专题06 三角形全等的基本判定方法的五类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版2024八年级上册

专题06 三角形全等的基本判定方法的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、用SSS证明两三角形全等 类型二、用ASA证明两三角形全等 类型三、用AAS证明两三角形全等 类型四、用SAS证明两三角形全等 类型五、用HL证明两三角形全等 压轴专练 类型一、用SSS证明两三角形全等 知识点总结 1.SSS判定定理：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）。 2.三角形稳定性：SSS是利用三角形三边确定后形状和大小唯一不变的性质，这是判定全等的理论依据。 解题技巧 1.找对应边：通过标注、测量或推理，明确两个三角形中三条边的对应关系，确保每条边都能对应相等。 2.转化条件：若直接给出的边不完整，可利用公共边、中点（得相等线段）、等量加（减）等量等条件推导边相等，再应用SSS。 例1．如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 先得到，再用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式1-1】开封风筝是河南开封地区传统民间工艺品．开封风筝历史悠久、种类繁多、做工精细、独具特色．每年农历正月至三月的庙会上，各式各样的风箏竞相牵放，景象十分壮观．图1是小华制作的风筝，图2是风筝骨架的示意图，其中，． (1)求证：； (2)小华发现平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)正确，见解析 【知识点】全等三角形的性质、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质； （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质及角平分线定义求解即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）解：正确，理由： 由（1）得， ∴， 即平分， 所以小华的发现是正确的． 【变式1-2】（推理能力）如图，是上的两个动点，且． (1)若点运动至图①所示的位置，且．试说明：； (2)若点运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由； (3)若点不重合，且，则和平行吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立．理由见解析 (3)．理由见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟悉三角形全等的判定定理是基础，在不同图形中由得出是关键． （1）由知，即，又、，由可证； （2）由知，即，又、，由可证； （3）由（1）（2）知，所以，可由平行线的判定得出． 【详解】（1）解：因为， 所以， 即． 在和中， 所以． （2）解：成立．理由如下： 因为， 所以，即． 在和中， 所以． （3）解：．理由如下： 由（1）（2）知， 所以， 所以． 【变式1-3】如图，是的中点，且． (1)试说明：； (2)判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． （1）根据证明即可； （2）根据三角形全等的性质得出，再根据平行线的判定得出答案即可． 【详解】（1）解：因为E是的中点， 所以， 因为，所以， 在和中， ， 所以． （2）解：．理由如下： 因为， 所以， 所以． 类型二、用ASA证明两三角形全等 知识点总结 1.ASA判定定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。 2.三角形内角和：三角形内角和为180°，可辅助推导角的等量关系，为ASA判定提供条件支持。 解题技巧 1.锁定夹边：明确两角的公共边为夹边，优先找出两个三角形中两角及其共有的夹边，确认对应相等。 2.推导角相等：利用对顶角、公共角、平行线性质（同位角、内错角）等，转化隐含条件得到相等的角，再结合夹边应用ASA。 例2．如图，点在线段上，，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由，，可得，利用“”即可得证； （2）根据全等三角形的性质得到，，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ； （2）， ，， ． 【变式2-1】如图．在和中，点，，，在同一条直线上．已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)17 【知识点】两直线平行内错角相等、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，根据性质解答即可． （1）根据平行线的性质得到，再根据全等三角形的判定定理即可证明． （2）根据全等三角形的性质得到，再由，，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴． 【变式2-2】如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． （1）首先利用平行线的性质得，再利用得出，然后根据全等三角形的性质及线段的和差即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，再根据平行线的性质得到，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中 ， ， ， ，， ； （2）由（1）可知，， ， ， ， ， ． 【变式2-3】如图，点在一条直线上，，交于点．试说明： (1)； (2)与互相平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）在和中，运用角边角即可求证； （2）在和中，可证，得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：由（1）可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴与互相平分． 类型三、用AAS证明两三角形全等 知识点总结 1. AAS判定定理：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。 2. 与ASA的联系：AAS可由ASA结合三角形内角和定理推导得出（两角对应相等则第三角必等，转化为ASA条件）。 解题技巧 1. 区分边角位置：明确“对边”是指非两角夹边的边，避免与ASA的“夹边”混淆，准确对应边角关系。 2. 利用隐含角相等：通过垂直（得直角）、角平分线（得等角）等条件推导角相等，再结合已知边对应相等，应用AAS判定。 例3．如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为8． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质， （1）利用等量代换得，从而利用“”证明即可； （2）由（1）知，可得，再利用求解即可． 【详解】（1）证明：，，且， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， 的长为8． 【变式3-1】如图，在和中，，点、、、在同一条直线上，且，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质． （1）根据、，利用直角三角形两锐角互余的性质得出，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，，即可求出，进而可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 在和中，， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式3-2】陈同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点A和B分别与木墙的顶端重合． (1)求证：． (2)求两堵木墙之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)两堵木墙之间的距离为 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题主要考查了全等三角形判定与性质的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． （1）根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， ， 在和中， （2）解：由（1）知， ，， 又根据题意由图可得：，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 【变式3-3】如图，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)2 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）先由平行线的性质可得，最后再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，从而即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）可得：， ，， ∵，， ，， ． 类型四、用SAS证明两三角形全等 知识点总结 1.SAS判定定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。 2.夹角的定义：两条边所夹的角为夹角，需注意与“一边的对角”区分，这是SAS成立的关键条件。 解题技巧 1.确认夹角位置：找到两组对应边的公共角作为夹角，避免误将非夹角的角当作判定条件。 2.挖掘边等条件：利用线段中点、等量加（减）等量、公共边等，推导两边对应相等，再结合夹角相等应用SAS。 例4．如图，点A，D，B，E在同一直线上，，，，求证：． 【答案】证明过程见解析． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，解题的关键是通过已知条件证明三角形全等，进而得到角相等，从而证明两直线平行． 先根据得出，再结合已知的和，利用“边角边”判定定理证明，得到对应角相等，最后根据同位角相等证明． 【详解】， ， ， 在和中， ， ． ． ． 【变式4-1】如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用已知条件证明三角形全等，再根据全等三角形的性质得出对应边相等． （1）先由推出，再结合已知的另外两组相等边，根据（SSS）判定定理证明； （2）根据（1）中得到的全等三角形得出对应角相等，再利用（SAS）判定定理证明，进而得到． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）证明： 在和中 【变式4-2】如图，在中，，延长至点E，过点E作，使，连接交于点D． (1)求证：； (2)若G是上一点，满足，连接，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的性质是解答的关键． （1）根据题意判定即可得到本题答案； （2）由（1）可得，再结合已知即可判定，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式4-3】如图，平分的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质； （1）先证明，再利用证明即可； （2）先求解，再结合全等三角形的性质可得，再进一步求解即可得到答案． 【详解】（1）解： 平分 ， ， 又 ， ． （2）解： ， ， 由 （1）知 ， ． 类型五、用HL证明两三角形全等 知识点总结 1. HL判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 2. 适用范围：仅适用于直角三角形，是直角三角形特有的全等判定方法，不适用于锐角或钝角三角形。 解题技巧 1. 明确直角条件：先确认三角形为直角三角形（标注直角符号或说明垂直关系），再找斜边和一组直角边对应相等。 2. 区分斜边与直角边：斜边是直角所对的边，长度大于任一直角边，避免混淆斜边和直角边的对应关系。 例5．如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的和差关系得到，证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴与都为直角三角形， 在和中，， ∴， ∴． 【变式5-1】如图，，是上的一点，且，． (1)与全等吗？并说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）等角对等边，得到，证明两个三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质结合等角的余角，求出即可． 【详解】（1）解：与全等，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5-2】如图，于，于，若，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出； （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，，， ， 在和中， ， ， ． 【变式5-3】如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． (1)求证：． (2)求证：G是线段的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由得，证明，即可证明； （2）证明，得到即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， 即G是线段的中点． 一、解答题 1．如图，，AD与BC交于点O．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中， ∴． 2．如图，在中，．延长至点D，使，连结，以为直角边作等腰三角形，其中，连结．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先由等腰三角形得到 ，再由得到，最后结合即可证明． 【详解】证明：在等腰三角形中， ， ， ． 即． 又， ． 3．如图，，，，，与交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由垂直的意义得出，继而求出，再利用证明，即可得到； （2）由全等三角形的性质和对顶角相等，结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 设与交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，在中，平分，过点作于点，作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据角平分线的性质得，然后证明，即可解决问题； （2）根据三角形的面积公式即可解决问题． 本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是得到． 【详解】（1）证明：平分，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，，，，， ， ， ． 5．如图，在中，点D，E分别在，边上，连接，交于点F，且垂直平分，连接． (1)若的周长为22，的周长为8，求的长． (2)若，，求∠CDE的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形内角和定理求出，证明，根据全等三角形的性质得到，求出，再根据三角形内角和定理求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴点A与点E关于对称， ∴， ∵的周长为22，的周长为8， ∴， ∴， ∴． （2）解：在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查的是轴对称的性质、三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． 6．如图，在四边形中，，E为的中点，连结，延长交的延长线于点F． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)．见解析 (2)．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． (1)证明即可解决问题； (2)先证明，再证明即可． 【详解】（1）解：．理由如下： ． E是的中点， ． 在和中， ． （2）解：．理由如下： 由（1）知． ， ， 即． 在和中， ， ． 又， ，即． 7．如图，在和中，，，．交于点， (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)证明见解答过程 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）由，可得，证明，根据全等三角形的性质即可得到； （2）根据全等三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理及对顶角性质求解即可． 【详解】（1）证明：在和中，， ， 即， 在和中，， ， ； （2）解：∵， ， ， ． 8．如图，在中，为边上一点，为边上一点，且，连接，为的中点．连接并延长，交于点，在上截取点，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据为的中点得，进而可依据判定和全等； （2）根据和全等得，则，再根据平行线的性质得，然后依据判定和全等，则，进而得，由此即可得出结论， 【详解】（1）证明：点是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 9．如图1，点O在射线上，点 C 在线段上，点D在线段上，，，连接，． (1)求证：； (2)判断，与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，将两根长度相等的木棍，的一端固定在点O处，．与是两根弹力绳，将弹力绳的端点A，E固定，弹力绳的另外两个端点 C，D 始终在木棍， 上，且保持（假设弹力绳始终处于绷直状态）．若增加了，与原来相比，的度数增大了还是减少了?增大或减少多少度?（直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)； (3)减少10度． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，证明是解答本题的关键． （1）根据证明即可证明结论成立； （2）由可得，结合三角形外角的性质即可求出，和三者间的数量关系； （3）根据（2）的结论，结合三角形外角的性质可得，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）知，， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴增加了，则减少10度． 10．如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E． (1)求证：； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据同角的余角相等可得，，从而即可得出； （2）根据同角的余角相等可得，，从而即可得出，由全等三角形的性质即可得解； （3）根据同角的余角相等可得，，从而即可得出，由全等三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ，， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ，， ∴， ，， ． （3）解：， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ，， ． 11．【问题背景】 在中，、边上的高、交于点，． 【问题探究】 （1）如图1，试说明：； （2）如图1，试说明：； 【拓展延伸】 （3）如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，已知，，为上一点，连接，有，请判断与是否平行，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识的综合，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据垂直的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质即可求证； （2）根据（1）的结论，运用“角角边”证明即可求证； （3）根据题意，运用“边角边”可证，可得，根据可得，则，结合“同位角相等，两直线平行”即可求证． 【详解】解：（1）因为的高、交于点， 所以，， 所以，， 因为， 所以． （2）在和中， 因为 所以， 所以． （3）．理由如下： 因为是的高，， 所以， 在和中， 因为 所以， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以． 12．如图，，，． (1)求证：； (2)连接，与相交于点． 若，求的长； 若，的周长为，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，完全平方公式计算，熟练掌握全等三角形的判定和性质，完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． （1）由已知得和都是直角三角形，再依据“”即可判定和全等； （2）①连接交于点，由（1）的结论得，进而可依据“”判定和全等得再根据即可得出的长； ②根据得，则，再根据的周长为得，则，再将代入即可得出的值． 【详解】（1）证明：， ， 和都是直角三角形， 在和中，， ； （2）解：连接交于点，如图所示： 由（1）可知：， ， 在和中， ， ， ， ， ； 解：由可知：， ， ， ， 的周长为， ， ， ， 即， ， ， ． 13．如图1，点在的平分线上． (1)若，求证：． (2)如图2，若． ①已知，求的度数． ②点在上，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的意义，解题关键是掌握全等三角形的判定方法． （1）先利用证明，再根据全等三角形的性质得出结论成立； （2）①先利用证明，再根据全等三角形的性质得出，从而可证得，再根据等边对等角证得，进而求得； ②先利用证明，再根据全等三角形的性质得出，根据，得出，从而可得结论成立． 【详解】解：（1）证明：， ． 平分， ． 又， ， ． （2）①如图，在上截取，连接． 平分， ， ∵， ， ． ， ∴， ， ， ． ． ②证明：如图，连接， 在和中， ， ． ， ， ， ． 14．将和按如图①方式摆放，已知，，点在线段上，延长交线段于点． (1)线段与之间的数量关系是___________； (2)若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其余条件不变，如图②，求证：； (3)若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且的延长线交线段于点，其余条件不变，如图③，（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)（2）中的结论不成立，，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）连接，根据全等三角形的性质可得，可证明，即可解答； （2）连接，根据全等三角形的性质可得， ，可证明，可得，即可求证； （3）连接，根据全等三角形的性质可得， ，可证明，可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）证明：如图，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：（2）中的结论不成立，，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．已知，在四边形中，，． (1)如图1，连接．若，求证：． (2)如图2，点，分别在线段，上，且满足，求证． (3)若点在的延长线上，点在的延长线上，连接，，，仍然满足．请在图3中补全图形，根据图形直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析， 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、四边形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）延长至点，使，连接，分别证明、，根据全等三角形的性质证明； （3）在延长线上找一点，使得，连接，分别证明、，根据全等三角形的性质、四边形内角和为解答． 【详解】（1）证明：， ∴， ∵， ， 在和中， ， ； （2）证明：延长至点，使，连接，如图2， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ，， 在和中， ， ； （3）解：如图3，． 理由如下：在延长线上找一点，使得，连接， ， ， ， ， 在和中， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 16．已知中，，过点A作直线，点F为直线l上任意一点， (1)点E为线段上的任意一点，点F位于A点的右边，连接交于点H． ①如图1，若，，试探究与的位置关系，并证明你的结论； ②如图2，若，当与满足什么关系时，； (2)如图3，若，连接，过点C作，并使，连接交射线于点G，若，，求线段的长度．（用m，n表示） 【答案】(1)①，见解析；②时， (2)当点F在A点右边时，；当点F在A点左边时， 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形，分类讨论是解题的关键． （1）①先证明，得出，再得出，在 中，，即可的得出结论； ②在上截取，使，证明，得出，根据，得出时，即时，； （2）分两种情况，当点F在A点右边时，过点D作，先证明，得到，，进而得到，然后可证，得到，即可得到结论；同理，当点F在A点左边时，通过证明三角形全等即可得出结论． 【详解】（1）①解：，证明如下： ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又 ∵， ∴ ， 在 中，， ∴； ②在射线上截取，使，如图所示， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴当时，即时，， ∴； （2）如图，当点F在A点右边时，过点D作，如图， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当点F在A点左边时，过点D作所在直线的垂线，交于点M，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 17．综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，试说明且． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据证明即可得； （2）设与的交点为Q，由可得，又由于，结合三角形内角和定理可得，从而可得； （3）根据证明，则可得，，进而可得，则可得． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）设与的交点为Q． ∵， ∴， 在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， （3）证明：∵， ∴，， ∵M，N分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵， 即， ∴， 即 ∴． 18．问题情境：如图①，在直角三角形中，于点D，可知：（不需要证明）． 特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点于点D．证明：； 归纳证明：如图③，点在的边上，点在内部的射线上，分别是的外角．已知．求证：； 拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积计算，三角形的外角性质等知识点的综合应用，判断出两三角形全等是解本题的关键． （1）根据图②，求出，根据证两三角形全等即可； （2）根据图③，运用三角形外角性质求出，根据证两三角形全等即可； （3）根据图④，由的面积为15，可求出的面积为5 ，根据，得出与的面积之和等于的面积，据此即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图②，∵， ， ， ， 在和中，， ． （2）证明：如图③， ， ， ， ，   在和中， ， ． （3）如图④，∵的面积为， ∴的面积， 由（2）可得， 即：， ， 即与的面积之和等于的面积5 ， 故答案为：5． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 三角形全等的基本判定方法的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、用SSS证明两三角形全等 类型二、用ASA证明两三角形全等 类型三、用AAS证明两三角形全等 类型四、用SAS证明两三角形全等 类型五、用HL证明两三角形全等 压轴专练 类型一、用SSS证明两三角形全等 知识点总结 1.SSS判定定理：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）。 2.三角形稳定性：SSS是利用三角形三边确定后形状和大小唯一不变的性质，这是判定全等的理论依据。 解题技巧 1.找对应边：通过标注、测量或推理，明确两个三角形中三条边的对应关系，确保每条边都能对应相等。 2.转化条件：若直接给出的边不完整，可利用公共边、中点（得相等线段）、等量加（减）等量等条件推导边相等，再应用SSS。 例1．如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【变式1-1】开封风筝是河南开封地区传统民间工艺品．开封风筝历史悠久、种类繁多、做工精细、独具特色．每年农历正月至三月的庙会上，各式各样的风箏竞相牵放，景象十分壮观．图1是小华制作的风筝，图2是风筝骨架的示意图，其中，． (1)求证：； (2)小华发现平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由． 【变式1-2】（推理能力）如图，是上的两个动点，且． (1)若点运动至图①所示的位置，且．试说明：； (2)若点运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由； (3)若点不重合，且，则和平行吗？请说明理由． 【变式1-3】如图，是的中点，且． (1)试说明：； (2)判断和的位置关系，并说明理由． 类型二、用ASA证明两三角形全等 知识点总结 1.ASA判定定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。 2.三角形内角和：三角形内角和为180°，可辅助推导角的等量关系，为ASA判定提供条件支持。 解题技巧 1.锁定夹边：明确两角的公共边为夹边，优先找出两个三角形中两角及其共有的夹边，确认对应相等。 2.推导角相等：利用对顶角、公共角、平行线性质（同位角、内错角）等，转化隐含条件得到相等的角，再结合夹边应用ASA。 例2．如图，点在线段上，，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2-1】如图．在和中，点，，，在同一条直线上．已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2-2】如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，求的大小． 【变式2-3】如图，点在一条直线上，，交于点．试说明： (1)； (2)与互相平分． 类型三、用AAS证明两三角形全等 知识点总结 1. AAS判定定理：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。 2. 与ASA的联系：AAS可由ASA结合三角形内角和定理推导得出（两角对应相等则第三角必等，转化为ASA条件）。 解题技巧 1. 区分边角位置：明确“对边”是指非两角夹边的边，避免与ASA的“夹边”混淆，准确对应边角关系。 2. 利用隐含角相等：通过垂直（得直角）、角平分线（得等角）等条件推导角相等，再结合已知边对应相等，应用AAS判定。 例3．如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式3-1】如图，在和中，，点、、、在同一条直线上，且，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【变式3-2】陈同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点A和B分别与木墙的顶端重合． (1)求证：． (2)求两堵木墙之间的距离． 【变式3-3】如图，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 类型四、用SAS证明两三角形全等 知识点总结 1.SAS判定定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。 2.夹角的定义：两条边所夹的角为夹角，需注意与“一边的对角”区分，这是SAS成立的关键条件。 解题技巧 1.确认夹角位置：找到两组对应边的公共角作为夹角，避免误将非夹角的角当作判定条件。 2.挖掘边等条件：利用线段中点、等量加（减）等量、公共边等，推导两边对应相等，再结合夹角相等应用SAS。 例4．如图，点A，D，B，E在同一直线上，，，，求证：． 【变式4-1】如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式4-2】如图，在中，，延长至点E，过点E作，使，连接交于点D． (1)求证：； (2)若G是上一点，满足，连接，证明：． 【变式4-3】如图，平分的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 类型五、用HL证明两三角形全等 知识点总结 1. HL判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 2. 适用范围：仅适用于直角三角形，是直角三角形特有的全等判定方法，不适用于锐角或钝角三角形。 解题技巧 1. 明确直角条件：先确认三角形为直角三角形（标注直角符号或说明垂直关系），再找斜边和一组直角边对应相等。 2. 区分斜边与直角边：斜边是直角所对的边，长度大于任一直角边，避免混淆斜边和直角边的对应关系。 例5．如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且，求证：． 【变式5-1】如图，，是上的一点，且，． (1)与全等吗？并说明理由； (2)求证：． 【变式5-2】如图，于，于，若，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【变式5-3】如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． (1)求证：． (2)求证：G是线段的中点． 一、解答题 1．如图，，AD与BC交于点O．求证：． 2．如图，在中，．延长至点D，使，连结，以为直角边作等腰三角形，其中，连结．求证：． 3．如图，，，，，与交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 4．如图，在中，平分，过点作于点，作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 5．如图，在中，点D，E分别在，边上，连接，交于点F，且垂直平分，连接． (1)若的周长为22，的周长为8，求的长． (2)若，，求∠CDE的度数． 6．如图，在四边形中，，E为的中点，连结，延长交的延长线于点F． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，，判断与的位置关系，并说明理由． 7．如图，在和中，，，．交于点， (1)求证：； (2)当时，求的度数． 8．如图，在中，为边上一点，为边上一点，且，连接，为的中点．连接并延长，交于点，在上截取点，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 9．如图1，点O在射线上，点 C 在线段上，点D在线段上，，，连接，． (1)求证：； (2)判断，与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，将两根长度相等的木棍，的一端固定在点O处，．与是两根弹力绳，将弹力绳的端点A，E固定，弹力绳的另外两个端点 C，D 始终在木棍， 上，且保持（假设弹力绳始终处于绷直状态）．若增加了，与原来相比，的度数增大了还是减少了?增大或减少多少度?（直接写出结果） 10．如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E． (1)求证：； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 11．【问题背景】 在中，、边上的高、交于点，． 【问题探究】 （1）如图1，试说明：； （2）如图1，试说明：； 【拓展延伸】 （3）如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，已知，，为上一点，连接，有，请判断与是否平行，并说明理由． 12．如图，，，． (1)求证：； (2)连接，与相交于点． 若，求的长； 若，的周长为，且，求的值． 13．如图1，点在的平分线上． (1)若，求证：． (2)如图2，若． ①已知，求的度数． ②点在上，若，求证：． 14．将和按如图①方式摆放，已知，，点在线段上，延长交线段于点． (1)线段与之间的数量关系是___________； (2)若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其余条件不变，如图②，求证：； (3)若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且的延长线交线段于点，其余条件不变，如图③，（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时线段与之间的数量关系，并说明理由． 15．已知，在四边形中，，． (1)如图1，连接．若，求证：． (2)如图2，点，分别在线段，上，且满足，求证． (3)若点在的延长线上，点在的延长线上，连接，，，仍然满足．请在图3中补全图形，根据图形直接写出与的数量关系． 16．已知中，，过点A作直线，点F为直线l上任意一点， (1)点E为线段上的任意一点，点F位于A点的右边，连接交于点H． ①如图1，若，，试探究与的位置关系，并证明你的结论； ②如图2，若，当与满足什么关系时，； (2)如图3，若，连接，过点C作，并使，连接交射线于点G，若，，求线段的长度．（用m，n表示） 17．综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，试说明且． 18．问题情境：如图①，在直角三角形中，于点D，可知：（不需要证明）． 特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点于点D．证明：； 归纳证明：如图③，点在的边上，点在内部的射线上，分别是的外角．已知．求证：； 拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$