第12章全等三角形单元练习-2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

第12章 全等三角形 一、单选题 1．如图，已知中，，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，点D为直线上一点，则的周长最小值为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 2．如图，的平分线交于点P，，，则下列结论中正确的个数是（   ） ①平分；    ②； ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图是设计师为公园设计的一座斜拉桥的剖面图，是桥面，是桥柱，设计大桥时要保证桥柱和桥面是垂直的，且两根钢绳，与桥面的夹角相等，则下列说法中不正确的是（   ） A． B． C．为的中点 D． 4．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，与交于点，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在与中，，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在△ ABC中，∠ A=  ∠ C=  ，BD平分∠ABC，DE//BC,则图中等腰三角形的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为米，则（　　） A．45米 B．48米 C．50米 D．52米 8．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，，于点，，分别是上的任意两点．若的面积为，则图中阴影部分的面积为 ． 10．如图，已知，，，要使，且需用“”进行判定，可补充的一个条件是： ． 11．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，（，点D，E可在槽中滑动，若，则 度． 12．如图，在等腰中，，，点D是线段上一点，，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③；④，其中正确的是 ．（填序号） 13．如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降30cm时，这时小明离地面的高度是 cm．    三、解答题 14．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，．求证： 15．如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 16．如图，已知，连接，点C、F在上，，求证：．    17．如图，，，，求证：． 18．在中，是边上一点，点在的右侧，线段，且．求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第12章 全等三角形》参考答案 1．D 【分析】本题此题考查了轴对称的最短路线问题，等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，利用数形结合的思想是解题关键． 【详解】如图所示，连接， 的垂直平分线分别交，于点E，F， ， 的周长， 当A、D、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，此时点D与点F重合，最小值即为的长， 的周长的最小值为， ，， 的周长的最小值为：， 故选：D． 2．D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，根据角平分线的性质以及判定即可得到，则平分，即可判断①；可得，由，得到，同理可，即可判断②；由角平分线以及三角形外角性质得到，，即可判断③；由②可知，，则，，即可判断④． 【详解】解：①如答图，过点作于点， 平分平分，，，， ， ， 点在的平分线上，故①正确； ②， ， ． 在和中，， ∴， ， 同理可证得， ， ， ，②正确； ③平分平分， ，， ，③正确； ④由②可知，， ，， ，故④正确， 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 先利用证明，再根据全等三角形的性质逐一判断即可得出答案． 【详解】解：由题意，得，， 在和中， ， ，故选项A不符合题意； ，即为的中点，故选项C不符合题意； ，故选项D不符合题意； 不能得出与的数量关系，故B选项符合题意； 故选：B． 4．A 【分析】本题考查了作图−基本作图，等腰三角形的性质与判定，直角三角形中两个锐角互余；根据作图过程可得，是的垂直平分线，可得，根据三线合一可得，再根据，，即可求出的度数，进而即可求解． 【详解】解：由作图过程可知：是的垂直平分线， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，解题的关键是根据三角形内角和定理求出的度数． 根据三角形的内角和定理，平行线的性质，以及等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 故选：B． 6．D 【分析】根据已知的角利用两直线平行的性质求出一些角的大小，即可得到等腰三角形的个数. 【详解】解：在△ ABC中，∠ A=  ∠ C=   ∠ABC= BD平分∠ABC ∠ABD=∠CBD= DE//BC ∠EDB=∠CBD= ∠CDB=∠BCD= 等腰三角形的个数有5个，分别是∆ABC,∆AED,∆EBD,∆BDC,∆DAB. 故选D. 【点睛】此题重点考查学生对等腰三角形的认识，理解等腰三角形的性质是解题的关键. 7．B 【分析】本题考查了三角形的分类，等边三角形的定义，根据，可得是等边三角形，由米，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴米， 故选：B． 8．C 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，则，可得．由题意得，，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． 故选：C． 9．10 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用轴对称发现并利用和的面积相等是正确解答本题的关键．根据等腰三角形是轴对称图形知，和的面积相等，所以阴影部分的面积是三角形面积的一半． 【详解】解：，， ， ， ， 阴影部分面积为， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握定理．先判断两三角形都是直角三角形，然后根据已知条件知，用“”判定，则需要补充斜边对应相等即可． 【详解】解：补充条件：． 理由：∵，， ∴， 在和中 ， ∴ 故答案为：． 11．26 【分析】本题主要考查“三等分角仪”三等分某些度数的角．熟练掌握等腰三角形的性质、三角形外角的性质，是解题的关键． 由等边对等角即可得出，再结合三角形外角性质即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：26． 12．①③④ 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，涉及到三角形全等的判定及性质，内角和定理的运用．连接，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出，，由三角形的内角和定理，角的和差求出，再由等边三角的判定证明是等边三角形，得出，，由角的和差，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，再根据线段的和差和等量代换求出，即可得出结果． 【详解】解：连接，如图1所示： ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵在等腰中， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 又∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， 又∵，，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，，故④正确； 在线段上截取，连接，如图2所示： ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵，， ∴，故③正确； 故答案为：①③④． 13．80 【分析】根据题意可得：OF=OG，OC=OD，利用已知条件判断出△OFC≌△OGD，得到CF=DG，即可求出答案. 【详解】∵O是FG和CD的中点 ∴OF=OG，OC=OD 在△OFC和△OGD中 ∴△OFC≌△OGD（SAS） ∴CF=DG 又DG=30cm ∴CF=DG=30cm ∴小明离地面的高度=支点到地面的高度+CF=50+30=80cm 故答案为80 【点睛】本题主要考查了三角形全等知识的应用，用数学方法解决生活中有关的实际问题，把实际问题转换成数学问题，用数学方法加以论证，最后进行求解，是一种十分重要的方法. 14．见解析 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出，，进而证明≌是解题的关键．由，推导出，由，证明，而，即可根据“”证明≌，则 【详解】证明：点A，B，C，D在同一条直线上，， ， ， ， ， 在和中， ， ， 15．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）证明，由全等三角形的性质得出结论； （2）由三角形外角的性质求出，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 16．见解析 【分析】由得到，得，再由得到又，即可证明； 【详解】∵， ∴ ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 17．见解析 【分析】根据线段的和差求出，由平行线的性质证得，根据定理推出，根据全等三角形的性质即可得解． 【详解】证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 18．见解析 【分析】本题主要考查全等三角形判定与性质，先证，再在利用即可证明，即可证得结论．熟练掌握全等三角形的判定定理并灵活运用． 【详解】证明：， ，即． 在和中， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $