专题12 将军饮马模型（不含勾股）（几何模型讲义）数学人教版2024八年级上册

专题12.将军饮马模型（不含勾股） 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 6 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 8 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 11 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 14 18 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （24-25八年级上·山东·校考期末） 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】（1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】（3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） （2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18，若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 1）将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 例1（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（三角形的顶点都在网格的格点上）． (1)在图中画出关于直线l对称的（要求：点A与点、点B与点、点C与点相对应）； (2)的面积______；(3)在网格中仅用无刻度的直尺找一点O，使． (4)在直线l上找一点P，使的值最小． 例2（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取最小值时，若，则此时的长为 ．    例3（2024·广东·七年级期末）如图，在中，，，，，B、C关于直线EF对称，点P为直线EF上的任意一点，则周长的最小值是（       ） A．7 B．6 C．12 D．8 例4（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 例1（24-25·安徽马鞍山·八年级期末）如图，两村在一条小河的同一侧，要在河边建水厂向两村供水． （1）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？ （2）自来水厂建好后，在招收职工的试卷中有道题“请你在河流上找出一点，使的值最大．”你能找到点吗？请将上述三点在下列各图分别标出，并保留尺规作图痕迹． 例2（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ． 例3（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为 ． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 例1（24-25八年级上·重庆渝北·期中）如图，已知的大小为，P是内部的一个定点，且，点E，F分别是、上的动点，若周长的最小值等于8，则（   ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，面积为，在上分别找到一点，连接，则周长的最小值为 ． 例3（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为14，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．18 例4（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小． 作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值． (1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值．(2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值．(3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 例1（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且，，与关于y轴对称，，P、Q分别是上的动点，则的最小值是 ． 例2（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在等边三角形中，，D、E是边上的三等分点，点M、N分别在边，上运动，则四边形周长的最小值是 ． 例3（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 例4（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，D是边上一点，连接，M，N是线段上两点，，，P，Q分别是边上的动点，连接，则的最小值为 ． 1．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，于点D，P是上的一个动点，于点E，连接．若，则的最小值是（　　）． A．5 B．6 C．8 D．9 3．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，，，点D、E分别是边、上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，，的面积为，平分，点，分别为，上动点，连结，，则的最小值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，点E、F分别是、上的动点，若，的面积为12，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，等腰三角形的底边长为8，面积是48，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 7．（24-25山东八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC,AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12，△BMC的周长是20，若点P在直线MN上，则PA－PB的最大值为（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 2 8．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，锐角中，，的面积是6，D、E、F分别是三边上的动点，则周长的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 9.（24-25绵阳八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．70° 10．（2024·和平区·八年级期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小=___（度）． 11．（2024·福建福州·八年级期中）如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________． 12．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的度数是 ． 13．（2024·江苏泰州·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为_______. 14．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，等边与的边长都为，，，三点在一条直线上．若点为线段上一动点，连接，，则的最小值是 ． 15．（24-25八年级上·新疆·阶段练习）如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为 ． 16．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，从点A到射线上一点M，再从M到射线上一点N，最后从点N到点B，找到最短时M、N点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 17．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在格点上．    (1)直接写出，，的坐标：________，________，________； (2)并画出关于轴的对称图形（不写画法）；(3)求的面积； (4)在轴上求作一点，连接，，若点满足有最小值，请你在轴上作出点的位置，并直接写出点的坐标为（______，______）． 18．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【问题起源】如图1，在一条笔直的道路上建一个燃气站，并向路同侧的两个城镇铺设燃气管道，如何确定燃气站的位置使得铺设管道的路径最短． 【解决方案】如图2，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点就是燃气站的位置． 【实际运用】（1）如图3，在实际铺设中，在两个城镇之间有一片水源地（水源地的右下角顶点为点），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案，最短的铺设路径方案是：_____；（填方案序号） 方案1：过点作于点，连接，则铺设管道路径是． 方案2：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是． 方案3：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是． 方案4：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是． 【数学思考】（2）如图4，在中，，，，点，在，边上运动，且．如何确定点的位置，使得的值最小； ①解决方案：如图5，过点做射线，在射线上截取．请完成后续作图； ②请解释上述作图的理由；（3）如图6，在锐角中，，点与点的距离为，点与点的距离为，点到的距离为．点，，分别在边，，上（均不与点重合），请直接写出周长的最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 将军饮马模型（不含勾股） 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 6 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 8 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 11 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 14 18 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （24-25八年级上·山东·校考期末） 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】（1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】（3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【详解】解：（1）如图所示，点C即为所求， ； （2）直线是点、的对称轴，点、在上， ，，， 在中，，； （3）如图所示，，，则， 根据两点之间线段最短可得路线即为所求． （2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18，若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【详解】解：∵A、C两点关于直线EF对称，∴， ∵的周长是18，，∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵A、C两点关于直线EF对称，∴，∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．故选：B． 1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 1）将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 例1（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（三角形的顶点都在网格的格点上）． (1)在图中画出关于直线l对称的（要求：点A与点、点B与点、点C与点相对应）； (2)的面积______；(3)在网格中仅用无刻度的直尺找一点O，使． (4)在直线l上找一点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析(2)(3)见解析(4)见解析 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：，故答案为：； （3）解：如图所示，取格点E、F、G、H，连接交于点O，点O即为所求； 易证明分别垂直平分线，则； （4）解：如图所示，连接交直线l于点P，点P即为所求． 例2（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取最小值时，若，则此时的长为 ．    【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，，    当，，三点共线，且时，此时的值最小，即的值最小， 是等边三角形，，，，， ，，，，， 解得：，，故答案为：． 例3（2024·广东·七年级期末）如图，在中，，，，，B、C关于直线EF对称，点P为直线EF上的任意一点，则周长的最小值是（       ） A．7 B．6 C．12 D．8 【答案】A 【详解】解：∵B、C关于EF对称，设AC交EF于D， ∴当P和D重合时，即A、P、C三点共线时，AP+BP的值最小， ∵B、C关于直线EF对称，∴BD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC=4， ∴△ABP周长的最小值是AB+AC=3+4=7，故A正确．故选：A． 例4（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】3 【详解】解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值．是的平分线，， 是点到直线的最短距离（垂线段最短），，． 的最小值是，故答案为：． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 例1（24-25·安徽马鞍山·八年级期末）如图，两村在一条小河的同一侧，要在河边建水厂向两村供水． （1）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？ （2）自来水厂建好后，在招收职工的试卷中有道题“请你在河流上找出一点，使的值最大．”你能找到点吗？请将上述三点在下列各图分别标出，并保留尺规作图痕迹． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）由题意可知，若自来水厂到两村的输水管用料最省，即AN+BN最小， 如图，A′为点A关于CD的对称点，连接A′B，与CD交于点N，则厂址应该选在点N处； （2）若最大，根据三角形两边之差小于第三边，如图， 可知P位于AB与CD交点处时，|PA-PB|最大； 例2（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ． 【答案】 8 8 【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E，∴， ∵的周长是18，，∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵点P在的垂直平分线上，∴，∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．故答案为：8，8． 例3（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为 ． 【答案】 【详解】如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P， ∴，∴， 根据三角形的三边关系可知，此时点P就是使的值最大的点， 连接， ∵为等腰直角三角形，，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴是等边三角形，∴， ∴， ∵，∴，∴，故答案为：． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 例1（24-25八年级上·重庆渝北·期中）如图，已知的大小为，P是内部的一个定点，且，点E，F分别是、上的动点，若周长的最小值等于8，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、， 由对称性可知，，，周长， 此时周长最小，∵周长的最小值等于8，即 ，，，是等边三角形， ，由对称的性质得：， ，故选：A． 例2（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，面积为，在上分别找到一点，连接，则周长的最小值为 ． 【答案】10 【详解】如图，作点E关于的对称点G，点E关于的对称点H，连接， 由对称性可知，，的周长为， 当G、D、F、H四点共线时，的周长最小，为的长． ，，， ，，， 又，是等边三角形，，当时，最短，此时的周长最小， 由，得，解得，的周长最小值为．故答案为：． 例3（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为14，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．18 【答案】B 【详解】解：如图，连接，过点O作交的延长线于H，    ∵，且，∴， ∵点P关于对称的点为，点P关于对称的点为， ∴，，， ∵，∴，∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，最小值为， ∴的面积的最小值为，故选：B． 例4（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小． 作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值． (1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值．(2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值．(3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长． 【答案】(1)3(2)3(3)5 【详解】（1）解：连接， ∵是等边三角形，是边上的高，∴点B，C关于对称，， ∴，∴∴就是的最小值． ∵在等边三角形中，E是的中点，∴，而是边上的高 ∴，∴的最小值为3． （2）解：如图，过点作于点， ∵为等边三角形的高，∴平分，， ∴，，∴，∴，故其最小值为3； （3）解：如图，分别作点P关于的对称点E，D，连接，分别交于点Q，R，连接． ∵点P关于的对称点为E，∴． ∵点P关于的对称点为D，∴， ∴， ∴是等边三角形，∴．∴．∵， ∴当点共线时，周长取得最小值即为∴． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 例1（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且，，与关于y轴对称，，P、Q分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】7 【详解】解：作B点关于的对称点，作C点关于的对称点，连接，，交于点P、Q，过作轴于D，过点作轴于E． 则，，，． 与关于y轴对称，∴．，为等边三角形．∴． ，，，．，． ∵，∴． 同理，．∴．∴． ∴．∴轴．∵，∴． ∴四边形是平行四边形．∴． ∵轴．∴， ∴是等边三角形．∴．∴． ∵，的最小值是7．故答案为： 例2（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在等边三角形中，，D、E是边上的三等分点，点M、N分别在边，上运动，则四边形周长的最小值是 ． 【答案】5 【详解】解：作D点关于的对称点、E点关于的对称点，连接分别与和交于和，则当M点运动至点、N点运动至点时，的最小值为，此时四边形的周长最小， ∵三角形是等边三角形，∴由对称性得：，， ∵D、E是边上的三等分点，∴∴， ∴和时等边三角形，分别作、， ∵、，∴，∴四边形时矩形 ∴ ∴，故答案为：5. 例3（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，， 则，，， 的最小值为的长． ，，，，，， ，△为等边三角形，， 即 的值最小为3；故答案为：3 例4（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，D是边上一点，连接，M，N是线段上两点，，，P，Q分别是边上的动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】13 【详解】作点M关于的对称点，作点N关于的对称点，连接分别交,，于点P，Q，连接，，    ∵，由对称性可知，，， ∴，∴，由对称性可得，， 由勾股定理得，，∴， 当M、N、P、Q共线时，的值最小， 即的最小值为13．故答案为：13. 1．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】解：连接、，是等腰三角形，点是边的中点， ，，解得， 是线段的垂直平分线，点关于直线的对称点为点，∴ ∵∴当A、M、D三点共线时，值最小，的长为的最小值， 周长的最小值．故选：C． 2．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，于点D，P是上的一个动点，于点E，连接．若，则的最小值是（　　）． A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：如图：作于交于，连接， ∵在中，，，∴是等边三角形， ∵，，∴，，∴点C关于的对称点为点B， ，，∴当P、B、E在同一直线上且时，的值最小为， ∴的最小值是6．故选：B． 3．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，，，点D、E分别是边、上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】延长至点，使得，连接，，，如下图所示： 又，垂直平分，， ， 当，D，E三点共线时，等号成立，当时，有最小值，即有最小值，为的长． 当时，由得， ，解得，综上可知，的最小值为．故选：D． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，，的面积为，平分，点，分别为，上动点，连结，，则的最小值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】解：作F关于的对称点为M，作边上的高， ∵平分，∴M必在上，∵F关于的对称点为M，∴， ∴，即 (垂线段最短)， ∵的面积为，，∴，∴，即的最小值为5．故选：B 5．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，点E、F分别是、上的动点，若，的面积为12，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】解：∵，，∴直线是图形的对称轴， 如图，作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N， ∴，∴，∴最小时，最小． 当时最小，即为的长，∵，， ∴，∴的最小值是4．故选C． 6．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，等腰三角形的底边长为8，面积是48，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【详解】连接，与的交点为， ， 是的垂直平分线，点与点关于直线对称，，此时周长最小， 是等腰三角形，是的中点，，长为，面积是48，， 周长最小，故选：C． 7．（24-25山东八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC,AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12，△BMC的周长是20，若点P在直线MN上，则PA－PB的最大值为（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 2 【解答】B 【解析】∵MN垂直平分AC，∴MA＝MC， 又∵＝BM＋MC＋BC＝20，BM＋MA＝AB＝12，∴BC＝20－12＝8， 在MN上取点P，∵MN垂直平分AC，如图所示，连接PA、PB、PC，∴PA＝PC， ∴PA－PB＝PC－PB，在△PBC中PC－PB＜BC 当P、B、C共线时（PC－PB）有最大值，此时PC－PB＝BC＝8，故选B. 8．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，锐角中，，的面积是6，D、E、F分别是三边上的动点，则周长的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，∴，，， ∵，∴， ∴，∵周长， ∴当点在一条直线上时，最小，即此时周长最小，最小值为，此时三角形是等边三角形，∴， 根据点到直线垂线段最短，可知当时，最小，即周长最小， ∵的面积是，，即， ∴，即周长最小6，故选C． 9.（24-25绵阳八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．70° 【答案】B 【答案】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH， ∵∠C＝70°，∴∠DAB＝110°，∴∠HAA′＝70°，∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°， ∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝70°， ∴∠EAF＝110°﹣70°＝40°，故选：B． 10．（2024·和平区·八年级期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小=___（度）． 【答案】50 【详解】作M关于OB的对称点，N关于OA的对称点，连接，交OB于点P，交OA于点Q，连接MP，QN，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时最小，即， ∴， ∵，∴， ∵，，∴ ， ∴ ．故答案为：50． 11．（2024·福建福州·八年级期中）如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________． 【答案】3 【详解】解：连接PC，∵在等边中，，P是的中线上的动点， ∴AD是BC的中垂线，∴BP=CP，∴=CP-PE， ∵在中，CP-PE＜CE，∴当点P与点A重合时，CP-PE=CE， ∵E是边的中点，∴的最大值=6÷2=3．故答案是：3． 12．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的度数是 ． 【答案】 【详解】解：作点关于直线的对称点，点关于的对称点，连接交于点交于点，垂直平分垂直平分，， ，，， 连接交于点，交于点，连接、，则， ，， ，此时的周长最小， ，故答案为：． 13．（2024·江苏泰州·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为_______. 【答案】8cm 【详解】解：∵MN垂直平分AC，∴MA＝MC， 又∵C△BMC＝BM+MC+BC＝20cm，BM+MA＝AB＝12cm，∴BC＝20﹣12＝8（cm）， 在MN上取点P，∵MN垂直平分AC连接PA、PB、PC ∴PA＝PC ∴PA﹣PB＝PC﹣PB 在△PBC中PC﹣PB＜BC 当P、B、C共线时，即P运动到与P'重合时，（PC﹣PB）有最大值，此时PC﹣PB＝BC＝8cm． 14．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，等边与的边长都为，，，三点在一条直线上．若点为线段上一动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接交于点，过点作直线， ∵等边与的边长都为，，∴， ∵、、三点在一条直线上，∴ 与关于直线对称， ∵，∴，∴， ∵，∴，，∴、关于直线对称， ∴当点与重合时，的值最小，最小值为线段的长．故答案为： 15．（24-25八年级上·新疆·阶段练习）如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作M关于的对称点，过作交于一点P，如图所示， ∵是M关于的对称点，，， ∴，，， ∵，∴，，∴．∴，故答案为：． 16．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，从点A到射线上一点M，再从M到射线上一点N，最后从点N到点B，找到最短时M、N点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【详解】解：如图，M、N即为所求， 17．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在格点上．    (1)直接写出，，的坐标：________，________，________； (2)并画出关于轴的对称图形（不写画法）；(3)求的面积； (4)在轴上求作一点，连接，，若点满足有最小值，请你在轴上作出点的位置，并直接写出点的坐标为（______，______）． 【答案】(1)；(2)图见解析；(3)的面积为；(4)图见解析，． 【详解】（1）解：由图可知，点的坐标为：，故答案为：； （2）解：如图，即为所求，       （3）解：由网格知识可得：； （4）解：点的位置如图：由图可知，点，故答案为：． 18．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【问题起源】如图1，在一条笔直的道路上建一个燃气站，并向路同侧的两个城镇铺设燃气管道，如何确定燃气站的位置使得铺设管道的路径最短． 【解决方案】如图2，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点就是燃气站的位置． 【实际运用】（1）如图3，在实际铺设中，在两个城镇之间有一片水源地（水源地的右下角顶点为点），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案，最短的铺设路径方案是：_____；（填方案序号） 方案1：过点作于点，连接，则铺设管道路径是． 方案2：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是． 方案3：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是． 方案4：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是． 【数学思考】（2）如图4，在中，，，，点，在，边上运动，且．如何确定点的位置，使得的值最小； ①解决方案：如图5，过点做射线，在射线上截取．请完成后续作图； ②请解释上述作图的理由；（3）如图6，在锐角中，，点与点的距离为，点与点的距离为，点到的距离为．点，，分别在边，，上（均不与点重合），请直接写出周长的最小值． 【答案】（1）方案3；（2）①见解析；②见解析；（3） 【详解】解：（1）由题意，作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是，最短．即最短的铺设路径方案是方案3；故答案为：方案3； （2）①连接交于点，在上截取，如图所示； ②∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴当点在线段上时，的值最小； ∴连接，即可得到点，再根据，确定点即可； （3）如图，作关于的对称点，作关于的对称点，连接， 则：，，， ∵，∴， ∴为等边三角形，∴， ∵的周长， ∴当四点共线时，的周长最小为的长，即的长， ∴当时，的周长最小，由题意，点到的距离为， ∴的最小值为，即：的周长的最小值为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $