专题02 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型（几何模型讲义）数学人教版2024八年级上册

专题02 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 6 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 9 13 1842年斯坦纳-雷米欧司定理的纯几何证明完成，该定理证明过程中大量涉及角平分线与平行线的构造技巧，‌间接催生了"角平分线+平行线→等腰三角形"这一辅助线作法的明确化和模型化‌。 随着几何教育的发展，教育研究者‌将实践中高频出现的解题模式进行总结归类‌。“平分平行构等腰”（或“角平分线+平行线→等腰”）因其简洁性与普适性，被提炼为标准化模型，作为角平分线非全等类模型的核心之一，与“射影构等腰”（角平分线+垂直→等腰）并列，纳入专题教学体系。 这一模型并非由单一学者独创，而是几何学基本原理（尤其是角平分线和平行线性质）在解决经典问题（如斯坦纳-雷米欧司定理）中自然衍生的方法结晶。其现代形式的明确化与命名，是‌19世纪定理证明方法与20世纪后教学经验提炼‌共同作用的结果。 （2024·湖南长沙·二模）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，则线段的长为 ． （24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在中，，点D在边上，连接，的平分线分别交，于点E，F．(1)尺规作图：求作的高线；（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可画出草图后解答（2）题）；(2)若，求证：． （2024·上海浦东新·三模）爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论：(1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小李的解法如下：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且，，∴ ． ∵，，∴； (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证：； 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 3）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 4）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 5）奔驰模型（面积） 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 例1（2025·江苏苏州·二模）如图，，平分．以下结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 例2（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，和的平分线交于点E，过点作交于M，交于N，若，，则线段的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 例3（24-25八年级·绵阳市·假期作业）如图，在中，，于点D，的平分线交于F，交于E，若，，则 ． 例4（24-25九年级上·山东滨州·期中）已知如图（），中，，、的平分线相交于点，过点作交于． (1)与间有怎样的关系？写出你的猜想．（不用证明） (2)若，第①问中与间的关系还存在吗？若不存在，请说明理由，若存在，请写出证明过程．(3)若中，，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如图（），与间的关系如何？为什么？ 例5（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）（1）如图1，，平分，则的形状是 三角形；（2）如图2，平分，，，则 ． （3）如图3，有中，是角平分线，交于点D．若，则 ． （4）如图4，在中，与的平分线交于点F，过点F作，分别交，于点D，E．若，则的周长为 ． （5）如图，在中，cm，分别是和的平分线，且，则的周长是 ． 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 例1（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（   ） A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7 例2（24-25·河南南阳·八年级校考期末）我们已经学习过角平分线性质定理，即：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，已知的角平分线BD交边AC于点D． (1)求证：=(2)求证：=；(3)如果BC=4，AB=6，AC=5，那么CD=______． 例3（24-25·北京·八年级校考期中）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． (1)如图1，当点D是边的中点时，_____； (2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）； (3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，求的值． 例4（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）三角形角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例． 如图1，中，是角平分线，则．小石同学学习了这个定理以后探究：三角形的外角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边的关系，下面是他的探究过程，请按要求完成． 已知：如图2，已知及其外角．的角平分线交的延长线于点F．求证：．    (1)尺规作图：在图2中作的平分线交的延长线于点F，在射线上截取，连接（不写作法保留作图痕迹） (2)证明： 是的角平分线， ______① ， ；______②    ，___③ 是的角平分线______ ④  ；， 结合以上探究可知：三角形的一个外角的角平分线外分对边所成两条线段，这两条线段和夹相应的内角的两边______ ⑤． 1．（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，点A，B和点C，D分别在一把点尺的两边上，连接，平分，测得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于一点，过点作射线交于点，过点作，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交于M，交于N，若，则线段的长为（  ） A．9 B．18 C．4.5 D．以上都不对 4．（24-25八年级上·天津南开·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，的三边，，的长分别为12，27，30，其三条角平分线将分成三个三角形，则（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25河南安阳八年级期末）如图，点是的，的平分线的交点，交于点，交于点，若的周长为，那么的长为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25·浙江八年级专题练习）如图，的角平分线、、交于点，若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．三条高的比为 8.（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（　　） A．2 B．2 C．4 D．4+2 9．（24-25山西八年级期中）如图在中，的角平分线交于，若，，则平行四边形的周长为（ ） A． B． C． D． 10．（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于一点，过点作射线交于点，过点作，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则长为 ． 12.（24-25.江苏八年级期中）如图，已知：在中，，于D，的角平分线交AD与F，交AB于E，交AB于G．，，则__________，__________． 13．24-25·江苏扬州·七年级校考期末）如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为1，则的面积为 ． 14．（24-25·湖南益阳·八年级统考期末）如图，，是的角平分线，，相交于点于F，，下列四个结论： ①；②；③若的周长为m，，则 ④若，则 其中正确的结论是 （填写序号）． 15．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图1，在中，是的角平分线． (1)若，，，可得到结论：__________； (2)若，，，可得到结论：__________； (3)图2中，，，，若是的外角平分线，与的延长线交于点E，可得到结论：__________． 16．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，，求． 17．（22-23九年级上·山西运城·期中）阅读与思考 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 下面是小宇同学运用面积的思想对“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．”进行了证明． 如图，在中，D，E是边，且．求证：．       证明：如图，分别连接．设点E到的距离为，点D到的距离为， ，… 任务：(1)请补全以上证明过程．(2)应用以上结论解答问题：如图，在中，，，求证：． 18．（2025·山西临汾·二模）阅读与思考 在学习完角平分线的相关辅助线后，老师让学生探究角平分线分线段成比例定理，以下是小宇同学的探究过程： 角平分线分线段成比例定理 内容：三角形内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例，如图1．若为的角平分线，则． 下面是小宇对这个定理的证明过程． 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．则，且（依据1）， 又平分，（依据2），． 任务：(1)填空：材料中的依据1是_______，依据2是_______； (2)你有不同的思考方法吗？请写出你的证明过程； (3)如图3，在中，平分交于点D，，则的长为_______． 19．（24-25八年级上·河南漯河·期中）如图①，中，，的平分线交于点，过点作交于． (1)图①中有几个等腰三角形？猜想：与之间有怎样的关系． (2)如图②，若，其他条件不变，在第（）问中与间的关系还存在吗？ (3)如图③，若中的平分线与平分线交于，过点作，交于，交于，这时与关系又如何？请直接写出结果． 20．（2025·河北石家庄·模拟预测）阅读材料： 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程： 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．…… 解决问题：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程； (2)如图3，在中，是角平分线，，，，求的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 6 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 9 13 1842年斯坦纳-雷米欧司定理的纯几何证明完成，该定理证明过程中大量涉及角平分线与平行线的构造技巧，‌间接催生了"角平分线+平行线→等腰三角形"这一辅助线作法的明确化和模型化‌。 随着几何教育的发展，教育研究者‌将实践中高频出现的解题模式进行总结归类‌。“平分平行构等腰”（或“角平分线+平行线→等腰”）因其简洁性与普适性，被提炼为标准化模型，作为角平分线非全等类模型的核心之一，与“射影构等腰”（角平分线+垂直→等腰）并列，纳入专题教学体系。 这一模型并非由单一学者独创，而是几何学基本原理（尤其是角平分线和平行线性质）在解决经典问题（如斯坦纳-雷米欧司定理）中自然衍生的方法结晶。其现代形式的明确化与命名，是‌19世纪定理证明方法与20世纪后教学经验提炼‌共同作用的结果。 （2024·湖南长沙·二模）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵和的平分线交于点，，∴，， ∵，∴，，∴，， ∴，，∴，∴线段的长为．故答案为：． （24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在中，，点D在边上，连接，的平分线分别交，于点E，F．(1)尺规作图：求作的高线；（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可画出草图后解答（2）题）；(2)若，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：如图，线段即为所求： ； （2）证明：∵，∴，∴在中，， ∵，∴，∵平分，∴，∴， ∵，∴，∴，由（1）知是的高，即， ∵，∴，∵平分，∴， ∴． （2024·上海浦东新·三模）爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： (1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小李的解法如下：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且，，∴ ． ∵，，∴； (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证：； 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：∵是的角平分线，且，，∴，故答案为：； （2）证明：过点D作于N，于M．过点A作于点P． ∵是的角平分线，∴． ∴，，∴； 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 3）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 4）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 5）奔驰模型（面积） 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 例1（2025·江苏苏州·二模）如图，，平分．以下结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A： ∵， ∴． ∵平分，∴， ∴，该选项成立． 选项B： 仅由，平分，无法得出． 例如，当时，，，的度数取决于的形状，不一定等于 ，该选项不一定成立． 选项C： ∵，∴，又平分，即， ∴． 在中，等角对等边，∴，该选项成立． 选项D： 在中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边， ∵（已证），∴，即，也就是，该选项成立．故选：B． 例2（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，和的平分线交于点E，过点作交于M，交于N，若，，则线段的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：∵、的平分线相交于点，∴，， ∵，∴，， ∴，，∴，， ∵，∴．故选B． 例3（24-25八年级·绵阳市·假期作业）如图，在中，，于点D，的平分线交于F，交于E，若，，则 ． 【答案】5 【详解】∵，∴， ∵，∴，∴， ∵平分，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴．故答案为：5. 例4（24-25九年级上·山东滨州·期中）已知如图（），中，，、的平分线相交于点，过点作交于． (1)与间有怎样的关系？写出你的猜想．（不用证明） (2)若，第①问中与间的关系还存在吗？若不存在，请说明理由，若存在，请写出证明过程．(3)若中，，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如图（），与间的关系如何？为什么？ 【答案】(1)(2)仍然成立，理由见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）解：，理由如下： ∵平分，∴，， ∵， ∴，， ∴，，∴，，∵，∴； （2）解：当时，仍然成立，理由如下： ∵平分，∴，， ∵， ∴，， ∴，，∴，，∵，∴； （3）解：，理由如下： ∵平分，∴，， ∵， ∴，， ∴，，∴，，∵，∴． 例5（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）（1）如图1，，平分，则的形状是 三角形； （2）如图2，平分，，，则 ． （3）如图3，有中，是角平分线，交于点D．若，则 ． （4）如图4，在中，与的平分线交于点F，过点F作，分别交，于点D，E．若，则的周长为 ． （5）如图，在中，cm，分别是和的平分线，且，则的周长是 ． 【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm 【详解】解：（1）∵，∴， ∵平分，∴，∴，∴是等腰三角形；故答案为：等腰； （2）∵平分，，∴， ∴，∴；故答案为：3； （3）同法（2）可得：，∴；故答案为：12； （4）同法（2）可得：， ∴的周长；故答案为：30； （5）同法（2）可得：， ∴的周长；故答案为：5cm． 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 例1（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（   ） A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7 【答案】D 【详解】解∶过点O作于D，于E，于F，点O是内心，． 故选：D． 例2（24-25·河南南阳·八年级校考期末）我们已经学习过角平分线性质定理，即：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，已知的角平分线BD交边AC于点D． (1)求证：=(2)求证：=；(3)如果BC=4，AB=6，AC=5，那么CD=______． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2 【详解】（1）作，作DHAB垂足分别为F，H ∵BD是的角平分线． ∴DF=DH 则有：= = （2）作BECA垂足为E；则有： = = ∴= （3）由（2）知，= BC=4，AB=6，AC=5， 故答案为：2 例3（24-25·北京·八年级校考期中）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． (1)如图1，当点D是边的中点时，_____； (2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）； (3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，求的值． 【答案】(1)(2)(3)16 【详解】（1））过A作于E，∵点D是边上的中点，∴， ∴故答案为：； （2）过D作于E，于F，∵为的角平分线，∴， ∵，，∴； （3）∵，∴由（1）知：，∵，∴， ∵，平分，∴由（2）知：， ∴，∴，故答案为：16． 例4（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）三角形角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例． 如图1，中，是角平分线，则．小石同学学习了这个定理以后探究：三角形的外角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边的关系，下面是他的探究过程，请按要求完成． 已知：如图2，已知及其外角．的角平分线交的延长线于点F．求证：．    (1)尺规作图：在图2中作的平分线交的延长线于点F，在射线上截取，连接（不写作法保留作图痕迹） (2)证明： 是的角平分线， ______① ， ；______②    ，___③ 是的角平分线______ ④  ；， 结合以上探究可知：三角形的一个外角的角平分线外分对边所成两条线段，这两条线段和夹相应的内角的两边______ ⑤． 【答案】(1)见解析(2)；；；；成比例 【详解】（1）解：所作图形，如图所示，    （2）证明：是的角平分线， ，，， ，，是的角平分线，， ，，． ∴三角形的一个外角的角平分线外分对边所成两条线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例． 故答案为：；；；；成比例． 1．（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，点A，B和点C，D分别在一把点尺的两边上，连接，平分，测得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，，∴． ∵平分，∴， ∴．故选：C． 2．（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于一点，过点作射线交于点，过点作，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得为的角平分线，， ， ，，则， ∴，，故选：C． 3．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交于M，交于N，若，则线段的长为（  ） A．9 B．18 C．4.5 D．以上都不对 【答案】A 【详解】解：的平分线相交于点，， ∵，，， ，，即，，．故选：A． 4．（24-25八年级上·天津南开·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：平分，∴， ∵，∴，∴，∴， 同理可得：， ∴， 故选：． 5．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，的三边，，的长分别为12，27，30，其三条角平分线将分成三个三角形，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作于，于，于， 是三角形三条角平分线的交点，， ∵的长分别为，∴．故选：A． 6．（24-25河南安阳八年级期末）如图，点是的，的平分线的交点，交于点，交于点，若的周长为，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ABO=∠BOD，∠ACO=∠EOC， ∵点是的，的平分线的交点， ∴∠ABO=∠OBD，∠ACO=∠OCE；∴∠OBD =∠BOD，∠EOC=∠OCE； ∴BD=OD，CE=OE；∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC= BC ∵的周长为，∴BC=9cm．故选：B． 7．（24-25·浙江八年级专题练习）如图，的角平分线、、交于点，若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．三条高的比为 【答案】B 【详解】解：∵的角平分线、、交于点， ∴点到三角形三边的距离相等，设点到三角形三边的距离为x ； 故选：B 8.（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（　　） A．2 B．2 C．4 D．4+2 【答案】C 【详解】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC， ∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°， ∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4， ∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C． 9．（24-25山西八年级期中）如图在中，的角平分线交于，若，，则平行四边形的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，CD=3，∴AD//BC，AB=CD=3，BC=AD，∴∠AEB=∠CBE， ∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE=∠CBE=∠AEB，∴AB=AE=3， ∵ED=2，∴AD=AE+DE=5，∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=2（AB+AD）=16，故选B. 10．（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于一点，过点作射线交于点，过点作，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得为的角平分线，， ， ，，则， ∴，，故选：C． 11．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则长为 ． 【答案】 【详解】解：∵平分，∴， ∵，∴，∴，∴，∵平分，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，故答案为：． 12.（24-25.江苏八年级期中）如图，已知：在中，，于D，的角平分线交AD与F，交AB于E，交AB于G．，，则__________，__________． 【答案】4cm； 【详解】过E作EH垂直BC交BC于H点，易证； 由角度分析易知，即，则有； 又可证，则，则，． 【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型． 13．24-25·江苏扬州·七年级校考期末）如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为1，则的面积为 ． 【答案】42 【详解】解：连接BF，如图，∵， ∴ ∵是的中点，∴，∴ ∵，∴∴ ∴ ∴∴ 故答案为：42． 14．（24-25·湖南益阳·八年级统考期末）如图，，是的角平分线，，相交于点于F，，下列四个结论： ①；②；③若的周长为m，，则 ④若，则 其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【详解】解：①∵，∴， ∵，是的角平分线，∴， ∴；故①正确；②如图，在上截取， ∵是的角平分线，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∵是的角平分线，∴，∵， ∴，∴，∴；故②正确； ③连接，过点作，垂足分别为：， ∵，是的角平分线，∴， ∴；故③错误； ④如图，由②知，， ∴，，∵，∴， ∴，∴，∴， 即：；故④正确；综上，正确的是①②④；故答案为：①②④． 15．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图1，在中，是的角平分线． (1)若，，，可得到结论：__________； (2)若，，，可得到结论：__________； (3)图2中，，，，若是的外角平分线，与的延长线交于点E，可得到结论：__________． 【答案】(1)2(2)(3) 【详解】（1）解：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，，，∴， ∴，∴，故答案为：2． （2）解：由（1）可得，， ∵，∴，故答案为：． （3）解：过点E分别作于点H，交的延长线于点G，则，过点C作于点N， ∴，即，故答案为：． 16．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，，求． 【答案】6 【详解】解：∵ED∥BC，∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB， ∵平分，平分∴∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD， ∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，∴BE＝EG，CD＝DF， ∵BE＝6，DC＝8，DE＝20，∴FG＝DE﹣EG﹣DF＝DE﹣BE﹣CD＝20﹣6﹣8＝6． 17．（22-23九年级上·山西运城·期中）阅读与思考 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 下面是小宇同学运用面积的思想对“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．”进行了证明． 如图，在中，D，E是边，且．求证：．    证明：如图，分别连接．设点E到的距离为，点D到的距离为， ，… 任务：(1)请补全以上证明过程．(2)应用以上结论解答问题：如图，在中，，，求证：．    【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：如图，分别连接．    设点E到的距离为，点D到的距离为，则， ，设点B到直线的距离为m， ∵，点C到直线的距离与点B到直线的距离相等，都等于m， ∴，∴，∴． （2）证明：∵，∴，∵，∴，∴． 18．（2025·山西临汾·二模）阅读与思考 在学习完角平分线的相关辅助线后，老师让学生探究角平分线分线段成比例定理，以下是小宇同学的探究过程： 角平分线分线段成比例定理 内容：三角形内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例，如图1．若为的角平分线，则． 下面是小宇对这个定理的证明过程． 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．则，且（依据1）， 又平分，（依据2），． 任务：(1)填空：材料中的依据1是_______，依据2是_______； (2)你有不同的思考方法吗？请写出你的证明过程； (3)如图3，在中，平分交于点D，，则的长为_______． 【答案】(1)平行线分线段成比例定理，等角对等边(2)见解析(3) 【详解】（1）解：方法1中的依据1是：平行线分线段成比例；依据2指的是：等角对等边； 故答案为：平行线分线段成比例；等角对等边； （2）证明：过点A作于点H，过D点作于点E，作于点F， ∴，∵平分，∴，∴，∴． （3）解：∵中，是角平分线，∴ ∵，∴，∴． 19．（24-25八年级上·河南漯河·期中）如图①，中，，的平分线交于点，过点作交于． (1)图①中有几个等腰三角形？猜想：与之间有怎样的关系． (2)如图②，若，其他条件不变，在第（）问中与间的关系还存在吗？ (3)如图③，若中的平分线与平分线交于，过点作，交于，交于，这时与关系又如何？请直接写出结果． 【答案】(1)个，(2)还存在(3) 【详解】（1）解：∵，∴， ∵∴，，∴，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴，∴，∵，∴，， ∴，，∴，， ∴等腰三角形有：，，，，，共个； 的关系是，理由如下：∵，，∴； （2）解：当时，（）的关系还存在，理由如下： ∵平分，平分，∴，， ∵ ，∴，， ∴，，∴，，∴； （3）解：，理由如下： ∵平分，平分，∴，， ∵，∴，， ∴，，∴，，∴． 20．（2025·河北石家庄·模拟预测）阅读材料： 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程： 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．…… 解决问题：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程； (2)如图3，在中，是角平分线，，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，∴，，． ∵平分，∴，∴，∴，∴． （2）解：∵是角平分线，∴．∵，，， ∴，解得，经检验符合题意．故的长为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$