专题13 等腰（等边）三角形中重要模型之维维尼亚模型（几何模型讲义）数学苏科版2024八年级上册

专题13 等腰（等边）三角形中重要模型之维维尼亚模型 维维亚尼定理（Viviani's theorem）：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。 而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 6 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 9 15 维维尼亚模型（又称维维亚尼模型）是几何学中基于等边或等腰三角形特性的经典模型，其核心来源于17世纪意大利数学家维维亚尼（Vincenzo Viviani）提出的维维亚尼定理。该模型通过垂直距离的定和关系，为几何问题提供了简洁的解决路径。 维维亚尼在1692年研究等边三角形时发现：‌任意内点到三边的垂直距离之和恒等于三角形的高。这一结论后被推广至等腰三角形及正多边形，成为模型的理论基础。‌ （24-25八年级上·江苏南通·期中）阅读材料：如图1，中，，P为底边上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h， (1)连接，则，即：，∴，即之间的数量关系是： ． (2)深入探究:如图2，将“在中，，P为底边上任意一点”改成“P为等边三角形内一点”，作，垂足分别为E、F、M、G，则和之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接）; (3)理解与应用:如图3，当点P在外时，和之间又有怎样的关系？写出结论并证明． （24-25八年级上·江苏宿迁·期末）【数学阅读】如图1，在中，，点P为边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F，求证：． 小尧的证明思路是：如图2，连接，由与面积之和等于的面积可得：    【推广延伸】如图3，当点P在延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想，与的数量关系，并证明． 【解决问题】如图4，在平面直角坐标系中有两条直线、，分别是函数，和的图象，、与x轴的交点分别为A，B．（1）两条直线的交点C的坐标为________________；（2）说明是等腰三角形；（3）若上的一点M到的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标． 1）等边三角形中维维尼亚模型 条件：在等边中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。 结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM； ②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。 （当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。    图1 图2 证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=AC， 则， ∵； ∴PD+PE+PF=AM。 ②如图3，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=CA， 则， ∵； ∴PD+PE-PF=AM。 2）等腰三角形中维维尼亚模型 条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB， 结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF，AD-AF=AC-AE（即DF=CE）。 ②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD，|AE-AC|=|AD-AF|（即DF=CE）。 图1 图2 证明：①如图1，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PE+PD=CF。 ①如图2，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PF-PE=CD。 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 例1（24-25八年级上·重庆·期中）如图，点在等边三角形的内部，，，，垂足分别为，，，若，且，则的边长为 ． 例2（24-25八年级·广东·培优）如图，点P为等边外一点，设点P到三边的距离，且，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 例3（24-25八年级上·安徽·阶段练习）阅读材料：如图，中，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值． (1)深入探究:将“在中，为上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、，有类似结论吗?请写出结论并证明； (2)理解与应用：当点在外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由． 例4（24-25八年级上·广东中山·阶段练习）如图①，已知是等边三角形，于点M，点P是直线上一动点，设点P到两边的距离分别为，，的高为h． (1)当点P运动到中点时，与的数量关系为：． (2)如图②，试判断，，h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图③，当点P运动到BC的延长线上时，求证：． 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 例1（24-25八年级上·广东·期中）如图，是等腰三角形，点O是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为8，面积为20，则的值为（    ）    A．5 B．7.5 C．9 D．10 例2（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则 例3（24-25河北八年级上期中）在中，，是边上任意一点，过点分别向，引垂线，垂足分别为，．(1)如图①，当点在的什么位置时，？并证明你的结论 (2)如图②，过点作边上的高，试猜想，，的长之间存在怎样的数量关系？并加以证明．    例4（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图①．中，，为底边上一点，，，，垂足分别为、、.易证.证明过程如下： 如图①，连接.∵，，， ∴，， 又∵，∴ ∵，∴． 如图②，为延长线上的点时，其它条件不变，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 例5（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：如图①在等腰三角形中，，，，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为，． (1)请你结合图形来证明：； 证明过程：连接，由题意得，，， ∵，； ______________________． 又∵，， ∴，∴． (2)如图（2），当点M在延长线上时，、、h之间又有什么样的关系，请写出结论并证明； (3)利用以上结论解答，如图③在平面直角坐标系中有两条直线，，若上的一点M到的距离是．求点M的坐标． 1．（24-25八年级·浙江·期中）如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且，，，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，点O是BC上任意一点，OE⊥AB，OF⊥AC，等腰三角形的腰长为4，面积为4，则OE+OF的值为(　　) A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD：OE：OF=1：4：4，则AO的长度是（    ） A．10 B．9 C． D． 4．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，将矩形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，为折痕上的任意一点，过点作，，垂足分别为，．若，，则 ．    5．（2024·江西·一模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”，例如：如图1，∠B＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形． (1)定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D＝______度． (2)变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC． ①求证：四边形ABDE为等邻角四边形； ②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断△BCD的形状，并明理由． (3)深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足为E，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由． (4)迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角四边形，∠A＝∠ABC，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和． 6．（24-25八年级上·广西南宁·期末）在中，，点是所在直线上一个动点，过点作、，垂足分别为、 (1)如图1，若点是的中点时，求证： (2)如图2，为腰上的高，当点在边上时，试探究、、之间的关系，并说明理由． (3)如图3，当点运动到的延长线上时，若，，求的长度． 7．（24-25八年级上·广西南宁·期中）数学课上，老师画出一等腰并标注：，，然后让同学们提出有效问题并解决．请你结合同学们提出的问题给予解答．    (1)甲同学提出：如图1，过点C作于点H，可求出___________； (2)乙同学提出：的面积为：___________； (3)丙同学提出：如图2点D为边的中点，，，垂足为E、F，请求出的值； (4)丁同学说受丙同学启发，如图3点D为边上任一点，，，，垂足为E、F、H，则有．请你为丁同学说明理由． 8．（24-25八年级上·重庆·期中）学习了等腰三角形的知识后，小南进行了拓展性研究．他发现：过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高．小南的解决思路是通过计算面积得出结论，请你根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：(1)用无刻度的直尺和圆规，过点C作的垂线，垂足为点D，连接．（只保留作图痕迹，不写作法） (2)已知：如图，在中，，于点E，于点F．求证：． 证明：，，， ，，． ，① ，即． ② ，，③ ． 由此小南得出结论：过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④ ． 9．（24-25八年级上·广西崇左·期末）体验与实践 【解题呈现】如图，在中，，P为底边上的中点，，，点D、E为垂足，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为F，则有． 某同学的思路分析：本题涉及到三角形的高线，则利用等面积法进行思考与探索，即，所以， 而①式化为：可得． 【探究与实践】如图，已知：等腰三角形中，． (1)P为底边上的任意一点，自P向两腰所在的直线做垂线，点E、F为垂足．求证：等于定值；(2)若点P在底边的延长线上时，情况如何？ 10．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）老师给出了下面的题目：如图，在中，，点在上，作，，，垂足分别为、、．(1)求证：．(2)如图，将“在中，，点在上”改成“为等边三角形内一点”，作，，，，垂足分别为、、、有类似结论吗？请写出结论并证明． 11．（24-25七年级下·山东济南·期末）本学期，我们学习了“特殊化”问题解决策略，面对一般性问题，可以先考虑特殊情形，通过取特殊点、特殊位置（如顶点、中点、对称点等）、特殊数据等简化问题，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性问题． 【问题】如图1，已知等边三角形中，，点P为边上一点，过P作于点E，于点F．求的值． 【特殊化】（1）因为点P在边上，考虑点P与顶点B重合这一特殊情形，此时，恰为边上的高，借助勾股定理等知识可以求得此时的长，由此可得到特殊情形的结论：的值等于______． 【一般化证明】（2）在上述条件下，请在图1中添加高线，求证：． 【迁移应用】（3）已知等边三角形，．①如图2，点P为内任意一点，过P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．则的值为___________； ②如图3，若点P在线段的延长线上，过点P分别向，作垂线，垂足为E，F，则用等式表示线段，的数量关系为___________； ③如图4，若点P是等边三角形外一点，且，连接，则用等式表示线段，，的数量关系为___________． 12．（24-25江苏八年级上期中）【数学阅读】如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE=CF． 小明的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF． 【推广延伸】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想PD，PE与CF的数量关系，并证明． 【解决问题】如图4，在平面直角坐标系中，点C在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且AB=AC．点B到x轴的距离为3． （1）点B的坐标为_____________；（2）点P为射线CB上一点，过点P作PE⊥AC于E，点P到AB的距离为d，直接写出PE与d的数量关系_______________________________； （3）在（2）的条件下，当d=1，A为(－4，0)时，求点P的坐标． 13．（24-25八年级上·江苏南京·期中）“面积法”是指利用图形面积间的等量关系寻求线段间等量关系的一种方法．例如：在△ABC中，AB＝AC，点P是BC所在直线上一个动点，过P点作PD⊥AB、PE⊥AC，垂足分别为D、E，BF为腰AC上的高．如图①，当点P在边BC上时，我们可得如下推理： ∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP∴AC▪BF＝AB▪PD+AC▪PE ∵AB＝AC∴AC▪BF＝AC▪（PD+PE）∴BF＝PD+PE （1）【变式】如图②，在上例的条件下，当点P运动到BC的延长线上时，试探究BF、PD、PE之间的关系，并说明理由．（2）【迁移】如图③，点P是等边△ABC内部一点，作PD⊥AB、PE⊥BC、PF⊥AC，垂足分别为D、E、F，若PD＝1，PE＝2，PF＝4．求△ABC的边长．（3）【拓展】若点P是等边△ABC所在平面内一点，且点P到三边所在直线的距离分别为2、3、6．请直接写出等边△ABC的高的所有可能 14．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积用不同方式表示”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法．学有所用：在等腰三角形中，，其一腰上的高，是底边上的任意一点，到腰的距离，到腰的距离． (1)请你结合图形1来证明：；(2)当点在延长线上时，、、之间又有什么样的结论．请你在图2中画出图形，并直接写出结论不必证明；(3)请利用以上结论解答下列问题，如图3，在平面直角坐标系中有两条直线，，若上的一点到的距离是2，求点的坐标． 16.（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图①，已知是等边三角形，于点M，点P是直线BC上一动点，设点P到两边AB、AC的距离分别为，，的高为h． (1)当点P运动到什么位置时，，并说明理由． (2)如图②，试判断，，h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图，当点P运动到BC的延长线上时，求证：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 等腰（等边）三角形中重要模型之维维尼亚模型 维维亚尼定理（Viviani's theorem）：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。 而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 6 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 9 15 维维尼亚模型（又称维维亚尼模型）是几何学中基于等边或等腰三角形特性的经典模型，其核心来源于17世纪意大利数学家维维亚尼（Vincenzo Viviani）提出的维维亚尼定理。该模型通过垂直距离的定和关系，为几何问题提供了简洁的解决路径。 维维亚尼在1692年研究等边三角形时发现：‌任意内点到三边的垂直距离之和恒等于三角形的高。这一结论后被推广至等腰三角形及正多边形，成为模型的理论基础。‌ （24-25八年级上·江苏南通·期中）阅读材料：如图1，中，，P为底边上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h， (1)连接，则，即：，∴，即之间的数量关系是： ． (2)深入探究:如图2，将“在中，，P为底边上任意一点”改成“P为等边三角形内一点”，作，垂足分别为E、F、M、G，则和之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接）; (3)理解与应用:如图3，当点P在外时，和之间又有怎样的关系？写出结论并证明． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）解：；故答案为：； （2）解：，理由如下： 连接，则，∵等边三角形，∴， ∵，∴， ∴，∴； （3）解：，理由如下：连接，则， ∵等边三角形，∴，∵， ∴， ∴，∴． （24-25八年级上·江苏宿迁·期末）【数学阅读】如图1，在中，，点P为边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F，求证：． 小尧的证明思路是：如图2，连接，由与面积之和等于的面积可得：    【推广延伸】如图3，当点P在延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想，与的数量关系，并证明． 【解决问题】如图4，在平面直角坐标系中有两条直线、，分别是函数，和的图象，、与x轴的交点分别为A，B．（1）两条直线的交点C的坐标为________________；（2）说明是等腰三角形；（3）若上的一点M到的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标． 【答案】数学阅读：见详解；推广延伸：，理由见详解；解决问题：（1）；（2）见详解；（3）或． 【详解】数学阅读：证明：如图2，连接，∵，， ， ∴， ，， 又∵，∴，∴， ∵，∴． 推广延伸：解：，理由如下：如图3，连接，    ∵， ， ，∴， ，， 又∵，∴，∴， ∵，∴． 解决问题：解：（1）联立，得，∴两条直线的交点C的坐标为； （2）由得，∴，∴， 由，得，∴，∴，∴， 在中， ，∴，∴是等腰三角形． （3）如图，若M点在射线上，作于E点，于F点．      图 图 在，，由图②得，∴，∴，∴M点的纵坐标为2， 由，得，∴． 如图，若M点在射线的反向延长线上，由图③得， ∴，∴M点的纵坐标为4， 由，得，．综上，M点的坐标为或． 1）等边三角形中维维尼亚模型 条件：在等边中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。 结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM； ②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。 （当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。    图1 图2 证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=AC， 则， ∵； ∴PD+PE+PF=AM。 ②如图3，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=CA， 则， ∵； ∴PD+PE-PF=AM。 2）等腰三角形中维维尼亚模型 条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB， 结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF，AD-AF=AC-AE（即DF=CE）。 ②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD，|AE-AC|=|AD-AF|（即DF=CE）。 图1 图2 证明：①如图1，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PE+PD=CF。 ①如图2，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PF-PE=CD。 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 例1（24-25八年级上·重庆·期中）如图，点在等边三角形的内部，，，，垂足分别为，，，若，且，则的边长为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接，，， ∵等边三角形，∴，，，， ∵，， ∴， ∴，∴的边长为．故答案为：． 例2（24-25八年级·广东·培优）如图，点P为等边外一点，设点P到三边的距离，且，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接、、，过B作于点G，    ∵，， ，，∴， ∴．故选：C 例3（24-25八年级上·安徽·阶段练习）阅读材料：如图，中，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值． (1)深入探究:将“在中，为上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、，有类似结论吗?请写出结论并证明； (2)理解与应用：当点在外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析 【详解】（1），理由如下：连接、、，则 ∵等边三角形，∴，∵，， ∴， ∴，∴； （2），理由如下： 连接、、，则 ∵等边三角形，∴，∵，， ∴， ∴，∴． 例4（24-25八年级上·广东中山·阶段练习）如图①，已知是等边三角形，于点M，点P是直线上一动点，设点P到两边的距离分别为，，的高为h． (1)当点P运动到中点时，与的数量关系为：． (2)如图②，试判断，，h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图③，当点P运动到BC的延长线上时，求证：． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3)证明见解析 【详解】（1）解：当点与点重合时，， 理由：过点作于点于点， ∵是等边三角形，，∴， ∴，∴，∴，∴；故答案为：； （2）解：．证明：如图（2），连接，则， ∴，即， 又∵是等边三角形; ； （3）证明：连接， 则， 即 ∵是等边三角形， 两边同时除以2024得，． 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 例1（24-25八年级上·广东·期中）如图，是等腰三角形，点O是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为8，面积为20，则的值为（    ）    A．5 B．7.5 C．9 D．10 【答案】A 【详解】解：连接，如图，∵、分别与两边垂直，面积为20， ，        ，，，故选：A． 例2（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则 【答案】 【详解】解：∵，，， 又∵，∴， ∵，∴，∴．故答案为：． 例3（24-25河北八年级上期中）在中，，是边上任意一点，过点分别向，引垂线，垂足分别为，．(1)如图①，当点在的什么位置时，？并证明你的结论 (2)如图②，过点作边上的高，试猜想，，的长之间存在怎样的数量关系？并加以证明．    【答案】(1)当点在的中点上时，，理由见详解(2)，证明见详解 【详解】（1）解：当点在的中点上时，， 证明：为中点，，，， ，，， 在和中，，． （2）证明：连接，    ，，，． 例4（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图①．中，，为底边上一点，，，，垂足分别为、、.易证.证明过程如下： 如图①，连接.∵，，， ∴，， 又∵，∴ ∵，∴． 如图②，为延长线上的点时，其它条件不变，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】 【详解】∵，，，∴，， 又∵，∴ ∵，∴．故答案为：． 例5（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：如图①在等腰三角形中，，，，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为，． (1)请你结合图形来证明：； 证明过程：连接，由题意得，，， ∵，； ______________________． 又∵，， ∴，∴． (2)如图（2），当点M在延长线上时，、、h之间又有什么样的关系，请写出结论并证明； (3)利用以上结论解答，如图③在平面直角坐标系中有两条直线，，若上的一点M到的距离是．求点M的坐标． 【答案】(1)，(2)，证明见解析(3)点M的坐标为或． 【详解】（1）证明：连接，由题意得，，， ∵，，， 又∵，，∴ ，∴；故答案为：，； （2）解：如图，；理由如下， 证明：由题意得，，， ∵，，， 又∵，，∴ ，∴； （3）解：在中，令得；令得，∴，， 在中，令得，∴，∴，， ∴，即为等腰三角形，设M点坐标为， ①当点M在边上时，由得：，∴， 把代入中求得：，∴此时； ②当点M在延长线上时，由得：，∴， 把代入中求得：，∴此时； ③当点M在的延长线上时，点M到的距离不可能为，此情况不存在； 综上所述：点M的坐标为或． 1．（24-25八年级·浙江·期中）如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且，，，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接AP、BP、CP，过点A作AD⊥BC于D，等边三角形面积S=BC（PQ+PS+PR）=BCAD， ∴AD=6+8+10=24，∵∠ABC=60°，∠ADC=90°，∴AB==16， ∴△ABC的面积S=BCAD=×24×16=192，故选：B．    2．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，点O是BC上任意一点，OE⊥AB，OF⊥AC，等腰三角形的腰长为4，面积为4，则OE+OF的值为(　　) A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【详解】连接AO，如图，∵AB＝AC＝4，∴S△ABC＝S△ABO＋S△AOC＝AB•OE＋AC•OF＝12， ∵AB＝AC，∴AB（OE＋OF）＝4，∴OE＋OF＝2．故选：B． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD：OE：OF=1：4：4，则AO的长度是（    ） A．10 B．9 C． D． 【答案】D 【详解】解：连接OA,OB,OC,由题意知：，设, ，∴AO为的角平分线，又，， ∴AD为△ABC的中线，∴BD=6 在,AD==8, ,,.故选D 4．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，将矩形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，为折痕上的任意一点，过点作，，垂足分别为，．若，，则 ．    【答案】8 【详解】解：连接BP，过点E作EQ⊥BC于Q    ∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=90°，BC=，BC∥AD ∴AB=EQ，∠DEF=∠BFE，BF=BC－CF=10由折叠的性质可得ED=BE，∠BEF=∠DEF ∴∠BFE=∠BEF∴BE=BF=10∴ED=10∴AE=AD－ED=6 由勾股定理可得AB=∴EQ=8 ∵∴ ∴∴故答案为：8． 5．（2024·江西·一模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”，例如：如图1，∠B＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形． (1)定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D＝______度． (2)变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC． ①求证：四边形ABDE为等邻角四边形； ②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断△BCD的形状，并明理由． (3)深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足为E，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由． (4)迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角四边形，∠A＝∠ABC，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和． 【答案】(1)55°(2)①见解析；②△BCD是等边三角形，理由见解析 (3)在点P的运动过程中，PM+PN＝CE，理由见解析(4)（6+2）dm 【详解】（1）解：∵∠A=130°，∠B=120°，根据“等邻角四边形”定义可知： ∠C=∠D，∴∠D=(360°−130°−120°)÷2=55°； （2）①证明：∵ED//BC，∴∠EDB=∠DBC， ∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC ，∴∠ABD=∠EDB，∴四边形ABDE为等邻角四边形， ②解：△BCD是等边三角形，理由如下：由①知：∠EDB=∠DBC=∠ABD， 设∠EDB=∠DBC=∠ABD=x°，∠BDC=∠C=y°， ∵∠A+∠C+∠E=300°，五边形ABCDE内角和为(5﹣2)×180°=540°， ∴∠EDC+∠ABC=540°－300°=240°，即：3x+y=240， 在△BCD中，∠DBC+∠BDC+∠C=180°，即x+2y=180， 由联立方程组，解得， ∴∠DBC=60°，∠BDC=∠C=60°，∴△BCD是等边三角形； （3）解：在点P的运动过程中，PM+PN=CE，理由如下：过P作PGCE于G，如图： ∵PMAB，CEAB，PGCE，∴∠PME=∠MEG=∠EGP=90°， ∴四边形PMEG是矩形，∴PM=EG，ME//PG，AB//PG，∴∠B=∠GPC， ∵∠B=∠NCP，∴∠GPC＝∠NCP，∵PNCD，∴∠PGC=∠CNP=90°， ∵CP=PC，∴△PGC≌△CNP（AAS），∴CG=PN，∴PM+PN＝EG+CG=CE， 即在点P的运动过程中，PM+PN的值总等于CE； （4）作BHAD，垂足为H，如图：由(3)中的结论可得：ED+EC=BH， 设DH=xdm，则AH=AD+DH=(3+x)dm，∵BH⊥AF，∴∠BHA=90°，∴BH2=BD2﹣DH2=AB2﹣AH2， ∵AB＝2，AD＝3，BD＝，∴()2﹣x2＝(2)2﹣(3+x)2，解得：x＝1， ∴BH2＝BD2﹣DH2，＝37﹣1＝36，∴BH＝6dm，∴ED+EC＝6， ∵∠ADE＝∠BCE＝90°，且M、N分别为AE、BE的中点， ∴DM＝AM＝EM＝AE，CN＝BN＝EN＝BE，∴△DEM与△CEN的周长之和 DE+DM+EM+CN+EN+EC＝DE+AE+BE+EC＝DE+AB+EC＝DE+EC+AB＝6+2， ∴△DEM与△CEN的周长之和为(6+2)dm． 6．（24-25八年级上·广西南宁·期末）在中，，点是所在直线上一个动点，过点作、，垂足分别为、 (1)如图1，若点是的中点时，求证： (2)如图2，为腰上的高，当点在边上时，试探究、、之间的关系，并说明理由． (3)如图3，当点运动到的延长线上时，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵，点是的中点，、∴即，∴， （2）解：，理由如下，如图所示，连接， ∵， 、，为腰上的高， ∴∴∴， （3）解：如图所示，过点作于点， ∵， 、，，∴ ∴∴ 若，则． 7．（24-25八年级上·广西南宁·期中）数学课上，老师画出一等腰并标注：，，然后让同学们提出有效问题并解决．请你结合同学们提出的问题给予解答．    (1)甲同学提出：如图1，过点C作于点H，可求出___________； (2)乙同学提出：的面积为：___________； (3)丙同学提出：如图2点D为边的中点，，，垂足为E、F，请求出的值； (4)丁同学说受丙同学启发，如图3点D为边上任一点，，，，垂足为E、F、H，则有．请你为丁同学说明理由． 【答案】(1)5(2)25(3)(4)见解析 【详解】（1）解：，，在中，，故答案为：5； （2）解：,故答案为：25； （3）解：连接，如图所示：      ，点D为边的中点，平分，，，， ，，， 由（2）知，，； （4）证明：连接，如图所示：，，， ，，， ，，， 即：，． 8．（24-25八年级上·重庆·期中）学习了等腰三角形的知识后，小南进行了拓展性研究．他发现：过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高．小南的解决思路是通过计算面积得出结论，请你根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：(1)用无刻度的直尺和圆规，过点C作的垂线，垂足为点D，连接．（只保留作图痕迹，不写作法） (2)已知：如图，在中，，于点E，于点F．求证：． 证明：，，， ，，． ，① ，即． ② ，，③ ． 由此小南得出结论：过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④ ． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：作图如下： （2）证明：，，， ，，． ，，即． ，，． 由此小南得出结论：过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则这两条垂线段长度的和等于一腰上的高． 9．（24-25八年级上·广西崇左·期末）体验与实践 【解题呈现】如图，在中，，P为底边上的中点，，，点D、E为垂足，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为F，则有． 某同学的思路分析：本题涉及到三角形的高线，则利用等面积法进行思考与探索，即，所以， 而①式化为：可得． 【探究与实践】如图，已知：等腰三角形中，． (1)P为底边上的任意一点，自P向两腰所在的直线做垂线，点E、F为垂足．求证：等于定值；(2)若点P在底边的延长线上时，情况如何？ 【答案】(1)见解析(2)若P在的延长线上，；若P在的延长线上，则有． 【详解】（1）连接，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为D， 则为三角形的高，， ①，而，①式化为：， 可得．因为三角形在边上的高为定值，即为定值，所以等于定值． （2）若P在的延长线上，连接，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为D， 则为三角形的高，，， 而，所以，可得． 同理，若P在的延长线上，则有． 10．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）老师给出了下面的题目：如图，在中，，点在上，作，，，垂足分别为、、．(1)求证：．(2)如图，将“在中，，点在上”改成“为等边三角形内一点”，作，，，，垂足分别为、、、有类似结论吗？请写出结论并证明． 【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析 【详解】（1）连接．，． 又， ． （2）．理由如下：连接、、． ， 由于是等边三角形，所以， ． 11．（24-25七年级下·山东济南·期末）本学期，我们学习了“特殊化”问题解决策略，面对一般性问题，可以先考虑特殊情形，通过取特殊点、特殊位置（如顶点、中点、对称点等）、特殊数据等简化问题，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性问题． 【问题】如图1，已知等边三角形中，，点P为边上一点，过P作于点E，于点F．求的值． 【特殊化】（1）因为点P在边上，考虑点P与顶点B重合这一特殊情形，此时，恰为边上的高，借助勾股定理等知识可以求得此时的长，由此可得到特殊情形的结论：的值等于______． 【一般化证明】（2）在上述条件下，请在图1中添加高线，求证：． 【迁移应用】（3）已知等边三角形，．①如图2，点P为内任意一点，过P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．则的值为___________； ②如图3，若点P在线段的延长线上，过点P分别向，作垂线，垂足为E，F，则用等式表示线段，的数量关系为___________； ③如图4，若点P是等边三角形外一点，且，连接，则用等式表示线段，，的数量关系为___________． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①3，②，③ 【详解】（1）当点与顶点重合时，此时（因为、重合，，垂足也与重合），为边上的高，是等边三角形，，则． 过作于，则为中点（等边三角形三线合一），． 在中，，即． 把，代入可得：， 此时，，所以．故答案为． （2）作交于点，连接，，， ，，； （3）①连接、、，作将分割为、、， ∴．过P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F． ∴，，，∴．．． ．因为是等边三角形，所以． 将上述面积关系代入可得： ．在等边三角形中，， 由（1）得等边三角形的高公式（为边长），可得． 所以．故答案为：； ②连接 将图形分割为和，∴． 对于，以为底，为高，面积． 对于，以为底，为高，面积． 对于，以为底，为高（是等边三角形的高），面积． ∵是等边三角形，∴．将上述面积关系代入可得： 得．在等边三角形中，， 由（1）得等边三角形的高公式（为边长），∴，， ∴；故答案为：； ③延长至，使，连接． ∵是等边三角形，∴，， 在四边形中，，∴， ∵，∴， 在和中：∴．∴，． ∵，∴，即． ∵，∴是等边三角形，∴． ∵，且，∴． 12．（24-25江苏八年级上期中）【数学阅读】如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE=CF． 小明的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF． 【推广延伸】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想PD，PE与CF的数量关系，并证明． 【解决问题】如图4，在平面直角坐标系中，点C在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且AB=AC．点B到x轴的距离为3． （1）点B的坐标为_____________；（2）点P为射线CB上一点，过点P作PE⊥AC于E，点P到AB的距离为d，直接写出PE与d的数量关系_______________________________； （3）在（2）的条件下，当d=1，A为(－4，0)时，求点P的坐标． 【答案】推广延伸：PD=PE+CF，证明见解析； 解决问题：（1）(0，3)；（2）PE=3+d或PE=3－d；（3）或 【详解】推广延伸：猜想：PD=PE+CF 证明如下：连接AP，如图3 ∵即 ∴AB=AC∴PD－CF=PE∴PD=PE+CF 解决问题：（1）∵点B在y轴正半轴上，点B到x轴的距离为3∴B(0，3)故答案为：(0，3) （2）当点P在CB延长线上时，如图 由推广延伸的结论有：PE=OB+PF=3+d； 当点P在线段CB上时，如图由阅读材料中的结论可得PE=OB－PF=3－d；故答案为：PE=3+d或PE=3－d （3）∵A(－4，0)，B(0，3)∴OA=4，OB=3 由勾股定理得：∴AC=AB=5 ∴OC=AC－OA=5－4=1∴C(1，0)设直线CB的解析式为y=kx+b(k≠0) 把C、B的坐标分别代入得：解得：即直线CB的解析式为y=－3x+3 由(2)的结论知：PE=3+1=4或PE=3－1=2 ∵点P在射线CB上∴点P的纵坐标为正，即点P的纵坐标为4或2 当y=4时，－3x+3=4，解得：，即点P的坐标为； 当y=2时，－3x+3=2，解得：，即点P的坐标为 综上：点P的坐标为或 13．（24-25八年级上·江苏南京·期中）“面积法”是指利用图形面积间的等量关系寻求线段间等量关系的一种方法．例如：在△ABC中，AB＝AC，点P是BC所在直线上一个动点，过P点作PD⊥AB、PE⊥AC，垂足分别为D、E，BF为腰AC上的高．如图①，当点P在边BC上时，我们可得如下推理： ∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP∴AC▪BF＝AB▪PD+AC▪PE ∵AB＝AC∴AC▪BF＝AC▪（PD+PE）∴BF＝PD+PE （1）【变式】如图②，在上例的条件下，当点P运动到BC的延长线上时，试探究BF、PD、PE之间的关系，并说明理由．（2）【迁移】如图③，点P是等边△ABC内部一点，作PD⊥AB、PE⊥BC、PF⊥AC，垂足分别为D、E、F，若PD＝1，PE＝2，PF＝4．求△ABC的边长．（3）【拓展】若点P是等边△ABC所在平面内一点，且点P到三边所在直线的距离分别为2、3、6．请直接写出等边△ABC的高的所有可能 【答案】（1）BF＝PD﹣PE，理由见解析；（2）；（3）11，7，5，1． 【详解】解：（1）BF＝PD﹣PE，如图②，连接AP， ∵S△ABC＝S△ABP﹣S△ACP，∴AC•BF＝AB•PD﹣AC•PE，∵AB＝AC，∴BF＝PD﹣PE； （2）如图③，过A作AH⊥BC于H，连接PA，PB，PC， ∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP+S△BCP，即AH•BC＝PD•AB+PF•AC+PE•BC， ∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∴AH＝PD+PE+PF＝7， ∵AB＝AC，AH⊥BC，∴CH＝BC＝AC， 在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，∴AH2+CH2＝AC2，即49＋AC2＝AC2，∴AC＝＝； （3）如图④，设等边△ABC的高为h，点P到△ABC的三边的距离为h1＝2，h2＝3，h3＝6， 当P在i区域时，由（2）可得h＝h1+h2+h3＝2+3+6＝11； 当P在iii区域时，如图④－1，PF＝h1＝2，PE＝h2＝3，PG＝h3＝6，连接 ∵S△ABC＝S△PBC－S△ACP－S△ABP＝h•BC＝PG•BC－PE•AC－PF•AB， ∵AB＝AC＝BC，∴h＝h3﹣h2﹣h1＝1， 当P在ii区域时，同理可得h＝h1+h3﹣h2＝2+6﹣3＝5或h＝h2+h3﹣h1＝3+6﹣2＝7， 综上所述，等边△ABC的高的所有可能的值为11，1，7，5．      14．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积用不同方式表示”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法．学有所用：在等腰三角形中，，其一腰上的高，是底边上的任意一点，到腰的距离，到腰的距离． (1)请你结合图形1来证明：；(2)当点在延长线上时，、、之间又有什么样的结论．请你在图2中画出图形，并直接写出结论不必证明；(3)请利用以上结论解答下列问题，如图3，在平面直角坐标系中有两条直线，，若上的一点到的距离是2，求点的坐标． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)点的坐标为或． 【详解】（1）证明：连接，由题意得，，， ，，， 又，，，． （2）解：如图所示，根据等面积法可知， 由（1）可得，， ，∴，∵，∴． （3）解：在中，令得；令得，所以，同理求得． ，，所以，即为等腰三角形． ①当点在边上时，由得：，， 把它代入中求得：，所以此时； ②当点在延长线上时，由得：，， 把它代入中求得：，所以此时， ③当点在的延长线上时，，不存在； 综上所述：点的坐标为或． 16.（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图①，已知是等边三角形，于点M，点P是直线BC上一动点，设点P到两边AB、AC的距离分别为，，的高为h． (1)当点P运动到什么位置时，，并说明理由． (2)如图②，试判断，，h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图，当点P运动到BC的延长线上时，求证：． 【答案】(1)当点P与点M重合时，，理由见解析；(2)h＝h1＋h2，证明见解析；(3)证明见解析． 【详解】（1）解：当点P与点M重合时，h1＝h2， 理由：过点M作MF⊥AB于点F，ME⊥AC于点E，如图①，则MF＝h1，ME＝h2， ∵△ABC是等边三角形，AM⊥BC，∴BM＝CM，AB＝AC， ∴S△ABM＝S△ACM，∴AB•MF＝AC•ME，∴MF＝ME，∴h1＝h2； （2）h＝h1＋h2．证明：如图②，连接AP，则 S△ABC＝S△ABP＋S△APC， ∴BC•AM＝AB•PF＋AC•PE，即BC•h＝AB•h1＋AC•h2， 又∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝AC，∴h＝h1＋h2； （3）解：如图③，连接AP，则 S△APC＋S△ABC＝S△ABP， ∴AC•PE＋BC•AM＝AB•PF，即 AC•h2＋BC•h＝AB•h1， 又∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB，∴h2＋h＝h1， ∴，∴，两边同时除以2022得，， ∴，即． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $