专题09 赵爽弦图模型与勾股树模型（几何模型讲义）数学苏科版2024八年级上册

专题09 赵爽弦图模型与勾股树模型 弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.弦图模型 6 模型2.勾股树模型 10 14 “弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。弦图被誉为“中国数学界的图腾”，其割补思想、数形结合特性成为中考热点。 勾股树（毕达哥拉斯树）以递归方式构造：从一个正方形出发，在其斜边上构造直角三角形，再以直角边为边长生成新正方形，无限重复后形成树状分形结构。其自相似性既严谨又充满自然美感‌。 赵爽弦图中隐藏勾股树雏形。若将弦图内直角三角形不断分割，可衍生出微型勾股树‌。希腊毕达哥拉斯用几何法证定理，中国赵爽用代数转换，体现东西方思维差异的奇妙共鸣‌。这些模型将抽象数学转化为可触摸的趣味实践，成为跨越千年的“智慧游戏”。 （2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 （2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． （1）内弦图模型： 条件：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH； 证明：∵∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB． 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． 图1 图2 图3 图4 （2）外弦图模型： 条件：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，EFGH是正方形， 结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH； 证明：∵∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF ＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC． 又∵EF ＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE． （3）内外组合型弦图模型： 条件：如图3、4，四边形ABCD、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2S正方形EFGH= S正方形ABCD+S正方形PQMN. 证明：由（1）（2）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用 S△表示他们的面积。 ∵S正方形ABCD=S正方形PQMN+8S△； S正方形EFGH=S正方形PQMN+4S△； ∴S正方形ABCD+S正方形PQMN=S正方形PQMN+8S△+S正方形PQMN=2S正方形PQMN+8S△=2S正方形EFGH 上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式（知二求二）结合考查。 （4）半弦图模型 图5 图6 图7 条件：如图5，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA+GB=AB。 证明：∵EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，∴∠A＝∠B＝∠EFG＝90° ∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠BFG=90°．∴∠AFE＝∠BFG． 又∵EF=FG，∴△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA+GB=BF+AF=AB。 条件：如图6，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA-GB=AB。 证明：同图5证明可得：△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA-GB=BF-AF=AB。 条件：如图7，在Rt △ABE和Rt△BCD中，AB＝BC，AE⊥BD，结论：△ABE≌△BCD；AB-CD=EC。 证明：∵△ABE和△BCD是Rt △，AE⊥BD，∴∠ABE＝∠C＝∠AFB＝90°。 ∴∠A＋∠ABF＝∠ABF＋∠DBC=90°．∴∠A＝∠DBC。 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，∴AB-CD=BC-BE=EC。 上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形，他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字眼就要想到用弦图的相关知识解决问题。 （5）勾股树模型 条件：如图，在直角三角形外，分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形，若分别以两直角边为元素所作图形的面积为S1，S2，以斜边为元素所作的图形的面积为S3。 结论：S1+S2=S3 证明：设图中两直角边为a、b，斜边为c；且a、b、c三边所对应的等边三角形面积分别为S1、S2、S3。 由等边三角形和勾股定理易得：S1的高为：； ∴S1。同理：；。 由题意可得：；∴S1+S2=S3 由于该类模型的证明基本相同，故此只证明等边三角形。除了图中的三类图形，也常考等腰直角三角形。 条件：如图，正方形的边长为a，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，结论：。证明：∵正方形的边长为a，为等腰直角三角形， ∴，，∴．观察，发现规律： ，，，，…， 条件：如图，“勾股树”是以边长为m的正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图， 结论：第n代勾股树中正方形的个数为：；第n代勾股树中所有正方形的面积为：。证明：由题意可知第一代勾股树中正方形有=22-1（个）， 第二代勾股树中正方形有=23-1（个）， 第三代勾股树中正方形有=24-1（个）， 由此推出第n代勾股树中正方形有（个）。 设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，根据勾股定理可得：=m2， ∴第一代勾股树中所有正方形的面积为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为； 第n代勾股树中所有正方形的面积为。 模型1.弦图模型 例1（24-25八年级下·湖北孝感·期中）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼接而成．如图，已知“赵爽弦图”中大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（），下列三个结论：①；②；③．其中正确结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例2（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线裁剪成四个直角三角形，再将裁得的四个直角三角形分别拼成图2和图3，图2中间正方形的面积是13，图3中间正方形的面积是1，则图1中菱形的面积是 ．    例3（24-25八年级下·山西朔州·期末）阅读材料，并完成下列问题． （中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是：．对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明，参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整． 证明：，， ． 又∵正方形的面积＝四个全等直角三角形的面积＋正方形的面积， ∴，整理得，即 ． (1)请将材料中证明过程空缺部分补充完整．(2)根据材料的结论解决问题：如图，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，求的长． 例4（24-25广东·九年级专题练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：①②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是    例5（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图，已知和均是直角三角形，，，于点F． (1)求证：；(2)若点B是的中点，，求的长． 例6（24-25八年级下·重庆九龙坡·开学考试）在中，，，直线l经过点A． (1)如图1，过点B作于点D，过点C作于点E．求证：； (2)如图2，过点B作于点F，连接，已知，，求的面积． 模型2.勾股树模型 例1（24-25八年级下·河北承德·期末）如图，已知直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，以直角三角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形．那么，这四个图形中，直角三角形外，其他几个图形面积分别记作、、． 结论Ⅰ：、、满足只有（4）；结论Ⅱ：∵，∴的有（1）（2）（3）． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，判断正确的是（    ）． A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 例2（24-25·八年级下·广东东莞·阶段练习）如图，正方形的边长为1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为 ．    例3（24-25·八年级下·湖南怀化·期中）如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 例4（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（       ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图1，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（   ） A．56 B．60 C．65 D．75 3．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第13代勾股树中正方形的个数为（    ） A．16382 B．16383 C．16384 D．16385 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出如图的“赵爽弦图”，大正方形是由4个全等的直角三角形和小正方形围成．若H为的中点，正方形的面积为10，则小正方形的面积是（   ） A．1 B． C．2 D． 5．（24-25八年级下·河南商丘·期末）将四个图1中的直角三角形拼成图2中的弦图，若，，则图2中阴影部分的面积为（   ）    A．11 B．12 C．9 D．10 6．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．在正方形两边、分别取点、，使，与交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由4个全等的直角三角形与中间的1个小正方形拼成的一个大正方形．已知图1中的，将其重新拼接后，恰可以拼成如图2所示的平行四边形，则此时对角线的长为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·云南昆明·二模）2002年8月北京第24届国际数学家大会会标是以我国古代的数学家赵爽的弦图为基础设计的，如图，会标由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形．如果图中每个直角三角形的两直角边长分别为4和6，那么大正方形的边长应在（    ） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 9．（2025·浙江温州·二模）“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．如图由两个全等的矩形和矩形，与一个小正方形剪拼成大正方形，点A，B，D在一条直线上，若，则拼补后的正方形边长为（   ） A．5 B．6 C． D． 10．（24-25广西南宁·八年级统考期中）勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究做出过贡献，特别是定理的证明，据说有400余种.如图是希腊著名数学家欧几里得证明这个定理使用的图形.以的三边为边分别向外作三个正方形：正方形、正方形、正方形，再作垂足为G，交于P，连接，.则结论：①，②，③，④.正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（24-25八年级上·贵州·期中）如图，以直角三角形三边为直径的半圆，则他们面积关系正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·浙江金华·二模）如图是由个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若，，则直角的面积为（   ） A．7 B．7.2 C．7.5 D．8 13．（24-25八年级上·河北沧州·期末）在如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的面积为4，按照图①至图③的规律设计图案．图③中所有正方形的面积和为 ． 14．（24-25八年级下·山西晋中·期末）赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2，为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为24，则的面积是 ． 15．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该图形是由四个全等的直角三角形（阴影部分）与中间的空白部分组成．若正方形的边长为5，五边形的面积是36，则图中空白部分的面积是 ． 16．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的而积为 ． 17．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是a，b，则的值为 ．（用含a，b的代数式表示） 18．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论．这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有_______．（填序号） ①方程思想    ②数形结合思想    ③分类讨论思想 19．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成．(1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________；(2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积；(3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 20．（24-25八年级上·广东佛山·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有a，b和c的式子表示三者之间的等量关系）；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） (2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； ②如图7所示，分别以直角三角形两直角边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）则： ①______．②b与c的关系为______，a与d的关系为______． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 赵爽弦图模型与勾股树模型 弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.弦图模型 6 模型2.勾股树模型 10 14 “弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。弦图被誉为“中国数学界的图腾”，其割补思想、数形结合特性成为中考热点。 勾股树（毕达哥拉斯树）以递归方式构造：从一个正方形出发，在其斜边上构造直角三角形，再以直角边为边长生成新正方形，无限重复后形成树状分形结构。其自相似性既严谨又充满自然美感‌。 赵爽弦图中隐藏勾股树雏形。若将弦图内直角三角形不断分割，可衍生出微型勾股树‌。希腊毕达哥拉斯用几何法证定理，中国赵爽用代数转换，体现东西方思维差异的奇妙共鸣‌。这些模型将抽象数学转化为可触摸的趣味实践，成为跨越千年的“智慧游戏”。 （2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 【答案】D 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为， 图1中大正方形的面积是24，， 小正方形的面积是4，，， 图2中最大的正方形的面积；故选：D． （2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 【答案】31 【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， ∴第5个图形中共有个正方形，故答案为：31． （1）内弦图模型： 条件：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH； 证明：∵∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB． 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． 图1 图2 图3 图4 （2）外弦图模型： 条件：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，EFGH是正方形， 结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH； 证明：∵∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF ＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC． 又∵EF ＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE． （3）内外组合型弦图模型： 条件：如图3、4，四边形ABCD、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2S正方形EFGH= S正方形ABCD+S正方形PQMN. 证明：由（1）（2）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用 S△表示他们的面积。 ∵S正方形ABCD=S正方形PQMN+8S△； S正方形EFGH=S正方形PQMN+4S△； ∴S正方形ABCD+S正方形PQMN=S正方形PQMN+8S△+S正方形PQMN=2S正方形PQMN+8S△=2S正方形EFGH 上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式（知二求二）结合考查。 （4）半弦图模型 图5 图6 图7 条件：如图5，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA+GB=AB。 证明：∵EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，∴∠A＝∠B＝∠EFG＝90° ∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠BFG=90°．∴∠AFE＝∠BFG． 又∵EF=FG，∴△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA+GB=BF+AF=AB。 条件：如图6，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA-GB=AB。 证明：同图5证明可得：△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA-GB=BF-AF=AB。 条件：如图7，在Rt △ABE和Rt△BCD中，AB＝BC，AE⊥BD，结论：△ABE≌△BCD；AB-CD=EC。 证明：∵△ABE和△BCD是Rt △，AE⊥BD，∴∠ABE＝∠C＝∠AFB＝90°。 ∴∠A＋∠ABF＝∠ABF＋∠DBC=90°．∴∠A＝∠DBC。 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，∴AB-CD=BC-BE=EC。 上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形，他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字眼就要想到用弦图的相关知识解决问题。 （5）勾股树模型 条件：如图，在直角三角形外，分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形，若分别以两直角边为元素所作图形的面积为S1，S2，以斜边为元素所作的图形的面积为S3。 结论：S1+S2=S3 证明：设图中两直角边为a、b，斜边为c；且a、b、c三边所对应的等边三角形面积分别为S1、S2、S3。 由等边三角形和勾股定理易得：S1的高为：； ∴S1。同理：；。 由题意可得：；∴S1+S2=S3 由于该类模型的证明基本相同，故此只证明等边三角形。除了图中的三类图形，也常考等腰直角三角形。 条件：如图，正方形的边长为a，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，结论：。证明：∵正方形的边长为a，为等腰直角三角形， ∴，，∴．观察，发现规律： ，，，，…， 条件：如图，“勾股树”是以边长为m的正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图， 结论：第n代勾股树中正方形的个数为：；第n代勾股树中所有正方形的面积为：。证明：由题意可知第一代勾股树中正方形有=22-1（个）， 第二代勾股树中正方形有=23-1（个）， 第三代勾股树中正方形有=24-1（个）， 由此推出第n代勾股树中正方形有（个）。 设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，根据勾股定理可得：=m2， ∴第一代勾股树中所有正方形的面积为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为； 第n代勾股树中所有正方形的面积为。 模型1.弦图模型 例1（24-25八年级下·湖北孝感·期中）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼接而成．如图，已知“赵爽弦图”中大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（），下列三个结论：①；②；③．其中正确结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】解：设大正方形的边长为c，根据勾股定理得： ∵大正方形面积为49，∴，故①正确；根据题意得：小正方形的边长为， ∵小正方形面积为4，∴小正方形的边长为，∴，故②正确； ∵大正方形是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼接而成， ∴，故③正确；故选：D 例2（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线裁剪成四个直角三角形，再将裁得的四个直角三角形分别拼成图2和图3，图2中间正方形的面积是13，图3中间正方形的面积是1，则图1中菱形的面积是 ．    【答案】12 【详解】解：根据题意，图1中的菱形，∴，       剪开后是四个全等的直角三角形，拼成了图2的正方形，∵图2中间正方形的面积为， ∴中间正方形的边长为，即菱形的边长为， 设，则，∴图3中，，图1中菱形的面积为， ∴，∴，∴图1中菱形的面积为，故答案为：12 ． 例3（24-25八年级下·山西朔州·期末）阅读材料，并完成下列问题． （中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是：．对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明，参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整． 证明：，， ． 又∵正方形的面积＝四个全等直角三角形的面积＋正方形的面积， ∴，整理得，即 ． (1)请将材料中证明过程空缺部分补充完整．(2)根据材料的结论解决问题：如图，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，求的长． 【答案】(1)；(2)3 【详解】（1）解：∵，，． 又∵正方形的面积＝四个全等直角三角形的面积＋正方形的面积， ∴，整理得，即．故答案为：；． （2）设，则，在矩形中， 由折叠的性质可知，． 在Rt△ABE中，，则，解得，即的长为3． 例4（24-25广东·九年级专题练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：①②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是    【答案】①②③ 【详解】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，，．∴．∴．故①正确； ∵，∴． ∴．∴．故②正确； ∵，，∴．即．∴．∴．故③正确； ∵点A是线段的中点，∴．即．∴． ∴．∴．故④不正确；故答案是①②③． 例5（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图，已知和均是直角三角形，，，于点F． (1)求证：；(2)若点B是的中点，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，∴． ∵，∴，∴．∵，∴． 在和中，∴． （2）解：∵，∴， ∵点B是的中点，∴，∴， 在中，根据勾股定理，得： 例6（24-25八年级下·重庆九龙坡·开学考试）在中，，，直线l经过点A． (1)如图1，过点B作于点D，过点C作于点E．求证：； (2)如图2，过点B作于点F，连接，已知，，求的面积． 【答案】(1)见详解(2)72 【详解】（1）证明：∵，，，， 又，，． 在和中，，，， ，． （2）解：如图，过点C作于点E． ∵，，，， 又，，， 在和中，，， ∵，， ，． 模型2.勾股树模型 例1（24-25八年级下·河北承德·期末）如图，已知直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，以直角三角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形．那么，这四个图形中，直角三角形外，其他几个图形面积分别记作、、． 结论Ⅰ：、、满足只有（4）；结论Ⅱ：∵，∴的有（1）（2）（3）． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，判断正确的是（    ）． A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 【答案】D 【详解】解：直角三角形的三边长分别为、、，， 图1中，，，， 则，，， 同理，图2、图3、图4，都符合结论Ⅰ：， 对于Ⅱ：，但是都符合，故结论Ⅱ错误．故选：D． 例2（24-25·八年级下·广东东莞·阶段练习）如图，正方形的边长为1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为 ．    【答案】 【详解】解：如图， 正方形的边长为1，为等腰直角三角形，，， ∴，∴，．观察，发现规律： ，，，，，．   当时，，故答案为：． 例3（24-25·八年级下·湖南怀化·期中）如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据勾股定理得：正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积， ∵正方形①的面积为64，∴正方形②的面积为， 同理，正方形③的面积为，正方形④的面积为， ∴正方形④的边长为，即第4个正方形的边长．故选：C． 例4（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知第一代勾股树中正方形有（个）， 第二代勾股树中正方形有（个），第三代勾股树中正方形有（个）， 由此推出第五代勾股树中正方形有（个）故选：B． 1．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可得，，，， ∴，，∴四边形是正方形， ∵，，∴，∴，故选：． 2．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图1，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（   ） A．56 B．60 C．65 D．75 【答案】C 【详解】解：如图，由题意可知，，， ，则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的，阴影部分的面积为．故选：C． 3．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第13代勾股树中正方形的个数为（    ） A．16382 B．16383 C．16384 D．16385 【答案】B 【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有（个），第二代勾股树中正方形有（个）， 第三代勾股树中正方形有（个），.....． ∴第13代勾股树中正方形有（个），故选：B． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出如图的“赵爽弦图”，大正方形是由4个全等的直角三角形和小正方形围成．若H为的中点，正方形的面积为10，则小正方形的面积是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，，∵H为的中点，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴小正方形的面积是2，故选：C． 5．（24-25八年级下·河南商丘·期末）将四个图1中的直角三角形拼成图2中的弦图，若，，则图2中阴影部分的面积为（   ）    A．11 B．12 C．9 D．10 【答案】C 【详解】解：，故选：C． 6．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．在正方形两边、分别取点、，使，与交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，过点O作交于点P，连接 ∵∴∵∴设，则∴ ∵∴∵∴∴ ∵四边形是正方形∴∴ 又∵∴∴， ∴点O是正方形的中心∴垂直平分， ∴是等腰直角三角形∴∴ ∴∴∴ ∴．故选：A． 7．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由4个全等的直角三角形与中间的1个小正方形拼成的一个大正方形．已知图1中的，将其重新拼接后，恰可以拼成如图2所示的平行四边形，则此时对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设直角三角形的两直角边长边为、短边为，结合图1和图2可知， 连接,过点G作交的延长线与点M，∵， ∴，∴， 由图可知，，， 则， 故选：． 8．（2025·云南昆明·二模）2002年8月北京第24届国际数学家大会会标是以我国古代的数学家赵爽的弦图为基础设计的，如图，会标由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形．如果图中每个直角三角形的两直角边长分别为4和6，那么大正方形的边长应在（    ） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 【答案】C 【详解】解：∵“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，每个直角三角形的两直角边长分别为4和6．∴中间小正方形边长，中间小正方形面积， ∴直角三角形的面积，∴大正方形的面积，∴大正方形的边长 ∵，故选：C． 9．（2025·浙江温州·二模）“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．如图由两个全等的矩形和矩形，与一个小正方形剪拼成大正方形，点A，B，D在一条直线上，若，则拼补后的正方形边长为（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵矩形和矩形全等，四边形是正方形，∴，，， 又∵，∴，，∴，， ∴正方形的面积为，∴正方形边长为，故选：A． 10．（24-25广西南宁·八年级统考期中）勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究做出过贡献，特别是定理的证明，据说有400余种.如图是希腊著名数学家欧几里得证明这个定理使用的图形.以的三边为边分别向外作三个正方形：正方形、正方形、正方形，再作垂足为G，交于P，连接，.则结论：①，②，③，④.正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：由题意可得，，， ，，， ∵，，故①、②符合题意，正确； 延长至点，过点做垂线，由题意可知四边形为矩形， ，故，，故，③符合题意，正确；   ； 延长至点，过点做垂线，由题意可知四边形为矩形，故， ，，故，④符合题意，正确． 故选：D． 11．（24-25八年级上·贵州·期中）如图，以直角三角形三边为直径的半圆，则他们面积关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c， 则，， ，故选择：C 12．（2025·浙江金华·二模）如图是由个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若，，则直角的面积为（   ） A．7 B．7.2 C．7.5 D．8 【答案】A 【详解】解：设依题意，， ∴∴∴；直角的面积为，故选：A． 13．（24-25八年级上·河北沧州·期末）在如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的面积为4，按照图①至图③的规律设计图案．图③中所有正方形的面积和为 ． 【答案】 【详解】解：最大的正方形的面积为，设最大正方形的边长为，，， 所有的三角形都是等腰直角三角形，设最大等腰直角三角形的腰长为， ，，中等正方形的边长为， 同理可得中等等腰直角三角形的腰长为，最小正方形的边长为， 图③中所有正方形的面积和为，故答案为：． 14．（24-25八年级下·山西晋中·期末）赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2，为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为24，则的面积是 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图，∵点、、分别是、、的中点， ∴，∴， 同理可得：，∴， ∵的面积为24，∴；故答案为：． 15．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该图形是由四个全等的直角三角形（阴影部分）与中间的空白部分组成．若正方形的边长为5，五边形的面积是36，则图中空白部分的面积是 ． 【答案】14 【详解】解：∵正方形的边长为5，∴正方形的面积， ∴两个全等的直角三角形的面积=五边形的面积-正方形的面积， ∴图中空白部分的面积=正方形的面积-两个全等的直角三角形的面积，故答案为：． 16．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的而积为 ． 【答案】6 【详解】解：所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形， ∴，，∴，故答案为：6 ． 17．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是a，b，则的值为 ．（用含a，b的代数式表示） 【答案】 【详解】解：建立如图的数据， 由题意得，，，，，， ∴，故答案为：． 18．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论．这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有_______．（填序号） ①方程思想    ②数形结合思想    ③分类讨论思想 【答案】(1)见解析(2)(3)①② 【详解】（1）证明：观察图形可知或． 所以．整理，得，即； （2）解：因为，所以． 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得，所以，解得； （3）解：在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有①方程思想，②数形结合思想， 故答案为：①②. 19．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成．(1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________；(2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积；(3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：由题可得：，，， ∴，故答案为：； （2）解：设，，由题可得：， ∴，，∴，∴，解：， ∴飞镖状图案的面积为， （3）解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，则：， 由题意得：，，， ∴ ∴，∴，故答案为：． 20．（24-25八年级上·广东佛山·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有a，b和c的式子表示三者之间的等量关系）；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） (2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； ②如图7所示，分别以直角三角形两直角边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）则： ①______．②b与c的关系为______，a与d的关系为______． 【答案】(1)①；②证明见解析(2)①3；②，证明见解析 (3)①；②， 【详解】（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么； ②（以下过程，选择其一解答即可，不必三个皆证．） 若选择图1，证明过程如下： 证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和， 即，化简，得． 若选择图2，证明过程如下： 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和， 即，化简，得． 若选择图3，证明过程如下：证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和， 即，化简，得． （2）①根据题意，在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，由勾股定理，得，∴； 在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c， 则，，，∴， ∵，∴，∴； 在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c， 则，，，（等边三角形面积公式：，a为边长） ∵，，∴，∴； ∴满足的有3个，故答案为：3； ②结论； ，；故答案为：． （3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m， 由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，，， ∴，，，∴故答案为：． ②作于点N，∵，，∴， ∵，，∴，∴，． 同理可证：，，∴b与c的关系为，a与d的关系为．故答案为：，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $