专题15 等腰（等边）三角形中重要模型之长短手模型与等边截等长模型（几何模型讲义）数学人教版2024八年级上册

专题15 等腰（等边）三角形中重要模型之长短手模型与等边截等长模型 等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。各类考试的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的几类重要模型作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.帽子模型（长短手模型） 5 模型2.等边截等长模型（定角模型） 10 模型3.等边内接等边模型 13 16 帽子模型（长短手模型）与等边截等长模型、等边内接等边模型是初中几何中源于等腰三角形和等边三角形特性衍生的经典解题模型，其核心思想通过对称性、全等变换及线段比例关系简化复杂几何问题。‌ 两种模型均强调对称性与全等变换：帽子模型侧重等腰三角形的“长短手”对称‌，等边截等长模型与等边内接等边模型则利用等边三角形的旋转特性‌。在初中几何教学中，二者常结合“等边内接等边模型”综合训练学生的空间思维。 （24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，中，，点从点出发沿线段移动（点不与，重合），同时，点从点出发沿线段的延长线移动，已知点、移动的速度相同，与直线相交于点．(1)求证：；(2)过点作直线的垂线，垂足为，、在移动过程中，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 【答案】(1)见详解(2)的长度保持不变，理由见详解 【详解】（1）证明：过点作交于，如下图， ∵点、同时出发，且移动的速度相同，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：的长度保持不变，理由如下：由（1）可知，， ∵，∴，由（1）可知，，∴， ∴，∴为定值． （24-25八年级上·重庆·期末）如图，在等边三角形中，，分别在边，上，且，与交于点，，垂足为点.下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：是等边三角形，，， ，，在和中， ，，故结论①正确； ，， ，故结论②正确； ，，， 不是等腰三角形；故结论③错误； ，，， ， ，即，故结论④正确；综上所述：正确的结论为①②④，共有3个，故选：B． （24-25八年级上·江苏·期中）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）6cm 【详解】解：（1）是等边三角形，， ，，，． ，，是等边三角形； （2）根据题意可得：∵△PMN是等边三角形，∴PM=MN=NP， 在△PBM、△MCN和△NAP中，， ∴（AAS），，； ，，． 是正三角形，，而， ．，，，． 1）帽子模型（长短手模型） 条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②。 证明：如图，过点D作交于H，则，， ∵，∴，∴，∴，∵，∴， 在和中,，∴，∴； ∵，∴，∵，，∴， ∴，∴． 2）等边截等长模型（定角模型） 条件：如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．结论：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。 证明：在等边三角形中，，， 在和中，，，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE； ． ，，∴BQ=2PQ． 3）等边内接等边模型 图1 图2 1）等边内接等边（截取型） 条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF； 结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：∵是等边三角形，∴，． ∵，∴． 在和中，∴（）， ∴．同理，∴，∴是等边三角形． 2）等边内接等边（垂线型） 条件：如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：是等边三角形，， ，，，， ，，是等边三角形， 模型1.帽子模型（长短手模型） 例1（24-25八年级上·广西来宾·阶段练习）如图，过边长为的等边三角形的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为（   ）    A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】解：过点作的平行线交于点，， 是等边三角形，，， 是等边三角形，，，， 在和中，，，， 于点，是等边三角形，，， ，，．故选D．    例2（2025八年级上湖北·专题练习）在中，，点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点移动的速度相同，与相交于点． (1)如图①，过点作，交于点．求证：；(2)如图②，过点作于点，在点从点向点（点不与点重合）移动的过程中，线段与的长度和是否保持不变？若保持不变，请直接写出线段与的长度和；若改变，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)不变，4 【详解】（1）证明∶ ，， ，，， ，根据题意，可得，∴， ∵，∴． （2）解：如图所示，过点作交于点， 由（1）可知，又，∴， ∴，∴线段与的长度和保持不变，． 例3（2024·陕西·一模）【问题提出】（1）如图1，在中，，点是上一点，交于点，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，求证：； 【问题探究】（2）如图2，在四边形中，，点是的中点，连接，，与的延长线交于点．探究线段与、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】（3）如图3，某校有一块四边形空地，现将这块空地规划为实践活动区域，在的中点处修建入口，沿修建一条小路（小路的宽度忽略不计），将这块空地分成两部分，在内种植蔬菜，在四边形内种花卉，已知，恰好平分，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）的长为 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ， ∵点F是的中点，∴，，，， ∴， ∴，∴． （2）解：．理由：分别延长与的延长线交于点G． ∵，∴，， ∵E为边的中点，∴，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴． （3）解：过C作交的延长线于点M，延长交于点N，连接， ∵点E是的中点，，∴， ∵，，∴，，， ，，，∴，∴， ∵平分，∴，∴， 又，∴平分，∴， ∵，，∴， ，，， ∴，∴． 例4（24-25七年级下·四川成都·期中）【问题初探】（1）如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． 【类比分析】（2）如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】（3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系．          【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【详解】（1）证明：如图所示，在线段上截取，使，连接， ∵，，，∴， ∴，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； （2）延长，取，连接，如图所示：∵D是的中点，∴， ∵，∴，∴，， ∵，， ∴，∴，∴，∴； （3）延长，使，连接，如图所示： ∵，，∴， ∴，，∴，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∵，∴． 模型2.等边截等长模型（定角模型） 例1（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明∶∵是等边三角形，∴，， 又，∴，∴． 例2（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，为等腰三角形，，、分别是边、上的点，且满足，连接、交于点．(1)求证：；(2)求的度数．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，， ∴为等边三角形∴， 在和中，，∴．    （2）解：∵，∴ ∴． 例3（24-25八年级上·广东潮州·期中）已知，如图，为等边三角形，，、相交于点，于．(1)求证：；(2)求的度数；(3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)(3)7 【详解】（1）证明：∵为等边三角形，∴，， 在与中，，∴，∴； （2）解：由（1）知，，则， ∴，∴； （3）解：由（2）知，∵，∴， ∴，∴，∴． 例4（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，为等边三角形，点、分别是边、所在直线上的动点，若点、以相同的速度，同时从点、点出发，分别沿、方向运动，直线、交于点． (1)如图1，求证：；(2)在点、点运动过程中，______°； (3)如图2，点为边中点，连接，，当点、分别在线段、上运动时，判断与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析(2)(3)与的数量关系为，理由见解析 【详解】（1）证明：为等边三角形，，， 点、以相同的速度，同时从点、点出发，分别沿、方向运动，， 在和中，； （2）为等边三角形，，，， 是的外角，，故答案为：； （3）与的数量关系为，理由如下∶ 延长到，使，连接，以为边作等边，连接，如图2所示∶ ，、、三点共线，点为边中点，， 在和中， ，， ，，，， 是等边三角形，，，， ，， 在和中， ，，，， ，，， 在和中， ，，，，． 模型3.等边内接等边模型 例1（2024七年级下·成都·专题练习）如图，过等边三角形的顶点、、依次作、、的垂线、，三条垂线围成，若，则的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【详解】解：∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴， ∴，同理：，∴是等边三角形．∴． 在中，，∴，∴，∵，∴， 在与中，，∴ ∴，∴，∴的周长为．故选：B． 例2（24-25七年级下·成都·校考期中）如图，和都是等边三角形，点D，E，F分别在边上，若的周长为15，，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，，∴，∴， 同理得：，∴， ∵的周长为15，∴，∴，故选：B． 例3（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：为等边三角形，， ，，，， ，，，， ，，， ，是等边三角形； （2），， ，，， ，，， ，，． 例4（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，点、、分别是等边各边上的点，且，．（）求证：是等边三角形．（）若，求等边的周长． 【答案】（1）详见解析；（2）18 【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，∵BD=CE，∴BD=CE=AF， 在△BDE与△CEF中，，∴△BDE≌△CEF（SAS），∴DE=EF， 同理可得△BDE≌△AFD，∴DE=FD，∴DE=FD=EF，∴△DEF为等边三角形； （2）解：∵∠DEC=150°，∠DEF=60°，∴∠FEC=90°， ∴△ADF、△BED、△CFE均为直角三角形，且∠CFE=∠ADF=∠BDE=30°， ∵BD=CE=2，∴CF=AD=BE=2BD=4，∴AB=BC=AC=6，∴等边△ABC的周长为：6×3=18 1．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知等边三角形，，点D在上，点F在延长线上，，于E，于G．交于点P．则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：∵为等边三角形，∴，∵，∴， ∵于E，于G，∴， 在和中，，∴，∴，所以①正确； 在和中，，∴，所以②正确； ∵，∴只有当时，，所以③错误； ∵，∴，∵，∴， ∴，所以④正确．故选：D． 2.（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，点在上，点在线段的延长线上，且，连接与相交于点．若，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【详解】解：如图，过作于， ∴，， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴；故选：A． 3.（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，点是等边的边上一点，过点作，垂足为点，延长至点，使，连接交于点．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过做，交于， 是等边三角形，， ，，，是等边三角形， ，所以为中点，，为等边三角形，， ，，∴，故A不符合题意； ，，，， ，，故B不符合题意； ，，，即，故C不符合题意； 当时，而，∴，题干没有这个条件，故D错误符合题意；故选：D 4．（24-25八年级上·江苏·专题练习）如图，过等边三角形的顶点A、B、C依次作、、的垂线、、，三条垂线围成，若，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【详解】解：∵，∴，∵是等边三角形，∴， ∴，∴，同理， ∴是等边三角形．∴．在中，， ∴，∴，∵，∴， 在与中，，∴∴， ∴，∴的周长为．故选：B． 5．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在等边△ABC中，点D、E分别是BC、AB边上的点，且AE=BD，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（　　） A．45° B．60° C．65° D．75° 【答案】B 【详解】∵是等边三角形，且∴ ∴（SAS） ∴ ∴故选：B． 6．（24-25八年级上·湖北随州·期末）如图，△ABC中，P为AB上一点，Q为BC延长线上一点，且，过点P作于点M，过点Q作交AC的延长线于点N，且，连接PQ交AC边于点D，则以下结论：①； ②；③为等边三角形；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：∵PM⊥AC，QN⊥AC，∴∠PMD＝∠QND＝90°， 又∵∠PDM＝∠QDN，PM＝QN，∴△PDM≌△QDN（AAS），∴PD＝DQ，故①正确； ∵PA＝CQ，PM＝QN，且PM⊥AC，QN⊥AC，∴∠AMP＝∠CNQ＝90°， ∴Rt△APM≌Rt△CQN（HL）∴∠A＝∠QCN， ∵∠ACB＝∠QCN，∴∠A＝∠ACB，∴AB＝BC，即②正确； ∵△PDM≌△QDN ，Rt△APM≌Rt△CQN，∴MD＝DN ，AM＝CN， ∴MD＝CD＋CN＝CD＋AM，∴DM＝AC，故④正确； 根据题中条件无法得出为等边三角形，故③错误；故选：B． 7．（24-25八年级上·广西柳州·期末）如图，在中，，，是边上的高，点E，F分别是边，上的动点，且，当的值最小时，的度数是 ． 【答案】110 【详解】解：如图所示，过 A 作，使得，连接， ∵ ∴∴ 又 ∵ ∴∴∴ ∴ 当三点共线时，的最小值等于的长， 此时，，即是等腰直角三角形，∴ 又 ∵ 在直角三角形中， ∴ ∴．故答案为：． 8．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．    【答案】1 【详解】解：设点P的运动时间为，由题意得，，    ∵，∴，∵和是等边三角形， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，解得．故答案为：1． 9．（25-26八年级上·天津·期中）如图，是等边三角形，点E在的延长线上，点D在线段上，连接交线段于点F，过点F作于点N，，，则 (1) ；(2)若，则 ． 【答案】(1)(2)12 【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴， ∵，∴，∴，故答案为：； （2）解：由（1）可知，如图，延长到G，连接，使三角形为等边三角形，∴， 在和中，，∴≌，∴， 设，则，，∴ ∵，∴，∴，即， ∴．故答案为：12． 9．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，过边长为4的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过作交于， 是等边三角形，， ，，，， 又，是等边三角形，， ，，，，， 在和中，，，， ，，， ，，故答案为：． 10．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）如图，等边的顶点分别在等边的各边上，且于点E．若，求的长． 【答案】 【详解】解：，， ，同理， 又，，，， ，，． 11.（24-25八年级上·河南洛阳·期末）已知中，，．点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点、移动的速度相同，与直线相交于点． (1)如图①，过点作交于点，求证：； (2)如图②，当点为的中点时，求的长； (3)如图③，过点作于点，在点从点向点移动的过程中，线段的长度是否保持不变？若保持不变，请求出的长度，若改变，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)(3)线段的长度保持不变， 【详解】（1）证明：∵点、移动的速度相同，∴，∵，∴． ∵，∴∴，∴，∴， ∵，∴． 在与中，，∴． （2）解：如图，过点作交于， ∵点为的中点，，∴为的中点，∴， ∵，∴，∴． （3）解：线段的长度保持不变．如图，过点点作交于， 由（1）知，∵，∴， 由（1）知，∴，∴． 12．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，E在的边的延长线上，D点在边上，交于点F，，求证：是等腰三角形．    【答案】见解析 【详解】证明：过点D作于点G，    ∵∴（两直线平行，内错角相等）， 在和中，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴是等腰三角形． 13．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，在等边的边上各取一点，使，，相交于，(1)求证，的度数；(2)作垂直于，垂足为，求证：． 【答案】(1)证明见解析，(2)见解析 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 在和中，，， ，，， 为的一个外角，； （2）证明：过点作于，如图所示： ，，， 在中，，，． 14．（24-25七年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】学完“全等三角形”相关内容后，小明做了这样一道题：如图1，已知是等边三角形，点D，E分别在上，且．连结交于点F．求证：．小明完成后，发现可以利用全等结论推出的度数为定值． 【解决问题】（1）的度数为 ； 【拓展探究】小明继续进行了如下思考：（2）在上题中，若点D，E分别在的延长线上，的延长线与交于点F，如图2，其他条件不变．①与有怎样的数量关系？②的度数是否仍为定值？请你思考这两个问题，给出相应的结论并写出证明过程． 【答案】（1）；（2）①，见解析；②的度数仍为定值，见解析 【详解】解：【解决问题】是等边三角形，，， ，，，，， 又，，；故答案为：； 【拓展探究】解：①仍成立． 理由如下：是等边三角形，，，， 又，． ②的度数仍为定值． 理由如下：由（1）知，，， 而，，，． 15．（25-26八年级上·黑龙江·阶段练习）如图，是等边三角形，点D、E分别在上，且，与相交于点F，作垂足为G，．(1)求证：；(2)求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵为等边三角形，∴，， 在和中，，∴； （2）解：由（1）得：，∴， ∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴． 16．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，中，，点D在边上，点E在的延长线上，且，连接交于点F． (1)写出与相等的理由；(2)过点D作于点G，写出与间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析 【详解】（1）解：如图，过点D作交于H，则，， ∵，∴，∴，∴，∵，∴， 在和中,，∴，∴； （2）解：，理由如下，∵，∴， ∵，，∴， ∴，∴． 17．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知，如图，为等边三角形，点在边上，点在边上，并且，和相交于点，于点． (1)求证：；(2)若，，则________，________． 【答案】(1)见解析(2)6，7 【详解】（1）证明：∵为等边三角形，∴，， 在和中，，∴，∴； （2）解：∵，∴， ∵，∴∴， 又∵，∴，∴， ∴，∴．故答案为：6，7． 18．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知：为等边三角形． (1)如图1，点、分别为边、上的点，且．求证：； (2)如图2，点为外一点，、的延长线交于点，连接，已知，且，，求的长；(3)如图3，线段的长为，线段的长为，连接，以为边作等边，连接，直接写出当线段取最大值与最小值时的度数． 【答案】(1)见解析(2)(3)最大时(在上方)，最小时(在下方) 【详解】（1）证明：如图1中，是等边三角形， ，，，． （2）解：如图2中，在上取一点，使得， ，，是等边三角形， ，，， ，，，． （3）解：如图3中，以为边向外作等边，连接． ，，，， ，，，，， ，．的最小值为，最大值为． 最大时在上方，最小时在下方． 19．（24-25八年级上·江苏南通·期中）（1）如图1，已知和，点B、C、E在一条直线上，且，求证：； （2）如图2，，N分别为上的点，且，求证：； （3）如图3，是等边三角形，点D、F分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点D从点A运动到点C的过程中，的度数是否发生变化？如果不变，求出的度数：如果改变，请说明理由．    【答案】（1）见解析（2）见解析（3），理由见解析 【详解】（1）证明：∵，∴， 在和中，，∴，∴； （2）证明：在上截取，连接，如图2，       ∵，∴，∴， ∵，且，∴， 在和中，，∴，∴，∴， ∵，∴，即； （3），理由如下：如图3，在上截取，连接， ∵，且，∴， ∵是等边三角形，∴， ∵，且， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴． 20．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】（3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 【答案】（1）①选择小乐同学的做法：证明见解析；②选择小亮同学的做法：证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，∴，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； ②∵，∴，∵，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴，∴； （2）延长，取，连接，如图所示： ∵D是的中点，∴，∵，∴，∴，， ∵，，∴， ∴，∴，∴； （3）延长，使，连接，如图所示： ∵，，∴， ∴，，∴，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∵，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 等腰（等边）三角形中重要模型之长短手模型与等边截等长模型 等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。各类考试的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的几类重要模型作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.帽子模型（长短手模型） 5 模型2.等边截等长模型（定角模型） 10 模型3.等边内接等边模型 13 16 帽子模型（长短手模型）与等边截等长模型、等边内接等边模型是初中几何中源于等腰三角形和等边三角形特性衍生的经典解题模型，其核心思想通过对称性、全等变换及线段比例关系简化复杂几何问题。‌ 两种模型均强调对称性与全等变换：帽子模型侧重等腰三角形的“长短手”对称‌，等边截等长模型与等边内接等边模型则利用等边三角形的旋转特性‌。在初中几何教学中，二者常结合“等边内接等边模型”综合训练学生的空间思维。 （24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，中，，点从点出发沿线段移动（点不与，重合），同时，点从点出发沿线段的延长线移动，已知点、移动的速度相同，与直线相交于点．(1)求证：；(2)过点作直线的垂线，垂足为，、在移动过程中，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． （24-25八年级上·重庆·期末）如图，在等边三角形中，，分别在边，上，且，与交于点，，垂足为点.下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 （24-25八年级上·江苏·期中）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求的长． 1）帽子模型（长短手模型） 条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②。 证明：如图，过点D作交于H，则，， ∵，∴，∴，∴，∵，∴， 在和中,，∴，∴； ∵，∴，∵，，∴， ∴，∴． 2）等边截等长模型（定角模型） 条件：如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．结论：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。 证明：在等边三角形中，，， 在和中，，，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE； ． ，，∴BQ=2PQ． 3）等边内接等边模型 图1 图2 1）等边内接等边（截取型） 条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF； 结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：∵是等边三角形，∴，． ∵，∴． 在和中，∴（）， ∴．同理，∴，∴是等边三角形． 2）等边内接等边（垂线型） 条件：如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：是等边三角形，， ，，，， ，，是等边三角形， 模型1.帽子模型（长短手模型） 例1（24-25八年级上·广西来宾·阶段练习）如图，过边长为的等边三角形的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为（   ）    A． B． C．3 D． 例2（2025八年级上湖北·专题练习）在中，，点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点移动的速度相同，与相交于点． (1)如图①，过点作，交于点．求证：；(2)如图②，过点作于点，在点从点向点（点不与点重合）移动的过程中，线段与的长度和是否保持不变？若保持不变，请直接写出线段与的长度和；若改变，请说明理由． 例3（2024·陕西·一模）【问题提出】（1）如图1，在中，，点是上一点，交于点，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，求证：； 【问题探究】（2）如图2，在四边形中，，点是的中点，连接，，与的延长线交于点．探究线段与、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】（3）如图3，某校有一块四边形空地，现将这块空地规划为实践活动区域，在的中点处修建入口，沿修建一条小路（小路的宽度忽略不计），将这块空地分成两部分，在内种植蔬菜，在四边形内种花卉，已知，恰好平分，，，求的长． 例4（24-25七年级下·四川成都·期中）【问题初探】（1）如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． 【类比分析】（2）如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】（3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系．          模型2.等边截等长模型（定角模型） 例1（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：． 例2（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，为等腰三角形，，、分别是边、上的点，且满足，连接、交于点．(1)求证：；(2)求的度数．    例3（24-25八年级上·广东潮州·期中）已知，如图，为等边三角形，，、相交于点，于．(1)求证：；(2)求的度数；(3)若，，求的长． 例4（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，为等边三角形，点、分别是边、所在直线上的动点，若点、以相同的速度，同时从点、点出发，分别沿、方向运动，直线、交于点． (1)如图1，求证：；(2)在点、点运动过程中，______°； (3)如图2，点为边中点，连接，，当点、分别在线段、上运动时，判断与的数量关系，并证明你的结论． 模型3.等边内接等边模型 例1（2024七年级下·成都·专题练习）如图，过等边三角形的顶点、、依次作、、的垂线、，三条垂线围成，若，则的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 例2（24-25七年级下·成都·校考期中）如图，和都是等边三角形，点D，E，F分别在边上，若的周长为15，，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 例3（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．    例4（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，点、、分别是等边各边上的点，且，．（）求证：是等边三角形．（）若，求等边的周长． 1．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知等边三角形，，点D在上，点F在延长线上，，于E，于G．交于点P．则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①②④ 2.（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，点在上，点在线段的延长线上，且，连接与相交于点．若，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 3.（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，点是等边的边上一点，过点作，垂足为点，延长至点，使，连接交于点．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏·专题练习）如图，过等边三角形的顶点A、B、C依次作、、的垂线、、，三条垂线围成，若，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．20 D．24 5．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在等边△ABC中，点D、E分别是BC、AB边上的点，且AE=BD，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（　　） A．45° B．60° C．65° D．75° 6．（24-25八年级上·湖北随州·期末）如图，△ABC中，P为AB上一点，Q为BC延长线上一点，且，过点P作于点M，过点Q作交AC的延长线于点N，且，连接PQ交AC边于点D，则以下结论：①； ②；③为等边三角形；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 7．（24-25八年级上·广西柳州·期末）如图，在中，，，是边上的高，点E，F分别是边，上的动点，且，当的值最小时，的度数是 ． 8．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．    9．（25-26八年级上·天津·期中）如图，是等边三角形，点E在的延长线上，点D在线段上，连接交线段于点F，过点F作于点N，，，则 (1) ；(2)若，则 ． 9．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，过边长为4的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则的长为 ． 10．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）如图，等边的顶点分别在等边的各边上，且于点E．若，求的长． 11.（24-25八年级上·河南洛阳·期末）已知中，，．点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点、移动的速度相同，与直线相交于点． (1)如图①，过点作交于点，求证：； (2)如图②，当点为的中点时，求的长； (3)如图③，过点作于点，在点从点向点移动的过程中，线段的长度是否保持不变？若保持不变，请求出的长度，若改变，请说明理由． 12．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，E在的边的延长线上，D点在边上，交于点F，，求证：是等腰三角形．    13．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，在等边的边上各取一点，使，，相交于，(1)求证，的度数；(2)作垂直于，垂足为，求证：． 14．（24-25七年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】学完“全等三角形”相关内容后，小明做了这样一道题：如图1，已知是等边三角形，点D，E分别在上，且．连结交于点F．求证：．小明完成后，发现可以利用全等结论推出的度数为定值． 【解决问题】（1）的度数为 ； 【拓展探究】小明继续进行了如下思考：（2）在上题中，若点D，E分别在的延长线上，的延长线与交于点F，如图2，其他条件不变．①与有怎样的数量关系？②的度数是否仍为定值？请你思考这两个问题，给出相应的结论并写出证明过程． 15．（25-26八年级上·黑龙江·阶段练习）如图，是等边三角形，点D、E分别在上，且，与相交于点F，作垂足为G，．(1)求证：；(2)求的长． 16．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，中，，点D在边上，点E在的延长线上，且，连接交于点F．(1)写出与相等的理由；(2)过点D作于点G，写出与间的数量关系，并说明理由． 17．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知，如图，为等边三角形，点在边上，点在边上，并且，和相交于点，于点．(1)求证：；(2)若，，则________，________． 18．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知：为等边三角形． (1)如图1，点、分别为边、上的点，且．求证：； (2)如图2，点为外一点，、的延长线交于点，连接，已知，且，，求的长；(3)如图3，线段的长为，线段的长为，连接，以为边作等边，连接，直接写出当线段取最大值与最小值时的度数． 19．（24-25八年级上·江苏南通·期中）（1）如图1，已知和，点B、C、E在一条直线上，且，求证：； （2）如图2，，N分别为上的点，且，求证：； （3）如图3，是等边三角形，点D、F分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点D从点A运动到点C的过程中，的度数是否发生变化？如果不变，求出的度数：如果改变，请说明理由．    20．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】（3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $