着直线翻折，点落在边上的点处．如图所示，连接，当是等腰三角形时，则的长为 ． 16．（24-25八年级下·四川眉山·期末）如图，点是矩形的边上一点，连结，沿折叠矩形得到，的延长线刚好经过点，若，，则的长是 ． 17．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在直角三角形中，，，，点是边上的一点（不与、重合），连接，将沿折叠，使点落在点处． ①的长为 ；②当是直角三角形时，的长为 ． 18．（24-25七年级下·湖北荆门·期末）按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则 ． 19．（24-25·广西·八年级专题练习）已知，如图，在中，是上的中线，如果将沿翻折后，点的对应点，那么的长为__________． 20．（24-25·江苏·八年级专题练习）如图，是的中线，，把沿着直线翻折，点C落在点E的位置，如果，那么线段的长度为 ． 21．（24-25八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，三角形纸片为边上一点，连接，把沿着翻折，得到与交于点，连接交于点，若的面积为2，则点到的距离为 ．    22．（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）【初步感知】（1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】（2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若，，求的长． 23．（24-25八年级上·江苏·期末）折叠如图所示的直角三角形纸片，使点C落在上的点处，折痕为 (点D在边上)．(1)用直尺和圆规画出折痕；(不写作法，保留画图痕迹)；(2)若，求折痕的长． 24．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知在矩形纸片中，，点P在边上，连接．将该纸片沿折叠，使点B落在点E的位置，设与与直线的交点为Q． (1)如图①，当点P与点A重合时，连接．①求的长；②求的长； (2)如图②，当点P与点A不重合时，连接．若为等腰三角形，求的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $