专题13 中点模型（一）（平行线夹中点模型、中垂线模型、三线合一模型）（几何模型讲义）数学人教版2024八年级上册

专题13 中点模型（一）（平行线夹中点模型、中垂线模型、三线合一模型） 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的前三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.垂直平分线模型 5 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 7 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 10 14 垂直平分线模型和等腰三角形的“三线合一”模型源于垂直平分线定理和等腰三角形的性质定理；垂直平分线定理源于欧几里得《几何原本》中对对称性和等距点的研究，其核心性质与逆定理通过全等三角形证明；等腰三角形的性质定理源于等腰三角形的对称性，其性质在古希腊几何学中已有应用，现代证明通过全等三角形完成。“平行线+中点+对顶角”构造全等模型的核心是通过‌平行线性质‌与‌中点条件‌结合，利用‌对顶角相等‌或‌同位角/内错角相等‌，证明三角形全等。 （2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 （2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，平分交于点D，，，则的面积为 ． （24-25七年级下·山东烟台·期末）在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题： (1)如图1，当点E在线段上，是的角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？小颖通过观察、分析、思考，探究出了辅助线的添加方法：延长交于一点．从而很快地解决了问题．请写出本题的证明过程； (2)如图2，当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，若，则 ；（请直接写出结果）； (3)如图3，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程． 1）垂直平分线模型 条件：如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，结论：BE=EC。 证明：∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠CDE=90°，∵D为BC中点，∴BD=CD， ∵DE=DE，∴，∴BE=CE. 2）等腰三角形的“三线合一”模型 条件：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，结论：①AD为BC边上的中线（即BD=CD）；②AD为∠BAC 的角平分线（即∠BAD =∠CAD）；③AD为BC边上的高线（即AD⊥BC）。 证明：我们不妨以①为结论证明，其他情况证明也是类似的证明全等即可。 由题意知：AB=AC，BD=CD，∵AD=AD，∴，∴∠BAD =∠CAD，AD⊥BC。 注意：其中三个结论已知其一便可证明其他两个结论。 3）“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行”构造全等；当然有时候也需要自己构造平行线的辅助线求解。 条件：如图，AB//CD，点E是BC的中点，可延长DE交AB于点F。结论：。 证明：∵AB//CD，∴∠C=∠FBE，∠D=∠BFE， ∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴（AAS）。 模型1.垂直平分线模型 例1（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线、分别垂直平分线段、交于点，直线交于点，直线交于点．若，则的度数（   ） A． B． C． D． 例2（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（    ） A．21 B．9 C．18 D．13 例3（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交边于，点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．6 B．10 C．15 D．16 例4（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于． (1)求证：．(2)若，，则求的长． 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 例1（24-25八年级上·重庆·期末）如图，为等边三角形，，垂足为点E，则下列结论中，正确的个数是（    ） ①；②；③线段是的对称轴；④线段AE是的角平分线． A．1 B．2 C．3 D．4 例2（24-25八年级上·河南安阳·期中）如图，于，且，，若，则 ． 例3（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为 ． 例4（24-25上·湖南长沙·八年级校联考阶段练习）如图，与均为等边三角形，点在边上，，连接．(1)求证：；(2)求的度数；(3)若，求的长． 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 例1（25-26八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在中，D是上一点，点F是边右侧一点，连接交于点E，，，若，则的长是（    ） A．2 B．3 C．5 D．1 例2（24-25九年级下·山东临沂·期中）如图，，，点为的中点，若，，，则的长为 ． 例3（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，，动点在射线上，交于，的平分线交于．则当时， ． 例4（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）【教材呈现】如图1，平分，．易证是等腰三角形． 【变式探究】（1）如图2，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（2）如图3，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（3）如图4，在四边形中，，E为的中点，且平分，连接，则线段和之间的数量关系为__________． 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，点是边、的垂直平分线的交点，已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，，，B点在的垂直平分线上，若，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，垂直平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25上·河北邢台·八年级校考阶段练习）下面是老师在投影屏上展示的一道证明题，需要补充横线上符号代表的内容，则下列答案错误的是（    ） 已知：如图，在中，，在，，上分别取，，三点，，． 求证：． 证明：如图，连接．∵，，∴ ． 又∵，，∴ ≌（ ）∴． ∵，∴（等腰三角形的顶角平分线与 重合）． A．代表 B．代表 C．代表SAS D．代表底边上的中线 6．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，，点在边上，且，若，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 7．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，D是上一点，交于点E．．．若．．则的长是（    ） A． B．2 C． D．3 8．（24-25八年级上·重庆忠县·期末）如图，已知，，点为的中点，于点，于点，连接、．张宇同学根据已知条件给出了以下几个结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（24-25上·重庆渝中·八年级校考期中）如图，在等腰中，，延长至点，使得．，过点作，垂足为，延长至点，连接，若，则 ． 10．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，为的中点，于点，，则 . 11．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，，交于点F．若，，F为中点，则 ． 12．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，周长为，则长为 ． 13．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点E、F．若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为 ． 14．（24-25八年级下·北京密云·期末）如图，是的中位线，点在上，且，连接并延长交延长线于点．若，则线段的长为 ． 15．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在四边形中，，连接，，，，O是的中点，连接并延长，交于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 16．（24-25上·福建莆田·八年级校联考期中）如图，在中，，于点，，若，求的度数．    17．（2025·内蒙古·二模）如图，在四边形中，，，平分，且，连接并延长，交的延长线于点．(1)求证：平分；(2)若的面积是，，求长． 18．（24-25七年级下·广东清远·期末）如图，在中，D是边上一点，E是边的中点，作交的延长线于点F．(1)证明：；(2)若，，，求的长． 19．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，点是线段中点，是过点的一条线段，连接、，过点作交于．(1)若，求的长；(2)若，，求证：． 20．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点N，E，，的延长线交于点O，连接，，，．(1)若，求的周长；(2)若，求的度数． 21．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，边的垂直平分线交边于点，交于点F，过点作于点，且为线段的中点．(1)求证：；(2)若，求的度数． 22．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）（1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程． 【应用】（2）如图②，在四边形中，，点是的中点，射线与的延长线交于点，连接，若，则________． （3）如图③，，，，连结、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 中点模型（一）（平行线夹中点模型、中垂线模型、三线合一模型） 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的前三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.垂直平分线模型 5 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 7 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 10 14 垂直平分线模型和等腰三角形的“三线合一”模型源于垂直平分线定理和等腰三角形的性质定理；垂直平分线定理源于欧几里得《几何原本》中对对称性和等距点的研究，其核心性质与逆定理通过全等三角形证明；等腰三角形的性质定理源于等腰三角形的对称性，其性质在古希腊几何学中已有应用，现代证明通过全等三角形完成。“平行线+中点+对顶角”构造全等模型的核心是通过‌平行线性质‌与‌中点条件‌结合，利用‌对顶角相等‌或‌同位角/内错角相等‌，证明三角形全等。 （2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】解：由作图知，垂直平分，， 的周长， ，，的周长，故选：C． （2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，平分交于点D，，，则的面积为 ． 【答案】15 【详解】解：在中，，平分交于点，，， ，，即的面积为，故答案为：． （24-25七年级下·山东烟台·期末）在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题： (1)如图1，当点E在线段上，是的角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？小颖通过观察、分析、思考，探究出了辅助线的添加方法：延长交于一点．从而很快地解决了问题．请写出本题的证明过程； (2)如图2，当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，若，则 ；（请直接写出结果）； (3)如图3，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程． 【答案】(1)，见解析(2)(3)，见解析 【详解】（1），理由如下：如图1，延长交于点M．，， ，，，，平分，， ，即，，， ，，， 由得． （2）如图2，延长相交于点N， ，，，， ，，，， 又，，，，， 平分，， ，即，，， ，，， 又，．故答案为：6． （3），理由如下：如图3，延长与相交于点G， ，，，， 又，，，平分，， ，，，， ，，， 由得． 1）垂直平分线模型 条件：如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，结论：BE=EC。 证明：∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠CDE=90°，∵D为BC中点，∴BD=CD， ∵DE=DE，∴，∴BE=CE. 2）等腰三角形的“三线合一”模型 条件：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，结论：①AD为BC边上的中线（即BD=CD）；②AD为∠BAC 的角平分线（即∠BAD =∠CAD）；③AD为BC边上的高线（即AD⊥BC）。 证明：我们不妨以①为结论证明，其他情况证明也是类似的证明全等即可。 由题意知：AB=AC，BD=CD，∵AD=AD，∴，∴∠BAD =∠CAD，AD⊥BC。 注意：其中三个结论已知其一便可证明其他两个结论。 3）“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行”构造全等；当然有时候也需要自己构造平行线的辅助线求解。 条件：如图，AB//CD，点E是BC的中点，可延长DE交AB于点F。结论：。 证明：∵AB//CD，∴∠C=∠FBE，∠D=∠BFE， ∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴（AAS）。 模型1.垂直平分线模型 例1（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线、分别垂直平分线段、交于点，直线交于点，直线交于点．若，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接， ∵直线、分别垂直平分线段、，∴， ∴，， ∴， ∵直线垂直平分线段，∴，故选：A． 例2（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（    ） A．21 B．9 C．18 D．13 【答案】D 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D，∴， ∴的周长，故选：D． 例3（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交边于，点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．6 B．10 C．15 D．16 【答案】C 【详解】解：如图：连接， ， ∵等腰的底边长为6，点D为边的中点，∴，， ∵垂直平分，∴，∴周长， 由两点之间线段最短可得，当、、在同一直线上时，的值最小为， ∵等腰的底边长为6，面积是36∴，∴， ∴周长的最小值为，故选：C． 例4（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于． (1)求证：．(2)若，，则求的长． 【答案】(1)见解析；(2)． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接、， 为的中点，，是的垂直平分线，， 平分，，，，， 在和中，，，； （2）解：由可知，设， ，，则，， 在和中，，， ，，解得：，的长是． 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 例1（24-25八年级上·重庆·期末）如图，为等边三角形，，垂足为点E，则下列结论中，正确的个数是（    ） ①；②；③线段是的对称轴；④线段AE是的角平分线． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴，，故结论①②正确， ∵为等边三角形，，∴所在直线是的对称轴， ∴“线段是的对称轴”不正确，故结论③错误； ∵为等边三角形，，∴， ∴线段是的角平分线，故结论④正确．故正确个数有3个．故选：C． 例2（24-25八年级上·河南安阳·期中）如图，于，且，，若，则 ． 【答案】 【详解】解：过点A作于点H， ∵，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴，故答案为． 例3（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为 ． 【答案】5 【详解】解：过A作于H， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴ 故答案为：5． 例4（24-25上·湖南长沙·八年级校联考阶段练习）如图，与均为等边三角形，点在边上，，连接．(1)求证：；(2)求的度数；(3)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)(3)8 【详解】（1）证明：为等边三角形，， ，，在中，， 为等边三角形，， ，即； （2）解：为等边三角形，，， ，平分（“三线合一”），即， 在与中：，，； （3）解：由（1）得，在中，， 由（2）得，在中，，在等边三角形中，． 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 例1（25-26八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在中，D是上一点，点F是边右侧一点，连接交于点E，，，若，则的长是（    ） A．2 B．3 C．5 D．1 【答案】A 【详解】解：∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴．故选：A． 例2（24-25九年级下·山东临沂·期中）如图，，，点为的中点，若，，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：延长交于点，如图： ∵，∴，．∵点为的中点，∴， ∵，，，∴， ∴，．∵，∴， 又∵，，∴是等边三角形，∴，∴．故答案为：． 例3（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，，动点在射线上，交于，的平分线交于．则当时， ． 【答案】 【详解】解：延长交于点，∵，∴，∴， ∵平分，∴，∴，∴， ∴，∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，故答案为：． 例4（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）【教材呈现】如图1，平分，．易证是等腰三角形． 【变式探究】（1）如图2，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（2）如图3，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（3）如图4，在四边形中，，E为的中点，且平分，连接，则线段和之间的数量关系为__________． 【答案】（1）重合部分是一个等腰三角形，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）重合部分是一个等腰三角形，理由： ∵在长方形中，，∴， 由折叠性质可得，∴，∴，∴是等腰三角形； （2），理由：如图，∵，∴． ∵平分，∴，∴，∴． ∵，∴．∵平分，∴， ∴，∴，∴； （3），理由：如图，延长、交于点F． ∵，∴， ∵平分，∴，∴，∴． 在和中，，∴，∴． ∵，∴．故答案为：． 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，点是边、的垂直平分线的交点，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵点D为边的垂直平分线的交点，∴， ∴，∴， 在中，， 在中，， ∴．故选C． 2．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，，，B点在的垂直平分线上，若，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：∵B点在的垂直平分线上，∴，∴， ∴，∴，故选：B． 3．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，垂直平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接， ∵，∴，∵垂直平分，∴，∴， ∵，，，∴是的平分线，∴， ∴，∴， ∴．故选：C． 4．（24-25上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵是的垂直平分线，，∴， ∵的周长为∴，∴， ∴，∴的周长为，故选：D． 5．（24-25上·河北邢台·八年级校考阶段练习）下面是老师在投影屏上展示的一道证明题，需要补充横线上符号代表的内容，则下列答案错误的是（    ） 已知：如图，在中，，在，，上分别取，，三点，，． 求证：． 证明：如图，连接．∵，，∴ ． 又∵，，∴ ≌（ ）∴． ∵，∴（等腰三角形的顶角平分线与 重合）． A．代表 B．代表 C．代表SAS D．代表底边上的中线 【答案】C 【详解】证明：如图，连接．∵，，∴． 又∵，，∴（）∴． ∵，∴（等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线重合）． 所以，代表 代表 代表代表底边上的中线，故选：C 6．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，，点在边上，且，若，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：如图，过点作于，又，，， 在直角中，，，， ，．故选：B． 7．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，D是上一点，交于点E．．．若．．则的长是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】解：∵，∴， 在和中，∴，∴， ∵，∴．故选：B． 8．（24-25八年级上·重庆忠县·期末）如图，已知，，点为的中点，于点，于点，连接、．张宇同学根据已知条件给出了以下几个结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：如下图：延长BG与CD的延长线相交于E点， ∵AB∥CD，∴∠ABE=∠BEC，∵点G为AD的中点，∴AG=GD， 在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG，∴AB=DE，BG=GE， ∵AB+CD=BC，∴DE+CD=BC，∴CE=BC，∴∠CBE=∠CEB， 又∵∠ABE=∠BEC，∴∠CBE=∠ABE，∴BG平分∠ABC，∴③正确； ∵CE=BC，点G为BE的中点，∴∠BCG=∠ECG，∠BGC=90°，∴CG平分∠BCD，∴①④正确； ∵GM⊥CD于点M，GN⊥BC于点N，∴∠GMC=∠GNC=90°， ∵CG=CG，∠BCG=∠ECG，∴△GMC≌△GNC，∴GM=GN，∴②正确；故选：D． 9．（24-25上·重庆渝中·八年级校考期中）如图，在等腰中，，延长至点，使得．，过点作，垂足为，延长至点，连接，若，则 ． 【答案】24 【详解】解：如图，过点A作于点G，过点B作于点H， ∵，∴，设， ∵，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴ ∵，∴ ∴， 在中，， ∴，∴，即是等腰三角形， 由等腰三角形三线合一的性质得 ∵，，，∴， 在和中，，，， ∴，∴， ∵，，∴∴，∴， ∵是等腰三角形，，∴，故答案为：24． 10．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，为的中点，于点，，则 . 【答案】 【详解】解：连接 ，∵，，为的中点， ∴， 平分，，∴， ∵ ，∴，∴， 在 中，，，∴， 在 中，，，∴，∴ ，故答案为：． 11．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，，交于点F．若，，F为中点，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∵，∴，∴，，∴， ∵，∴，∴，过点作，垂足为，如图： ∵，，∴， ∵为中点，，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，故答案为：． 12．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，周长为，则长为 ． 【答案】 【详解】解：垂直平分，， 周长为13，，， ，，故答案为：． 13．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点E、F．若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为 ． 【答案】9 【详解】解：如图，连接. ∵为边的中点，∴. ∴，∴.∵垂直平分为线段上的一个动点，∴. ∵∴,∴,∴周长的最小值为9.故答案为：9. 14．（24-25八年级下·北京密云·期末）如图，是的中位线，点在上，且，连接并延长交延长线于点．若，则线段的长为 ． 【答案】12 【详解】解：∵是的中位线， ∴，，∴，， ∵，∴，∴，∴．故答案为：12． 15．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在四边形中，，连接，，，，O是的中点，连接并延长，交于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】24 【详解】解：∵，∴，， ∵O是的中点，∴，∴，∴， ∴．故答案为：24． 16．（24-25上·福建莆田·八年级校联考期中）如图，在中，，于点，，若，求的度数．    【答案】16度 【详解】∵，，，∴，， ∵，∴， ∴． 17．（2025·内蒙古·二模）如图，在四边形中，，，平分，且，连接并延长，交的延长线于点．(1)求证：平分；(2)若的面积是，，求长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：过点作于点， ，垂足为，且平分，，， ，，，，即，平分； （2）解：由（1）知，， 在和中，，， ，，，． 18．（24-25七年级下·广东清远·期末）如图，在中，D是边上一点，E是边的中点，作交的延长线于点F．(1)证明：；(2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)8 【详解】（1）证明：∵E是边的中点，∴ ∵∴，∴； （2）解：∵E是边的中点，，∴∴ ∵∴∴． 19．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，点是线段中点，是过点的一条线段，连接、，过点作交于． (1)若，求的长；(2)若，，求证：． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：，，又是的中点 在和中，，， （2）证明：，又 ， 在和中，， ，，． 20．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点N，E，，的延长线交于点O，连接，，，．(1)若，求的周长；(2)若，求的度数． 【答案】(1)的周长为；(2)的度数为． 【详解】（1）解：∵边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，的周长； （2）解：如图，连接， ∵，分别垂直平分，，∴，， ∴，∴的度数为． 21．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，边的垂直平分线交边于点，交于点F，过点作于点，且为线段的中点． (1)求证：；(2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接，如下图， ∵于点D，且D为线段的中点，∴垂直平分，∴， ∵垂直平分，∴，∴； （2）解：∵，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴． 22．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）（1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程． 【应用】（2）如图②，在四边形中，，点是的中点，射线与的延长线交于点，连接，若，则________． （3）如图③，，，，连结、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________． 【答案】（1）见解析；（2）6；（3）8 【详解】解：（1）∵，∴， ∵是的中点，∴，∴，∴； （2）∵，∴， ∵点是的中点，∴，∴， ∴，，∴， ∴；故答案为：6 （3）如图，过点A作，交的延长线于点G， ∵，∴，∵点是的中点，∴，∴， ∴，，，∴，， ∵，∴，， ∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，，， ∵，∴，∴， ∴，即，∴，即的面积为8． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $