精品解析：云南省楚雄彝族自治州民族中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

楚雄州民族中学高二年级3月月考 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在上的导函数为，且满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 4. 已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 函数的大致图象是（ ）． A. B. C. D. 6. 将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 7. 记为等差数列的前项和，且，，则（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 3 8. 已知平行六面体，满足，，，．若的中点为，则的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数z满足，则（ ） A. B. z的实部是 C. D. 复数z在复平面内对应的点位于第四象限 10. 动点在圆：上，动点在圆：上，下列说法正确的是（ ） A. 两个圆心所在的直线斜率为 B. 两圆公切线有三条 C. 的最小值为0 D. 两个圆公共弦所在直线的方程为 11. 若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则______. 13. 在中，角的对边分别为，，，且的周长为，则角为______. 14. 数列中，满足，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图中的值（保留两位小数）以及估计该地区月均用水量的分位数； （2）现在该地区居民中任选2位居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同居民的月均用水量相互独立，求恰有1位居民月均用水量大于分位数的概率； （3）现有4位居民甲、乙、丙、丁，经调查，甲和乙月均用水量大于分位数，丙和丁月均用水量不大于分位数，现从该4人中随机选2人，求所选2人中恰有1人月均用水量大于分位数的概率. 16. 已知为等差数列的前项和，，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前100项和. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，. （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的上､下顶点，且. （1）求椭圆的方程； （2）已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点. （i）设的面积分别为，若，求的最大值； （ii）若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程. 19. 已知函数（，，e为自然对数的底数）. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调递增区间； （3）若函数在上单调递增，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 楚雄州民族中学高二年级3月月考 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】直接写出全称量词命题的否定即可. 【详解】“，”的否定是： ，， 故选：A. 2. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集与补集的概念运算即可. 【详解】令，解得，则，故， 因为，所以，故B正确. 故选：B. 3. 已知函数在上的导函数为，且满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】求导，通过赋值即可求解； 【详解】由， 求导可得：， 令，可得， 所以， 故选：A 4. 已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由代入即可求. 【详解】设抛物线的焦点为， 由抛物线的定义知， 因为点到轴的距离为9，即， 所以， 解得. 故选：D 5. 函数的大致图象是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域判断D，根据奇偶性判断A，再由函数自变量时，函数值的变化趋势判断C.根据函数性质，判断B. 【详解】函数的定义域为，排除选项D； ， 故函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A； 当时，； 当时，，排除选项C； 综上所得，选项B符合题意． 故选：B． 6. 将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得出平移后的解析式，再根据奇偶性得出，，最后根据范围即可. 【详解】将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象的解析式为 ， 因为的图象关于y轴对称， 所以，，解得，， 因为，所以. 故选：D. 7. 记为等差数列的前项和，且，，则（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由等差中项的性质，结合求和公式，可得答案. 【详解】由，则，解得或， 由，显然，解得. 故选：C. 8. 已知平行六面体，满足，，，．若的中点为，则的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】以，，为空间向量的一组基底，则，利用空间向量即可计算的长度. 【详解】根据题意，以，，为空间向量的一组基底， 所以， ， 所以， 可得，所以的长度为． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数z满足，则（ ） A. B. z的实部是 C. D. 复数z在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，根据复数的除法法则计算得到，然后计算模；B选项，根据实部的定义判断；C选项，根据共轭复数的定义和减法法则计算；D选项，根据复数的几何意义判断. 【详解】由题意可得， 则的实部是，复数在复平面内对应的点为，位于第一象限， 故A，C正确，B，D错误. 故选：AC. 10. 动点在圆：上，动点在圆：上，下列说法正确的是（ ） A. 两个圆心所在的直线斜率为 B. 两圆公切线有三条 C. 的最小值为0 D. 两个圆公共弦所在直线的方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，即可判断两圆的位置关系，即可判断B、C、D，由两圆心坐标可求出两圆心所在直线的斜率，即可判断A. 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为； 两个圆心所在的直线的斜率，故A正确； 因为，所以圆与圆相外切， 所以两圆公切线有三条，故B正确； 因为圆与圆相外切，所以当点与点为切点时，最小且最小值为，故C正确； 因为圆与圆相外切，所以两圆无公共弦，故D错误. 故选：ABC. 11. 若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据简单复合函数导数的求法，求出函数导数，根据函数导数值域，判断是否存在使导函数值乘积为的两个值，逐一判断各选项正误，判断结果. 【详解】由可知，，则存在，，使成立，A正确； 由可知，，不存在，，使成立，B错误； 由可知，，则存在，使得成立，C正确； 由可知，，则存在，，使成立，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由垂直关系求得，再由模长公式即可求解. 【详解】因为向量，，且， 所以， 所以， 则， 故， 故答案为：. 13. 在中，角的对边分别为，，，且的周长为，则角为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，先根据正弦定理边化角，再利用余弦定理求出角即可. 【详解】由题意知，， 由正弦定理得，，即，所以， 由余弦定理得，， 又，所以. 故答案为：. 14. 数列中，满足，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用“累乘法”求数列的通项公式，再利用“裂项求和法”求和. 【详解】因为，所以. 所以，，，…，（）. 各式相乘，可得：， 显然满足上式，则， 所以数列的前项和为， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图中的值（保留两位小数）以及估计该地区月均用水量的分位数； （2）现在该地区居民中任选2位居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同居民的月均用水量相互独立，求恰有1位居民月均用水量大于分位数的概率； （3）现有4位居民甲、乙、丙、丁，经调查，甲和乙月均用水量大于分位数，丙和丁月均用水量不大于分位数，现从该4人中随机选2人，求所选2人中恰有1人月均用水量大于分位数的概率. 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再估算分位数. （2）根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式列式计算得解. （3）利用列举法求出古典概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，解得； 数据落在区间的频率为， 数据落在区间的频率和为，则用水量的分位数， 由，解得， 所以，估计该地区月均用水量的分位数为. 【小问2详解】 设事件表示第位居民月均用水量大于分位数，， 事件表示恰有1位居民月均用水量大于分位数，， 因此， 所以所求概率为. 【小问3详解】 试验的样本空间(甲,乙)，(甲,丙)，(甲,丁)，(乙,丙)，(乙,丁)，(丙,丁)，共6个样本点， 事件表示所选2人中恰有1人月均用水量大于分位数， 则(甲,丙)，(甲,丁)，(乙,丙)，(乙,丁)，共4个样本点， 所以. 16. 已知为等差数列的前项和，，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前100项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件求出等差数列的首项和公差，进而求得的通项公式； （2）将的通项公式代入，得数列的通项公式，根据等比数列的求和公式求前10项的和，用并项求和的方法求第11项到第100项的和，即可求出数列的前100项和. 【小问1详解】 设数列的公差为，由，得，即， 由，得，解得，， 所以的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）知， ， 则 所以. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，. （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点E，求证四边形为正方形，进而得出，，最后利用线面垂直的判定定理即可； （2）以D为坐标原点建系，计算平面与平面的法向量，最后利用公式计算即可. 【小问1详解】 取中点E，连接， 因，则， 因为，，则四边形为正方形， 则，， 则，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面； 【小问2详解】 由（1）可知，，， 两两垂直，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，，故， 由（1）可知平面，所以是平面的一个法向量， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为 18. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的上､下顶点，且. （1）求椭圆的方程； （2）已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点. （i）设的面积分别为，若，求的最大值； （ii）若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题目所给的条件，求出即可； （2）（i）设，由已知可得，根据点在椭圆上，可得，可求得最大值；（ii）设，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，由题意可得，设直线的方程为：，联立方程组，由根与系数的关系可得，求解即可. 【小问1详解】 由题意知，， 椭圆方程为， 【小问2详解】 （i）设， 则， ， ，，， 又在椭圆上，， ，，即， ， ， ， ； （ii）设，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， ，直线的倾斜角为， ，， 又， ， 由题意的斜率不为0，设直线的方程为：， 由，得， 设， 则，又， ， 即， 整理得， ，， 的方程为. 19. 已知函数（，，e为自然对数的底数）. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调递增区间； （3）若函数在上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可； （2）利用导数研究函数的单调性，含参讨论导函数的符号即可； （3）将问题转化为导函数的恒成立问题，借助分离参数、基本不等式计算即可. 【小问1详解】 当时，， 求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 ， 令，因为，所以， 当时，，的解集为； 当时，，的解集为； 当时，，的解集为， 所以当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，. 当时，的单调递增区间为，. 【小问3详解】 ，， 因为在上单调递增，所以对恒成立， 因为，且， 所以对恒成立， 即时，恒成立， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以，，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $