专题13 等腰（等边）三角形中重要模型之维维尼亚模型（几何模型讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题13 等腰（等边）三角形中重要模型之维维尼亚模型 维维亚尼定理（Viviani's theorem）：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。 而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 6 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 10 16 维维尼亚模型（又称维维亚尼模型）是几何学中基于等边或等腰三角形特性的经典模型，其核心来源于17世纪意大利数学家维维亚尼（Vincenzo Viviani）提出的维维亚尼定理。该模型通过垂直距离的定和关系，为几何问题提供了简洁的解决路径。 维维亚尼在1692年研究等边三角形时发现：‌任意内点到三边的垂直距离之和恒等于三角形的高。这一结论后被推广至等腰三角形及正多边形，成为模型的理论基础。‌ （24-25八年级上·江苏南通·期中）阅读材料：如图1，中，，P为底边上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h， (1)连接，则，即：，∴，即之间的数量关系是： ． (2)深入探究:如图2，将“在中，，P为底边上任意一点”改成“P为等边三角形内一点”，作，垂足分别为E、F、M、G，则和之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接）; (3)理解与应用:如图3，当点P在外时，和之间又有怎样的关系？写出结论并证明． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）解：；故答案为：； （2）解：，理由如下： 连接，则，∵等边三角形，∴， ∵，∴， ∴，∴； （3）解：，理由如下：连接，则， ∵等边三角形，∴，∵， ∴， ∴，∴． （24-25八年级上·江苏宿迁·期末）【数学阅读】如图1，在中，，点P为边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F，求证：． 小尧的证明思路是：如图2，连接，由与面积之和等于的面积可得：    【推广延伸】如图3，当点P在延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想，与的数量关系，并证明． 【解决问题】如图4，在平面直角坐标系中有两条直线、，分别是函数，和的图象，、与x轴的交点分别为A，B．（1）两条直线的交点C的坐标为________________；（2）说明是等腰三角形；（3）若上的一点M到的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标． 【答案】数学阅读：见详解；推广延伸：，理由见详解；解决问题：（1）；（2）见详解；（3）或． 【详解】数学阅读：证明：如图2，连接，∵，， ， ∴， ，， 又∵，∴，∴， ∵，∴． 推广延伸：解：，理由如下：如图3，连接，    ∵， ， ，∴， ，， 又∵，∴，∴， ∵，∴． 解决问题：解：（1）联立，得，∴两条直线的交点C的坐标为； （2）由得，∴，∴， 由，得，∴，∴，∴， 在中， ，∴，∴是等腰三角形． （3）如图，若M点在射线上，作于E点，于F点．      图 图 在，，由图②得，∴，∴，∴M点的纵坐标为2， 由，得，∴． 如图，若M点在射线的反向延长线上，由图③得， ∴，∴M点的纵坐标为4， 由，得，．综上，M点的坐标为或． 1）等边三角形中维维尼亚模型 条件：在等边中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。 结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM； ②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。 （当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。    图1 图2 证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=AC， 则， ∵； ∴PD+PE+PF=AM。 ②如图3，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=CA， 则， ∵； ∴PD+PE-PF=AM。 2）等腰三角形中维维尼亚模型 条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB， 结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF，AD-AF=AC-AE（即DF=CE）。 ②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD，|AE-AC|=|AD-AF|（即DF=CE）。 图1 图2 证明：①如图1，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PE+PD=CF。 ①如图2，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PF-PE=CD。 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 例1（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，点为等边内一点，过点分别向，，边作垂线，垂足分别为，，；若，，，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长分别交的延长线于点，交于点， ∵是等边三角形，， ∴，，∴ ∵点分别向，，边作垂线，垂足分别为，，； ∵∴∴∴ ∵,∴ ∴，，∴，， ∵，∴又∵∴ ∴∴∴ 在中，∴，故答案为：． 例2（24-25九年级上·湖南郴州·培优）如图，为等腰三角形内一点，过分别作三条边、、的垂线，垂足分别为、、．已知，，且．则四边形的面积为（   ） A．10 B．15 C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，∵，∴， ∵，，∴点P在的平分线上， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，在中，， 由勾股定理得 ，设、、分别为x、、， ∵，∴， ∴，解得：， ∴，∴， ∴，∴， ∴．故选：C． 例3（24-25八年级上·浙江·阶段练习）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、的边上的高为．回答以下问题： (1)如图（1）若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明．    【答案】(1)，证明见解析(2)(3) 【详解】（1）解：，证明：如图，连接， ，  ，     ， 是等边三角形，，，，， ，，， ，，； （2）解：如图，连接、、，是等边三角形，， ，，，， ，，，， ，，， ，； （3）解：如图，连接、、， 是等边三角形，，，，，， ，，，， ，，． 例4（24-25八年级上·云南大理·期末）如图（1），已知在中，，且，过点A作于点，点是直线上一动点，设点到两边、的距离分别为，，的高为． (1)当点运动到点位置时，与有什么关系； (2)如图（2），试判断、、之间的关系，并证明你的结论； (3)如图（3），当点运动到的延长线上时，求证：． 【答案】(1)当点P与点M重合时，，理由见解析(2)，证明见解析(3)证明见解析 【详解】（1）解：当点P与点M重合时，，理由： 过点M作于点D，于点E，如图， ∵且，∴是等边三角形， ∵即，∴， ∴， ∴，∴，∴； （2）解：，理由如下：如图，连接， 则，∴，即， 又∵是等边三角形，∴，∴； （3）证明：如图，连接，则 ， ∴，即， 又∵是等边三角形，∴，∴；∴，∴， 两边同时除以2024得，∴，∴． 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 例1（24-25八年级上·云南迪庆·期中）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两腰垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为24，则的值为 ． 【答案】8 【详解】解：连接，如图， ，∴， ∵，，∴故答案为：8． 例1（24-25八年级上·广东·期中）如图，是等腰三角形，点O是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为8，面积为20，则的值为（    ）    A．5 B．7.5 C．9 D．10 【答案】A 【详解】解：连接，如图，∵、分别与两边垂直，面积为20， ，        ，，，故选：A． 例2（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则 【答案】 【详解】解：∵，，， 又∵，∴， ∵，∴，∴．故答案为：． 例3（24-25八年级下·江西·阶段练习）数学课上，老师画出一等腰并标注：，，然后让同学们提出有效问题并解决请你结合同学们提出的问题给予解答．    (1)甲同学提出：______度；(2)乙同学提出：的面积为：______； (3)丙同学提出：点D为边的中点，，，垂足为E、F，请求出的值； (4)丁同学说受丙同学启发，点D为边上任一点，，，，垂足为E、F、H，则有．请你为丁同学说明理由． 【答案】(1)(2)25(3)(4)见解析 【详解】（1）解：，，； （2）解：过点B作，交AC于点H，则：，         ，，，； （3）解：连接，如图所示：，点D为边的中点，平分， ，，（角平分线的性质）； ∵，，， 由（2）知，，； （4）证明：连接，如图所示： ∵，，，，，， ，，， 即：，． 例4（24-25七年级下·重庆·期末）在中，边上的高，点P是直线上任意一点，过P作于E，于F，且． (1)如图①，若点P在边上时，三者关系如何？请说明理由； (2)如图②，③，若点P在或的延长线上时，三者关系又如何？（直接写出结论，不需说明理由）；(3)若点P是直线上的点，，求的值． 【答案】(1)，理由见解析(2)在图②中，；在图③中，(3)的值为3或13 【详解】（1）解：如图，连接， ，，，，，， 又， ，，即； （2）解：如图，点在的延长线上时，连接， ， ，，即；如图，点在的延长线上时，连接， ， ，，即； （3）解：当点P在边上时，由（1）可知，，那么，故； 当点在的延长线上时，由（2）可知，，那么，故（舍去）； 当点在的延长线上时，由（2）可知，，那么，故． 综上所述，的值为3或13． 例5（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：如图①在等腰三角形中，，，，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为，． (1)请你结合图形来证明：； 证明过程：连接，由题意得，，， ∵，； ______________________． 又∵，， ∴，∴． (2)如图（2），当点M在延长线上时，、、h之间又有什么样的关系，请写出结论并证明； (3)利用以上结论解答，如图③在平面直角坐标系中有两条直线，，若上的一点M到的距离是．求点M的坐标． 【答案】(1)，(2)，证明见解析(3)点M的坐标为或． 【详解】（1）证明：连接，由题意得，，， ∵，，， 又∵，，∴ ，∴；故答案为：，； （2）解：如图，；理由如下， 证明：由题意得，，， ∵，，， 又∵，，∴ ，∴； （3）解：在中，令得；令得，∴，， 在中，令得，∴，∴，， ∴，即为等腰三角形，设M点坐标为， ①当点M在边上时，由得：，∴， 把代入中求得：，∴此时； ②当点M在延长线上时，由得：，∴， 把代入中求得：，∴此时； ③当点M在的延长线上时，点M到的距离不可能为，此情况不存在； 综上所述：点M的坐标为或． 1．（2024·河北·二模）如图，P为边长为2的等边三角形ABC内任意一点，连接PA、PB、PC，过P点分别作BC、AC、AB边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF等于（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：∵正三角形的边长为2，∴高为2×sin60°＝，∴S△ABC＝×2×＝， ∵PD、PE、PF分别为BC、AC、AB边上的高，∴S△PBC＝BC•PD，S△PAC＝AC•PE，S△PAB＝AB•PF， ∵AB＝BC＝AC，∴S△PBC+S△PAC+S△PAB＝BC•PD+AC•PE+AB•PF＝×2（PD+PE+PF）＝PD+PE+PF， ∵S△ABC＝S△PBC+S△PAC+S△PAB，∴PD+PE+PF＝．故选B． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，将矩形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，为折痕上的任意一点，过点作，，垂足分别为，，若，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．16 【答案】B 【详解】解：如图，过点E作EQ⊥BC于Q，连接BP， ∵四边形ABCD是长方形，∴ADBC，∴∠DEF＝∠BFE， 由折叠可得，∠DEF＝∠BEF，∴∠BFE＝∠BEF，∴BE＝BF， ∵PG⊥BE、PH⊥BC，∴S△BEF＝S△BEP+S△BFP＝BE•PG+BF•PH＝BF（PG+PH）， 又∵S△BEF＝BF•EQ，∴BF（PG+PH）＝BF•EQ，∴PG+PH＝EQ， ∵四边形ABCD是长方形，∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝∠A＝∠ABC＝90°，AB＝DC， ∵AD＝16，CF＝6，∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝10． ∵折叠，∴F＝CF＝6，∠＝∠C＝90°，DC＝B， ∴在Rt△BF中，B＝，∴AB＝DC＝B＝8， ∵∠A＝∠ABC＝90°，EQ⊥BC，∴四边形ABQE是长方形， ∴EQ＝AB＝8，∴PG+PH＝EQ＝8．故选：B． 3．（2024八年级上·重庆·专题练习）如图，点P在等边三角形的内部，，，，垂足分别为D，E，F，若，且的边长为8，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：连接，，， ∵是等边三角形，∴， ∵，，，， ∴，故答案为：． 4．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在中，，P是边上的任意一点，于点E，于点F．若，求的长．    【答案】 【分析】根据，结合已知条件，即可求得的值． 【详解】解：如图，连接，   于点E，于点F， ， ，，． 5．（24-25九年级下·江西九江·阶段练习）新定义题型构思巧妙，立意新颖，重在考查学生的学习能力，实践能力及创新精神，让我们试试吧：我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫作“等邻角四边形”． (1)定义理解：如图①，已知四边形为等邻角四边形，且，求的度数．    (2)定义运用：如图②，在五边形中，，对角线平分，求证：四边形为等邻角四边形；(3)定义拓展：如图③，在等邻角四边形中，，点为边边上的一动点，过点作，垂足分别为，试猜想，在点的运动过程中，的值是否会发生改变，并说明理由． 【答案】(1)(2)见解析(3)的值不会发生改变．理由见解析 【详解】（1）因为四边形的内角和为，且与的度数均大于或等于，故根据“等邻角四边形”定义，均不可能与中的任意一个角相等，否则总内角和大于．∴． ∵，∴，解得：． （2）∵，∴．∵平分，∴． ∴．∴四边形为等邻角四边形； （3）的值不会发生改变．理由如下： 如图，作，垂足为Q，自P作，垂足为R， ∵，∴四边形是矩形．∴，且，    ∴．由题意，知． 又∵，∴．∴，∴． 因此， 在点P的运动过程中，的值不会发生改变，总等于； 6．（24-25八年级上·浙江金华·期中）在中，，点是所在直线上一个动点，过点作、，垂足分别为、； (1)如图1，若点是的中点时，求证：； (2)如图2，为腰上的高，当点在边上时，试探究、、之间的关系，并说明理由． (3)如图3，当点运动到的延长线上时，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）证明：如图1所示，连接， ，点是的中点，、， ，即，； （2）解：，理由如下，如图2所示，连接， ，、，为腰上的高， ，，； （3）如下图，过点作于点，连接， ，、，，， ，，若，则． 7．（2024·重庆九龙坡·二模）学习了等腰三角形后，小颖进行了拓展性研究．她过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段，她发现，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高．她的解决思路是通过计算面积得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用无刻度直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为点，点在边上．（只保留作图痕迹，不写作法） 已知：如图，在中，，于点，于点．求证：．    证明：如图，连接．，，， ，，． ，①______，即． ②______，，③______． 再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题填空： 过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④______． 【答案】，①；②；③；④这两条垂线段长度的和等于一腰上的高 【详解】作图如下：    证明：如图，连接．，，， ，，． ，①，即． ②，，③． 再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④这两条垂线段长度的和等于一腰上的高． 故答案为：①；②；③；④这两条垂线段长度的和等于一腰上的高． 8．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在中，垂直于为上的任意一点，过点分别作，垂足分别为． (1)若为边中点，则三条线段有何数量关系（写出推理过程）？ (2)若为线段上任意一点，则（1）中关系还成立吗？ 【答案】(1)，理由见解答 (2)（1）中关系还成立，理由见解答 【详解】（1）解，理由：如图1，连接， ∵于于于， ∵， 又∵∴， ∵∴； （2）（1）中关系还成立，理由：连接，， 又， 9．（24-25湖南八年级上期中）定义：到三角形的两条边的距离相等的点，叫做这个三角形的雅实心，例：如图1，当P在△ABC的AC边上时，若PD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，且，则称点P为△ABC的AC边上的雅实心．△ABC各边上的雅实心构成的新的三角形，叫做雅实三角形． (1)如图2，△ABC中，，，求BC边上的雅实心P到AB的距离PD的长． (2)如图3，等边△ABC的边长为4cm，求等边△ABC的雅实三角形的面积．(3)如图4，在平面直角坐标系xoy中，点A，B分别在x，y轴上，且A（2，0），，求△AOB的各边上的雅实心P的坐标． 【答案】(1)(2)等边△ABC的雅实三角形的面积为 (3)当点P在斜边AB上时，，当点P在OB上时，，当P在OA上时， 【详解】（1）解：由题意可知，PA平分∠BAC，又， 所以，由等腰三角形的性质可得：AP⊥BC，所以在Rt△ABP中，由等面积法可：， 又Rt△ABP由勾股定理有：，．∴． （2）解：由题意可知，等边△ABC的雅实三角形是三角形的三条中位线构成的三角形， 在等边△ABC中边长为4cm边上的高为 故等边△ABC的雅实三角形的面积：． （3）解：由题意可知：，， 分三种情况讨论：①当点P在斜边AB上时，作PE⊥OB，PF⊥OA，由题知， 由等面积法有：，∴,∴． ②当点P在OB上时，故点P在到OA、AB的距离相等平分 ，设， 则，Rt△AOP中由勾股定理有：，∴，∴． ③当P在OA上时，作PH⊥AB于H，由题可知，设，在Rt△PHA中， 由勾股定理有：，∴，∴． 10．（24-25广东八年级上期中）如图，在中，，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高． （1）DE，DF，CG的长之间的等量关系是________；（2）若D在底边BC的延长线上，其他条件不变，则DE，DF，CG的长之间的等量关系是_________．（请说明理由） 【答案】（1）；（2），见解析 【详解】解：（1），理由如下： 连接，则，即，∴， ∵，∴∴，故答案为：； （2）当点在延长线上时， ； 理由：连接，则 ,即, ∴，∵，∴ ∴．故答案为：． 11．（2025·河南·一模）[问题情境](1)王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在中，，P为边上的任一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F．求证：． 小明的证明思路是：如图②，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：． 小颖的证明思路是：如图②，过点P作，垂足为G，可以证得：，，则． 请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程． [变式探究](2)如图③，当点P在延长线上时，问题情境中，其余条件不变，求证：． [结论运用](3)如图④，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点P作，，垂足分别为G，H，若，，求的值． 【答案】(1)见详解(2)见详解(3)4(4)cm 【详解】（1）小明的证明：连接，如图②， ，，，， ，，． 小颖的证明：过点P作，如图2， ，，，， 四边形为矩形，， ，， ，，， ，，， ，，， 在和中，，≌， ，； （2）小明的证明思路：连接，如图③， ，，，， ，； 小颖的证明思路：过点C作，如图③， ，，， 四边形为矩形，， ， ，，， ，，，，， ，，，， 在和中，，≌， ． （3）解：如图④过点E作，四边形是矩形，，， ，，， 由折叠有， ，，，，， ，，，四边形是矩形，， ，，，， ，由问题情景中的结论可得： ，．的值为4． 12.（24-25七年级下·广东梅州·阶段练习）解答下列问题． (1)【数学阅读】如图，在中，，点为边上的任意一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为，求证：． 小尧的证明思路是：如图，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：．      (2)【推广延伸】如图，当点在延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想，与的数量关系，并证明． (3)【解决问题】如图，在平面直角坐标系中有两条直线，，分别是函数和的图象，，与轴的交点分别为，．①两条直线的交点的坐标为______；②说明是等腰三角形；③若上的一点到的距离是，运用上面的结论，求点的坐标． 【答案】(1)见解析(2)猜想：．证明见解析 (3)①；②见解析；③点的坐标为或 【详解】（1）如图2，连接．，，， ，，， ，，又，． （2）猜想：．证明：如图3，连接．        ，，，，，， ，， 又，． （3）①直线和相交于点， ，解得：，点的坐标为，故答案为：； ②，令，则，． ，令，则，，， 在中，，， ，，是等腰三角形． ③当在线段上时，过分别作轴，，垂足分别为，， 上的一点到的距离是，， 由图2的结论得：，，点的纵坐标为， 又在直线上，当时，，坐标为； 同理，由前面结论可知当点在线段外时，有， 可求得或，即点的纵坐标为或， 分别代入，可求得或（舍，因为它到的距离不是），点的坐标为． 综上可知，点的坐标为或． 13．（24-25八年级上·河南·期中）大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形中，，其一腰上的高为，是底边上的任意一点，到腰、的距离分别为、． (1)请你结合图形来证明：；(2)当点在延长线上时，、、之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；(3)利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线：，：，若上的一点到的距离是，求点的坐标．       【答案】(1)见解析(2)，图见解析(3)或 【详解】（1）证明：连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，由题意得，，， ∵，，， 又∵，， ∴， ∴．       （2）解：如图所示：． 理由：连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，由题意得，，， ∵，， ，又∵，， ∴， ∴． （3）在中，令得；令得， 所以，同理求得． ∵，，∴，即为等腰三角形． 当点在边上时，由得：，， 把它代入中求得：，所以此时． 当点在延长线上时，由得：，， 把它代入中求得：，所以此时． 当点在的延长线上时，，不存在． 综上所述：点的坐标为或．    14．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）综合探究：探索等腰三角形中相等的线段． 问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？ 问题初探：（1）希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图1．在中，，是的中点，，，垂足分别为点，．经过合作，该小组的同学得出的结论是，并且展示了他们的证法如下：    证明：如图1，∵，，∴， ∵，∴（依据1），∵是的中点，∴， 在和中，∴（依据2），∴． 请写出依据1和依据2的内容：依据1：________；依据2：________． 类比探究：（2）奋斗小组的同学认真研究过后，发现以下两个结论：①在图3中，若，分别为和的中线，那么仍然成立．②在图4中，若，分别为和的角平分线，那么与的数量关系为________． （3）未来小组的同学经过探究又有新的发现，如果在等腰中，作腰上的高，如图5，则与有确定的数量关系，请你直接写出这个数量关系为________． 【答案】（1）等边对等角；；（2）①依然成立，证明见解析；②；（3） 【详解】（1）解：依据1：等边对等角；依据2：，故答案为：等边对等角；； （2）①∵，D是的中点，∴平分，即， ∵分别为和的中线，∴，∴， 又∵，∴，∴； ②∵，D是的中点，∴，，，∴， ∵分别为和的角平分线，∴， ∴，∴，∴； （3）连接，∵，D是的中点，∴平分，    ∵，，∴，∵， ∴，∴，故答案为：． 15.（24-25山西八年级上期中）（1）如图（1），已知在等腰三角形中，，点是底边上的一点，，垂足为点，，垂足为点．求证：为定长． （2）如图（2），已知在等腰三角形中，，点是底边的延长线上的一点，，垂足为点，，垂足为点．求证：为定长． （3）如图（3），已知：点为等边三角形内任意一点，过分别作三边的垂线，分别交三边与、、．求证：为定长． 【答案】证明见解析 【详解】（1）过点作，垂足为点；连接． ∵，∴． 又∵，∴，为定长．即等腰三角形底边上的任意一点，到两腰的距离之和等于定长． （2）过点作，垂足为点；连接． ∵，∴． 又∵，∴，为定长． 即等腰三角形底边的延长线上的任意一点，到两腰的距高之差等于定长． （3）∵，∴． 又∵为等边三角形，∴．∴，为定长． 即等边三角形内一点到三边距离之和为定长． 16.（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图①，已知是等边三角形，于点M，点P是直线BC上一动点，设点P到两边AB、AC的距离分别为，，的高为h． (1)当点P运动到什么位置时，，并说明理由． (2)如图②，试判断，，h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图，当点P运动到BC的延长线上时，求证：． 【答案】(1)当点P与点M重合时，，理由见解析；(2)h＝h1＋h2，证明见解析；(3)证明见解析． 【详解】（1）解：当点P与点M重合时，h1＝h2， 理由：过点M作MF⊥AB于点F，ME⊥AC于点E，如图①，则MF＝h1，ME＝h2， ∵△ABC是等边三角形，AM⊥BC，∴BM＝CM，AB＝AC， ∴S△ABM＝S△ACM，∴AB•MF＝AC•ME，∴MF＝ME，∴h1＝h2； （2）h＝h1＋h2．证明：如图②，连接AP，则 S△ABC＝S△ABP＋S△APC， ∴BC•AM＝AB•PF＋AC•PE，即BC•h＝AB•h1＋AC•h2， 又∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝AC，∴h＝h1＋h2； （3）解：如图③，连接AP，则 S△APC＋S△ABC＝S△ABP， ∴AC•PE＋BC•AM＝AB•PF，即 AC•h2＋BC•h＝AB•h1， 又∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB，∴h2＋h＝h1， ∴，∴，两边同时除以2022得，， ∴，即． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 等腰（等边）三角形中重要模型之维维尼亚模型 维维亚尼定理（Viviani's theorem）：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。 而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 6 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 10 16 维维尼亚模型（又称维维亚尼模型）是几何学中基于等边或等腰三角形特性的经典模型，其核心来源于17世纪意大利数学家维维亚尼（Vincenzo Viviani）提出的维维亚尼定理。该模型通过垂直距离的定和关系，为几何问题提供了简洁的解决路径。 维维亚尼在1692年研究等边三角形时发现：‌任意内点到三边的垂直距离之和恒等于三角形的高。这一结论后被推广至等腰三角形及正多边形，成为模型的理论基础。‌ （24-25八年级上·江苏南通·期中）阅读材料：如图1，中，，P为底边上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h， (1)连接，则，即：，∴，即之间的数量关系是： ． (2)深入探究:如图2，将“在中，，P为底边上任意一点”改成“P为等边三角形内一点”，作，垂足分别为E、F、M、G，则和之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接）; (3)理解与应用:如图3，当点P在外时，和之间又有怎样的关系？写出结论并证明． （24-25八年级上·江苏宿迁·期末）【数学阅读】如图1，在中，，点P为边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F，求证：． 小尧的证明思路是：如图2，连接，由与面积之和等于的面积可得：    【推广延伸】如图3，当点P在延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想，与的数量关系，并证明． 【解决问题】如图4，在平面直角坐标系中有两条直线、，分别是函数，和的图象，、与x轴的交点分别为A，B．（1）两条直线的交点C的坐标为________________；（2）说明是等腰三角形；（3）若上的一点M到的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标． 1）等边三角形中维维尼亚模型 条件：在等边中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。 结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM； ②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。 （当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。    图1 图2 证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=AC， 则， ∵； ∴PD+PE+PF=AM。 ②如图3，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=CA， 则， ∵； ∴PD+PE-PF=AM。 2）等腰三角形中维维尼亚模型 条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB， 结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF，AD-AF=AC-AE（即DF=CE）。 ②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD，|AE-AC|=|AD-AF|（即DF=CE）。 图1 图2 证明：①如图1，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PE+PD=CF。 ①如图2，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PF-PE=CD。 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 例1（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，点为等边内一点，过点分别向，，边作垂线，垂足分别为，，；若，，，则的值为 ． 例2（24-25九年级上·湖南郴州·培优）如图，为等腰三角形内一点，过分别作三条边、、的垂线，垂足分别为、、．已知，，且．则四边形的面积为（   ） A．10 B．15 C． D． 例3（24-25八年级上·浙江·阶段练习）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、的边上的高为．回答以下问题： (1)如图（1）若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明．    例4（24-25八年级上·云南大理·期末）如图（1），已知在中，，且，过点A作于点，点是直线上一动点，设点到两边、的距离分别为，，的高为． (1)当点运动到点位置时，与有什么关系； (2)如图（2），试判断、、之间的关系，并证明你的结论； (3)如图（3），当点运动到的延长线上时，求证：． 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 例1（24-25八年级上·云南迪庆·期中）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两腰垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为24，则的值为 ． 例1（24-25八年级上·广东·期中）如图，是等腰三角形，点O是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为8，面积为20，则的值为（    ）    A．5 B．7.5 C．9 D．10 例2（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则 例3（24-25八年级下·江西·阶段练习）数学课上，老师画出一等腰并标注：，，然后让同学们提出有效问题并解决请你结合同学们提出的问题给予解答．    (1)甲同学提出：______度；(2)乙同学提出：的面积为：______； (3)丙同学提出：点D为边的中点，，，垂足为E、F，请求出的值； (4)丁同学说受丙同学启发，点D为边上任一点，，，，垂足为E、F、H，则有．请你为丁同学说明理由． 例4（24-25七年级下·重庆·期末）在中，边上的高，点P是直线上任意一点，过P作于E，于F，且． (1)如图①，若点P在边上时，三者关系如何？请说明理由； (2)如图②，③，若点P在或的延长线上时，三者关系又如何？（直接写出结论，不需说明理由）；(3)若点P是直线上的点，，求的值． 例5（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：如图①在等腰三角形中，，，，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为，． (1)请你结合图形来证明：； 证明过程：连接，由题意得，，， ∵，； ______________________． 又∵，， ∴，∴． (2)如图（2），当点M在延长线上时，、、h之间又有什么样的关系，请写出结论并证明； (3)利用以上结论解答，如图③在平面直角坐标系中有两条直线，，若上的一点M到的距离是．求点M的坐标． 1．（2024·河北·二模）如图，P为边长为2的等边三角形ABC内任意一点，连接PA、PB、PC，过P点分别作BC、AC、AB边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF等于（　　） A． B． C．2 D． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，将矩形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，为折痕上的任意一点，过点作，，垂足分别为，，若，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．16 3．（2024八年级上·重庆·专题练习）如图，点P在等边三角形的内部，，，，垂足分别为D，E，F，若，且的边长为8，则的面积为 ． 4．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在中，，P是边上的任意一点，于点E，于点F．若，求的长．    5．（24-25九年级下·江西九江·阶段练习）新定义题型构思巧妙，立意新颖，重在考查学生的学习能力，实践能力及创新精神，让我们试试吧：我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫作“等邻角四边形”． (1)定义理解：如图①，已知四边形为等邻角四边形，且，求的度数．    (2)定义运用：如图②，在五边形中，，对角线平分，求证：四边形为等邻角四边形；(3)定义拓展：如图③，在等邻角四边形中，，点为边边上的一动点，过点作，垂足分别为，试猜想，在点的运动过程中，的值是否会发生改变，并说明理由． 6．（24-25八年级上·浙江金华·期中）在中，，点是所在直线上一个动点，过点作、，垂足分别为、； (1)如图1，若点是的中点时，求证：； (2)如图2，为腰上的高，当点在边上时，试探究、、之间的关系，并说明理由． (3)如图3，当点运动到的延长线上时，若，，求的长度． 7．（2024·重庆九龙坡·二模）学习了等腰三角形后，小颖进行了拓展性研究．她过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段，她发现，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高．她的解决思路是通过计算面积得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用无刻度直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为点，点在边上．（只保留作图痕迹，不写作法） 已知：如图，在中，，于点，于点．求证：．    证明：如图，连接．，，， ，，． ，①______，即． ②______，，③______． 再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题填空： 过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④______． 8．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在中，垂直于为上的任意一点，过点分别作，垂足分别为．(1)若为边中点，则三条线段有何数量关系（写出推理过程）？(2)若为线段上任意一点，则（1）中关系还成立吗？ 9．（24-25湖南八年级上期中）定义：到三角形的两条边的距离相等的点，叫做这个三角形的雅实心，例：如图1，当P在△ABC的AC边上时，若PD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，且，则称点P为△ABC的AC边上的雅实心．△ABC各边上的雅实心构成的新的三角形，叫做雅实三角形． (1)如图2，△ABC中，，，求BC边上的雅实心P到AB的距离PD的长． (2)如图3，等边△ABC的边长为4cm，求等边△ABC的雅实三角形的面积．(3)如图4，在平面直角坐标系xoy中，点A，B分别在x，y轴上，且A（2，0），，求△AOB的各边上的雅实心P的坐标． 10．（24-25广东八年级上期中）如图，在中，，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高． （1）DE，DF，CG的长之间的等量关系是________；（2）若D在底边BC的延长线上，其他条件不变，则DE，DF，CG的长之间的等量关系是_________．（请说明理由） 11．（2025·河南·一模）[问题情境](1)王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在中，，P为边上的任一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F．求证：． 小明的证明思路是：如图②，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：． 小颖的证明思路是：如图②，过点P作，垂足为G，可以证得：，，则． 请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程． [变式探究](2)如图③，当点P在延长线上时，问题情境中，其余条件不变，求证：． [结论运用](3)如图④，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点P作，，垂足分别为G，H，若，，求的值． 12.（24-25七年级下·广东梅州·阶段练习）解答下列问题． (1)【数学阅读】如图，在中，，点为边上的任意一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为，求证：． 小尧的证明思路是：如图，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：．      (2)【推广延伸】如图，当点在延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想，与的数量关系，并证明． (3)【解决问题】如图，在平面直角坐标系中有两条直线，，分别是函数和的图象，，与轴的交点分别为，．①两条直线的交点的坐标为______；②说明是等腰三角形；③若上的一点到的距离是，运用上面的结论，求点的坐标． 13．（24-25八年级上·河南·期中）大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形中，，其一腰上的高为，是底边上的任意一点，到腰、的距离分别为、． (1)请你结合图形来证明：；(2)当点在延长线上时，、、之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；(3)利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线：，：，若上的一点到的距离是，求点的坐标．       14．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）综合探究：探索等腰三角形中相等的线段． 问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？ 问题初探：（1）希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图1．在中，，是的中点，，，垂足分别为点，．经过合作，该小组的同学得出的结论是，并且展示了他们的证法如下：    证明：如图1，∵，，∴， ∵，∴（依据1），∵是的中点，∴， 在和中，∴（依据2），∴． 请写出依据1和依据2的内容：依据1：________；依据2：________． 类比探究：（2）奋斗小组的同学认真研究过后，发现以下两个结论：①在图3中，若，分别为和的中线，那么仍然成立．②在图4中，若，分别为和的角平分线，那么与的数量关系为________． （3）未来小组的同学经过探究又有新的发现，如果在等腰中，作腰上的高，如图5，则与有确定的数量关系，请你直接写出这个数量关系为________． 15.（24-25山西八年级上期中）（1）如图（1），已知在等腰三角形中，，点是底边上的一点，，垂足为点，，垂足为点．求证：为定长． （2）如图（2），已知在等腰三角形中，，点是底边的延长线上的一点，，垂足为点，，垂足为点．求证：为定长． （3）如图（3），已知：点为等边三角形内任意一点，过分别作三边的垂线，分别交三边与、、．求证：为定长． 16.（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图①，已知是等边三角形，于点M，点P是直线BC上一动点，设点P到两边AB、AC的距离分别为，，的高为h． (1)当点P运动到什么位置时，，并说明理由． (2)如图②，试判断，，h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图，当点P运动到BC的延长线上时，求证：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $