专题15 中点模型（一）（平行线夹中点模型、中垂线模型、三线合一模型）（几何模型讲义）数学苏科版2024八年级上册

专题15 中点模型（一）（平行线夹中点模型、中垂线模型、三线合一模型） 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的前三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.垂直平分线模型 5 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 7 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 10 14 垂直平分线模型和等腰三角形的“三线合一”模型源于垂直平分线定理和等腰三角形的性质定理；垂直平分线定理源于欧几里得《几何原本》中对对称性和等距点的研究，其核心性质与逆定理通过全等三角形证明；等腰三角形的性质定理源于等腰三角形的对称性，其性质在古希腊几何学中已有应用，现代证明通过全等三角形完成。“平行线+中点+对顶角”构造全等模型的核心是通过‌平行线性质‌与‌中点条件‌结合，利用‌对顶角相等‌或‌同位角/内错角相等‌，证明三角形全等。 （2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】解：由作图知，垂直平分，， 的周长， ，，的周长，故选：C． （2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，平分交于点D，，，则的面积为 ． 【答案】15 【详解】解：在中，，平分交于点，，， ，，即的面积为，故答案为：． （24-25七年级下·山东烟台·期末）在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题： (1)如图1，当点E在线段上，是的角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？小颖通过观察、分析、思考，探究出了辅助线的添加方法：延长交于一点．从而很快地解决了问题．请写出本题的证明过程； (2)如图2，当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，若，则 ；（请直接写出结果）； (3)如图3，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程． 【答案】(1)，见解析(2)(3)，见解析 【详解】（1），理由如下：如图1，延长交于点M．，， ，，，，平分，， ，即，，， ，，， 由得． （2）如图2，延长相交于点N， ，，，， ，，，， 又，，，，， 平分，， ，即，，， ，，， 又，．故答案为：6． （3），理由如下：如图3，延长与相交于点G， ，，，， 又，，，平分，， ，，，， ，，， 由得． 1）垂直平分线模型 条件：如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，结论：BE=EC。 证明：∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠CDE=90°，∵D为BC中点，∴BD=CD， ∵DE=DE，∴，∴BE=CE. 2）等腰三角形的“三线合一”模型 条件：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，结论：①AD为BC边上的中线（即BD=CD）；②AD为∠BAC 的角平分线（即∠BAD =∠CAD）；③AD为BC边上的高线（即AD⊥BC）。 证明：我们不妨以①为结论证明，其他情况证明也是类似的证明全等即可。 由题意知：AB=AC，BD=CD，∵AD=AD，∴，∴∠BAD =∠CAD，AD⊥BC。 注意：其中三个结论已知其一便可证明其他两个结论。 3）“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行”构造全等；当然有时候也需要自己构造平行线的辅助线求解。 条件：如图，AB//CD，点E是BC的中点，可延长DE交AB于点F。结论：。 证明：∵AB//CD，∴∠C=∠FBE，∠D=∠BFE， ∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴（AAS）。 模型1.垂直平分线模型 例1（25-26八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N，且分别交于点D，E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵分别垂直平分和， ∴，∴， ∴， ∴，故选：B． 例2（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，，的周长为，则的周长是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：垂直平分，且，，， 的周长为，， ，即， 则的周长是，故选：C． 例3（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，面积是，的垂直平分线分别交，边于、点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接，，，点是边的中点，， ，解得，是线段的垂直平分线，， 当点在上时，最小，最小值为的长， 的最小值为．故答案为：． 例4（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E．(1)求证：；(2)若，求的长 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：连接，   ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∵在和中，， ∴， ∴； （2）解：∵在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 例1（24-25上·河北沧州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，是高，下列结论不正确的是（    ） A．与互余 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是高，∴，∴与互余，正确，故本选项不符合题意； ．∵中，是高，∴，正确，故本选项不符合题意； ．∵中，是高，，∴，正确，故本选项不符合题意；．，无法证明，故本选项符合题意；故选：D． 例2（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，．(1)求证：；(2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接，由题意得：，∵，∴， ∵D为线段的中点，∴． （2）解：∵，∴，∴， ∵，∴． 例3（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，由题意可得， ，点是的中点，，即， 点是的中点，，，故答案为：． 例4（24-25上·重庆·八年级校考期中）如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作．交于点． (1)若，求的度数．(2)求证：． 【答案】(1)(2)见详解 【详解】（1）∵中，，是边上的中点, ，． ，，； （2）∵平分，． ，，，． 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 例1（25-26八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在中，D是上一点，点F是边右侧一点，连接交于点E，，，若，则的长是（    ） A．2 B．3 C．5 D．1 【答案】A 【详解】解：∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴．故选：A． 例2（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，于点于点，点是中点，若，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：延长交于点，如图， ，，， 点是中点，， ，，，， ，，，故答案为： ． 例3（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，，动点在射线上，交于，的平分线交于．则当时， ． 【答案】 【详解】解：延长交于点，∵，∴，∴， ∵平分，∴，∴，∴， ∴，∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，故答案为：． 例4（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）【教材呈现】如图1，平分，．易证是等腰三角形． 【变式探究】（1）如图2，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（2）如图3，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（3）如图4，在四边形中，，E为的中点，且平分，连接，则线段和之间的数量关系为__________． 【答案】（1）重合部分是一个等腰三角形，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）重合部分是一个等腰三角形，理由： ∵在长方形中，，∴， 由折叠性质可得，∴，∴，∴是等腰三角形； （2），理由：如图，∵，∴． ∵平分，∴，∴，∴． ∵，∴．∵平分，∴， ∴，∴，∴； （3），理由：如图，延长、交于点F． ∵，∴， ∵平分，∴，∴，∴． 在和中，，∴，∴． ∵，∴．故答案为：． 1．（25-26八年级上·山西朔州·阶段练习）如图，在中，为边的中点，于点，于点，交的延长线于点．若，则的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【详解】解：，， 为边的中点，，，， ，，又，， ，，，故选：C． 2．（2025·山东日照·一模）如图，在四边形中，，点在上，，点是的中点，且，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：延长交于点，如图： ，，， ，，， ，，，， ，，，， ，，故选：A． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC与点F，，．则AE的长为（    ） A． B．6 C．5 D． 【答案】A 【详解】∵点E是CD的中点∴DE=CE ∵AB⊥BC，AB⊥AD ∴ADBC ∴∠ADE=∠BCE 在△AED与△FEC中∴ ∴∴ ∴在Rt△ABF中， ∴ 故选：A． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，平分，于点，是的中点，则的周长是（　　） A．9 B．10 C．13 D．20 【答案】B 【详解】解：，，是的中点，， ，平分，，点是的中点，且， ，，的周长．故选：B． 5．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，面积是4，的垂直平分线分别交，边于点，．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：连接，∵，点是边的中点，∴， ∴，∴， ∵是线段的垂直平分线，∴点关于直线的对称点为点， ∴当三点共线时，即的长为的最小值， ∴的周长最短，故选：C． 6．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）在等腰三角形中，，D是的中点．若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：，D是的中点， ，．故选：C． 7．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在中，，是边上的高，点E在上，下列结论错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，是边上的高， ∴，，∴垂直平分， ∵点 E 在 上，∴，A、B、C 选项正确； 等腰三角形两底角相等，但不一定是，D 选项错误，故选：D． 8．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，，，点在边上，且．若，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】C 【详解】解：过点A作于点E，设，则， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴，∴．故选：C． 9．（24-25上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接，如图所示： ∵线段，的垂直平分线交于点，∴，，∴， ∵，∴， ∴，∴，即， 在和中，，，， ∴，∴， 设，则，， ∴， ∴在中，，故选：C． 10．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）如图，线段是某小区的一条主干道，计划在绿化区域的点C处安装一个监控装置，对主干道进行监控，已知，，，监控的半径为，路段在监控范围内，路段为监控盲区，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点C作于E， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵监控的半径为，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 在中，由勾股定理，得， ∴，∴．故选：B． 11．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，为的中点，若，，则 ． 【答案】 【详解】，，为的中点，， 在和中，，， ，．故答案为：． 12．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，分别是，的垂直平分线，，分别交边于点、，且的周长为，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵，分别是，的垂直平分线，∴，， ∵的周长为，∴， ∴，即，故答案为：． 13．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在 中，，，， 边的垂直平分线交于点D，交于点E，那么的长为 ． 【答案】6 【详解】解：如图，连接，∵边的垂直平分线交于点D，∴， 又∵∴，∵，，∴， ∴，在中，∴，∴；故答案为：6． 14．（25-26八年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，中，，是边上的中线，求的面积． 【答案】 【详解】解：，是边上的中线， ， ，中， 由勾股定理得：，． 15．（25-26八年级上·江苏·期中）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接．(1)求证：；(2)若的周长为，，求长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：垂直平分，， ，，垂直平分，，； （2）解：的周长为，， ，，，， ． 16．（24-25八年级上·北京·期末）如图2，，为的中点，分别为射线上的点，，线段有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】，理由见详解 【详解】，理由如下，如图所示，延长交于点， ∵，∴，∴，∵点是中点，∴，且， ∴，∴，，∵，即， ∴在，中，，∴， ∴，且，∴． 17．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，点为的中点，，过点分别作、，垂足分别为，，连接，． (1)求证：平分；(2)若，求的度数； 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵点为的中点，，∴， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴点在的角平分线上，∴平分； （2）解：∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴． 18．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图所示，已知在中，为的垂直平分线，交于，交于，求的长． 【答案】 【详解】解：连接， ∵，，∴． ∵是的垂直平分线，∴，∴． ∴．在中，，∴． ∵，∴．∴． 19．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在中，，点D、E分别是线段、的中点，过点A作交的延长线于点F．(1)求证：；(2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：， ∵点E是线段的中点，，； （2）由（1）得，，，， ，点D是线段BC的中点，，， ，，，， ． 20．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，与为偏等积三角形，如图，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点．(1)求证： (2)求的长度． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：与为偏等积三角形，， ，，，，； （2）解：由（1）知，，， ，，，， 的长度为正整数，，． 21．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）【背景问题】老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出可能的长＝______（写一个即可）． 【感悟方法】：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图2，是的中线，交于，交于，． 探究与的关系，并说明理由． 【深入探究】：（3）如图3，，，与互补，连接、，是的中点，求证：． （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积为______． 【答案】（1）3（或5）；（2），理由见详解；（3）见详解；（4）21 【详解】（1）解：∵，∴， 在中，由三边关系可知：，即， ∵边的长度为奇数，∴或5；故答案为3； （2）解：，理由如下：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴，∵，∴； （3）证明：延长至点，使，连接，如图所示： 同理（2）可得：，∴， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴； （4）延长至点，使，连接，如图所示： 由（3）可知：，，， ∴，， ∵，，∴， ∴，即，∴；故答案为21． 22．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）在中，，若点在的平分线所在的直线上．(1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且，①求证：点在的垂直平分线上；②___________； (2)如图2，当点在线段上时，若，，平分，交于点，交于点，过点作，交于点，若，求的长度． 【答案】(1)①见解析；②2(2) 【详解】（1）①证明：连接， ∵点在的平分线所在的直线上，，， ∴，， 在和中，，∴，∴， ∴点在的垂直平分线上； ②在和中，，∴， ∴，∴， ∵，，∴，∴，故答案为：； （2）解：延长交于，∵平分，平分，， ∴，， ∴，∵，∴， ∴，∴，，∴， ∵， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 中点模型（一）（平行线夹中点模型、中垂线模型、三线合一模型） 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的前三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.垂直平分线模型 5 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 7 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 10 14 垂直平分线模型和等腰三角形的“三线合一”模型源于垂直平分线定理和等腰三角形的性质定理；垂直平分线定理源于欧几里得《几何原本》中对对称性和等距点的研究，其核心性质与逆定理通过全等三角形证明；等腰三角形的性质定理源于等腰三角形的对称性，其性质在古希腊几何学中已有应用，现代证明通过全等三角形完成。“平行线+中点+对顶角”构造全等模型的核心是通过‌平行线性质‌与‌中点条件‌结合，利用‌对顶角相等‌或‌同位角/内错角相等‌，证明三角形全等。 （2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 （2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，平分交于点D，，，则的面积为 ． （24-25七年级下·山东烟台·期末）在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题： (1)如图1，当点E在线段上，是的角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？小颖通过观察、分析、思考，探究出了辅助线的添加方法：延长交于一点．从而很快地解决了问题．请写出本题的证明过程； (2)如图2，当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，若，则 ；（请直接写出结果）； (3)如图3，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程． 1）垂直平分线模型 条件：如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，结论：BE=EC。 证明：∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠CDE=90°，∵D为BC中点，∴BD=CD， ∵DE=DE，∴，∴BE=CE. 2）等腰三角形的“三线合一”模型 条件：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，结论：①AD为BC边上的中线（即BD=CD）；②AD为∠BAC 的角平分线（即∠BAD =∠CAD）；③AD为BC边上的高线（即AD⊥BC）。 证明：我们不妨以①为结论证明，其他情况证明也是类似的证明全等即可。 由题意知：AB=AC，BD=CD，∵AD=AD，∴，∴∠BAD =∠CAD，AD⊥BC。 注意：其中三个结论已知其一便可证明其他两个结论。 3）“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行”构造全等；当然有时候也需要自己构造平行线的辅助线求解。 条件：如图，AB//CD，点E是BC的中点，可延长DE交AB于点F。结论：。 证明：∵AB//CD，∴∠C=∠FBE，∠D=∠BFE， ∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴（AAS）。 模型1.垂直平分线模型 例1（25-26八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N，且分别交于点D，E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例2（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，，的周长为，则的周长是（ ） A． B． C． D． 例3（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，面积是，的垂直平分线分别交，边于、点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为 ． 例4（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E．(1)求证：；(2)若，求的长 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 例1（24-25上·河北沧州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，是高，下列结论不正确的是（    ） A．与互余 B． C． D． 例2（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，．(1)求证：；(2)若，求的度数． 例3（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，则的长为 ． 例4（24-25上·重庆·八年级校考期中）如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作．交于点． (1)若，求的度数．(2)求证：． 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 例1（25-26八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在中，D是上一点，点F是边右侧一点，连接交于点E，，，若，则的长是（    ） A．2 B．3 C．5 D．1 例2（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，于点于点，点是中点，若，则的长是 ． 例3（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，，动点在射线上，交于，的平分线交于．则当时， ． 例4（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）【教材呈现】如图1，平分，．易证是等腰三角形． 【变式探究】（1）如图2，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（2）如图3，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（3）如图4，在四边形中，，E为的中点，且平分，连接，则线段和之间的数量关系为__________． 1．（25-26八年级上·山西朔州·阶段练习）如图，在中，为边的中点，于点，于点，交的延长线于点．若，则的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．（2025·山东日照·一模）如图，在四边形中，，点在上，，点是的中点，且，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC与点F，，．则AE的长为（    ） A． B．6 C．5 D． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，平分，于点，是的中点，则的周长是（　　） A．9 B．10 C．13 D．20 5．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，面积是4，的垂直平分线分别交，边于点，．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）在等腰三角形中，，D是的中点．若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在中，，是边上的高，点E在上，下列结论错误的是（  ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，，，点在边上，且．若，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D． 9．（24-25上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）如图，线段是某小区的一条主干道，计划在绿化区域的点C处安装一个监控装置，对主干道进行监控，已知，，，监控的半径为，路段在监控范围内，路段为监控盲区，则的长为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，为的中点，若，，则 ． 12．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，分别是，的垂直平分线，，分别交边于点、，且的周长为，则的长为 ． 13．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在 中，，，， 边的垂直平分线交于点D，交于点E，那么的长为 ． 14．（25-26八年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，中，，是边上的中线，求的面积． 15．（25-26八年级上·江苏·期中）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接．(1)求证：；(2)若的周长为，，求长． 16．（24-25八年级上·北京·期末）如图2，，为的中点，分别为射线上的点，，线段有怎样的数量关系？请说明理由． 17．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，点为的中点，，过点分别作、，垂足分别为，，连接，． (1)求证：平分；(2)若，求的度数； 18．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图所示，已知在中，为的垂直平分线，交于，交于，求的长． 19．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在中，，点D、E分别是线段、的中点，过点A作交的延长线于点F．(1)求证：；(2)若，求的长． 20．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，与为偏等积三角形，如图，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点．(1)求证： (2)求的长度． 21．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）【背景问题】老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出可能的长＝______（写一个即可）． 【感悟方法】：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图2，是的中线，交于，交于，． 探究与的关系，并说明理由． 【深入探究】：（3）如图3，，，与互补，连接、，是的中点，求证：． （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积为______． 22．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）在中，，若点在的平分线所在的直线上．(1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且，①求证：点在的垂直平分线上；②___________； (2)如图2，当点在线段上时，若，，平分，交于点，交于点，过点作，交于点，若，求的长度． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $