第12讲 相似三角形 单元综合检测（难点）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第12讲 相似三角形 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．下列各命题中，真命题的是（    ） A．矩形都相似 B．有两条边对应成比例的两个直角三角形相似 C．一个角为的两个等腰三角形一定相似 D．有一个锐角相等的两直角三角形相似 2．已知点C是线段AB上的一个点，且满足AC2=BC•AB，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知是非零向量，如果与同方向的单位向量记作，那么下列式子中正确的是（        ） A． B． C． D． 5．如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的个数是（   ） （a）；（b）； （c）；（d）． A．0 B．1 C．2 D．3 6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．如果两个相似三角形的面积比为，那么它们对应高之比为 ． 8．已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点，则AP的长为 ． 9．已知成比例线段，且，则d= ． 10．如图，在中，点在的延长线上，满足，点是的中点，联结交于点，则 ．    11．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，则重心的坐标是 ． 12．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为 ．    13．如图，梯形中，，、分别是、上的点，且，，若，，则向量可用、表示为 ． 14．如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则 （结果用含的代数式表示）．    15．如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为 ．    16．如图，在中，，，，是上一点，，连接，过作的垂线交于，连接，则 ． 17．定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足∠α=2∠β，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为 ． 18．已知在平行四边形中，，P是边上一点，将沿直线折叠，点C落在这个平行四边形的内部，那么长的范围是 ． 三、解答题 19．已知，，，是的三边，且，，求的面积． 20．如图，已知在平行四边形中，点E，F分别是边、的中点，、与对角线分别交于点G，H，设，．    (1)向量______，向量______．（用、表示） (2)画出向量在向量和方向上的分向量．（画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 21．如图1，在中，截线交于点，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若截线经过的重心点，如图2，利用（1）中的结论，求证：． 22．如图，在中，，．点，分别为边上的动点，动点以每秒10个单位长度的速度，沿路线向终点匀速运动，动点同时从点出发，在边上以每秒4个单位长度的速度向终点匀速运动．当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设动点运动时间为秒．    (1)______，______（用含的代数式表示）； (2)当时，求时间的值； (3)当时，请直接写出此时时间的值． 23．已知等腰中，，点D、E是边、上的点，且，联结、，交点为F．    (1)若，求的值． (2)若，求证：． 24．已知一次函数的图像与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E． (1)求点B的坐标； (2)求直线AE的表达式； (3)过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积． 25．已知：如图1，四边形ABCD中，，． (1)求证：四边形ABCD是等腰梯形； (2)边CD的垂直平分线EF交CD于点E，交对角线AC于点P，交射线AB于点F． ①当时，设AD长为x，试用x表示AC的长； ②当时，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 相似三角形 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．下列各命题中，真命题的是（    ） A．矩形都相似 B．有两条边对应成比例的两个直角三角形相似 C．一个角为的两个等腰三角形一定相似 D．有一个锐角相等的两直角三角形相似 【答案】D 【分析】直接利用相似三角形以及矩形的相似判定方法分别判断得出答案． 【解析】、矩形都相似，错误，应为矩形的对应边不一定成比例； 、有两条边对应成比例的两个直角三角形相似，若直角三角形两直角边的比值等于一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边的比，则两三角形不相似，故此选项错误； 、一个角为的两个等腰三角形一定相似，对应角不一定相等，故此选项错误； 、有一个锐角相等的两直角三角形相似，正确． 故选． 【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 2．已知点C是线段AB上的一个点，且满足AC2=BC•AB，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把AB当作已知数求出AC，求出BC，再分别求出各个比值，根据结果判断即可． 【解析】∵AC2=BC•AB， ∴AC2﹣BC•AB=0， ∵AB=AC+BC ∴AC2﹣（AB﹣AC）AB=0， ∴AC2+AB•AC﹣AB2=0， ∴AC=， ∵边长为正值， ∴AC=AB，BC=AB﹣AC=AB， ∴===，故A选项错误， ==，故B选项正确， =，故C选项错误， == ，故D选项错误， 故选B. 【点睛】本题考查了解一元二次方程和黄金分割的应用，把AB当作已知数求出AC，求出BC，再分别求出各个比值是解题关键. 3．如图，在中，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例的性质，即可解答． 【解析】 ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系． 4．已知是非零向量，如果与同方向的单位向量记作，那么下列式子中正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实数与向量相乘，对各选项进行判断作答即可． 【解析】解：由题意知，，A错误，故不符合要求； ，B错误，故不符合要求； ，C正确，故符合要求； ，D错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与向量相乘．解题的关键在于熟练掌握实数与向量相乘结果是向量． 5．如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的个数是（   ） （a）；（b）； （c）；（d）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断． 【解析】解：∵，， ∴．故（c）正确． ∵平分， ∴， ∴．故（b）正确． ∴， ∴， ∴．故（d）正确． 而不能证明，故（a）错误． ∴错误的有个， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角． 6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵EF是点B、D的对称轴， ∴△BFE≌△DFE， ∴DE=BE． ∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°， ∴∠BDE=∠DBE=45°， ∴∠DEB=90°， ∴DE⊥BC． 在等腰梯形ABCD中， ∵=， ∴设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G， ∴四边形AGED是矩形， ∴GE=AD=1， ∵Rt△ABG≌Rt△DCE， ∴BG=EC=1.5， ∴AG=DE=BE=2.5， ∴AB=CD==， ∵∠ABC=∠C=∠FDE，∠CDE+∠C=90°， ∴∠FDE+∠CDE=90°， ∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°， ∴∠BDC=∠DFE， ∵∠DEF=∠DBC=45°， ∴△BDC∽△DEF， ∴， ∴DF=， ∴BF=， ∴AF=AB﹣BF=， ∴=． 故选B． 二、填空题 7．如果两个相似三角形的面积比为，那么它们对应高之比为 ． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质，两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，因为两个相似三角形的面积比为，所以得到两个相似三角形的相似比为；再结合两个相似三角形对应高的比等于相似比即可得到答案． 【解析】解：两个相似三角形的面积比为， 这两个相似三角形的相似比为， 这两个相似三角形对应高之比等于相似比， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的性质应用，熟练掌握形式三角形面积比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比等于相似比是解决问题的关键． 8．已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点，则AP的长为 ． 【答案】或 【分析】根据题意代入数据，分两种情况即可得出AP的长． 【解析】解：当AP＞BP时， ， 当AP＜BP时，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段与全线段的比等于较短线段与较长线段的比，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比；熟记黄金分割的公式：较长的线段=原线段的是解题关键．注意有两种情况． 9．已知成比例线段，且，则d= ． 【答案】32 【分析】根据成比例线段的概念，可得a：b=c：d，再根据比例的基本性质，即可求得d的值． 【解析】解：∵a：b=c：d， ∴ad=bc， ∵a=6，b=8，c=24， ∴6d=8×24， ∴d=32． 故答案为：32． 【点睛】此题考查成比例线段，解题关键在于按照顺序写出比例式，再根据比例的基本性质进行求解． 10．如图，在中，点在的延长线上，满足，点是的中点，联结交于点，则 ．    【答案】2：5 【分析】过点A作辅助线构造相似三角形,借助相似三角形的性质,可以得到对应边成比例,进而得到的值． 【解析】解：如图,过点A作AG∥BC,交ED于点G,    ∵AG∥BC ∴△AGF∽△CEF,△DAG∽△DBE． ∴ ,． ∵． ∴． ∵点是的中点． ∴BE=EC． ∴． ∴． 即:=2：5． 故答案为：2：5 【点睛】该命题以三角形为载体,以平行线分线段成比例定理及平行线与相似三角形关系为考查对象,对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，则重心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、坐标与图形性质等知识点，根据三角形的重心的概念作出重心，根据重心的性质得到，然后根据平行线分线段成比例定理计算即可．掌握重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴点O是的中点， 如图：连接，作中线交于G，则点G是的重心， ∴， 如图：作于E，于F，则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴△ABC重心的坐标是， 故答案为． 12．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为 ．    【答案】8 【分析】连接BG并延长交AC于H，根据重心的性质可得2，根据平行四边形的定义,可证四边形DECF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可得CE＝DF＝4，利用平行线分线段成比例定理列出比例式,即可求出BE. 【解析】解：连接BG并延长交AC于H，    ∵G为ABC的重心， ∴2， ∵DE∥AC，DF∥BC， ∴四边形DECF是平行四边形， ∴CE＝DF＝4， ∵GE∥CH， ∴2， ∴BE＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平行四边形的判定及性质,平行线分线段成比例定理，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键． 13．如图，梯形中，，、分别是、上的点，且，，若，，则向量可用、表示为 ． 【答案】 【分析】过点A作交EF于点G，交BC于H，可得AD=GF=CH，然后用BH表示出CH，再求出，根据相似三角形对应边成比例可得，再用BH表示出EG、EF，根据向量的三角形法则求出BH，即可得解． 【解析】解：如图，过点A作交EF于点G，交BC于H 四边形ADFG、GFCH、ADCH均为平行四边形 ， 若， 则 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面向量、梯形、平行四边形与相似三角形相结合，关键在于作平行线表示出BH，熟记向量的平行四边形法则和三角形法则是解题的关键． 14．如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则 （结果用含的代数式表示）．    【答案】 【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明，再证，推出，通过证明，推出，即可求出的值． 【解析】解： 点和点关于直线对称， ， ， ． ， ， 点和点关于直线对称， ， 又， ， ， ，， 点和点关于直线对称， ， ， ， ， 在和中， ， ． 在中，， ，， ， ， ， ， ，， ． ， ， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明． 15．如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为 ．    【答案】/ 【分析】过点A作于点H，延长，交于点E，根据等腰三角形性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，根据等腰三角形性质得出，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，根据，得出，即，求出结果即可． 【解析】解：过点A作于点H，延长，交于点E，如图所示：    则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质． 16．如图，在中，，，，是上一点，，连接，过作的垂线交于，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理，利用勾股定理和等积式分别把各边表示出来，进而表示出两个三角形的面积即可求解，应用勾股定理和等积式把各边表示出来是解题的关键． 【解析】解：过点D作 ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足∠α=2∠β，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为 ． 【答案】或． 【分析】若等腰三角形的三个内角、，，利用和得，此“倍角三角形”为等腰直角三角形，从而得到腰长与底边长的比值；若等腰三角形的三个内角、，，利用和得，如图，，，作的平分线，则，易得，再证明，利用相似比得到，等量代换得到，然后解关于的方程得与的比值即可． 【解析】解：若等腰三角形的三个内角、，， ，， ，解得， 此“倍角三角形”为等腰直角三角形， 腰长与底边长的比值为； 若等腰三角形的三个内角、，， ，， ，解得， 如图，，，作的平分线，则， ， ， ， ， 即， ，， ， ， 即， 整理得，解得， 即， 此时腰长与底边长的比值为， 综上所述，这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为或． 故答案为或． 【点睛】本题考查了三角形的相似判定和性质，等腰三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 18．已知在平行四边形中，，P是边上一点，将沿直线折叠，点C落在这个平行四边形的内部，那么长的范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定等等，如图所示，当点C的对应点E切换在上时，如图所示，在上取一点H使得，连接，先由平行四边形的性质得到，，；再证明是等边三角形，得到，由折叠的性质可得，设，则，则，证明，得到，求出，则，解方程即可得到答案． 【解析】解：如图所示，当点C的对应点E在上时，如图所示，在上取一点H使得，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 同理可得， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴； 设，则， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴将沿直线折叠，点C落在这个平行四边形的内部，那么长的范围是， 故答案为：． 三、解答题 19．已知，，，是的三边，且，，求的面积． 【答案】6 【分析】根据，可以设=k，然后根据a+b+c=12，可以求得k的值，进而求得a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理，即可判断△ABC的形状，最后算出的面积． 【解析】解：设， ∴，，， 又∵， ∴， ∴ ∴，， 又∵， ∴，、为两条直角边 ∴，即的面积为． 【点睛】本题主要考查的就是比例的性质以及直角三角形的判定和面积的计算．对于这种题型，我们一般设已知等式的值为k，然后根据等式的值求出k的值，从而得出题目中未知数的值，然后进行计算．如果三边的长度满足较小两边的平方和等于较大边的平方，则这个三角形就是直角三角形． 20．如图，已知在平行四边形中，点E，F分别是边、的中点，、与对角线分别交于点G，H，设，．    (1)向量______，向量______．（用、表示） (2)画出向量在向量和方向上的分向量．（画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、平面向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据平行四边形的判定和性质得四边形为平行四边形，再由平行线分线段成比例确定，，利用向量的三角形法则得出，即可确定，； （2）利用平行四边形法则分解向量即可． 【解析】（1）解：∵平行四边形， ∴，， ∵点E，F分别是边、的中点， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 同理得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ∵，，， ∴， 故答案为：，； （2）如图所示：即为所求．    21．如图1，在中，截线交于点，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若截线经过的重心点，如图2，利用（1）中的结论，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理： （1）过点C作交于点G，根据平行线分线段成比例定理可得结论； （2）由（1）得，，相加可得结论． 【解析】（1）证明：过点C作交于点G，如图， ∴，， ∴． （2）证明：如图，连接并延长交于点， 由截可得，则， 由截可得，则； ∵点是的重心， ∴为边上的中线，且， ∴． 22．如图，在中，，．点，分别为边上的动点，动点以每秒10个单位长度的速度，沿路线向终点匀速运动，动点同时从点出发，在边上以每秒4个单位长度的速度向终点匀速运动．当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设动点运动时间为秒．    (1)______，______（用含的代数式表示）； (2)当时，求时间的值； (3)当时，请直接写出此时时间的值． 【答案】(1)或， (2) (3)或3 【分析】（1）根据路程=速度×时间求解即可； （2）根据平行线分线段成比例列方程求解即可； （3）分两种情况求解即可． 【解析】（1）∵，动点以每秒10个单位长度的速度运动， ∴当点P在上时，． 当点P在上时，， ∵，动点以每秒4个单位长度的速度运动， ∴当点Q在上时，． 故答案为：或，； （2）∵， ∴． ∵，，，， ∴， 解得    （3）当点P在上时，秒． 如图，作于点E，作于点F， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 在中， ∵， ∴， 解得，（不合题意，舍去）．    当点P运动到点C时，秒， ∵， ∴此时Q与E重合，即，即时，． 综上可知，当的值为或3时，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，以及一元二次方程的应用，分类讨论是解（3）的关键． 23．已知等腰中，，点D、E是边、上的点，且，联结、，交点为F．    (1)若，求的值． (2)若，求证：． 【答案】(1)1 (2)见解析 【分析】（1）作，交延长线于G，证明，根据相似三角形的性质得出，则，进而得出； （2）根据已知条件证明，得出，进而证明，根据相似三角形的性质以及，即可得证． 【解析】（1）解：作，交延长线于G，        ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 24．已知一次函数的图像与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E． (1)求点B的坐标； (2)求直线AE的表达式； (3)过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积． 【答案】(1)B（8，0） (2)直线AE的表达式为y=-2x+6 (3)△OFB为等腰三角形，S△OBF=8 【分析】（1）将代入直线的表达式中求出值，此题得解； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点的坐标，结合勾股定理可求出的长度，再利用角平分线的性质以及等面积法即可求出点的坐标，根据点 、的坐标利用待定系数法即可求出直线的表达式； （3）过点作轴于点，由可得出，根据相似三角形的性质可得出、的长度，同理可得出，根据相似三角形的性质可得出、的长度，结合即可得出，由此可得出为等腰三角形，再根据三角形的面积公式可得出的面积． 【解析】（1）解：当时，， 点的坐标为； （2）解：当时，， 点的坐标为， ，， ， 平分，交轴于点， 到轴距离与到直线的距离相等都等于长， 即 ， ， 点的坐标为， 设直线的表达式为， 将、代入， ，解得：， 直线的表达式为； （3）解：过点作轴于点，如图所示． ， ， ， ， ， ，， ， ， ，． 同理可得：， ，， ， ， 为等腰三角形， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用一次函数图像上点的坐标特征求出点的坐标；（2）利用角平分线的性质求出点E的坐标；（3）根据相似三角形的性质求出、的长度． 25．已知：如图1，四边形ABCD中，，． (1)求证：四边形ABCD是等腰梯形； (2)边CD的垂直平分线EF交CD于点E，交对角线AC于点P，交射线AB于点F． ①当时，设AD长为x，试用x表示AC的长； ②当时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②． 【分析】（1）如图，过作于，过作于，证明，再证明，从而可得答案； （2）①如图，连接，延长交于，证明，可得，再证明四边形为平行四边形，，可得，，，即，可得，即，重合，再建立方程求解即可；②当时，则在线段的延长线上，如图，延长交于，连接，证明四边形是菱形，，设，，，则， 由，可得，过作，交的延长线于，证明，，可得，，证明，可得，，再建立方程求解即可． 【解析】（1）证明；如图，过作于，过作于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，，不平行， ∴四边形为等腰梯形． （2）①如图，连接，延长交于， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，而， ∴四边形为平行四边形，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，而， ∴，即，重合， ∴即， 解得：（负根舍去）． ②当时，则在线段的延长线上，如图，延长交于，连接， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴四边形是平行四边形， 由线段垂直平分线的性质可得， ∴四边形是菱形，， 设，，，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作，交的延长线于， ∴， ∴， ∵，等腰梯形， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 解得：，（使，不合题意舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰梯形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，难度大，计算量大，属于压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 $$