专题14 等腰（等边）三角形中重要模型之长短手模型与等边截等长模型（几何模型讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题14 等腰（等边）三角形中重要模型之长短手模型与等边截等长模型 等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。各类考试的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的几类重要模型作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.帽子模型（长短手模型） 5 模型2.等边截等长模型（定角模型） 10 模型3.等边内接等边模型 13 16 帽子模型（长短手模型）与等边截等长模型、等边内接等边模型是初中几何中源于等腰三角形和等边三角形特性衍生的经典解题模型，其核心思想通过对称性、全等变换及线段比例关系简化复杂几何问题。‌ 两种模型均强调对称性与全等变换：帽子模型侧重等腰三角形的“长短手”对称‌，等边截等长模型与等边内接等边模型则利用等边三角形的旋转特性‌。在初中几何教学中，二者常结合“等边内接等边模型”综合训练学生的空间思维。 （24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，中，，点从点出发沿线段移动（点不与，重合），同时，点从点出发沿线段的延长线移动，已知点、移动的速度相同，与直线相交于点．(1)求证：；(2)过点作直线的垂线，垂足为，、在移动过程中，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 【答案】(1)见详解(2)的长度保持不变，理由见详解 【详解】（1）证明：过点作交于，如下图， ∵点、同时出发，且移动的速度相同，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：的长度保持不变，理由如下：由（1）可知，， ∵，∴，由（1）可知，，∴， ∴，∴为定值． （24-25八年级上·重庆·期末）如图，在等边三角形中，，分别在边，上，且，与交于点，，垂足为点.下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：是等边三角形，，， ，，在和中， ，，故结论①正确； ，， ，故结论②正确； ，，， 不是等腰三角形；故结论③错误； ，，， ， ，即，故结论④正确；综上所述：正确的结论为①②④，共有3个，故选：B． （24-25八年级上·江苏·期中）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）6cm 【详解】解：（1）是等边三角形，， ，，，． ，，是等边三角形； （2）根据题意可得：∵△PMN是等边三角形，∴PM=MN=NP， 在△PBM、△MCN和△NAP中，， ∴（AAS），，； ，，． 是正三角形，，而， ．，，，． 1）帽子模型（长短手模型） 条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②。 证明：如图，过点D作交于H，则，， ∵，∴，∴，∴，∵，∴， 在和中,，∴，∴； ∵，∴，∵，，∴， ∴，∴． 2）等边截等长模型（定角模型） 条件：如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．结论：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。 证明：在等边三角形中，，， 在和中，，，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE； ． ，，∴BQ=2PQ． 3）等边内接等边模型 图1 图2 1）等边内接等边（截取型） 条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF； 结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：∵是等边三角形，∴，． ∵，∴． 在和中，∴（）， ∴．同理，∴，∴是等边三角形． 2）等边内接等边（垂线型） 条件：如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：是等边三角形，， ，，，， ，，是等边三角形， 模型1.帽子模型（长短手模型） 例1（24-25八年级上·湖北随州·期中）如图，在等边中，，过边上一点D作于点H，点E为延长线上一点，且，连接交于点F，则的长为 ． 【答案】3 【详解】解：过点D作交于点G， ∴，，， ∵是等边三角形，∴，， ∴，∴是等边三角形，∴， 又∵，∴，∵，∴， 在与中，，∴，∴， ∴．故答案为：3． 例2（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，点D在边上，点E在的延长线上，且，连接交于点F．(1)求证：；(2)过点D作于点G，若．求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为4． 【详解】（1）证明：如图，过点D作交于H，则， ∵，∴，∴，∴，∵，∴， 在和中,，∴，∴； （2）解：∵，∴， ∵，，∴， ∴，∵，∴． 例3（24-25七年级下·浙江宁波·期末）全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】（1）构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在中，已知，可证，小聪同学的作法是作边上的高线．现在请你完成小聪同学的证明过程； 【类比分析】（2）通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在中，已知，点E为边上一点，点F为边延长线上一点，连接与边交于点D，若点D恰为线段中点，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【学以致用】（3）如图3，在中，，，分别为的角平分线和中线，过点E作与线段的延长线交于点G，与边的延长线交于点F，已知的面积是30，线段的长为8，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【详解】（1）证明：过A作于D，∴， ∵，，∴，∴； （2）解：；理由：过E作交于G，∴，， ∵点D为线段中点，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （3）如图，延长交AC于点H，过B作，过点D作于点K，于点J， ∵是角平分线，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，， 由（2）中证明方法可知，∴，， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴设，则，， ∴，∴，即， 解得，负值舍去，∴，，，∴， ∵平分，，，∴，∴， ∴，∴，解得：， ∵，，∴为等腰直角三角形， ∴，∴，∴， ∵是的中线，∴，∴， ∴，∴．∴的面积为． 例4（24-25七年级下·广东深圳·期末）【问题初探】（1）数学课上，李老师给出在中，已知，求证：． 证明：作的平分线交于点D．∴． 在和中，∵， ∴，∴． 结论：有两个角相等的三角形是等腰三角形 接着出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，并应用了李老师前面证明的结论得出此题结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答． 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】（3）如图5，在中，，平分，点E在线段的延长线上，过点E作，交于点N，交于点D，且， ，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）①证明：在线段上截取，使，连接，如图2所示： 在和中，，∴， ∴，∴，∴； 又∵，∴，∴，∴，∴； ②证明：过点E作，交的延长线于点M，如图3所示：∴， 在和中，，∴，∴， 同理可得，又∵，∴， 由题设结论得：，∴； （2）证明：延长到H，使，连接，如图4所示：∵D是的中点，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， 又∵，∴，由题设结论得：，∴； （3）解：过点C作，交的延长线于点K，如图5所示： ∵，平分，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，在中，，由勾股定理得：． 模型2.等边截等长模型（定角模型） 例1（24-25八年级·重庆·期中）如图，已知△是等边三角形，、分别是、边上的点，且，、相交于点.求证：； 【答案】见解析； 【详解】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠C=60°， 在△ABD和△BCE， ，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴AD=BE． 例2（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在等边三角形的边上各取一点P，Q（均不与端点重合），且相交于点O．下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意可得不一定成立，故A不符合题意； 如图1，、分别是、的中点，为等边三角形，则，， ，， ，，，故仅仅满足时，不一定成立，故B不符合题意； 在和中，，，， ，故C符合题意； 根据题意，不一定成立，故D不符合题意，故选：C． 例3（24-25八年级上·天津·期末）如图，为等边三角形，，、相交于点，于．(1)求证：；(2)求的度数；(3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)12． 【详解】（1）证明：为等边三角形，，， 在与中，，； （2）解：由（1）知，，， ，； （3）解：如图，由（2）知．，，， ，，，． 例4（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，为等边三角形，点、分别是边、所在直线上的动点，若点、以相同的速度，同时从点、点出发，分别沿、方向运动，直线、交于点． (1)如图1，求证：；(2)在点、点运动过程中，______°； (3)如图2，点为边中点，连接，，当点、分别在线段、上运动时，判断与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析(2)(3)与的数量关系为，理由见解析 【详解】（1）证明：为等边三角形，，， 点、以相同的速度，同时从点、点出发，分别沿、方向运动，， 在和中，； （2）为等边三角形，，，， 是的外角，，故答案为：； （3）与的数量关系为，理由如下∶ 延长到，使，连接，以为边作等边，连接，如图2所示∶ ，、、三点共线，点为边中点，， 在和中， ，， ，，，， 是等边三角形，，，， ，， 在和中， ，，，， ，，， 在和中， ，，，，． 模型3.等边内接等边模型 例1（2024八年级上·重庆·专题练习）如图，过等边三角形的顶点、、依次作、、的垂线、，三条垂线围成，若，则的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【详解】解：∵，∴，∵是等边三角形，∴， ∴，∴，同理：， ∴是等边三角形．∴．在中，， ∴，∴，∵，∴， 在与中，，∴ ∴，∴，∴的周长为．故选：B． 例2（24-25七年级下·成都·校考期中）如图，和都是等边三角形，点D，E，F分别在边上，若的周长为15，，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，，∴，∴， 同理得：，∴， ∵的周长为15，∴，∴，故选：B． 例3（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：为等边三角形，， ，，，， ，，，， ，，， ，是等边三角形； （2），， ，，， ，，， ，，． 例4．（2023·广西·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．(1)求证：；(2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式。    【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）证明：∵是边长为4的等边三角形， ∴，，∵，∴， 在和中，，∴； （2）解：分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，如图所示：    在等边中，，， ∴，∴， 设的长为x，则，， ∴，∴， 同理（1）可知，∴， ∵的面积为y，∴； 1.（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，点在上，点在线段的延长线上，且，连接与相交于点．若，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【详解】解：如图，过作于， ∴，， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴；故选：A． 2.（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，点是等边的边上一点，过点作，垂足为点，延长至点，使，连接交于点．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过做，交于， 是等边三角形，， ，，，是等边三角形， ，所以为中点，，为等边三角形，， ，，∴，故A不符合题意； ，，，， ，，故B不符合题意； ，，，即，故C不符合题意； 当时，而，∴，题干没有这个条件，故D错误符合题意；故选：D 3．（2024·浙江杭州·二模）如图，是等边三角形，D，E分别是，边上的点，且，连接，相交于点F，则下列说法正确的是（    ） ①；②； A．① B．② C．①② D．都错 【答案】C 【详解】解：是等边三角形，，， 在和中，，，， ，故①②正确，符合题意；故选：C 4．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，下面结论：①；②的度数不变，始终等于；③当第秒或第秒时，为直角三角形；④当第2秒时，．其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：设点、Q运动时间为t秒，根据题意得：， 为等边三角形，，， 在和中，，，∴，故①正确； ∵，在中，， ，在中，， ，，，故②正确； 若，由，得到，∴，即，解得：； 若，由，得到，∴，即，解得：， 综上，当第秒或第秒时，为直角三角形，故③正确； 当时，则，， ∵∴P、Q是、边的中点，即、是的中线，∴， 为等边三角形，∴，，， ∴是等边三角形，，∴，∴， ∴，∴，故④正确，∴正确的有①②③④共4个，故选：D． 5．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，已知等边，点D在上，点F在的延长线上，于点于交于点P，则下列结论中：①；②；③；④．一定正确的是（    ） A．① B．②④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°． ∵∠ACB＝∠GCF，∵DE⊥BC，FG⊥BC，∴∠DEB＝∠FGC＝∠DEP＝90°． 在△DEB和△FGC中，∴△DEB≌△FGC（AAS），BE＝CG，DE＝FG，故①正确； 在△DEP和△FGP中，∴△DEP≌△FGP（AAS），故②正确； ∴PE＝PG，∠EDP＝∠GFP≠60°，故③错误；∵PG＝PC＋CG，∴PE＝PC＋BE． ∵PE＋PC＋BE＝2，∴PE＝1，故④正确．∴正确的有：①②④．故选D． 6．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，点P、M、N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵是等边三角形，， ，，，， ，，是等边三角形， ，，，， ，，，， ，，，故答案为： 7．（24-25八年级下·江西九江·期中）如图，等边三角形中，D、E分别在边上，且与交于点于点．下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中正确的结论是 ． 【答案】①② 【详解】解：为等边三角形，，． 在和中，，，，①正确． ，，． ，，②正确． ，，， 的三个内角均不相等，不是等腰三角形，③错误． ，，，，， ∵，∴，④错误．综上所述，正确的结论有①②，共2个．故答案为：①②． 8．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，在等边中，D、E分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当D从点A向B运动（不运动到点）时，大小的变化情况是______（横线上填“变大”、“变小”、“不变”或先变大后变小），请说明理由． 【答案】不变，理由见解析 【详解】解：大小不发生变化，始终等于，理由如下：设，则， 在上截取，连接，如图所示： 是等边三角形，，， ，，， 在中，，是等边三角形，，， ，， 在和中，，， ，，，， 是的外角，，，故答案为：不变． 9．（25-26七年级上·湖北·课后作业）如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为 ． 【答案】1 【详解】解：如图，过作交于， 是等边三角形，， ，，，， 又，是等边三角形，， ，，，，， 在和中，，，， ，，， ，，故答案为：． 10．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点E在AC的延长线上，且CE＝BD，连接DE交BC于点F． (1)求证：EF＝DF；(2)如图2，过点D作DG⊥BC，垂足为G，求证：BC＝2FG． 【答案】(1)答案见详解(2)答案见详解 【详解】（1）证明：过点D作DM∥AC，如图，∴∠ACB=∠DMB，∠DMF=∠ECF， ∵AB＝AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠DMB，∴BD=MD，∵CE＝BD，∴CE=MD， 在∆DMF和∆ECF中，∵， ∴∆DMF≅ ∆ECF（AAS），∴EF＝DF； （2）证明：过点D作DM∥AC，如图，由第（1）题得：BD=MD，∆DMF≅ ∆ECF，∴MF=CF， ∵DG⊥BC，∴BG=MG（等腰三角形三线合一），∴BC=BM+CM=2(GM+FM)=2FG， 11．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，是等边的边 上一点，是延长线上一点，连接交于，过点作于点．证明下列结论： 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°， ∵DG⊥AC，∴∠AGD=90°，∠ADG=30°，∴AG=AD； （2）过点D作DH∥BC交AC于点H，∴∠ADH=∠B，∠AHD=∠ACB，∠FDH=∠E， ∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=∠A=60°， ∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°，∴△ADH是等边三角形，∴DH=AD，∵AD=CE，∴DH=CE， 在△DHF和△ECF中，∴△DHF≌△ECF（AAS），∴DF=EF （3）∵△ABC是等边三角形，DG⊥AC，∴AG=GH，∴S△ADG=S△HDG， ∵△DHF≌△ECF，∴S△DHF=S△ECF，∴S△DGF=S△DGH+S△DHF=S△ADG+S△ECF． 12．（2024八年级上·广东·专题练习）如图，是等边三角形，点、、G分别在边、、BC上，且，、、AG分别相交于点、P、Q．求证：△PQF是等边三角形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠BCE=60°，AC=CB， 又∵AD=CE，∴△ACD≌△CBE（SAS）；∴∠ACD=∠CBE， ∵∠ACB=∠ACD+∠BCF=60°，∴∠BFD=∠CBE+∠BCF=∠ACD+∠BCF =60°， 同理可得，∠APE=60°，∴△PQF是等边三角形． 13．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，是等边三角形，点分别是边上的点，且，求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵是等边三角形，∴，， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，同理，∴，∴是等边三角形． 14．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，，点D为边上一点，点E为边的延长线上一点，，交于点F，点F为的中点，点G在上，． (1)求证：；(2)求证：为等边三角形；(3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)6 【详解】（1）证明：∵，∴．     ∵点F为的中点，∴． 在和中，∴．    ∴． （2）证明：∵，∴，    ∴．     ∵，∴， ∴，    ∴． ∵，∴为等边三角形． （3）解：∵为等边三角形， ∴．     ∵，∴，∴．     ∵，∴，∴，∴． 15．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D． (1)过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； (2)在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； ②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； (3)当时，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析(2)①同意，理由见解析；②3(3)1 【详解】（1）证明：如图，∵是等边三角形∴， ∵∴， ∴，∴是等边三角形； （2）解：①同意她的说法，理由如下：如图，过P点作，交于F，∵，∴， 由（1）知是等边三角形，且，∴，，由题意得：，∴， 又∵，∴，∴即D为中点； ②点在运动过程中，线段的长不发生变化，， 理由如下：∵∴，∴， ∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，； （3）解：∵，，∴，∴， 设，∵等边三角形边长为∴，， ∴，解得：，∵，，∴，∴． 16．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，为等边三角形，，A、相交于点，于．(1)求证：；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：为等边三角形，，， 在与中，，； （2）解：由（1）知，，则， ，； ，，，， 又∵，，∵，∴． 17．（25-26八年级上·山东·课后作业）如图，为等边三角形，，相交于点P，于点Q．(1)求证：．(2)求的度数．(3)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】解：（1）证明：是等边三角形，． 在和中，． （2），，即． （3）．又， ． 18．（24-25八年级上·吉林长春·期末）（1）拓展：如图①，在中，，点D是上一点，点E是延长线上一点，且．过点D作交于点F，连接交于点M．求证：，．（2）应用：如图②，在上述“拓展”的条件下，另外增加条件，然后过点D作，垂足为点N．若，则的长为 ． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，，∴，∴， ∵，∴，∵，， ∴在和中，，∴，∴； （2）解：∵，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴．故答案为：． 19．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以和为腰的等腰，从特殊情形到一般情形进行如下探究：    【独立思考】如图，在中，，，，分别是，上的点，且．求证：； 【实践探究】如图，在等腰中，，点是上的点，过点作于点．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】如图，在等腰中，，，分别是，上的点，且，当的值最小时，则的度数为 ． 【答案】独立思考：见解析；实践探究：；问题拓展：． 【详解】独立思考：证明：∵， ∴为等边三角形，∴，∵，∴，∴； 实践探究：解：，理由如下：如图所示，过点作于点，则，       ∵，，∴， ∵，∴， ∴，∵，∴． ∵，∴，∴，∴． 问题拓展：解：如图所示，在下方，以点C为顶点，作，且，连接． ∵，，， ∴，∴，∴ 当的值最小时，即的值最小， ∴当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，故答案为：． 20．（24-25七年级下·山东滨州·期末）小明酷爱数学，勤于思考，善于反思，在学习八年级上册数学知识之后，他发现“全等三角形”和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助小明完成相关内容． “一线三垂直”模型的探索与拓展 【模型呈现】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为，且它们的顶点在同一条直线上，所以称为“一线三垂直模型”．若有—组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 例如：如图1，，过点C作任意一条直线m，于点D，于点E，则三个直角的顶点都在同一条直线m上，这就是典型的“一线三垂直”模型；如果，那么由，可得，又因为，所以可得．         【模型应用】问题1：如图2，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，求的长． 问题2：如图3，在平面直角坐标系中，，．若是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【模型迁移】问题3：如图4，已知为等边三角形，点D，E，F分别在三边上，且，．求证：是等边三角形．    【答案】问题1：4；问题2：点P的坐标为或或或；问题3：证明过程见解析 【详解】解：问题1：由题意得，， ∵，，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴； 问题2：如图，∵，，∴，， 当时，过点作轴于点C，∵是等腰直角三角形，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴，过点作轴于点D， ∵是等腰直角三角形，∴，∵，， ∴，又∵，∴， ∴，，∴，∴， 当时，过点作轴于点E，同理可证，， ∴，，∴，∴，过点作轴于点F， 同理可证，，∴，，∴，∴， 综上所述，点P的坐标为或或或；    问题3：∵是等边三角形，∴， ∵，∴， 又∵，∴， 在和中，，∴，∴， 又∵，∴是等边三角形． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 等腰（等边）三角形中重要模型之长短手模型与等边截等长模型 等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。各类考试的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的几类重要模型作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.帽子模型（长短手模型） 5 模型2.等边截等长模型（定角模型） 10 模型3.等边内接等边模型 13 16 帽子模型（长短手模型）与等边截等长模型、等边内接等边模型是初中几何中源于等腰三角形和等边三角形特性衍生的经典解题模型，其核心思想通过对称性、全等变换及线段比例关系简化复杂几何问题。‌ 两种模型均强调对称性与全等变换：帽子模型侧重等腰三角形的“长短手”对称‌，等边截等长模型与等边内接等边模型则利用等边三角形的旋转特性‌。在初中几何教学中，二者常结合“等边内接等边模型”综合训练学生的空间思维。 （24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，中，，点从点出发沿线段移动（点不与，重合），同时，点从点出发沿线段的延长线移动，已知点、移动的速度相同，与直线相交于点．(1)求证：；(2)过点作直线的垂线，垂足为，、在移动过程中，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． （24-25八年级上·重庆·期末）如图，在等边三角形中，，分别在边，上，且，与交于点，，垂足为点.下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 （24-25八年级上·江苏·期中）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求的长． 1）帽子模型（长短手模型） 条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②。 证明：如图，过点D作交于H，则，， ∵，∴，∴，∴，∵，∴， 在和中,，∴，∴； ∵，∴，∵，，∴， ∴，∴． 2）等边截等长模型（定角模型） 条件：如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．结论：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。 证明：在等边三角形中，，， 在和中，，，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE； ． ，，∴BQ=2PQ． 3）等边内接等边模型 图1 图2 1）等边内接等边（截取型） 条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF； 结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：∵是等边三角形，∴，． ∵，∴． 在和中，∴（）， ∴．同理，∴，∴是等边三角形． 2）等边内接等边（垂线型） 条件：如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：是等边三角形，， ，，，， ，，是等边三角形， 模型1.帽子模型（长短手模型） 例1（24-25八年级上·湖北随州·期中）如图，在等边中，，过边上一点D作于点H，点E为延长线上一点，且，连接交于点F，则的长为 ． 例2（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，点D在边上，点E在的延长线上，且，连接交于点F．(1)求证：；(2)过点D作于点G，若．求的长． 例3（24-25七年级下·浙江宁波·期末）全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】（1）构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在中，已知，可证，小聪同学的作法是作边上的高线．现在请你完成小聪同学的证明过程； 【类比分析】（2）通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在中，已知，点E为边上一点，点F为边延长线上一点，连接与边交于点D，若点D恰为线段中点，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【学以致用】（3）如图3，在中，，，分别为的角平分线和中线，过点E作与线段的延长线交于点G，与边的延长线交于点F，已知的面积是30，线段的长为8，求的面积． 例4（24-25七年级下·广东深圳·期末）【问题初探】（1）数学课上，李老师给出在中，已知，求证：． 证明：作的平分线交于点D．∴． 在和中，∵， ∴，∴． 结论：有两个角相等的三角形是等腰三角形 接着出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，并应用了李老师前面证明的结论得出此题结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答． 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】（3）如图5，在中，，平分，点E在线段的延长线上，过点E作，交于点N，交于点D，且， ，，求的长． 模型2.等边截等长模型（定角模型） 例1（24-25八年级·重庆·期中）如图，已知△是等边三角形，、分别是、边上的点，且，、相交于点.求证：； 例2（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在等边三角形的边上各取一点P，Q（均不与端点重合），且相交于点O．下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 例3（24-25八年级上·天津·期末）如图，为等边三角形，，、相交于点，于．(1)求证：；(2)求的度数；(3)若，，求的长． 例4（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，为等边三角形，点、分别是边、所在直线上的动点，若点、以相同的速度，同时从点、点出发，分别沿、方向运动，直线、交于点． (1)如图1，求证：；(2)在点、点运动过程中，______°； (3)如图2，点为边中点，连接，，当点、分别在线段、上运动时，判断与的数量关系，并证明你的结论． 模型3.等边内接等边模型 例1（2024八年级上·重庆·专题练习）如图，过等边三角形的顶点、、依次作、、的垂线、，三条垂线围成，若，则的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 例2（24-25七年级下·成都·校考期中）如图，和都是等边三角形，点D，E，F分别在边上，若的周长为15，，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 例3（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．    例4（2023·广西·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．(1)求证：；(2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式。    1.（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，点在上，点在线段的延长线上，且，连接与相交于点．若，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 2.（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，点是等边的边上一点，过点作，垂足为点，延长至点，使，连接交于点．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江杭州·二模）如图，是等边三角形，D，E分别是，边上的点，且，连接，相交于点F，则下列说法正确的是（    ） ①；②； A．① B．② C．①② D．都错 4．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，下面结论：①；②的度数不变，始终等于；③当第秒或第秒时，为直角三角形；④当第2秒时，．其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，已知等边，点D在上，点F在的延长线上，于点于交于点P，则下列结论中：①；②；③；④．一定正确的是（    ） A．① B．②④ C．①②③ D．①②④ 6．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，点P、M、N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N，若，则的长为 ． 7．（24-25八年级下·江西九江·期中）如图，等边三角形中，D、E分别在边上，且与交于点于点．下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中正确的结论是 ． 8．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，在等边中，D、E分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当D从点A向B运动（不运动到点）时，大小的变化情况是______（横线上填“变大”、“变小”、“不变”或先变大后变小），请说明理由． 9．（25-26七年级上·湖北·课后作业）如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为 ． 10．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点E在AC的延长线上，且CE＝BD，连接DE交BC于点F．(1)求证：EF＝DF；(2)如图2，过点D作DG⊥BC，垂足为G，求证：BC＝2FG． 11．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，是等边的边 上一点，是延长线上一点，连接交于，过点作于点．证明下列结论： 12．（2024八年级上·广东·专题练习）如图，是等边三角形，点、、G分别在边、、BC上，且，、、AG分别相交于点、P、Q．求证：△PQF是等边三角形． 13．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，是等边三角形，点分别是边上的点，且，求证：是等边三角形． 14．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，，点D为边上一点，点E为边的延长线上一点，，交于点F，点F为的中点，点G在上，． (1)求证：；(2)求证：为等边三角形；(3)若，，求的长． 15．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D． (1)过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； (2)在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； ②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； (3)当时，请直接写出的长． 16．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，为等边三角形，，A、相交于点，于．(1)求证：；(2)若，，求的长． 17．（25-26八年级上·山东·课后作业）如图，为等边三角形，，相交于点P，于点Q．(1)求证：．(2)求的度数．(3)若，求的长． 18．（24-25八年级上·吉林长春·期末）（1）拓展：如图①，在中，，点D是上一点，点E是延长线上一点，且．过点D作交于点F，连接交于点M．求证：，．（2）应用：如图②，在上述“拓展”的条件下，另外增加条件，然后过点D作，垂足为点N．若，则的长为 ． 19．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以和为腰的等腰，从特殊情形到一般情形进行如下探究：    【独立思考】如图，在中，，，，分别是，上的点，且．求证：； 【实践探究】如图，在等腰中，，点是上的点，过点作于点．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】如图，在等腰中，，，分别是，上的点，且，当的值最小时，则的度数为 ． 20．（24-25七年级下·山东滨州·期末）小明酷爱数学，勤于思考，善于反思，在学习八年级上册数学知识之后，他发现“全等三角形”和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助小明完成相关内容． “一线三垂直”模型的探索与拓展 【模型呈现】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为，且它们的顶点在同一条直线上，所以称为“一线三垂直模型”．若有—组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 例如：如图1，，过点C作任意一条直线m，于点D，于点E，则三个直角的顶点都在同一条直线m上，这就是典型的“一线三垂直”模型；如果，那么由，可得，又因为，所以可得．         【模型应用】问题1：如图2，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，求的长． 问题2：如图3，在平面直角坐标系中，，．若是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【模型迁移】问题3：如图4，已知为等边三角形，点D，E，F分别在三边上，且，．求证：是等边三角形．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $