专题08 相似三角形中的八大重要模型（几何模型讲义）数学沪教版五四制九年级上册

专题08 相似三角形中的八大重要模型 本专题包含相似三角形中的八大重要模型，主要有：（双）A字型、（双）8（X）字型、母子型（共边共角模型）、手拉手模型、一线三等角模型、对角互补模型、半角模型、十字架模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点，若，， (1)求的值； (2)求的值为______． 2．（25-26九年级上·辽宁锦州·阶段练习）在中，点在边上，点在边上，与交于点．    (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值． 3．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）已知：如图，在中，，延长至点，使得，连接，过点作，交于点，连接交于点． (1)求证：． (2)若面积为6，，求的长． 4．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点，在线段上，是等边三角形，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 5．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，和分别是边上的高，且相交于F点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 6．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图①，且沿周界与环绕的方向相同，因此与互为顺相似；如图②，，且沿周界与环绕的方向相反，因此与互为逆相似． (1)根据图I、图II和图III满足的条件，可得下列三对相似三角形：①与；②与；③与．其中，互为顺相似的是_____；互为逆相似的是_____．（填写所有符合要求的序号） (2)如图③，在中，，，，点在上； ①已知，过点作直线截，交的另一边于点，若截得的三角形与互为顺相似，求的长； ②过点作直线截，使截得的一个三角形与互为逆相似，若这样的截线能画两条，则的取值范围为_____． 7．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，，O是的中点，E、F分别是直线、上一个动点，连结、、，且，求线段的最小值． 【初步探究】如图①，小明同学发现、的长度不变且互相垂直，可构造相似三角形求的值，下面给出了证明过程． 证明：作于点H（（1）在图①中，用尺规作图完成此步骤） ∵， ∴， 证明过程缺失 （2）请你补全证明过程      【问题解决】求出的值后，将沿的方向平移，使E和F重合，点O的对应点为点G，将两个动线段拼接在一起，转化成两个定点之间的最短距离问题．如图②，过点O作，且．在【问题呈现】的条件下，线段的最小值为___________． 8．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，对角线相交于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 9．（24-25八年级下·贵州·阶段练习）小滨类比全等三角形的性质与判定的学习方法，自学相似三角形的性质与判定，下面是他学习相似三角形的学习笔记： 1.相似三角形的表示方法：与相似，记为． 2.相似三角形的判定：两个角分别相等的两个三角形相似． 如图，∵，，∴． 3.相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例：如图，，则．       【问题背景】如图①，在正方形中，点E，F分别为，上的点，连接． (1)【问题解决】 连接EF，若，，则中填的角可以是：______（填一个即可）； (2)【知识迁移】如图①，在（1）的条件下，求证：； 小滨证明方法如下，请补全证明过程： 证明：在正方形中，，∴，______． 又∵，∴______，∴______，______； 在和中，，∴． (3)【拓展延伸】如图②，连接，交对角线于点G，若点E为中点，，判断线段与的数量关系，并说明理由． 10．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）【定义】 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点． 【应用】 (1)如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，，则________；________； (2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； 11．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，E是矩形的边上的一点，于点F． (1)证明：； (2)若，，，则点A到直线的距离为______． 12．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图1，正方形中，、分别是、上的点，于点 (1)求证：； (2)如图，如果，连接，求证：． 13．（2026九年级·河北·专题练习）如图，在等腰三角形中，分别为边上的点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 14．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）中，，，对角线． (1)如图1，求的长． (2)如图2，是边上一点，是边上一点，连接，，记交点为． ①当，且是等腰三角形时，求的值． ②当时，求的值． 15．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，，点E为上的点，，连接，点O为线段上的点，过点O作交边于点M，交边于点N，则的长度为___________； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，，连接，过的中点O作交于点M，交于点N，求的长度； 【拓展应用】 （3）如图3，李大爷家有一块四边形菜地，测得米，米，，菜地内有一条笔直的小路恰好经过四边形的对称中心（点E、F分别在边上），且米，为了管理方便，李大爷准备再开一条垂直于的小路（点G、H分别在边、上），两条小路交汇于点M，请你帮助李大爷求出新开出的小路的长．（小路的面积忽略不计） 16．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）问题提出 （1）如图①，在中，D，E分别是和上的点，且，若，，则的值为___________： 问题思考 （2）如图②，平面内两定点A，B之间的距离为8，为一动点，且，连接，以为斜边在的上方作等腰直角，连接，则的最大值与最小值的差为___________． 问题解决 （3）如图③，现有一块矩形研发基地，米，米，计划修一条可移动的伸缩轨道，使得分别在上，且满足，轨道上安装一个监控G，需保证于，以为斜边作，并在点处安装一个追踪器，满足．为节省追踪器的布设成本，需让尽可能小，那么的最小值是多少？ 17．（2025·贵州·模拟预测）如图1，在中，，点、分别是边BC、上的点，连接，且．将绕点逆时针方向旋转，旋转角为α． (1)问题发现 如图2，在旋转过程中，当时，证明； (2)拓展探究 若时，在旋转过程中，试求的值． (3)问题解决 在（2）的条件下，且，当绕点逆时针旋转至、、三点在同一条直线上时，求线段的长． 18．（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）在平行四边形中，对角线交于点是线段上一个动点（不与点、点重合），过点分别作的平行线，交于点，交于点，连接． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，，且与相似，请补全图形，并求的值： (3)如图3，如果，且射线过点．请补全图形，并求的度数． 19．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图1，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点在内部，连接，延长交于点． (1)求证：； (2)求证：点是的中点； (3)如图2，若，求的长． 20．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）数学活动：探究几何图形中平行、等腰三角形及角平分线的关系 【探究一】如图，若．则平分． 理由如下：， ， ， （   ）， ， 平分． “（   ）”内应填写的推理依据为________________________ 【探究二】 如图，已知在中，平分交于点，交于点，交于点．求证：四边形是菱形． 【拓展应用】 如图，在四边形中，，点在边上，，且，点在的延长线上，若，则线段的长为___________． 21．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知：在矩形中，E为的中点，作于点F．    (1)如图（1），求证：； (2)如图（1），若，求的值； (3)如图（2），连结交于G，若，求的值． 22．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）【问题提出】 已知正方形和正方形共顶点，把正方形绕点顺时针旋转一定的度数，连接，探究的长． 【问题探究】 （1）已知正方形的边长为，正方形的边长为．如图，若正方形的边落在正方形的边上，求的长． （2）已知正方形的边长为，正方形的边长为，如图，将正方形由图中的位置绕点顺时针旋转，求的长． 【拓展应用】 （3）如图，已知矩形和矩形全等，把矩形绕点顺时针旋转，使所在的直线恰好过的中点，当，时，求的长． 23．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点M、N分别在边、上，且不与端点重合，，连接，探究线段、、之间的等量关系，并说明理由； （2）在（1）的条件下，如图2，若，，求正方形的边长； 【问题解决】 （3）如图3，某市欲规划一块形如矩形的休闲旅游观光区，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点．按设计要求，、是两条夹角为（）的旅游观光小桥，E、F分别是边、上的两座休闲小岛，现计划在E、F两岛之间修建笔直的玻璃桥．已知在矩形中，，，．求所修建的玻璃桥的长度． 24．（2025·四川成都·模拟预测）综合与实践： 【特例】 （1）如图1，正方形中，E为边上一点，连接，过点E作交边于点F，连接，将沿直线折叠后，点A落在点处，当点恰好落在上时，求证：； 【探究】 （2）如图2，当四边形为矩形时，，其他条件不变，试判断与之间的数量关系，并证明； 【拓展】 （3）如图3，当四边形为菱形时，，，其他条件不变，当时，求的长．    25．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图：已知在中，，，垂足为点D，E为边上一点，连结交于点F，并满足． 求证： (1)； (2)． 26．（2024·湖北·模拟预测）在平行四边形中， ，点E，F 分别为边，上的点，连接，，， (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，F 为的中点，求的长； (3)如图3，若求的长． 27．（2024·广东深圳·模拟预测）在平行四边形中， ，点，分别为边，上的点，连接，，， ． 【基础巩固】 （1）如图1，若，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，若，，，求的长； 【拓展提高】 （3）如图3，若 ，点是上一点，，，，求的值． 28．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图1，在四边形中，平分，点M是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点Q和点N． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，证明：； (3)如图2，连接，若，且，求的长． 29．（25-26九年级上·上海·阶段练习）在平行四边形中，对角线、交于点O，P是线段上一个动点（不与点O、点C重合），过点P分别作、的平行线，交于点E，交、于点F、G，连接． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，，且与相似，请补全图形，并求的值； (3)如图3，如果，且射线过点A．请补全图形，并求的度数． 30．（2021·浙江台州·模拟预测）如图，在正方形中，是对角线上的动点（点不与点重合），线段绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在边上，线段与对角线交于点． (1) ；与的数量关系是 ； (2)求证：； (3)令， ①求时的值； ②若正方形边长为，直接写出的最小值． 31．（20-21八年级下·辽宁盘锦·阶段练习） 在正方形中，对角线、相交于点O，点E在线段上，点F在线段上，连接，连接交于点M，已知． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点N在线段上，，延长线交于H； ①求证：； ②若正方形的边长为6，．直接写出的长． 32．（2024·福建·模拟预测）在中，点，分别在，边上，，交于点． (1)如图，是等边三角形，且．求的度数； (2)如图，是等腰直角三角形，，． 判断线段，之间的数量关系并说明理由； 求的度数． (3)如图，是等腰直角三角形，，若点是边上一动点，点是射线上一动点，在（2）的条件下，当动点沿边从点移动到点（可以与点重合）时，直接写出运动过程中长的最大值和最小值． 33．（2025·江西·模拟预测）如图，在矩形中，E为对角线上的一个动点，以D为直角顶点，向右作 ，使得 ，且 ，连接． 【特例感知】 (1)如图(1)，若 ，则 ，是 三角形(填“直角”，“等腰”或“等腰直角”)． 【类比迁移】 (2)如图(2)，猜想，，的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 (3)若，． ①求的最大面积； ②当面积最小时，求的长． 34．（2025·山东·模拟预测）在一次数学研究性学习中，小明发现：如图1，在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，，通过证明，再证四边形为平行四边形，从而证出． (1)【学以致用】：如图2，正方形纸片的边长为12，E是边上一点，连接，折叠该纸片，使点A落在上的G点，并使折痕经过点B，折痕与交于点H，点F在上，若，求的长． (2)【类比探究】：如图3，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】如图4，在矩形中，，点M，N分别在边上．沿着直线折叠矩形，点A，B分别落在点E，F处，且点F在线段上（不与两端点重合），过点M作于点H，连接交于点O．若，求折叠后重叠部分的面积． 35．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）【问题背景】在平行四边形中，对角线是连接对角顶点的重要线段，其不仅能将平行四边形分成两个全等三角形，还常成为探究角、边及特殊三角形（如等腰三角形、相似三角形）关系的关键载体．如图1，点是对角线上的一点（），且使得，连接并延长，交于点．在平行四边形性质（对边平行且相等、内错角相等）与等腰三角形性质的叠加下，线段间的比例关系、三角形的相似性及特殊线段的数量关系成为值得深入探究的方向． 【初步尝试】若，求的值． 【深入研究】如图2，将沿方向平移到，求证： 【探索发现】如图3，连接，取的中点，连接交于点，若，求的值． 36．（2025·贵州黔东南·二模）综合与探究：在正方形中，点E在边上，连接． (1)问题探究：如图①，若，，过点E作交于点F，求的长度． (2)问题解决：如图②，若，，点F是上一动点，连接并将绕点D逆时针旋转得到，连接，当点F是线段的中点时，求线段的值？ (3)拓展延伸：如图③：若四边形是正方形，在直线的上方有一点P，连接，，，且，，求的最大值？ 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 相似三角形中的八大重要模型 本专题包含相似三角形中的八大重要模型，主要有：（双）A字型、（双）8（X）字型、母子型（共边共角模型）、手拉手模型、一线三等角模型、对角互补模型、半角模型、十字架模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点，若，， (1)求的值； (2)求的值为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和全等三角形性质和判定，勾股定理； （1）先证明，根据相似三角形的判定和性质求出，再证明从而得出， （2）求出长度后再通过勾股定理求出长度． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 又∵； ∴ 解得： ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． （2）解：∵，， ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ ∴． 2．（25-26九年级上·辽宁锦州·阶段练习）在中，点在边上，点在边上，与交于点．    (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，中点的性质等知识点， （1）利用平行线截线段成比例定理和中点的性质得出，即可得解； （2）过点D作，利用平行线分线段成比例定理和已知得出，，代入计算即可得解； 【详解】（1）证明：∵，点D是中点， ∴， ∴， ∵点F是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过点D作交于点H，    ∵，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）已知：如图，在中，，延长至点，使得，连接，过点作，交于点，连接交于点． (1)求证：． (2)若面积为6，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟练运用以上知识点是解题的关键． （1）先根据等边对等角得，再根据垂直平分线的性质得，可得，从而可得结论； （2）作于H，由，可得，可得，由三角形的面积可得，再根据等腰三角形三线合一的性质得到，再证明得，代值计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点，在线段上，是等边三角形，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由为等边三角形，则、，进而得到，再说明，然后根据两边对应成比例且夹角相等判定三角形相似即可证明结论； （2）根据相似三角形对应角相等得到，再说明，然后根据角的和差即可解答． 【详解】（1）证明：如图：∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，和分别是边上的高，且相交于F点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得，结合，即可得出结论； （2）由，得到，即，再证明，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵和分别是边上的高， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图①，且沿周界与环绕的方向相同，因此与互为顺相似；如图②，，且沿周界与环绕的方向相反，因此与互为逆相似． (1)根据图I、图II和图III满足的条件，可得下列三对相似三角形：①与；②与；③与．其中，互为顺相似的是_____；互为逆相似的是_____．（填写所有符合要求的序号） (2)如图③，在中，，，，点在上； ①已知，过点作直线截，交的另一边于点，若截得的三角形与互为顺相似，求的长； ②过点作直线截，使截得的一个三角形与互为逆相似，若这样的截线能画两条，则的取值范围为_____． 【答案】(1)①②；③ (2)①或；② 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解互为顺相似和互为逆相似的定义是解题的关键． （1）根据互为顺相似和互为逆相似的定义判断即可； （2）①分和时，两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式计算求解即可； ②时，与互为逆相似，当与重合时，最长，利用相似三角形的性质列式计算求解即可． 【详解】（1）解：①，则与互为顺相似； ②，则与互为顺相似； ③，则与互为逆相似． 故答案为：①②；③； （2）解：①当时，与互为顺相似； ∴， ∴，即， 解得； 当时，与互为顺相似； ∴， ∴，即， 解得； 综上，的长为或； ②如图，时，与互为逆相似； 当与重合时，最长， ∵， ∴， ∴， ∴的取值范围为． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，，O是的中点，E、F分别是直线、上一个动点，连结、、，且，求线段的最小值． 【初步探究】如图①，小明同学发现、的长度不变且互相垂直，可构造相似三角形求的值，下面给出了证明过程． 证明：作于点H（（1）在图①中，用尺规作图完成此步骤） ∵， ∴， 证明过程缺失 （2）请你补全证明过程      【问题解决】求出的值后，将沿的方向平移，使E和F重合，点O的对应点为点G，将两个动线段拼接在一起，转化成两个定点之间的最短距离问题．如图②，过点O作，且．在【问题呈现】的条件下，线段的最小值为___________． 【答案】【初步探究】（1）尺规作图见解析；（2），补全证明过程见解析． 【问题解决】 【分析】本题考查了矩形性质、相似三角形判定与性质、平移性质及两点之间线段最短，解题的关键是补全相似证明得，再通过平移转化为两定点距离求最小值． [初步探究]（1）按照要求完成尺规作图即可． （2）利用矩形性质得、，由得；结合证，得，用、求． [问题解决]平移得且，则，故，最小值为，用勾股定理计算． 【详解】解：（1）在图①中，用尺规作图完成此步骤如下： （2）补全证明过程 证明： ∵四边形是矩形，   ∴，，；   ∵是中点， ∴；   ∵， ∴；   ∵， ∴；   ∵， ∴；   ∴；   ∴， ∵，   ∴． 【问题解决】解：由平移得，， 故四边形是平行四边形，；   ∴， 当点G、F、C位于同一直线上时，存在最小值，且最小值为． 在中，；   ∵，且，   在中，． 故线段的最小值为：． 8．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，对角线相交于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的判定得到，可证明是菱形，得到，继而得到，得出，即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，，根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质得到，得出，计算求出，再由求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ∵ 是菱形， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知是菱形， ，， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ∴． 9．（24-25八年级下·贵州·阶段练习）小滨类比全等三角形的性质与判定的学习方法，自学相似三角形的性质与判定，下面是他学习相似三角形的学习笔记： 1.相似三角形的表示方法：与相似，记为． 2.相似三角形的判定：两个角分别相等的两个三角形相似． 如图，∵，，∴． 3.相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例：如图，，则．       【问题背景】如图①，在正方形中，点E，F分别为，上的点，连接． (1)【问题解决】 连接EF，若，，则中填的角可以是：______（填一个即可）； (2)【知识迁移】如图①，在（1）的条件下，求证：； 小滨证明方法如下，请补全证明过程： 证明：在正方形中，，∴，______． 又∵，∴______，∴______，______； 在和中，，∴． (3)【拓展延伸】如图②，连接，交对角线于点G，若点E为中点，，判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，，， (3)线段与的数量关系为，理由见解析． 【分析】（1）由，结合已知求解即可； （2）根据直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等，补全证明过程即可； （3）由正方形的性质，结合已知可证明，可得，由同角的余角相等，结合对顶角相等，可证明，对应边成比例，结合正方形的性质，即可得线段与的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：． （2）证明：在正方形中，， ∴，． 又∵， ∴， ∴，； 在和中，， ∴． 故答案为：，，，． （3）解：线段与的数量关系为，理由： 与的交点记为， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴线段与的数量关系为． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等，对顶角相等，三角形相似的判定和性质． 10．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）【定义】 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点． 【应用】 (1)如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，，则________；________； (2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； 【答案】(1)1； (2)，证明见解析 【分析】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）证明，可得，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得，即可； （2）根据题意可推出，得到，设，则，再利用勾股定理得到，从而推出，即可求得答案； 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）解：，证明如下： 根据题意，在垂中四边形中，，且F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，E是矩形的边上的一点，于点F． (1)证明：； (2)若，，，则点A到直线的距离为______． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，证得是解题的关键， （1）由四边形是矩形，得到，由得出，由同角的余角可得出，进而即可得解； （2）根据勾股定理得到，通过，得到，列方程求解即可得到结果； 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ，即， 点到直线的距离， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图1，正方形中，、分别是、上的点，于点 (1)求证：； (2)如图，如果，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，再证明，得到则，即可得证； （2）先证明，得到，根据得到，证明，得到，由此即可得证． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ∴， ， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴； （2）证明：四边形是正方形， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ， ， 又， ， ，即， ． 13．（2026九年级·河北·专题练习）如图，在等腰三角形中，分别为边上的点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题，熟练掌握相似三角形的判定及其性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，由等边对等角推出角相等，再由相似三角形的判定定理即可推出结论； （2）根据相似三角形的性质得到，代入数值即可得到结论． 【详解】（1）证明： ． ， ． 又 ． （2）解：由（1）可知， ， 即 ． 14．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）中，，，对角线． (1)如图1，求的长． (2)如图2，是边上一点，是边上一点，连接，，记交点为． ①当，且是等腰三角形时，求的值． ②当时，求的值． 【答案】(1) (2)①② 【分析】通过作辅助线，将平行四边形的问题转化为直角三角形问题，利用三角函数和勾股定理来求解的长度． ①先根据求出的长度，再分情况讨论是等腰三角形时的长度，进而得到的长度，最后通过构造相似三角形来求解的值． ②通过作辅助线构造相似三角形，利用平行四边形性质、相似三角形性质以及角度关系，结合等边三角形的判定与性质来推导式子的值． 【详解】（1）解：过点作于点． ∵在中，，， ∴,． ∴． ． 在中，，，由勾股定理得： ． ∴． 故答案为：． （2）解：①∵,， ∴． 由知，，， ∴． 又∵， ∴是直角三角形，． 当时，， 过作交于，则． ∴，即：． 又∵， ∴． ∴． 当时，． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴，． ∴是等边三角形， 过作交于，则． ∴． ∵， ∴． 当时，过作于， 在中，，， ∴，． 在中，，， ∴． ∴，即与重合，不符合题意，舍去． 综上，． ②解：过作交延长线于G． ∵，， ∴，． 又∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即：． ∴． 又∵，， ∴． 故答案为：①，②． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，解题关键是通过作辅助线构造相似三角形和直角三角形，利用相似三角形性质与勾股定理求解． 15．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，，点E为上的点，，连接，点O为线段上的点，过点O作交边于点M，交边于点N，则的长度为___________； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，，连接，过的中点O作交于点M，交于点N，求的长度； 【拓展应用】 （3）如图3，李大爷家有一块四边形菜地，测得米，米，，菜地内有一条笔直的小路恰好经过四边形的对称中心（点E、F分别在边上），且米，为了管理方便，李大爷准备再开一条垂直于的小路（点G、H分别在边、上），两条小路交汇于点M，请你帮助李大爷求出新开出的小路的长．（小路的面积忽略不计） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点M作于G，交于H，证明，根据全等三角形的性质得，再利用勾股定理求解即可； （2）过点M作于K，交于L，证明，根据相似三角形的性质得，再利用勾股定理求解即可； （3）过点作E作于点I，过点G作于点J，解得四边形是矩形，再证明，根据相似三角形的性质得，可得四边形和四边形都是矩形，勾股定理求出，代入比例式计算即得． 【详解】（1）解：如图，过点M作于G，交于H，则， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵于点O， ∴， ∵ ，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 故答案为： （2）如图，过点M作于K，交于L，则， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在中，， ∴； （3）如图，过点E作于点I，过点G作于点J，则， ∵于点M， ∴, ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵恰好经过四边形的对称中心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，中心对称性质，正确构造辅助线，是解题的关键． 16．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）问题提出 （1）如图①，在中，D，E分别是和上的点，且，若，，则的值为___________： 问题思考 （2）如图②，平面内两定点A，B之间的距离为8，为一动点，且，连接，以为斜边在的上方作等腰直角，连接，则的最大值与最小值的差为___________． 问题解决 （3）如图③，现有一块矩形研发基地，米，米，计划修一条可移动的伸缩轨道，使得分别在上，且满足，轨道上安装一个监控G，需保证于，以为斜边作，并在点处安装一个追踪器，满足．为节省追踪器的布设成本，需让尽可能小，那么的最小值是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）的最小值等于米 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理和等腰三角形，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； （1）根据，可得，进一步可得； （2）以为斜边作等腰直角三角形，证明，推出， 再求出的最大值和最小值，作差即可； （3）延长，相交于点M，根据题中条件证明，求出，再先后证明，， 可得，取的中点N，连接，，求出，的长，再求的最小值． 【详解】解：（1），， ， ， ， ，即． 故答案为：． （2）如图②，以为斜边作等腰直角三角形， 可得，，， 由勾股定理得，即， ． 同理可得，． 由，可得， ， 又， ， ， ， 的最大值等于， 的最小值等于， ， 的最大值与最小值的差为． 故答案为：． （3）如图③，延长，相交于点M，连接， 四边形是矩形， ，，， ， ，， 又，， ， ， 由，得， ， ，， 连接， 由，得， 由，，， 可得， ， ， 取的中点N，连接，， 则， 由勾股定理得， 当点H在上时，的值最小，最小值等于米． 17．（2025·贵州·模拟预测）如图1，在中，，点、分别是边BC、上的点，连接，且．将绕点逆时针方向旋转，旋转角为α． (1)问题发现 如图2，在旋转过程中，当时，证明； (2)拓展探究 若时，在旋转过程中，试求的值． (3)问题解决 在（2）的条件下，且，当绕点逆时针旋转至、、三点在同一条直线上时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是证明三角形相似． （1）平行线分线段成比例，推出，再根据角的和差关系推出，即可得证； （2）勾股定理求出的长，相似三角形的性质，求出的值即可； （3）分两种情况进行讨论，结合（2）中结论进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）∵，， ∴， 由（1）可知：， ∴； （3）如图，当点E在的延长线上时，则：， 由（1）知：， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由（2）知：， ∴； 当点在线段上时，同理，，则：， ∴； 综上：或． 18．（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）在平行四边形中，对角线交于点是线段上一个动点（不与点、点重合），过点分别作的平行线，交于点，交于点，连接． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，，且与相似，请补全图形，并求的值： (3)如图3，如果，且射线过点．请补全图形，并求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质证出，得出则可得出结论； （2）证明，设，那么，，得出，求出，则可得出答案； （3）由题意画出图形，证明平行四边形为菱形，设，，求出得出，证明.设，那么.求出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵过点作、的平行线交于点，交、于点、， ， ， ， ， ， 在平行四边形中，， ， 又， ， ，即， 又∵， ； （2） ∵如图，在平行四边形中， ∴平行四边形为长方形， ， ， 又，且， ， ∴此时有， 设，那么， ∴， ∵， ， ； （3）如图： ， ∴平行四边形为菱形， 设，， ， ， ∴， ， ， ， ， (负根已舍)， ， ， ， ， ， ∴设，则∠， ， ， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 19．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图1，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点在内部，连接，延长交于点． (1)求证：； (2)求证：点是的中点； (3)如图2，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转，可知，然后根据等边对等角，以及三角形内角和，可得，从而推出，得证； （2）在上截取，连接，先证明，得到，接着证明，那么，从而得证； （3）过作，垂足为，连接，先利用勾股定理求得，然后证明，推出，接着利用勾股定理，求得的长度，最后利用求得答案． 【详解】（1）证明：∵绕点旋转得到， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵绕点旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴点是的中点； （3）解：如图4，过作，垂足为，连接． 在中，， ∴， ， ∵， ∴， 由旋转得， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， 由（2）得，为中点， ∵， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得，． ∴在中，根据勾股定理得，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 20．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）数学活动：探究几何图形中平行、等腰三角形及角平分线的关系 【探究一】如图，若．则平分． 理由如下：， ， ， （   ）， ， 平分． “（   ）”内应填写的推理依据为________________________ 【探究二】 如图，已知在中，平分交于点，交于点，交于点．求证：四边形是菱形． 【拓展应用】 如图，在四边形中，，点在边上，，且，点在的延长线上，若，则线段的长为___________． 【答案】探究一：等边对等角；探究二：证明见解析；拓展应用： 【分析】探究一：根据等腰三角形的性质即可求解； 探究二：先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义和平行线的性质可得，即得，进而即可求证； 拓展应用：作，垂足为点，交的延长线于点，交于点，过点作于，于，可得，，即得，再证明，得到，，，证明，得到，即得到，证明，得到，证明，得到，进而得到，证明四边形是矩形，得到，利用勾股定理可得，最后根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：探究一：理由如下：， ， ， （等边对等角）， ， 平分． “（   ）”内应填写的推理依据为等边对等角， 故答案为：等边对等角； 探究二：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 拓展应用： 如图，作，垂足为点，交的延长线于点，交于点，过点作于，于， 则，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 21．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知：在矩形中，E为的中点，作于点F．    (1)如图（1），求证：； (2)如图（1），若，求的值； (3)如图（2），连结交于G，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)8 (3) 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）通过证明两对角相等，来证明； （2）先根据矩形的性质得到，，再根据中点的意义求得的长，然后根据相似三角形的性质列出比例式，从而可求得； （3）先证明，再列出比例式，再设，从而可得，，再证明，列出比例，进而求得． 【详解】（1）证明：四边形是矩形，   ， ， ， ， ，， ， ； （2）四边形是矩形，， ，， 为的中点， ， ， ， ； （3）延长交于点，   ， ，， ， ， 设，，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 22．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）【问题提出】 已知正方形和正方形共顶点，把正方形绕点顺时针旋转一定的度数，连接，探究的长． 【问题探究】 （1）已知正方形的边长为，正方形的边长为．如图，若正方形的边落在正方形的边上，求的长． （2）已知正方形的边长为，正方形的边长为，如图，将正方形由图中的位置绕点顺时针旋转，求的长． 【拓展应用】 （3）如图，已知矩形和矩形全等，把矩形绕点顺时针旋转，使所在的直线恰好过的中点，当，时，求的长． 【答案】； ； ． 【分析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质．解决本题的关键是根据矩形的性质和相似三角形的性质找边之间的关系，再利用勾股定理求解． 利用勾股定理求出的长； 连接，可证点、、三点共线，利用正方形的性质可求，再利用勾股定理求出的长度； 过点作垂足在的延长线上，可证，利用相似三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：正方形的边长为，正方形的边长为， ，， ， 在中，， ； 解：如下图所示，连接， 四边形是正方形， ， 由旋转可知，， 点、、三点共线， 正方形的边长为， ， 正方形的边长为， ，， 在中，； 解：如下图所示，过点作垂足在的延长线上， ， 四边形是矩形， ， ， ， 又， ， ， 由旋转可知， 四边形是矩形， ，，， 在中，， ， ， ，， 在中，． 23．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点M、N分别在边、上，且不与端点重合，，连接，探究线段、、之间的等量关系，并说明理由； （2）在（1）的条件下，如图2，若，，求正方形的边长； 【问题解决】 （3）如图3，某市欲规划一块形如矩形的休闲旅游观光区，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点．按设计要求，、是两条夹角为（）的旅游观光小桥，E、F分别是边、上的两座休闲小岛，现计划在E、F两岛之间修建笔直的玻璃桥．已知在矩形中，，，．求所修建的玻璃桥的长度． 【答案】（1），理由见解析；（2）正方形的边长为；（3）的长度． 【分析】本题是一道四边形的综合题，考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． （1）延长至，使，连接，证明，得出，，再证明，即可得证； （2）在中，求出，由（1）可推出，，则，即可求出正方形的边长； （3）取、的中点，，连接交于点，连接，则四边形是正方形，由勾股定理得出，设，则，，根据勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1），理由如下： 如图所示，延长至，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ； （2）∵在中，，， ， 由（1）得，， ； ， ∴在正方形中，，即边长为； （3）如图所示，取、的中点，，连接交于点，连接， 四边形为矩形， ，，，，， ∵点，分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ，， 四边形为正方形， ， ， ∵在中，，， ， ， ， 由（1）同理可得，， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 点是的中点， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ． 24．（2025·四川成都·模拟预测）综合与实践： 【特例】 （1）如图1，正方形中，E为边上一点，连接，过点E作交边于点F，连接，将沿直线折叠后，点A落在点处，当点恰好落在上时，求证：； 【探究】 （2）如图2，当四边形为矩形时，，其他条件不变，试判断与之间的数量关系，并证明； 【拓展】 （3）如图3，当四边形为菱形时，，，其他条件不变，当时，求的长．    【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）的长为． 【分析】（1）根据翻折的性质，全等三角形的性质，平角的概念求出，再根据相似三角形的性质，得出和的关系即可求解； （2）根据（1）中三角形的全等与相似条件不变，得出不变，再根据和的关系，和的关系即可； （3）根据相似三角形的性质和勾股定理求出的长，即为的长． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， 由翻折性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 由翻折性质可知，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）可知，，， ∵， ∴； （3）如图3，过E作，交延长线于H，作的平分线，交于G，    ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， 即的长为． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形和菱形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识． 25．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图：已知在中，，，垂足为点D，E为边上一点，连结交于点F，并满足． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，灵活运用相似三角形的判定定理是解答本题的关键． （1）由可得，结合勾股定理证明，进而可得； （2）先证明，结合（1）的结论可证，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 设， 则， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，， ，， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26．（2024·湖北·模拟预测）在平行四边形中， ，点E，F 分别为边，上的点，连接，，， (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，F 为的中点，求的长； (3)如图3，若求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程； （1）由平行四边形中得到，，，，再结合得到，在上取一点，使，连接，则是等边三角形，再证明，得到，即可得到； （2）延长至，使，连接，则是等边三角形，得到，，由中点得到，，再证明，得到，解方程即可； （3）延长至，使，连接，设，，则，，先证明，得到，得到，再证明，得到，则，把代入得，解方程计算即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形中， ， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，在上取一点，使，连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长至，使，连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵F 为的中点， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵，不在边上， ∴； （3）解：延长至，使，连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 设，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，得到， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， 把代入得， 解得或， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 27．（2024·广东深圳·模拟预测）在平行四边形中， ，点，分别为边，上的点，连接，，， ． 【基础巩固】 （1）如图1，若，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，若，，，求的长； 【拓展提高】 （3）如图3，若 ，点是上一点，，，，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）的长为；（3）的值为或 【分析】（1）由平行四边形中得到，，，，再结合得到，在上取一点，使，连接，则是等边三角形，再证明，得到，即可得到； （2）延长至，使，连接，设，，则，，先证明，得到，得到，再证明，得到，则，把代入得，解方程计算即可； （3）如图3，在上截取，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，首先证明出，得到，然后证明出，得到，设，则，，，得到或，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1） 解：∵平行四边形中，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，在上取一点，使，连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长至，使，连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 设，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，得到， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， 把代入得， 解得或， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． （3）解：如图3，在上截取，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点． ， ，． ， ． ， ， ， 又，， ， ． 设，则，，， ∴，， ∴或． ，， 是等边三角形， ，， ． ， ， ， ． 当时，，， ， ， ； 当时，，， ， ， ． 综上，的值为或． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 28．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图1，在四边形中，平分，点M是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点Q和点N． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，证明：； (3)如图2，连接，若，且，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2)见解析 (3)12 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，从而得出结论； （2）先证明，得出，再证明出，由三角形相似的判定定理证明，再由相似三角形的性质得出结论； （3）先求出，再由勾股定理求出，设设，则，再由勾股定理得出°，求出，从而得到是等边三角形，然后求出． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 所以四边形是菱形． （2）证明：因为四边形是菱形， 所以， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：， ， 由（2）知，， ， 由（2）知， ， ， 在中，， 设，则， 在中，， 即，解得，即， ， ， ∴， ∴， 是等边三角形， 又四边形是菱形， ， ， 即的长为12． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，等边三角形的判定与性质等知识，关键是构建相似三角形，证明三角形相似． 29．（25-26九年级上·上海·阶段练习）在平行四边形中，对角线、交于点O，P是线段上一个动点（不与点O、点C重合），过点P分别作、的平行线，交于点E，交、于点F、G，连接． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，，且与相似，请补全图形，并求的值； (3)如图3，如果，且射线过点A．请补全图形，并求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)补图见解析， 【分析】（1）由平行四边形的性质证出，得出，则可得出结论； （2）证明，设，那么，，得出，．求出，则可得出答案； （3）由题意画出图形，证明平行四边形为菱形．设，，求出，得出，证明．设，那么．求出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 在平行四边形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，∵， ∴平行四边形为矩形． ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴只能，． ∴， 设，那么，， ∴． ∴， ∴； （3）解：补全图形如下， ∵， ∴平行四边形为菱形，． ∴， ∴， ∵，， ∴，四边形是平行四边形， ∴， 设， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负根已舍）． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 设，则有． ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质、矩形及菱形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质、矩形及菱形的性质与判定是解题的关键． 30．（2021·浙江台州·模拟预测）如图，在正方形中，是对角线上的动点（点不与点重合），线段绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在边上，线段与对角线交于点． (1) ；与的数量关系是 ； (2)求证：； (3)令， ①求时的值； ②若正方形边长为，直接写出的最小值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)①；② 【分析】（）由“”可证，可得，，通过证明是等腰直角三角形，可得，，由“”可证，可得，即可求解； （）证明，可得，证明，可得，进而即可求解； （）①先表示出和，在证明基础上，代入求得结果；②，作于，作的外接圆，连接，作于，设的半径为，可得，可表示出，，根据得到，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于，交于， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，将绕点逆时针旋转至， ∴，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ①设，则，，，， 由（）知，， ∴， ∴， ∴， ∴，（不合，舍去）， ∴； ②如图，作于，作的外接圆，连接，作于，设的半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，确定圆的条件，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 31．（20-21八年级下·辽宁盘锦·阶段练习） 在正方形中，对角线、相交于点O，点E在线段上，点F在线段上，连接，连接交于点M，已知． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点N在线段上，，延长线交于H； ①求证：； ②若正方形的边长为6，．直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据正方形的性质得到，利用三角形内角和定理得到，再由，得到，推出，再利用等角对等边即可证明； （2）①利用正方形的性质证明即可；②利用正方形的性质求出，进而得到，再通过证明得到，代入数据即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：∵正方形的边长为6， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等角对等边、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定，结合图形正确找出全等三角形和相似三角形是解题的关键． 32．（2024·福建·模拟预测）在中，点，分别在，边上，，交于点． (1)如图，是等边三角形，且．求的度数； (2)如图，是等腰直角三角形，，． 判断线段，之间的数量关系并说明理由； 求的度数． (3)如图，是等腰直角三角形，，若点是边上一动点，点是射线上一动点，在（2）的条件下，当动点沿边从点移动到点（可以与点重合）时，直接写出运动过程中长的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)；理由见解析； (3)长的最大值为，最小值为 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得出，进而根据三角形外角的性质即可求解； （2）根据两组边对应成比例及其夹角相等证明，得出； 根据得出，进而根据三角形外角的性质即可求解； （3）由题意可知点在以为弦，所对圆心角为的上，根据题意画出图形，连接，当点在线段上时，取得最小值，当点移动到点时，点与点重合，此时取得最大值，利用勾股定理以及线段的和差分别求解即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 又， ， ， ； （2）解：；理由如下： 是等腰直角三角形，， ，， ，即， ， ， ，即； ， ， ； （3）解：长的最大值为，最小值为，理由如下： 由题意可知：点在以为弦，所对圆心角为的上（，则，劣弧所对的圆周角是）， 如图所示，， ， ， 连接，当点在线段上时，取得最小值， 此时， 是等腰直角三角形，， ， ∴， ， 即长的最小值为． 当点移动到点时，点与点重合，此时取得最大值， 如图所示，由（2）可知． 长的最大值为． 综上，长的最大值为，最小值为． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握综合运用以上知识是解题的关键． 33．（2025·江西·模拟预测）如图，在矩形中，E为对角线上的一个动点，以D为直角顶点，向右作 ，使得 ，且 ，连接． 【特例感知】 (1)如图(1)，若 ，则 ，是 三角形(填“直角”，“等腰”或“等腰直角”)． 【类比迁移】 (2)如图(2)，猜想，，的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 (3)若，． ①求的最大面积； ②当面积最小时，求的长． 【答案】(1)；直角；(2) ，理由见解析；(3)①的面积最大值为；②当面积最小时，的长为 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理， 利用配方法求最值等，熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键； (1)利用题中条件推出四边形是正方形，可得，， 再证明，可得，进一步可得是直角三角形； (2)利用矩形的性质和题中条件证明，可得，进一步可得， 再利用勾股定理求解即可； (3)①设，则，利用推出，从而可得的面积表达式， 再利用配方法求的面积最大值； ②先用含的表达式求出，的面积，进一步可得四边形的面积，再利用 ，求出的面积，再利用配方法可求的面积最小时，的长． 【详解】解：(1)，， ， 四边形是矩形，， 四边形是正方形， ，，， ，， ， 又，， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：；直角． (2)，理由如下： 四边形为矩形， ，，， ， 又， ， ． 又， ， ． (3)①，， ． 设，则． 由(2)知，，， ， ， ， ， ． ， 当时，的面积最大，最大值为． ②如图，过点D作，点H为垂足． ， ， ， ． ． ， ， ， ． 又， ， ． 当时，的面积最小，此时． 当面积最小时，的长为． 34．（2025·山东·模拟预测）在一次数学研究性学习中，小明发现：如图1，在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，，通过证明，再证四边形为平行四边形，从而证出． (1)【学以致用】：如图2，正方形纸片的边长为12，E是边上一点，连接，折叠该纸片，使点A落在上的G点，并使折痕经过点B，折痕与交于点H，点F在上，若，求的长． (2)【类比探究】：如图3，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】如图4，在矩形中，，点M，N分别在边上．沿着直线折叠矩形，点A，B分别落在点E，F处，且点F在线段上（不与两端点重合），过点M作于点H，连接交于点O．若，求折叠后重叠部分的面积． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质和直角三角形的性质得出相等的角和边，证明， 得出，利用勾股定理求出，最后利用等面积法进行求解即可； （2）过作，同（1）可证，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求解； （3），则，利用勾股定理求出的值，求出相关线段的长度，证明，得出，利用勾股定理求出，连接，记，的交点为，先求得，再利用锐角三角函数比求出，求得，最后可求面积． 【详解】（1）解：由对折可得：，，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ∴由等面积法得； （2）解：如图，过作，而四边形是矩形， ， 四边形为平行四边形， ， 由对折可得：， ， 同（1）可得：，， ， ， ，， ， ； （3）解：四边形是矩形， ，，， ， ，， 由折叠可设，则， 由勾股定理得， ， 解得：， ，， 由折叠可得：，， 由 (2) 的结论同理可得：，， ， ， 由勾股定理得， 如图，连接，记，的交点为， ，，， 由勾股定理得， ， 结合折叠可得：， ， 同理可得：， ， ， ， ， ， ， 折叠后重叠部分的面积为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等面积法，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 35．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）【问题背景】在平行四边形中，对角线是连接对角顶点的重要线段，其不仅能将平行四边形分成两个全等三角形，还常成为探究角、边及特殊三角形（如等腰三角形、相似三角形）关系的关键载体．如图1，点是对角线上的一点（），且使得，连接并延长，交于点．在平行四边形性质（对边平行且相等、内错角相等）与等腰三角形性质的叠加下，线段间的比例关系、三角形的相似性及特殊线段的数量关系成为值得深入探究的方向． 【初步尝试】若，求的值． 【深入研究】如图2，将沿方向平移到，求证： 【探索发现】如图3，连接，取的中点，连接交于点，若，求的值． 【答案】初步尝试：； 深入研究：见解析； 探索发现：． 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，综合性强，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 初步尝试：由题意可知，，接着证明，那么可知，从而有，最后得到； 深入研究：先证明四边形是平行四边形，再证明其是菱形，从而得到，，接着证明，从而得证； 探索发现： 取的中点，连接，可证是的中位线，得到，延长至点，使，连接，证明四边形是平行四边形，则，，结合，可得，从而证明，由此可得，然后利用算得答案． 【详解】解：初步尝试： ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ； 深入研究： 证明：， ， 将沿方向平移到， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 探索发现： 如图，取的中点，连接， 设，则， ， ， ，， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ， 延长至点，使，连接， ， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 36．（2025·贵州黔东南·二模）综合与探究：在正方形中，点E在边上，连接． (1)问题探究：如图①，若，，过点E作交于点F，求的长度． (2)问题解决：如图②，若，，点F是上一动点，连接并将绕点D逆时针旋转得到，连接，当点F是线段的中点时，求线段的值？ (3)拓展延伸：如图③：若四边形是正方形，在直线的上方有一点P，连接，，，且，，求的最大值？ 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形相似的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等， 熟练掌握相关知识，并作出适当的辅助线是解题的关键； （1）利用题中条件和正方形的性质证明，推出，代入数值求解即可； （2）连接，过点G作交延长线于点H，利用题中条件证明，推出，， 再证明，推出，解得，，最后利用勾股定理求线段的值； （3）过点A作，且，证明，推出， 再利用两点之间线段最短，可得，进而可求的最大值． 【详解】（1）四边形是正方形， ，，， ， ，， 又， ， ， ，即， 解得． （2）如图②，连接，过点G作交延长线于点H，则， 由题知，， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， ， ，， 又，， ， 又， ， ， 当点F是线段的中点时，， 解得，，， 由勾股定理得，． （3）如图③，过点A作，且，则， 由勾股定理得，， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， ， ， 由于两点之间，线段最短，所以， 当B、M、P三点共线时，有最大值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $